2014-2015年山东省烟台市高一(上)数学期末试卷与答案
山东省烟台市高一数学上学期期末试题(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．32．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值X围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜16．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值X围是．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的X围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，某某数a的取值X围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．2015-2016学年某某省某某市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间中的平行与垂直关系，得出命题A、B、C正确，命题D错误【解答】解：对于（1），空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，∴命题（1）错误；对于（2），若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（2）正确；对于（3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（3）正确；对于（4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面，∴命题（4）错误．故正确的命题有2个；故选：C．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目．2．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．【分析】两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，分别化为：y=﹣x﹣3，y=﹣，∴，﹣3≠﹣，解得a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为1，∴该四棱锥的体积为×12×1=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值X围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值X 围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求出线段AB的长度为10，等于5的2倍，故满足条件的直线有3条，其中有2条和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线．【解答】解：线段AB的长度为=10，故在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有3条，其中有2条在线段AB的两侧，且都和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线，故选 C．【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想．8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径．【解答】解：圆锥的侧面积为，侧面展开图的弧长为=，设圆锥的底面半径为r′，则2πr′=，∴r′=．∴圆锥的全面积S=+=．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础题．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可．【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，∴MO∥PA，ON∥AC，OM∩ON=O，∴MO∥平面PAC；平面PAC∥平面MON，②③故正确；故选：C．【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握．10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x ≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）②．【分析】随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k和y=alog m x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax2+bx+c．故答案为：②．【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件AC⊥BD或四边形ABCD为菱形时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【分析】由假设A1C⊥B1D1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．【解答】解：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1BB1，则A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，则四边形ABCD为菱形，故答案为：AC⊥BD或四边形ABCD为菱形．【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于135°．【分析】由两平行线间的距离，得直线m和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°，故答案为：135°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值X围是（4，+∞）．【分析】根据条件可判断函数为偶函数，则要使（x）有4个零点，只需当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解．【解答】解：对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），∴函数为偶函数，若f（x）有4个零点，∴当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，∴△=a﹣4＞0，∴a＞4．【点评】考查了偶函数的应用和二次方程根的性质．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为②③．【分析】①根据线面垂直性质可判断；②根据公式cosθ=cosθ1cosθ2求解即可；③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．【解答】解：①取AB中点M，易证AB垂直平面SMC，可得AB垂直SC，故错误；②易知BC在平面上的射影为∠ABC的角平分线，∴cos60°=cosθcos30°，∴cosθ=，故正确；③取BC中点N，∴二面角为∠ANC，不妨设棱长为1，∴cos∠ANC==，故正确，故答案为：②③．【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．【解答】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．…（6分）（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1﹣ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．【分析】（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，则A1C∥EO，由此能证明A1C∥平面BDE．（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BD ﹣A的正切值．【解答】证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，∵E是AA1的中点，O是BD的中点，∴A1C∥EO，又EO⊂面BDE，AA1⊄面BDE，所以A1C∥平面BDE．…（6分）解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，∴∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，在Rt△AOE中，tan∠AOE==．∴二面角E﹣BD﹣A的正切值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的X围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R （x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的X围．（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（4分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（6分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．∴要使工厂有盈利，求产量x的X围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f（x）=，∴当x＞5时，函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）设B（x0，y0），利用中点坐标公式可得：AB的中点M，代入直线CM．又点B在直线BT上，联立即可得出．（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，利用对称的性质即可得出．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则AB的中点M在直线CM上，所以+1=0，即3x0+2y0+6=0 ①…（2分）又点B在直线BT上，所以x0﹣y0+2=0 ②…（4分）由①②得：x0=﹣2，y0=0，即顶点B（﹣2，0）．…（6分）（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，由题意知，，解得a=﹣3，b=4，即A′（﹣3，4）．…（9分）因为k BC===﹣4，…（11分）所以直线BC的方程为y=﹣4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．【分析】（1）先证明OM∥AN，根据线面平行的判定定理即可证明OM∥面DAF；（2）由题意可先证明AF⊥CB，由AB为圆O的直径，可证明AF⊥BF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF⊥面CBF．【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=CD，又∵AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．又∵AN⊂面DAF，OM⊄面DAF，∴OM∥面DAF．（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，∴CB⊥面ABEF．∵AF⊂面ABEF，∴AF⊥CB．又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又∵CB∩BF=B，CB，BF⊂面CBF．∴AF⊥面CBF．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，某某数a的取值X围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得aX围；令y=0，解得x=＞0，解得aX围．求交集可得：a＜﹣1．利用S△AOB= [﹣（a﹣2）]×，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为： +=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值X围是（﹣∞，﹣1]．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=＞0，解得a＞2或a＜﹣1．因此，解得a＜﹣1．∴S△AOB=|a﹣2|||==3+≥3+=6，当且仅当a=﹣4时取等号．∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
山东省烟台市高一上学期期末数学试卷
山东省烟台市高一上学期期末数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 直线x+y+1=0 的倾斜角为（ ）A.B.C.D.2. （2 分） (2018 高二下·衡阳期末) 抛物线的准线方程是（ ）A.B.C.D.3. （2 分） (2019·南平模拟) 刘微（225-295），3 世纪杰出的数学家，撞长利用切割的方法求几何体的体积， 因些他定义了四种基本几何体，其中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形且一条侧棱垂直 于底面的四棱锥称为“阳马”．已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积是（ ）．第 1 页 共 19 页A. B.C. D. 4. （2 分） (2017 高一下·保定期中) 设 α，β 是两个平面，l，m 是两条直线，下列各条件，可以判断 α∥β 的有（ ） ①l⊂ α，m⊂ α，且 l∥β，m∥β，②l⊂ α，m⊂ β，且 l∥β，m∥α，③l∥α，m∥β，且 l∥m，④l∥α， l∥β，m∥α，m∥β，且 l，m 互为异面直线． A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个5. （2 分） (2018 高一上·海珠期末) 直线A . 2个第 2 页 共 19 页与圆交点的个数为（ ）B . 1个 C . 0个 D . 不确定6. （2 分） (2019·齐齐哈尔模拟) 在长方体直线与所成角的余弦值为（ ）中，，，则A.B.C.D.7. （2 分） (2018·沈阳模拟) 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作 圆锥曲线论 中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点 A、B 距离之比是常数的点 M 的轨迹是圆 若两定点 A、B 的距离为 3，动点 M 满足，则 M 点的轨迹围成区域的面积为A.B.C.D.8. （2 分） (2018 高二上·沈阳月考) 边长为 的正方形，将为正三角形，则直线 和平面所成的角的大小为（ ）A.B.C.D.第 3 页 共 19 页沿对角线 折起，使9. （2 分） 已知点 P(x,y)在圆 x2+（y-1)2=1 上运动，则 的最大值与最小值为（ ）A . ,B . ,-C . ,D . ,10. （2 分） (2017·成都模拟) 把平面图形 M 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形 M′叫作图形 M 在 这个平面上的射影．如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，BD⊥CD，AB⊥DB，AC⊥DC，AB=DB=5，CD=4，将围成三棱锥的四个 三角形的面积从小到大依次记为 S1 ， S2 ， S3 ， S4 ， 设面积为 S2 的三角形所在的平面为 α，则面积为 S4 的三角形在平面 α 上的射影的面积是（ ）A.2B. C . 10 D . 30二、 填空题 (共 7 题；共 7 分)11. （1 分） (2017 高一下·吉林期末) 过点 A(－1,0)且与直线 2x－y＋1＝0 平行的直线方程为________．12. （1 分） (2018·榆社模拟) 设，双曲线 ：，，若圆 上存在一点 满足与圆 ：相切，，则点 到 轴的距离为________.13.（1 分）(2018 高二下·温州期中) 已知正四面体的点,且正四面体外接球的球心 在平面的棱长为 ,若内,则平面与平面分别是线段上所成二面角的正弦值第 4 页 共 19 页的最小值为________.14. （1 分） (2016 高二上·黑龙江期中) 已知椭圆 +x2=1，过点 P（ ， ）的直线与椭圆相交于 A， B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB 的方程为________．15. （1 分） (2020 高一下·大庆期末) 在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的半径为________.16. （1 分） (2019 高二下·南昌期末) 如图．在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PB⊥底面 ABCD ， O 为对角线 AC 与 BD 的交点，若 PB＝1，∠APB＝∠BAD＝ ，则棱锥 P－AOB 的外接球的体积是________17. （1 分） (2017·奉贤模拟) 若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆的右焦点重合，则 p=________．三、 解答题 (共 4 题；共 35 分)18. （10 分） (2019 高二上·佛山期中) 如图，等腰直角直线方程为．的直角顶点，斜边 所在的（1） 求的面积；（2） 求斜边 AB 中点 D 的坐标．19. （10 分） (2016 高一下·华亭期中) 如图，棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形，B1C⊥A1B第 5 页 共 19 页（1） 证明：平面 AB1C⊥平面 A1BC1； （2） 设 D 是 A1C1 上的点，且 A1B∥平面 B1CD，求 A1D：DC1 的值． 20. （5 分） (2017·抚顺模拟) 如图，直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是直角梯形，其中 AB⊥AD， AB=2AD=2AA1=4，CD=1． （Ⅰ）证明：BD1⊥平面 A1C1D； （Ⅱ）求 BD1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值．21. （10 分） (2019 高三上·金华月考) 已知抛物线物线交于 ， ，且．，过焦点 的斜率存在的直线与抛（1） 求抛物线的方程；第 6 页 共 19 页（2） 已知 两点（点 在与抛物线交于点 （异于原点），过点 ， 之间），过点 作 轴的平行线，交作斜率小于 的直线交抛物线于 ，于 ，交于 B，与的面积分别为 ， ，求 的取值范围．第 7 页 共 19 页一、 选择题 (共 10 题；共 20 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点： 解析：第 8 页 共 19 页答案：4-1、 考点： 解析：答案：5-1、 考点：第 9 页 共 19 页解析： 答案：6-1、 考点：解析： 答案：7-1、第 10 页 共 19 页考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共35分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
2014年山东省烟台市高一下学期期末数学试卷与解析答案(b卷)
2013-2014学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷（B卷）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．（5分）如果和是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A．= B．•=1 C．2≠2D．||2=||22．（5分）=（）A．B．C．D．3．（5分）函数y=cos2x的图象（）A．关于直线x=﹣对称B．关于直线x=﹣对称C．关于直线x=对称D．关于直线x=对称4．（5分）如果一扇形的弧长为2πcm，半径等于2cm，则扇形所对圆心角为（）A．2πB．πC．D．π5．（5分）如果点P（tanθ，cosθ）位于第三象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（5分）已知向量=（﹣2，1），=（4，k）．若⊥，则实数k的值是（）A．k=2 B．k=﹣2 C．k=8 D．k=﹣87．（5分）已知tanx=﹣，则tan2x=（）A．B．﹣C．﹣D．8．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，则|+|+|﹣|=（）A．4 B．2 C．D．29．（5分）设单位向量、的夹角为60°，则向量+与向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°10．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4二、填空题（本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P （﹣3，4），则cosα等于．12．（5分）已知tanα=﹣，则=．13．（5分）已知向量=（2cosθ，2sinθ），=（3，），且与共线，θ∈[0，2π），则θ=．14．（5分）已知α、β为锐角，且sinα=，cos（α+β）=﹣，则sinβ的值为．15．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的终边与单位圆交于B点，且点B的纵坐标为．若将点B沿单位圆逆时针旋转到达A点，则点A的坐标为．三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.16．（12分）（1）计算：2cos+tan+3sin0+cos2+sin；（2）化简：．17．（12分）已知向量、满足||=2，||=1，且与的夹角为，求：（1）在的方向上的投影；（2）（﹣2）•．18．（12分）已知tanα，tanβ是方程6x2﹣5x+1=0的两根，且0＜α＜，π＜β＜，求tan（α+β）及α+β的值．19．（12分）已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx+a的最大值为1．（1）求常数a的值；（2）求使f（x）≥0成立的取值集合．20．（13分）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[，]上有解，求实数m的取值范围．21．（14分）已知三点A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．（1）证明：AB⊥AD．（2）若点C使得四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．2013-2014学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．（5分）如果和是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A．= B．•=1 C．2≠2D．||2=||2【解答】解：∵和是两个单位向量，∴．故选：D．2．（5分）=（）A．B．C．D．【解答】解：原式==cos=，故选：D．3．（5分）函数y=cos2x的图象（）A．关于直线x=﹣对称B．关于直线x=﹣对称C．关于直线x=对称D．关于直线x=对称【解答】解：令2x=kπ，k∈z，可得x=，故函数y=cos2x的图象关于直线x=﹣对称，故选：B．4．（5分）如果一扇形的弧长为2πcm，半径等于2cm，则扇形所对圆心角为（）A．2πB．πC．D．π【解答】解：由l=得，n==180故扇形所对的圆心角为π．故选：B．5．（5分）如果点P（tanθ，cosθ）位于第三象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵点P（tanθ，cosθ）位于第三象限，∴，∴θ位于第二象限．故选：B．6．（5分）已知向量=（﹣2，1），=（4，k）．若⊥，则实数k的值是（）A．k=2 B．k=﹣2 C．k=8 D．k=﹣8【解答】解：∵⊥，∴=﹣2×4+k=0，解得k=8．故选：C．7．（5分）已知tanx=﹣，则tan2x=（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵tanx=﹣，∴tan2x===﹣，故选：C．8．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，则|+|+|﹣|=（）A．4 B．2 C．D．2【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，∴|+|+|﹣|=+=．故选：D．9．（5分）设单位向量、的夹角为60°，则向量+与向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：∵单位向量、的夹角为60°，∴=1，==．∴===．===．设向量+与向量的夹角为θ．则cosθ===．∴θ=30°．故选：A．10．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选：C．二、填空题（本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P （﹣3，4），则cosα等于﹣．【解答】解：由题意可得x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴cosα==﹣，故答案为：﹣．12．（5分）已知tanα=﹣，则=．【解答】解：∵tanα=﹣，∴原式===．故答案为：．13．（5分）已知向量=（2cosθ，2sinθ），=（3，），且与共线，θ∈[0，2π），则θ=或π．【解答】解：∵与共线，∴=0，∴．∵θ∈[0，2π），∴或π．故答案为：或π．14．（5分）已知α、β为锐角，且sinα=，cos（α+β）=﹣，则sinβ的值为．【解答】解：∵α、β为锐角，∴0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π，∵cos（α+β）=﹣，sinα=，∴sin（α+β）=，cosα=，sinβ=sin（α+β﹣α）=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=．故答案为：．15．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的终边与单位圆交于B点，且点B的纵坐标为．若将点B沿单位圆逆时针旋转到达A点，则点A的坐标为（）．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆交于B点，且点B的纵坐标为，∴sinα=，cosα=将点B沿单位圆逆时针旋转到达A点，点A的坐标A（cos（），sin（）），即A（﹣sinα，cosα），∴A（）故答案为：（）．三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.16．（12分）（1）计算：2cos+tan+3sin0+cos2+sin；（2）化简：．【解答】解：（1）原式=0+1+0+﹣1=；（2）原式===﹣tanθ．17．（12分）已知向量、满足||=2，||=1，且与的夹角为，求：（1）在的方向上的投影；（2）（﹣2）•．【解答】解：（1）∵||=2，与的夹角为，∴在的方向上的投影===﹣1．（2）∵===﹣1．∴（﹣2）•=﹣2=﹣1﹣2=﹣3．18．（12分）已知tanα，tanβ是方程6x2﹣5x+1=0的两根，且0＜α＜，π＜β＜，求tan（α+β）及α+β的值．【解答】解：∵tan α、tan β为方程6x2﹣5x+1=0的两根，∴tanα+tanβ=，tanαtanβ=，tan（α+β）===1．∵0＜α＜，π＜β＜，∴π＜α+β＜2π，∴α+β=．19．（12分）已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx+a的最大值为1．（1）求常数a的值；（2）求使f（x）≥0成立的取值集合．【解答】解：==（1）f（x）的最大值为1∴1=2+a∴a=﹣1（2），∴∴∴20．（13分）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[，]上有解，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）∵f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x=1﹣cos（+2x）﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）+1．（1分）∴周期T=π；（1分）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ，解得kπ﹣≤x≤kπ，∴单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，（k∈Z）．（2分）（II）∵x∈[，]，所以2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，所以f（x）的值域为[2，3]，（4分）而f（x）=m+2，所以m+2∈[2，3]，即m∈[0，1]（4分）21．（14分）已知三点A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．（1）证明：AB⊥AD．（2）若点C使得四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．【解答】（1）证明：可得，，，∴AB⊥AD；（2）由（1）及四边形ABCD为矩形，得，设C（x，y），则（1，1）=（x+1，y﹣4），∴，得，即C（0，5）；∴，得，，设与夹角为θ，则，∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
山东省烟台市高一上学期数学期末考试试卷(a卷)
山东省烟台市高一上学期数学期末考试试卷（a 卷）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019·鞍山模拟) 已知集合 A.，，则（）B.C.D. 2. （2 分） 若直线 l 经过第二、三、四象限，则直线 l 的倾斜角的范围是（ ） A . 0°≤α<90° B . 90°≤α<180° C . 90°<α<180° D . 0°≤α<180°3. （2 分） (2019·鞍山模拟) 若函数恰有一个零点，则实数 的值为A. B.2C.D. 4. （2 分） (2019 高一上·吴起月考) 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 上底边均为 1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）第 1 页 共 11 页，腰和A. B. C.D.5. （2 分） 若 A . a>b>c， 则 a,b,c 的大小为（ ）B.C.D.6. （2 分） 直线 l 过定点（﹣1，2）且在两坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为（ ）A . 2x+y=0 或 x+y﹣1=0B . 2x﹣y=0 或 x+y﹣1=0C . 2x+y=0 或 x﹣y+3=0D . x+y﹣1=0 或 x﹣y+3=07. （2 分） (2017 高一上·宜昌期末) 设 f（x）= 值范围为（ ）A . [﹣1，2]第 2 页 共 11 页，若 f（0）是 f（x）的最小值，则 a 的取B . [﹣1，0] C . [1，2] D . [0，2] 8. （2 分） (2019·唐山模拟) 已知直线 ， 和平面 ， ，有如下三个命题：①若存在平面 ，使，，则，则；③若，，A.0 B.1C.2 D.3；②若 ， 是两条异面直线，，，，，则.其中正确命题的个数是（ ）9. （2 分） (2019·龙岩模拟) 已知 f(x)=，若关于 的方程恰好有 4 个不相等的实数解，则实数 的取值范围为（ ）A.B.（ ）C.D . （0， ）10. （2 分） 定义在 R 上的函数是减函数，且函数的图象关于满足不等式.则当时， 的取值范围是（ ）成中心对称，若 m,nA. B.第 3 页 共 11 页C. D. 11. （2 分） (2018·吕梁模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A. B. C. D. 12. （2 分） (2018·吉林模拟) 在下列给出的四个结论中，正确的结论是（ ）A . 已知函数在区间内有零点，则B . 是 与 的等比中项C.若是不共线的向量，且，则 ∥D . 已知角 终边经过点，则二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016 高一上·包头期中) 函数 y=+的定义域是________．14. （1 分） (2016 高一上·泗阳期中) 已知幂函数 f（x）=k•xa 的图象过点（3，第 4 页 共 11 页），则 k+a=________．15. （1 分） (2018 高二上·西宁月考) 若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°,半径为 的扇形,则这个圆锥 的表面积与侧面积之比是________16. （1 分） 直线 2x+ay+2=0 与直线 ax+（a+4）y﹣1=0 平行，则 a 的值为________三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （5 分） (2016 高一上·金台期中) 设集合 A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2=1}，且 B⊆ A，求 a 的值．18. （15 分） 已知 a，b 为常数，且 a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0，方程 f（x）=x 有两个相等实数根． （1） 求函数 f（x）的解析式； （2） 当 x∈[1，2]时，求 f（x）的值域；（3） 若 F（x）=f（x）﹣f（﹣x）+ ，试判断 F（x）的奇偶性，并说明理由．19. （10 分） (2019 高三上·梅县月考) 在极坐标系中，O 为极点，点上，直线 l 过点且与垂直，垂足为 P.在曲线（1） 当时，求 及 l 的极坐标方程；（2） 当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.20. （10 分） (2017·西安模拟) 如图＜1＞：在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD 于 E 点，把△DEC 沿 CE 折到 D′EC 的位置，使 D′A=2 点．，如图＜2＞：若 G，H 分别为 D′B，D′E 的中（1） 求证：GH⊥平面 AD′C；第 5 页 共 11 页（2） 求平面 D′AB 与平面 D′CE 的夹角． 21. （10 分） 如图，一座小岛距离海岸线上最近的点 P 的距离是 2km，从点 P 沿海岸正东 12km 处有一个小镇．（1） 假设一个人驾驶的小船的平均速度为 3km/h，步行的速度是 5km/h，t（单位：h）表示他从小岛到城镇 的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距 P 点的距离．请将 t 表示为 x 的函数，并写出定义域．（2） 如果将船停在距点 P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到 0.1h）？（ ）22. （10 分） (2019 高三上·广东月考) 已知函数（1） 求的解集；（2） 若有两个不同的解，求 的取值范围．，．第 6 页 共 11 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、 18-1、 18-2、第 8 页 共 11 页18-3、19-1、 19-2、 20-1、第 9 页 共 11 页20-2、21-1、 21-2、第 10 页 共 11 页22-1、22-2、第11 页共11 页。
2014-2015学年山东省烟台市高二(上)期末数学试卷(理科)
2014-2015学年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.在一次篮球投篮比赛中，甲、乙两名球员各投篮一次，设命题p：“甲球员投篮命中”，q：“乙球员投篮命中”，则命题“至少有一名球员没有投中”可表示为（）A.p∨q B.p∨（￢q）C.（￢p）∧（￢q）D.（￢p）∨（￢q）【答案】D【解析】解：∵p表示“甲球员投篮命中”，命题q表示“乙球员投篮命中”，∴￢p表示“甲球员投篮没有命中”，命题￢q表示“乙球员投篮没有命中”，∴命题（￢p）∨（￢q）表示，甲、乙球员投篮至少有一人没有命中．故选：D．根据简单命题与复合命题的关系，结合“至少有一名球员没有投中”，选出正确的答案即可．本题考查了复合命题与简单命题之间的关系，解题时应正确理解四种命题以及复合命题的意义是什么，属于基础题目．2.下列说法正确的是（）A.命题“若x2=4，则x=2”的否命题是真命题B.命题“若a+是有理数，则a是无理数”的逆命题是真命题C.命题“若x＞a2+b2，则x＞2ab”为假命题D.命题“若x=y，则tanx=tany”的逆否命题是真命题【答案】A【解析】解：对于A，命题“若x2=4，则x=2”的逆命题是命题“若x=2，则x2=4”显然是真命题，所以命题“若x2=4，则x=2”的否命题是真命题，A正确；对于B，命题“若a+是有理数，则a是无理数”的逆命题是“a是无理数，则a+是有理数”，如a=，此命题为假命题；所以B错误；对于C，“若x＞a2+b2，则x＞2ab”为真命题；因为x＞a2+b2≥2ab，则x＞2ab”为真命题；所以C错误；对于D，命题“若x=y，则tanx=tany”的原命题是假命题，因为x=y=kπ+时，tanx，tany无意义，所以其逆否命题是假命题；故D错误；故选A．通过互为逆否的命题的真假性一致进行判断命题的真假本题考查了命题的真假判断；如果正面判断有难度的题目，可以利用其等价命题判断真假性．3.命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A.∀x∈R，|x|+x2＜0B.∀x∈R，|x|+x2≤0C.∃x0∈R，|x0|+x02＜0D.∃x0∈R，|x0|+x02≥0【答案】C【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，故选：C．根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定定点M与点A、B、C一定共面的是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】解：由共面向量定理可得：若定点M与点A、B、C一定共面，则存在实数x，y，使得，化为=+y，A．C．中的系数不满足和为1，而B的可以化为：=，因此OM平行与平面ABC，不满足题意，舍去．而D中的系数：=1，可得定点M与点A、B、C一定共面．故选：D．由共面向量定理可得：若定点M与点A、B、C一定共面，则存在实数x，y，使得，即=+y，即可判断出．本题考查了共面向量定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.若焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=±2x，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵双曲线的焦点在y轴上，∴设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=±x，结合题意双曲线的渐近线方程是y=±2x，得=2，∴b=a，可得c==a，因此，此双曲线的离心率e==．故选A．由焦点在y轴上，设出双曲线方程，求出渐近线方程，得到a=2b，再由a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．6.已知a＞0且a≠1，则a b＞1是（a-1）b＞0的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：若a b＞1，当0＜a＜1时，b＜0，此时（a-1）b＞0成立；当a＞1时，b＞0，此时（a-1）b＞0成立；故a b＞1是（a-1）b＞0的充分条件；若（a-1）b＞0，∵a＞0且a≠1，当0＜a＜1时，b＜0，此时a b＞1，当a＞1时，b＞0，此时a b＞1，故a b＞1是（a-1）b＞0的必要条件；综上所述：a b＞1是（a-1）b＞0的充要条件；故选C结合指数的运算性质，和实数的基本性质，分析“a b＞1”⇒“（a-1）b＞0”和“a b＞1”⇐“（a-1）b＞0”是否成立，进而根据充要条件的定义得到答案．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q 为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．7.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于（）A.2•B.2•C.2•D.2•【答案】B【解析】解：由题意可得，2=2a•a•cos（π-∠BAD）=2a2•（-cos60°）=-a2，故排除A．∵2•=2•a•a•cos60°=a2，故B满足条件．∵2•=2••a•cosπ=-a2，故排除C．∵2•=2••a•cos60°=，故排除D，故选：B．由条件利用两个向量的数量积的定义，对各个选项中式子进行运算，可得结论．本题考查棱锥的结构特征、两个向量的数量积的定义，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．8.在空间直角坐标系O-xyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D-ABC在x O y，y O z，z O x坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A.S1=S2≠S3B.S2=S3≠S1C.S1=S3≠S2D.S1=S2=S3【答案】B【解析】解：由题意可知，D在在x O y，y O z，z O x坐标平面上的正投影分别为：H（1，1，0）；F（0，1，），E（1，0，），S1，S2，S3分别表示三棱锥D-ABC在x O y，y O z，z O x坐标平面上的正投影图形的面积，如图：所以S1=，S2==，S3=，显然S2=S3≠S1．故选：B．分别是等腰直角三角形ABC，求出几何体在三个平面上的射影面的面积，即可得到结果．本题考查空间点的坐标的求法，射影面的面积的解法，考查计算能力以及空间想象能力．9.设F1，F2分别是双曲线x2-的左、右两个焦点，若P为圆x2+y2=9与双曲线的一个交点，则|PF1|+|PF2|=（）A.3B.6C.D.【答案】D【解析】解：双曲线x2-的左、右两个焦点F1，F2分别为（-3，0），（3，0），即为圆x2+y2=9的直径的两个端点，则F1P⊥F2P，即有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=36，①由双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=2a=2，②②两边平方可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|=4，即有2|PF1|•|PF2|=36-4=32，再由①，可得（|PF1|+|PF2|）2=36+32=68，则|PF1|+|PF2|=2．故选D．求出双曲线的焦点，即为圆的直径的端点，即有F1P⊥F2P，再由勾股定理和双曲线的定义，结合完全平方公式，计算即可得到．本题考查双曲线的定义和性质，用好双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，是解本题的关键．10.如图所示，四边形ABCD、ABEF都是矩形，它们所在的平面互相垂直，AD=AF=1，AB=2，点M、N分别在它们的对角线AC、BF上，且CM=BN=a（0＜a＜），当MN的长最小时，a的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如图所示，作MO⊥AB垂足为O，连接ON，则∵四边形ABCD、ABEF都是矩形，点M、N分别在它们的对角线AC、BF上，且CM=BN=a（0＜a＜），∴ON⊥AB，，，∴OM=，ON=，∵OM⊥ON，∴MN=≥，∴a=时，MN的长最小，故选：B．作MO⊥AB垂足为O，连接ON，求出OM，ON，利用勾股定理计算MN，利用配方法，即可得出结论．本题考查平面与平面垂直的性质，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若点P是抛物线y2=4x上一点，A（5，3），F为抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为______ ．【答案】6【解析】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为5-（-1）=6故答案为6．设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．12.若=（2x，1，3），=（1，-2y，9），且∥，则6x+2y的值是______ ．【答案】-2【解析】解：因为∥，所以，解得x=，y=-，所以6x+2y=6×=-2；故答案为：-2．利用空间向量平行，对应坐标成比例求出x，y即可．本题考查了空间向量的平行的性质，属于基础题．13.已知命题p：实数m满足m2+6a2＜5am（a＞0），命题q：实数m满足方程表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为______ ．【答案】【解析】解：命题p：实数m满足m2+6a2＜5am（a＞0），则：m2-5am+6a2＜0解得：2a＜m＜3a命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以：3-m＞m-1＞0解得：1＜m＜2由于：p是q的充分不必要条件，所以：解得：故答案为：首先解出不等式的解，进一步求出焦点在y轴上的椭圆所满足的条件，进一步利用命题的四种条件求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：一元二次不等式的解法，椭圆标准方程的应用，命题中四种条件的应用，属于基础题型．14.已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是______ ．【答案】x+2y-8=0【解析】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k==-=-=-=-．由点斜式可得l的方程为x+2y-8=0．设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），由“点差法”可求出直线l的斜率k==-=-=-=-．再由由点斜式可得l的方程．本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．15.在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线y=x对称；③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；④曲线W上的点到原点距离的最小值为2-其中，所有正确结论的序号是______ ．【答案】②③④【解析】解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，∴|x|+|y|=，∴|xy|+x+y-1=0，∴xy＞0，（x+1）（y+1）=2或xy＜0，（y-1）（1-x）=0，函数的图象如图所示∴曲线W关于直线y=x对称；曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；由y=x与（x+1）（y+1）=2联立可得x=-1，∴曲线W上的点到原点距离的最小值为（-1）=2-，∴所有正确结论的序号是②③④．故答案为：②③④．根据动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想，求出轨迹方程，正确作出曲线的图象是关键．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知命题p：指数函数f（x）=（）x在R上单调递减，命题q：二次函数g（x）=x2-2ax+a+2在[0，2]有且只有一个零点；若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．【答案】解：由命题p：指数函数f（x）=（）x在R上单调递减，得0＜＜，∴1＜a＜3，由命题q：二次函数g（x）=x2-2ax+a+2在[0，2]有且只有一个零点，得g（x）=（x-a）2+a+2-a2，当a＜0时，满足：＜＞，解得＜＞，∴＜＜，∴a＜-2，当0≤a≤1时，满足：△=4a2-4（a+2）=0解得a=-1或a=2（舍去），当a＞2时，满足：＞＜，解得＞＜，∴a＞2，∴a＜-2或a＞2，∵若p或q为真，p且q为假，∴p，q必一真一假，得＜＜或＞或＜或＞，∴a∈（-∞，-2）∪（1，2]∪（3，+∞）．综上，得到a的取值范围为：（-∞，-2）∪（1，2]∪（3，+∞）．【解析】首先，判断当所给的两个命题为真命题时，相应的取值范围，然后，结合条件确定具体的范围即可．本题重点考查了不等式的解法、复合命题的真假判断等知识，属于中档题．17.已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（-3，0），（3，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于k（k≠0），试探究顶点C的轨迹．【答案】解：设点C的坐标为（x，y），由题意得k AC•k BC=k，所以（x≠±3）又k≠0整理可得，（x≠±3）；…（4分）当k＜-1时，点C的轨迹是焦点在y轴的椭圆，除两点（-3，0），（3，0）；…（6分）当k=-1时，点C的轨迹是圆x2+y2=9，并除去两点（-3，0），（3，0）；…（8分）当-1＜k＜0时，点C的轨迹是焦点在x轴的椭圆，除两点（-3，0），（3，0）；…（10分）当k＞0时，点C的轨迹是焦点在x轴的双曲线，除两点（-3，0），（3，0）．…（12分）【解析】设出顶点C的坐标，由AC，BC所在直线的斜率之积等于k（k≠0），列式整理得到顶点C的轨迹的方程，然后分k的不同取值范围判断轨迹为何种圆锥曲线．本题考查了与直线有关的动点轨迹方程，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．18.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和CD，侧棱SD⊥底面ABCD，且SD=AD=AB=2CD，点E为棱SD的中点．（1）求异面直线AE和SB所成角的余弦值；（2）求直线AE和平面SBC所成角的正弦值；（3）求面SAD和面SBC所成二面角的余弦值．【答案】解：（1）如图建立空间直角坐标系D-xyz，不妨设CD=1，则SD=AD=AB=2，则A（2，0，0），E（0，0，1），B（2，2，0），S（0，0，2），∴=（-2，0，1），=（-2，-2，2），∴cos＜，＞==，即异面直线AE和SB所成角的余弦值为；（2）由（1）可得，=（2，1，0），=（0，-1，2），不妨设=（x，y，z）为平面SBC的一个法向量，则有，即，不妨令y=2，可得=（-1，2，1），∴cos＜，＞==，∴直线AE和平面SBC所成角的正弦值为；（3）由题意可知，=（0，2，0）为平面SCD的一个法向量，而cos＜，＞==，所以面SAD和面SBC所成二面角的余弦值为．【解析】（1）建立空间直角坐标系D-xyz，利用数量积计算cos＜，＞即可；（2）所求值即为平面SBC的一个法向量与的夹角的余弦值，计算即可；（3）所求值即为平面SCD的一个法向量与平面SBC的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．本题考查空间角的求法，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题．19.已知在平面直角坐标系xoy中，点P（x，y），Q（x，-2），且以线段PQ为直径的圆经过原点O．（1）求动点P的轨迹C；（2）过点M（0，-2）的直线l与轨迹C交于两点A、B，点A关于y轴的对称点为A′，试问直线A′B是否恒过一定点，若是，并求此定点；若不是，请说明理由．【答案】解：（1）∵以线段PQ为直径的圆经过原点O，∴=0，∴（x，y）•（x，-2）=x2-2y=0，化为x2=2y，∴动点P的轨迹C为抛物线：x2=2y．（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx-2，A（x1，y1），B（x2，y2），则A′（-x1，y1）．联立，化为x2-2kx+4=0，△=4k2-16＞0，解得k＞2或k＜-2．∴x1+x2=2k，x1x2=4．直线直线A′B的方程为：（x+x1），又∵y1=kx1-2，y2=kx2-2，∴2ky-2k（kx1-2）=（kx2-kx1）x+kx1x2-，化为2y=（x2-x1）x+x1（2k-x1），∵x1（2k-x1）=4，∴2y=（x2-x1）x+4，令x=0，则y=2，∴直线A′B恒过一定点（0，2）．【解析】（1）由于以线段PQ为直径的圆经过原点O，可得=0，即可得出；（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx-2，A（x1，y1），B（x2，y2），则A′（-x1，y1）．与抛物线方程联立可得x2-2kx+4=0，由△＞0，可得k＞2或k＜-2．得到根与系数的关系，而直线直线A′B的方程为：（x+x1），把根与系数的关系代入可得2y=（x2-x1）x+4，令x=0，即可得出直线恒过定点．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、数量积运算性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB=2AC=2．∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°，设=，=，=．（1）试用向量，，表示，并求||；（2）在平行四边形BB1C1C内是否存在一点O，使得A1O⊥平面BB1C1C，若不存在，请说明理由；若存在，试确定O点的位置．【答案】解：（1）因为几何体是三棱柱，所以==，所以||2==1+1+4-2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°-2×1×2×cos60°=5，所以||=；（2）假设在平行四边形BB1C1C内存在一点O，使得A1O⊥平面BB1C1C；过A1作A1D⊥平面ABC，因为∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°，所以D在∠BAC的平分线AE上，A1D⊥BC，又BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1E1E，过A1作A1O⊥EE1，则A1O⊥平面BB1C1C；所以在平行四边形BB1C1C内存在一点O，使得A1O⊥平面BB1C1C；假设正确．【解析】（1）利用向量的三角形法则可解；（2）假设在平行四边形BB1C1C内存在一点O，使得A1O⊥平面BB1C1C，本题考查了向量的三角形法则以及线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理的运用，属于中档题．F为椭圆的上焦点，且，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若四边形MPNQ的四个顶点都在椭圆上，对角线PQ，MN互相垂直并且它们的交点恰为点F，求四边形MPNQ面积的最大值和最小值．【答案】解：（1）设椭圆方程为＞＞，由题意可知c=1，∵，∴（a+c）（a-c）=1，即a2-c2=1，∴a2=2，b2=a2-c2=1，故椭圆的方程为；（2）∵对角线PQ，MN互相垂直，∴直线PQ，MN中至少有一条斜率存在，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0，1），故PQ的方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程可得，（2+k2）x2+2kx-1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，高中数学试卷第11页，共12页从而|PQ|====，当k≠0时，MN的斜率为，同上可得，故四边形MPNQ的面积=，令，当且仅当k=±1时，u=2，此时，显然S是以u为自变量的增函数，∴＜；当k=0时，|MN|=，|PQ|=，此时，综上所述，四边形MPNQ面积的最大值为2，最小值为．【解析】（1）由题意设出椭圆方程为＞＞，并求得c=1，结合，可得a2-c2=1，则a2，b2可求，椭圆方程可求；（2）由对角线PQ，MN互相垂直，可得直线PQ，MN中至少有一条斜率存在，不妨设PQ的斜率为k，可得PQ的方程为y=kx+1，联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式求得|PQ|，同理求得|MN|，代入四边形的面积公式后换元，由函数的单调性求得四边形MPNQ面积的最大值和最小值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆位置关系的应用，训练了函数值域的求法，灵活变形及适当的换元是解答该题的关键，是中档题．高中数学试卷第12页，共12页。
山东省烟台市高一上学期数学期末考试试卷
山东省烟台市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知两直线l1：x+（1+m）y=2﹣m，l2：2mx+4y=﹣16，若l1∥l2则m的取值为（）A . m=1B . m=﹣2C . m=1或m=﹣2D . m=﹣1或m=22. （2分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x2-1，值域为{1,17}的“孪生函数”共有（）A . 10个B . 9个C . 8个D . 4个3. （2分） (2016高二上·杭州期末) 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A . 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB . 若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥nC . 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βD . 若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n4. （2分）设x,y满足约束条件，若目标函数z=ax+by(a>0, b>0)的最大值为8，点P为曲线上动点，则点P到点（a，b)的最小距离为（）A .B . 0C .D . 15. （2分）三个数的大小关系为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一上·阳东期中) 函数f（x）=x2﹣（）x的零点有（）个．A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2019高一上·哈尔滨期中) 函数的单调递增区间是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·长春期中) 已知，则的大小为（）A .B .C .D .9. （2分）一个四面体ABCD的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A .B .C .D .10. （2分）已知一个几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为（）A . 4B . 8C .D .11. （2分） (2018高一上·四川月考) 定义域为R的偶函数满足对任意的，有且当时，，若函数在上恰有六个零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2015高三上·枣庄期末) 函数的零点的个数为（）A . 3B . 4C . 5D . 6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·上海月考) 被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为________.14. （1分）已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)的图像与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．15. （1分） (2016高二下·长治期中) 过点P（3，2），且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________．16. （1分）(2019·长沙模拟) 在各项均为正数的等比数列中，，当取最小值时，则数列的前项和为________．三、解答题 (共6题；共52分)17. （10分） (2018高一上·长春期中) 已知集合．（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围．18. （2分）化简下列各式．（1） + + ﹣ =________；（2） =________．19. （10分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD是底面边长为的菱形，且，若，SB=SD（1）求该四棱锥体积的取值范围；（2）当点S在底面ABCD上的射影为三角形ABD的重心G时，求直线SA与平面SCD夹角的余弦值．20. （10分） (2020高二上·厦门月考) 已知直线恒过定点．（1）若直线经过点且与直线垂直，求的方程；（2）若直线经过点且坐标原点到的距离等于2，求的方程．21. （10分） (2020高二下·嘉兴期末) 如图，四棱锥中，底面，，，且，，E是的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22. （10分） (2019高一上·龙江期中) 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．（1）已知函数，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；（2）已知函数＝和函数，若对任意，总存在，使得 (x2)＝成立，求实数的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共52分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
山东省烟台市2015届高三上学期期末统考数学(文)试题扫描版含答案
B CDE AFP 高三文科数学答案一．选择题：CDACD ADBBD二．填空题：11. 3- 12. 3 13. 10 14. 2213y x -= 15. 4 三．解答题16．解：（1）1()2cos 22f x x x ωω=-=sin(26x πω-. ……4分 所以1=2ω， …………5分 所以()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. …………6分 （2）由1()2f A =，得1sin =62A π⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以5666A πππ-<-<，所以=66A ππ-，所以3A π=. ……9分 由222+2cos =b c bc A a -得，22+=3b c bc -，所以2()33b c bc +-=，又3b c +=，所以2bc =， ……………11分所以11sin =222ABC S bc A ∆=⨯………12分 17.解：（1）由2(r t S r S t =得，21n S n S =，而111=a S =，所以2n S n =. ………2分 当2n ≥时，221=(1)21n n n a S S n n n --=--=-，且当1n =时，此式也适合， ………4分所以数列{}n a 的通项公式为=21n a n -. ………6分 (2)2111(2+1)14(+1)n b n n n ==⋅-111=4+1n n -（， ………8分 所以1111111(4223+1n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11(1)4+14(1)n n n =-=+. 12分 18.（1）证明：因为90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，所以30FDC ∠=，又30FCD ∠=，所以60ACF ∠=，所以AF CF DF ==，所以F 为AD 的中点， ………3分又E 为PD 的中点，所以//EF PA ，而AP ⊂平面PAB ,所以//EF 平面PAB又60BAC ACF ∠=∠=，所以//CF AB ，可得//CF 平面PAB又EF CF F =，所以平面//CEF 平面PAB ，而CE ⊂平面CEF ，所以//CE 平面PAB . ………6分(2)因为//EF AP ，所以//EF 平面APC ，又90ABC ACD ∠=∠=，60BAC ∠=，22PA AB ==，所以22AC AB ==，2tan 30AC CD == ………9分 所以11=32PACE E PAC F PAC P ACF ACD V V V V S PA ---∆===⋅⋅11122322=⋅⋅⋅⋅=. ………12分 19．解：（1）依题意共有小球2n +个，标号为2的小球n 个，从袋子中随机抽取1 个小球，取到标号为2的小球的概率为122n n =+，得2n =；…3分 （2）①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果，而满足23a b ≤+≤ 的结果有8种，故82()123P A ==； ……6分 ②由①可知，2)4a b -≤（，故224x y +>，（,x y ）可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{}(,)|02,02,,x y x y x y ≤≤≤≤∈R ,由几何概型得概率为21424144P ππ-⋅==-. ………12分20.解：（1）2y =的焦点为) 0，， ………1分根据条件可知椭圆的焦点在x 轴上，且a =因为离心率3e =，所以33c ea ===，故b === ………4分 故所求方程为221553x y +=. ………6分 （2）将(1)y k x =+代入53:22=+y x E 得， 0536)13(2222=-+++k x k x k ， ………7分设11( ) A x y ，，22( ) B x y ，，( 0)M m ，， 则2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+， ………8分 1122( (1))( (1))MA MB x m k x x m k x ⋅=-+⋅-+，，22221211(1)()()k x x k m x x k m =++-+++ 22222222356(1)()()3131k k k k m k m k k -=++--++++ ……10分 222(61)5=31m k m k --++ 221614233(31)m m m k +=+--+， ………12分 要使上式与k 无关，则有6140m +=，解得73m =-， 所以点M 的坐标为7( 0)3-，. ………13分21.解：（1）由()1e x a f x x =-+，得()1ex a f x '=-. 又()y f x =在点(1(1))f ，处的切线平行于x 轴，得(1)0f '=，解得a =e . …4分(2) ()1ex a f x '=-. ①当0a ≤时，()0f x '>，()y f x =为()-∞+∞，上增函数，所以()y f x =无极值； ………6分②当0a >时，令()=0f x '得ln x a =.当()ln x a ∈-∞，时，()0f x '<， ()y f x =在()ln a -∞，上递减， 当()ln +x a ∈∞，时，()0f x '>， ()y f x =在()ln +a ∞，上递增， 故()f x 在ln x a =处取得极小值(ln )ln f a a =，无极大值，……8分 综上，当0a ≤时，()y f x =无极值；当0a >时()y f x =在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值. ……9分（3）当1a =时，1()1ex f x x =-+. 直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点等价于关于x 的方程111e xkx x -=-+在R 上没有实数解， 即关于x 的方程11e x k x -=（）*（）在R 上没有实数解. ………11分 ①当1k =时，方程*（）为1=0e x ，在R 上没有实数解；………10分 ②当1k ≠时，方程*（）为1=e 1x x k -. 令()e x g x x =，则有()1+)e x g x x '=（. 令()0g x '=，得1x =-， 当x 变化时，()g x '的变化情况如下表：当1x =-时，min 1()e g x =-，从而1()e g x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，， 所以当111e k ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭，时，方程*（）没有实数解， 解得()1e 1k ∈-，， ………13分综上，k 的取值范围为(]1e 1-，. ………14分。
【数学】2014-2015年山东省烟台市高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
2014-2015学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的序号涂在答题卡上）1．（5分）设集合S={y|y=（）x﹣1，x∈R}，T={y|y=log2（x+2）}，S∪T=（）A．S B．T C．R D．[﹣1，+∞）2．（5分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间为（）A．（0，1） B．（l，2）C．（2，3） D．（3，4）3．（5分）已知α为第二象限角，且，则tan（π+α）的值是（）A．B．C．D．4．（5分）下列四个函数中，在区间（﹣1，0）上为减函数的是（）A．y=x B．y=log2|x|C．y=﹣（）x D．y=cosx5．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．256．（5分）函数y=的图象如图，则（）A．k=，ω=，φ=B．k=，ω=，φ=C．k=﹣，ω=2，φ=D．k=﹣2，ω=2，φ=7．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）的最小值为（）A．﹣ B．﹣ C．0 D．8．（5分）若实数经，x，y满足，则z=y﹣x的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）若实数x，y满足|x﹣1|﹣lg=0，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0总成立，若记a=20.2•f（20.2），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（﹣3）•f（log3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b二、填空题（：本大题5小题，每小题5分，满分25分，把正确答案填在答题卡的相应位置。
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2014-2015学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上。
1．（5.00分）若直线经过A（0，4），B（，1）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．（5.00分）在四棱台ABCD﹣A 1B1C1D1中，上下底面均为正方形，则DD1与BB1所在直线是（）A．相交直线B．平行直线C．不垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线3．（5.00分）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为1，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣3=0 D．2x+y﹣7=04．（5.00分）若镭经过100年，质量比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y，则x，y的函数关系是（）A．y=（0.9576）B．y=（0.9576）100xC．y=（）x D．y=1﹣（0.0424）5．（5.00分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1C1与B1C所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（5.00分）函数f（x）=2x+2x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，3）7．（5.00分）在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表则x、y最合适的函数是（）A．y=2x B．y=x2﹣1 C．y=2x﹣2 D．y=log2x8．（5.00分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥B1CC．AC1⊥平面CB1D1D．直线CC1与平面CB1D1所成的角为45°9．（5.00分）A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD ⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A． B．48πC． D．10．（5.00分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，1） D．（0，1]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。
11．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为．12．（5.00分）已知直线l垂直于直线3x+4y﹣2=0，且与两个坐标轴构成的三角形周长为5个单位长度，直线l的方程为．13．（5.00分）如图，正方形OABC的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为．14．（5.00分）若方程ax2﹣x﹣1=0在区间（0，1）内恰有一个解，则实数a的取值范围是．15．（5.00分）设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，满分75分。
解答时要求写出必要的文字说明或演算步骤。
16．（12.00分）已知直线l1：ax﹣by﹣1=0，（a，b不同时为0），l2：（a+2）x+y+a=0，（1）若b=0且l1⊥l2，求实数a的值；（2）当b=2且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．17．（12.00分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．18．（12.00分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．19．（12.00分）提高穿山隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米、小时）是车流密度x（单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数．当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30≤x≤210时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤210时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．20．（13.00分）如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB=2，AC=BC=．等边三角形ADB以AB为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；（Ⅱ）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．21．（14.00分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA⊥CB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：A1C⊥AB1；（3）若点E在线段BB1上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是，求此时三棱锥C﹣A1DE的体积．2014-2015学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上。
1．（5.00分）若直线经过A（0，4），B（，1）两点，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：∵直线经过A（0，4），B（，1）两点，∴，设直线AB的倾斜角为α（0°≤α＜180°），由tan，得α=120°．故选：D．2．（5.00分）在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，上下底面均为正方形，则DD1与BB1所在直线是（）A．相交直线B．平行直线C．不垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线【解答】解：由棱台的定义知，四棱台可看作是由四棱锥截得的，则DD1与BB1所在直线是相交的．故选：A．3．（5.00分）设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为1，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣3=0 D．2x+y﹣7=0【解答】解：由题意可知直线PA和PB关于x=1对称，任取直线PB的一点M（x，y），则M关于直线x=1的对称点M′（2﹣x，y）在直线PA上，∴2﹣x﹣y+1=0，即x+y﹣3=0故选：C．4．（5.00分）若镭经过100年，质量比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y，则x，y的函数关系是（）A．y=（0.9576）B．y=（0.9576）100xC．y=（）x D．y=1﹣（0.0424）【解答】解：根据题意，得；设衰变率为a，则（1﹣a）100=1﹣4.24%=0.9576，∴1﹣a=，∴质量为1的镭经过x年后剩留量为y，x，y的函数关系是y=．故选：A．5．（5.00分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1C1与B1C所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图，∵直线A1C1∥AC，∴∠B1CA是异面直线A1C1与B1C所成的角，连结AB1，AC，∵△ACB1是等边三角形，∴∠B1CA=60°．∴异面直线A1C1与B1C所成的角是60°．故选：C．6．（5.00分）函数f（x）=2x+2x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：函数f（x）=2x+2x﹣3在定义域R上单调递增且连续，f（）=+1﹣3＜0，f（1）=2+2﹣3=1＞0；故f（）•f（1）＜0；故函数f（x）=2x+2x﹣3的零点所在的大致区间是（，1）．故选：B．7．（5.00分）在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如表则x、y最合适的函数是（）A．y=2x B．y=x2﹣1 C．y=2x﹣2 D．y=log2x【解答】解：根据x=0.50，y=﹣0.99，代入计算，可以排除A；根据x=2.01，y=0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y=log2x，可知满足题意故选：D．8．（5.00分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥B1CC．AC1⊥平面CB1D1D．直线CC1与平面CB1D1所成的角为45°【解答】解：由正方体的性质得BD∥B1D1，所以BD∥平面CB1D1，故①正确；由正方体的性质得B1C⊥AB、B1C⊥BC1，∴BC1⊥平面ABC1，∴AC1⊥B1C，故②正确；由②知AC1⊥B1C，同理可证AC1⊥B1D1，∴AC1⊥平面CB1D1 ，故③正确．连结A1C1交B1D1于O，则∠C1CO即为直线CC1与平面CB1D1所成的角，显然此角小于∠C1CB1=45°，故④不正确．故选：D．（注：本题通过建立空间直角坐标系亦可解决）9．（5.00分）A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD ⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A． B．48πC． D．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，所以AE==．AO==2．所求球的体积为：=．故选：A．10．（5.00分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，1） D．（0，1]【解答】解：∵函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个零点，∴y=f（x）与y=m图象有3个交点，f（﹣1）=1，f（0）=0，据图回答：0＜m＜1，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。
11．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为80 cm2．【解答】解：由三视图复原几何体可知，此几何体为正四棱锥，底面边长为8，侧面上的高为5，=4××8×5=80cm2．所以S侧故答案为：80cm2．12．（5.00分）已知直线l垂直于直线3x+4y﹣2=0，且与两个坐标轴构成的三角形周长为5个单位长度，直线l的方程为4x﹣3y±5=0．【解答】解：已知直线3x+4y﹣2=0，斜率k=﹣，设所求方程是4x﹣3y+b=0（斜率互为负倒数），与x轴交点（﹣，0），与y轴交点（0，），与两轴构成的三角形周围长为5，∴+||+||=5，解得：b=±5．∴直线l的方程为：4x﹣3y±5=0．故答案为：4x﹣3y±5=0．13．（5.00分）如图，正方形OABC的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为8．【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示；把该平面图形的直观图还原为原来的图形，如图所示；∴四边形A′B′C′D′是平行四边形，且A′D′=AD=2，B′D′=2BD=4∴平行四边形A′B′C′D′的面积是A′D′•B′D′=2×4=8．故答案为：．14．（5.00分）若方程ax2﹣x﹣1=0在区间（0，1）内恰有一个解，则实数a的取值范围是a＞2．【解答】解：若a=0，则方程ax2﹣x﹣1=0的解为﹣1，不成立；若a＜0，则方程ax2﹣x﹣1=0不可能有正根，故不成立；若a＞0，则△=1+4a＞0，且c=﹣1＜0；故方程有一正一负两个根，故方程ax2﹣x﹣1=0在区间（0，1）内恰有一个解可化为（a•02﹣0﹣1）（a•12﹣1﹣1）＜0；解得，a＞2；故答案为：a＞2．15．（5.00分）设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．其中正确命题的序号是②④．【解答】解：①错误，l可能在平面α内；②正确，l∥β，l⊂γ，β∩γ=n⇒l∥n⇒n⊥α，则α⊥β；③错误，直线可能与平面相交；④∵α⊥β，α∥γ，⇒γ⊥β，故④正确．故答案为②④；三、解答题：本大题共6小题，满分75分。