不等式的解集(概念定义课)
课题：8.2 不等式的解集
课型：概念定义课主编：王琳审核：编号：
课前反馈：
学习目标：1．理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集
2．培养学生的数感，渗透数形结合的思想.
学习过程：
一．情景构建、认知概念：
下列各数中，哪些是不等式x+2>5的解？哪些不是？
-3, -2, -1, 0, 1.5, 2.5, 3, 3.5, 5, 7
我们发现－３，－２，－１，０，1.5，2.5，３都是不等式x+2>5的解，由此看出，不等式x+2>5有许多个解
进而看出，大于３的每一个数都是不等式x+2>5的解，而不大于３的每一个数都不是不等式x+2>5的解，不等式x+2>5的解有无数个，它们组成一个集合，称为不等式x+2>5的解集。
在数轴上表示为
二．提供素材、观察实验：
探究一：若方程(m+2)x=2的解为x＝2，想一想，不等式(m-2)x＞-3的解集是多少?试探究-2，-1，0，1，2这五个数中哪些数是该不等式的解
探究二：在数轴上表示下列不等式的解集:
(1) x≥-3；(2) x＜0；(3) x＞2.
探究三：求出适合下列不等式的x的整数解，并在数轴上表示出来.
(1)2＜x＜7； (2)-4＜x≤-2； (3)1≤|x|≤3.
三．归纳抽象、得出概念：
1．一个组成这个不等式的解集.
2．含有,未知数的是的不等式,叫做一元一次不等式.
３ 在数轴上，解集x ≤a ，表示成
解集x 四．基础演练、理解概念： 1、写出不等式x -5＜0的一个整数解:__________. 2、如图所示，图中阴影部分表示x 的取值范围，则下列表示中正确的是( ) A.x ＞-3＜2 B.-3＜x ≤2 C.-3≤x ≤2 D.-3＜x ＜2 3． 左图表示该不等式的解集____________ . 4.不等式2X<6的非负整数解为( ) A.0,1,2 B.1,2 C.0,-1,-2 D.无数个 5.下列说法中,错误的是( ) A.不等式X<5的整数解有无数多个 B.不等式X>-5的负数解集有有限个 C.不等式-2X<8的解集是X<-4 D.-40是不等式2X<-8的一个解 6、直接想出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来 (1)x -3＞6的解集是______ ； (2)2x ＜12的解集是________； (3)x-5＞0的解集是_________； (4)2 1x ＞5的解集是_________. 5．知识梳理、巩固概念： 不等式的解集： 在数轴上表示不等式的解集，如解集x ≥a ，是表示数a 的点左边的部分，包括表示数a 的点在内，这一点画成实心圆点，而解集x >a ，则表示数a 的点左边的部分，但不包括表示数a 的点，这一点画诚空心圆圈。 当堂检测： １.写出不等式x-5＜0的一个整数解:__________. 2、23是方程32x =的唯一解，2 1x =是不等式2x<3的 （ ） A. 唯一解 B. 一个解 C. 不是解 D. 解集 3、不等式2x 4<≤-的所有整数解的和为（ ） A.－4 B .－6 C.－8 D. －9 4.下图表示了某个不等式的解集，该解集中所含的自然数解的个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 5.不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式可能是__________. 6.在下列各数-2，-2.5，0，1，34,35中，是不等式3 2x ＞1的解有__________，是3 2-x ＞1的解有_____________. 7.一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是__________. 8.当X _______时,代数式2X -5的值为0,当X _______时,代数式2X -5的值不大于0. 9. 在数轴上表示下列不等式的解集: (1)x ＞-2.5 (2)x ≤3.5 (3)-3.5≤x ＜4(4)1≤x ≤4； 10 .等式X ≤2012有多少解？有多少个正整数解 11.试求不等式X+3≤6的正整数解. 12.用计算器探索:按一定规律排列的一组数:201,191,,121,111,101 ，如果从中选出4若干个数，使它们的和大于0.5，那么至少要选__________个数. 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120分钟 满分：150分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40分） 1．函数)2(2 1 >-+ =x x x y 的最小值为( ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ．23 2．不等式0)31(>-x x 的解集是（ ） A ．)31,(-∞ B ． )31,0()0,( -∞ C ． ),31(+∞ D ．)3 1,0( 3．已知,R b a ∈、且0>ab ，则下列不等式不正确的是( ) A ．b a b a ->+ B ．b a b a +<+ C ．b a ab +≤2 D ． 2≥+b a a b 4．已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． 8 6 64a a a a ≤ Ｂ． 8664a a a a < Ｃ．8664a a a a > Ｄ．8664a a a a ≥ ５．已知01,0<<-> Ｂ．a ab ab >>2 Ｃ．2 ab a ab >> Ｄ．a ab ab >>2 ６.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则1 2 -y x 的取值范围是（ ） Ａ．??? ??-- 92,43 Ｂ．??? ??-0,43 Ｃ．??? ??-0,21 Ｄ．??? ??-0,43 ７．若 ,11 <++b a a b 则b a 与中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知,,d c b a >>则（ ） Ａ． d b c a ->- Ｂ． c b d a > Ｃ．a d b c ->- Ｄ．bd ac > 教育 教育是一种培养人的社会活动，是传承文化，传递生产经验和社会生活经验的基本途径。广义的教育是指以影响人的身心发展为直接目的的活动。狭义的教育是指学校教育，即指有社会要求，有计划，有组织，有系统，有目的的对受教育者的身心实施身心影响，期望他们发生某种变化的活动。 教育者是在社会教育活动中，有目的的影响他们生理，心里以及性格发展的人。 受教育者 在社会教育活动中，在生理，心里及性格发展方面有目的的接受影响，从事学习的人，统称为受教育者。 教育媒介 教育媒介指构建与教育者和受教育者之间起桥梁或沟通作用的一切事物的总和，包括教育内容教育材料等 教育学 教育学是研究教育现象和教育问题，揭示教育规律的一门学科。教育学的研究目的是阐明教育的基础知识和基本理论，揭示教育规律，为教育理论和实践工作者提供理论支持和指导。教育目的 教育目的是指培养人的质量规格和标准，规定了把受教育者培养成什么样的人，是对受教育者的总的要求。 培养目标 培养目标是各级各类学校对受教育者身心发展所提出的具体标准和要求，是教育目的在各级各类学校的具体化。 教育功能 教育功能是教育活动和系统对个体发展和社会发展产生的各种影响和作用。 教学目标 教学目标是教育者在教学教学的过程中，在完成某一阶段工作时，希望受教育者达到的要求或产生的变化。 人的全面发展 人的全面发展是指人的劳动能力，即人的体力智力的全面，和谐，充分的发展，以及人的道德的发展。 德育 德育是培养学生正确的人生观，世界观，价值观，使学生具有良好的道德品质和正确的政治观念，形成正确的思想办法的教育。 智育 智育是传授给学生系统的科学文化只是，技能，发展他们的智力和学习有关的非认知因素的教育。 体育 体育是授予学生健康的只是，基恩能够，发展他们的体力，增强他们的自我保健意识和体质，培养他们参加体育活动的需要和习惯，增强其意志力的教育。 美育 美育是培养学生的健康的审美观，发展他们鉴赏美，创造美的能力，培养他们高尚的情操与文明的素养的教育。 劳动技术教育 劳动技术教育史引导学生掌握劳动技术知识和技能，形成劳动观点和习惯的教育。 教育功能 《一元一次不等式组》说课稿 说课内容:《一元一次不等式组》 教材分析: 上节课学习了一元一次不等式，知道了一元一次不等式的有关概念，本节主要学习一元一次不等式组及其解集，这是学好利用一元一次不等式组解决实际问题的关键，同时要求学生会用数轴确定解集。并且本课也通过一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解不等式的概念来类推学习一元一次不等式组的一些概念，尝试对学生类比推理能力进行培养。在情感态度、价值观方面要培养学生独立思考的习惯，也要培养学生的合作交流意识与创新意识，为学生在今后生活和学习中更好运用数学作准备。 教学重点：1、理解有关不等式组的概念。 2、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组。 教学难点：在数轴上确定解集。 教学难点突破办法： 一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型构成，它们的解集、数轴表示，学生很难确定，用顺口溜的方式解决问题，即：大大取大；小小取小；比小大，比大小，中间找；比小小，比大大，解不了（无解）。 学生分析： 学生已经学习了一元一次不等式，并会解简单的一元一次不等式，知道了用数轴表示一元一次不等式的解集分三步进行：画数轴、定界点、走方向。本节我们要学习一元一次不等式组，因此由一元一次不等式猜想一元一次不等式组的概念学生易于接受，同时能更好的培养学生的类比推理能力。本节所选例题也真正的实现了低起点小台阶，循序渐进，能使学生更好的掌握知识。 教学方法： 1、采用复习法查缺补漏，引导发现法培养学生类比推理能力，尝试指导法逐步培养学生独立思考能力及语言表达能力。充分发挥学生的主体作用，使学生在轻松愉快的气氛中掌握知识。 2、让学生充分发表自己的见解，给学生一定的时间和空间自主探究每一个问题，而不是急于告诉学生结论。 3、尊重学生的个体差异，注意分层教学，满足学生多样化的学习需要。 学习方法： 1、学生要深刻思考，把实际问题转化为数学模型，养成认真思考的好习惯。 2、学生做题要紧扣不等式基本性质，特别是不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，要认真检查不等号的方向是否正确。 3、合作类推法：学习过程中学生共同讨论，并用类比推理的方法学习。 教学步骤设计如下： （一）创设问题情境，引入新课： 让学生从字面上来推断一下一元一次不等式和一元一次不等式组之间是否存在一定的关系。并由验证猜想是否正确引人课题。 学生活动：猜想和推断一元一次不等式和一元一次不等式组的关系。 （二）讲授新课 1、想一想： 出示一个实际问题，请大家先理解题意，搞清已知条件和未知元素，从而确定用那个知识点来解决问题，即把实际问转换为数学模型，从而求解。通过学生的分析和解答，让学生根据一元一次不等式的有关概念来类推一元一次不等式组的有关概念。 学生活动：找出已知条件，列出所有的不等关系。互相讨论，类推概念。 不等关系与不等式 【学习目标】 1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质． 【学法指导】 1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形． 一、知识温故 a－b＞0?； a－b＝0?； a－b＜0?. 3．常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性)； (2)a>b，b>c?a c(传递性)； (3)a>b?a＋c b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0?ac bc；a>b，c<0?ac bc； (5)a>b，c>d?a＋c b＋d； (6)a>b>0，c>d>0?ac bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥2?a n b n； (8)a>b>0，n∈N，n≥2?n b. 二、经典范例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左 边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质： 如果a－b是正数，那么； 如果a－b是负数，那么； 如果a－b等于零，那么. 以上结论反过来也成立，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论． 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质． 请同学们借助前面的性质证明性质6： 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. 什么是概念教学 《标准》认为概念教学的含义是：“概念是对事物的抽象或概括。生物学概念是生物学课程内容的基本组成。生物学概念处于学科中心位置，包括了对生命基本现象、规律、理论等的理解和解释，对学生学习生物学及相关科学具有重要的支撑作用。”传统教育往往强调对事实信息的记忆和背诵，要达到深层理解的程度仅凭大量的事实记忆是远远不够的，必然要涉及对抽象概念原理的精心组织。 课堂教学中，教师可以使用术语来传递生物学的概念，如光合作用，也可以用描述概念内涵的方式来传递生物学概念，如绿色植物能利用太阳能把二氧化碳和水合成的能量贮存在了有机物中，同时释放氧气。但这并不等于概念就是术语，用描述概念内涵的方式来传递概念可以更好地针对学生的年龄特点和认识能力来确定概念教学的深度和广度，以切实达到预期的教学效果，并为后续的学习打下基础，实现重要概念的螺旋式发展。 教育界一般把概念定义为“符号所代表的具有共同关键特征的一类事物或性质”。按照概念的抽象水平，可以把概念分为具体概念和定义性概念。具体概念是指只经过一级抽象，即这类事物的共同本质特征是直接从具体实例中抽象出来的，如细胞、有机物等；定义性概念需要经过二级抽象，因为在给某个概念下定义时，其定义中包含其他概念。例如 真核细胞的概念为“真核细胞有成形的细胞核（有核膜结构）”，这个概念中包含“真核”“细胞”“核膜”等。真核细胞的定义是建立在“细胞”“真核细胞”“原核细胞”等概念基础上的，这样的概念经过了二级抽象。 在日常教学工作中不应该规定老师的讲授时间。因为在日常教学中，教师为了学生能够更好地理解知识和较多的学习知识，教师可能会多举相关的例子、相关的知识，如果规定教师的讲授时间的话，这样可能会使教师在讲授知识的过程中显得比较突兀，比较匆忙，不利于学生对知识的理解和掌握。 不等式与不等式组知识概念 1.用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成 6.了一个一元一次不等式组。 7.定理与性质 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。 第十章数据的收集、整理与描述 一．知识框架 1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3.总体：要考察的全体对象称为总体。 4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。 5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。 6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。 7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 8.频率：频数与数据总数的比为频率。 9.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。 本章要求通过实际参与收集、整理、描述和分析数据的活动，经历统计的一般过程，感受统计在生活和生产中的作用，增强学习统计的兴趣，初步建立统计的观念，培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。 一元一次不等式概念分析 1、不等式的三条性质 不等式的性质是对不等式进行变形的重要依据，是学好不等式的基础和关键。 （1）不等式两边加上（或减去）同一个数（或式），不等号方向不变，如果a>b ，那么c b c a c b c a ->-+>+，。 （2）不等式两边乘（或除）以同一个正数，不等号的方向不变。如果a>b ，c>0，那么bc ac >或c b c a >。 （3）不等式两边乘（或除）以同一个负数，不等号的方向改变。如果0c b a <>，，那么bc ac <或c b c a <。 性质（2）和（3）可简记为“负变正不变”。 2、解一元一次不等式 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同。应用上面的性质（2）和性质（3）解题时，要注意不等号的方向。 3、不等式组解集的确定方法（设a>b x a x 的解集为b x >，即“大大取大”，如图2。 图2 （3）? ??<>b x a x 的解集为b x a <<，即“小大大小中间找”，如图3。 图3 （4）???>bc B 、ac>bc C 、ac>ab D 、ab>ac 图5 分析：从a 、b 、c 在数轴上的位置可知，a>0，b<0，c<0。由a>c ，不等式两边都乘以b ，不等号改变方向，ab 不等关系与不等式（第一课时） 一、教学任务分析 1、感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境，让学生学习如何利用不等式（组）研究及表示不等关系，进一步理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学基本流程 四、教学情景设计 1、引入：章头图及古诗《题西林壁》引入，介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用，也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图：使学生体会不等关系的普遍存在，了解学习不等式的意义。 2、创设情境，让学生感受生活中的不等关系。 师：多媒体出示情景：（1）交通标志(限速、限高、限宽)；（2）商家打折海报（一折起、低至几折）；（3）产品含量指标。问：表示什么含义？怎么表示其中的不等关系？ 生：分析各种不等关系，口答并尝试用不等式（组）表示。 师：引导学生准确表述，给出不等式定义，板书学生口答的各问题中不等式（组）。 设计意图：进一步让学生感受生活中的不等关系，知道用不等式（组）表示这种不等关系。 3、知识探究一：具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师：多媒体出示问题1（销售收入问题）、2（实际安排生产问题）。 学生：独立思考后，与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示，小组代表板书结果，并说明式子的含义。 师：点评学生结果，找有不同结果的小组讲解不同方法或补充，引导学生分析比较。 设计意图：问题方式给出，强化学生的问题意识，使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究，使学生交流对于问题的认识。展示不同结果，使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决，是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望，体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二：比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生：结合学案上知识探究二中所填结果，与同组学生交流结论。 师：提问引导学生表述：要比较两数或代数式大小，可以让两数或两式相减，比较结果和0的大小。若结果大于0，则前者大于后者；若……。 设计意图：让学生分析作差法具体做法，明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习：作差法比较代数式的大小。 生：可独立完成，也可与同组同学交流，在规定时间完成。 师：巡视，指导学生疑难处，找完成好的两生板演结果，并让板演学生讲解。点评学生思路，进一步总结作差法中变形结果的形式： 浅谈数学概念教学的重要性 摘要:概念教学是中学数学教学中至关重要的一个环节，是基础知识和基本技能教学的核心。学好概念是学好数学最重要的一环。一些学生之所以觉得学习数学很困难，概念不清往往是最直接的原因，这样就不能熟练地对数学概念进行理解、应用和转化等。因此，抓好概念教学对提高普通中学数学教学质量具有根本性的意义。但是，在现今的数学概念教学过程中，许多教师重解题、轻概念，忽视了学生对数学概念的理解，造成学生解题和概念脱节。那么如何搞好新课程下数学概念的教学呢 关键词:概念;引入;形成;理解;归纳;系统化 一、概念的引入 借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引人概念。学习一个新概念，首先应让学生明确学习它的意义、作用。因此，教师应设置合理的教学情境，使学生体会学习新概念的必要性。学生往往对故事感兴趣，这恰恰是增强数学教学活力的切人点，教学中，教师可以结合概念适当引人一些数学小故事，激发学生的学习兴趣，如:等差数列中高斯的故事，等比数列中印度的那位聪明的宰相。另外我们还可以通过寻找新旧概念之间的联系来掌握新的概念。数学中有许多概念都有着密切的联系，如:平行线段与平行向量，函数与方程，映射与函数 等等，在教学中应善于寻找，分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。 二、概念的形成 在数学概念的形成阶段，教师可以通过大量典型、丰富的实例，让学生进行分析、比较、综合等活动，揭示概念的本质。例如，在引人奇函数这个概念时，教师可以让学生观察熟悉的函数f(x}=上,g(x)二的图象，学生很容易看出图象关于原点对称。教师进x一步提出问题:你能从数的角度说明它为什么关于Y对称吗学生根据初中对对称的认识，发现自变量*的值对称着取，观察它们的函数值。于是，学生计算了厂1)抓1}抓2)抓-2)抓3)抓-3)，学生猜想:*取互为相反数的两个值，他们的函数值互为相反数。教师追问:是刘所有的定义域内的*都成立吗于是，学生if}f(})与厂劝，发现互为相反数。然后教师给出这类函数的名字为奇函数。 华罗庚教授说得好:“学习数学最好到数学家的纸篓里去找材料，不要只看课本上的结论。”教师要多给学生提出一些开放性的问题，多为学生开展一些探索性的活动，帮助学生树立学习信心，相信“不同的学生在数学上得到不同的发展”，使学生的数学学习活动真正成为一个主动的和富有个性的过程。 三、概念的理解 优化小学数学概念教学的策略研究开题报告 1、课题研究的背景 数学概念是学生数学知识学习的基础，是判断和推理的起点，同时也是培养学生数学能力、发展学生思维的基础。所以，重视概念教学，优化概念教学，是我们每一位数学教师都必须认真深入思考的问题。但现在的数学课堂教学中不可避免地存在这样的一些问题 1、教师对概念教学重要性的认识不足。处理时往往是蜻蜓点水，一带而过。对概念的认识仅仅停留于概念的外显（即定义的描述），而忽略了概念的内涵（即本质属性与特征），较多的是死记硬背、通过习题的反复操练来巩固概念，学生生厌，而且也忽略了学生思维能力的发展。 2、教师对教材的研读和把握不到位。没有真正把握概念的内涵和外延，致使一些概念的外在特征给学生带来了认知上的偏差。 3、孤立地学习数学概念。教师往往执行于教材编排，把一些概念分课时逐一进行教学，殊不知这样的教学方式，会导致学生对一些概念的掌握零零碎碎，缺乏一定的体系，从而使得学生在理解和运用概念上增加障碍，不利于学生的学习。 4、概念与应用脱节。学习概念后需要通过应用环节来巩固概念的理解和内化，但发现有时练习的跟进与针对性不强；还发现学生在应用中，往往会忽略概念的本质属性与特征去推理辨析，把概念给架空了。 5、重视和优化概念教学是数学教师走向智慧型教学的硬功夫和必备能力。引领学生经历从现象到本质的探究过程，促使学生养成研究问题的良好意识和能力。教师也在大量的实践中，深刻洞悉、把握规律，勤于反思、创造性驾驭，不断提升教学智慧。> 因此，优化小学数学概念的教学，对激发学生兴趣，提高课堂效益，培养学生探索创新的能力有不容低估的意义。同时也是提高教师自身素养，提高教学能力，向智慧型教师发展的一个途径，是素质教育背景下有益的探索和创新。 2、研究述评： 在当前的小学数学概念教学中，教师还是比较重视数学概念的引入，而相对比较忽视概念建立和概念巩固的作用和实效，在后两方面也缺乏相应的理性框架和实践的积累。往往重书本，轻实践；重理论轻探索；重计算轻过程等。目前一线教师还缺失对概念的内涵与外延的理解深入，小学数学概念教学还没有做到具体细化到每一个概念的教学，教学实例比较缺乏。这也将是我们希望通过研究以后有所收获的方面。 1、关于概念建立的教学策略。小学生建立数学概念往往有两种基本形式：一是概念形成，二概念的同化。由于小学生的思维特点处于由形象思维向抽象逻辑思维过度的阶段，所以，小学生学习数学概念大多以“概念形成”的形式为主。而数学概念的形成，一般要经过直观感知、建立表象、解释本质属性三个过程。希望通过一些课堂实例的研究，帮助学生建立正确清晰的数学概念。 2、概念巩固的教学策略。随着学习的不断深入，学生掌握的概念不断增加，有些概念的文字表述、内涵会比较相近，学生容易混淆；由于教师没有主动地去创造一些条件，让学生在解决一些实际问题中灵活运用，有的学生常常会在变式题或综合性比较强的问题面前，表现得束手无策；由于概念之间有着必不可少的联系，当学生掌握了一定数量的概念后，教师应该向学生进一步提示概念之间的联系，以帮助学生有条理地、系统地掌握这些概念。这些都迫切需要我们教师这一 不等式的有关概念 1、不等式定义:用符号“<”、“≤”、“>”、“≥”、“≠”连接而成的数学式子,叫做不等 式。这5个用来连接的符号统称不等号。只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。 2、列不等式:步骤如下 (1)根据所给条件中的关系确定不等式两边的代数式; (2)选择与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。 3、用数轴表示不等式 (1)a a 6 Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是（ ） Ａ． -? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ? ?3,- ? Ｂ． - ,0 Ｃ． - ,0 Ｄ． - ,0 ? ??Ａ． a - c > b - d Ｂ． a 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120 分钟 满分：150 分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40 分） 1．函数 y = x + 1 ( x > 2) 的最小值为( x - 2 ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ． 3 2 2．不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是（ ） 1 1 1 1 A ． (-∞, ) B ． (-∞,0) (0, ) C ． ( ,+∞) D ． (0, ) 3 3 3 3 3．已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ，则下列不等式不正确的是( ) A ． a + b > a - b B ． a + b < a + b C ． 2 ab ≤ a + b D ． b a + ≥ 2 a b 4．已知无穷数列 { n }是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． a 4 ≤ a 6 a a ５．已知 a < 0,-1 < b < 0 ，则 a, ab, ab 2 的大小关系是（ ） Ａ． a > ab > ab 2 Ｂ． ab 2 > ab > a Ｃ． ab > a > ab 2 Ｄ． ab > ab 2 > a x 2 y - 1 ? ? 4 9 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ? ７．若 ab + 1 a + b < 1, 则 a 与 b 中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知 a > b , c > d , 则（ ） b > Ｃ． c - b > d - a Ｄ． ac > bd d c 教育研究一九九九年第一期元学习概念及其教学论意义 ●张楚廷 学者们强调,不能把教学论变成“教论”,1教学论必须研究学习。学习理论可以是单独的理论,但教学论与学习理论必然要密切相联,而不仅仅是心理学所关切的对象。 我们先从什么是学习谈起,但着重讨论元学习问题。 一、什么是学习 从信息学的角度看,学习是知识或经验即信息的获取;从行为学的角度看,学习是有机体行为的改变(区别于有机体生理成熟引起的行为改变);o从社会学的角度看,学习是社会化过程。 由于对知识获取有不同的观点,因而又有不同的学习理论,例如有试误学习理论、联想学习理论、顿悟学习理论,等等。 行为主义关于学习的概念似嫌狭窄,因而把某些心理活动也视为行为;关于信息获取的学习概念忽视了非认知心理的参与与改变。我们这样来理解学习:把学习作为一种活动,这一活动是一个特殊的心理过程,其结果则是个体知识及其结构的变化以及心理及其结构的变化。 “学会学习”的口号中包含两个学习概念,作为宾语的后一个“学习”即上面所述的一般学习概念。“学会”的前提当然首先是学习,“学会”一词中的“学”亦即学习的意思,首先有“学习学习”才可能“学会学习”,前一个“学习”即为元学习。对于“学会学习”,当我们不只是停留在口号上而要深入思考它的话,那就是要研究元学习问题。 对元学习概念的理解涉及到一般学习概念。如果仅从认知的角度看待学习,那么元学习就几近于元认知了,即“对认知的认知”,?对记忆的认知,对理解的认知,而且元认知偏于认知的评价和监控。因而元认知概念是不够广泛的,涵盖面较小。 元学习也不只是“个体获得学习机制的学习”,?不只是关于学习规律的学习。元学习既包括对个体自身学习的评价与监控,又包括对学习策略的制订与创设,还包括对学习心理的调整与优化。显然,对一般学习概念的理解影响到我们对元学习概念的理解。我们这里所作的对元学习概念的理解与我们前面对一般学习概念的理解自然相关。从下面的进一步分析中我们可以看到“学会学习”这一口号的丰富内容,元学习概念能告诉我们这些。 二、认知结构与元学习 认知结构通常被解释为知识结构,是由知识和经验组成的。“在学习中,一个新的概念,新信息或经验,不是被现有的认知结构所同化,就是改进现有的认知结构,或是接纳新的经验产生新的结构。”?“导致结构形成的主要功能 小学数学概念教学的过程与方法 根据数学概念学习的心理过程及特征，数学概念的教学一般也分为三个阶段：①引入概念，使学生感知概念，形成表象；②通过分析、抽象和概括，使学生理解和明确概念；③通过例题、习题使学生巩固和应用概念。 （一）数学概念的引入 数学概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重要的环节。概念引入得当，就可以紧紧地围绕课题，充分地激发起学生的兴趣和学习动机，为学生顺利地掌握概念起到奠基作用。 引出新概念的过程，是揭示概念的发生和形成过程，而各个数学概念的发生形成过程又不尽相同，有的是现实模型的直接反映；有的是在已有概念的基础上经过一次或多次抽象后得到的；有的是从数学理论发展的需要中产生的；有的是为解决实际问题的需要而产生的；有的是将思维对象理想化，经过推理而得；有的则是从理论上的存在性或从数学对象的结构中构造产生的。因此，教学中必须根据各种概念的产生背景，结合学生的具体情况，适当地选取不同的方式去引入概念。一般来说，数学概念的引入可以采用如下几种方法。 1、以感性材料为基础引入新概念。 用学生在日常生活中所接触到的事物或教材中的实际问题以及模型、图形、图表等作为感性材料，引导学生通过观察、分析、比较、归纳和概括去获取概念。 例如，要学习“平行线”的概念，可以让学生辨认一些熟悉的实例，像铁轨、门框的上下两条边、黑板的上下边缘等，然后分化出各例的属性，从中找出共同的本质属性。铁轨有属性：是铁制的、可以看成是两条直线、在同一个平面内、 两条边可以无限延长、永不相交等。同样可分析出门框和黑板上下边的属性。通过比较可以发现，它们的共同属性是：可以抽象地看成两条直线；两条直线在同一平面内；彼此间距离处处相等；两条直线没有公共点等，最后抽象出本质属性，得到平行线的定义。 以感性材料为基础引入新概念，是用概念形成的方式去进行教学的，因此教学中应选择那些能充分显示被引入概念的特征性质的事例，正确引导学生去进行观察和分析，这样才能使学生从事例中归纳和概括出共同的本质属性，形成概念。 2、以新、旧概念之间的关系引入新概念。 如果新、旧概念之间存在某种关系，如相容关系、不相容关系等，那么新概念的引入就可以充分地利用这种关系去进行。 例如，学习“乘法意义”时，可以从“加法意义”来引入。又如，学习“整除”概念时，可以从“除法”中的“除尽”来引入。又如，学习“质因数”可以从“因数”和“质数”这两个概念引入。再如，在学习质数、合数概念时，可用约数概念引入：“请同学们写出数1，2，6，7，8，12，11，15的所有约数。它们各有几个约数？你能给出一个分类标准，把这些数进行分类吗？你能找出多种分类方法吗？你找出的所有分类方法中，哪一种分类方法是最新的分类方法？” 3、以“问题”的形式引入新概念。 以“问题”的形式引入新概念，这也是概念教学中常用的方法。一般来说，用“问题”引入概念的途径有两条：①从现实生活中的问题引入数学概念；②从数学问题或理论本身的发展需要引入概念。 课题：8.2 不等式的解集 课型：概念定义课主编：王琳审核：编号： 课前反馈： 学习目标：1．理解不等式的解集，能正确表示不等式的解集 2．培养学生的数感，渗透数形结合的思想. 学习过程： 一．情景构建、认知概念： 下列各数中，哪些是不等式x+2>5的解？哪些不是？ -3, -2, -1, 0, 1.5, 2.5, 3, 3.5, 5, 7 我们发现－３，－２，－１，０，1.5，2.5，３都是不等式x+2>5的解，由此看出，不等式x+2>5有许多个解 进而看出，大于３的每一个数都是不等式x+2>5的解，而不大于３的每一个数都不是不等式x+2>5的解，不等式x+2>5的解有无数个，它们组成一个集合，称为不等式x+2>5的解集。 在数轴上表示为 二．提供素材、观察实验： 探究一：若方程(m+2)x=2的解为x＝2，想一想，不等式(m-2)x＞-3的解集是多少?试探究-2，-1，0，1，2这五个数中哪些数是该不等式的解 探究二：在数轴上表示下列不等式的解集: (1) x≥-3；(2) x＜0；(3) x＞2. 探究三：求出适合下列不等式的x的整数解，并在数轴上表示出来. (1)2＜x＜7； (2)-4＜x≤-2； (3)1≤|x|≤3. 三．归纳抽象、得出概念： 1．一个组成这个不等式的解集. 2．含有,未知数的是的不等式,叫做一元一次不等式. ３ 在数轴上，解集x ≤a ，表示成 解集x -5的负数解集有有限个 C.不等式-2X<8的解集是X<-4 D.-40是不等式2X<-8的一个解 6、直接想出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来 (1)x -3＞6的解集是______ ； (2)2x ＜12的解集是________； (3)x-5＞0的解集是_________； (4)2 1x ＞5的解集是_________. 5．知识梳理、巩固概念： 不等式的解集： 一元一次不等式教学设计（第1课时） 安徽省淮南市平圩中学李芬 教学目标： （1）了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集 （2）在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法的过程中，加深对类比和化归思想的体会． 教学重点： 一元一次不等式的解法． 解一元一次不等式与解一元一次方程在本质上是相同的，即依据不等式的性质，逐步将不等式化为x＞a或x＜a的形式，从而确定未知数的取值范围，这一化繁为简的过程，充分体现了化归的思想。 教学难点： 解一元一次不等式步骤的确定 通过前面的学习，学生已掌握一元一次方程概念及解法，对解一元一次方程的化归思想有所体会但还不够深刻．因此，运用化归思想把形式复杂的不等式转化为x＞a或x＜a的形式，对学生有一定的难度．所以，教师需引导学生类比解一元一次方程的步骤，分析形式复杂的一元一次不等式的结构特征，并与化简目标进行比较，逐步将不等式变形为最简形式． 教学过程设计 （一）引课 课件展示鲁班发明锯子的过程，提出类比思想 温故知新 给“一元一次方程”一个完美的定义 1.什么叫一元一次方程？ 答：只含一个未知数、并且未知数的指数是1的方程. 2.一元一次方程是一个等式，请问一元一次方程的(等号)两边都是怎样的式子？答：一元一次方程的(等号)两边都是整式、只含一个未知数，并且未知数的指数是1. 3.一元一次方程的(完美) 定义： 【一元一次方程】“只含一个未知数、并且未知数的指数是1”的整式方程. 知识讲解 观察下列不等式： （1）2x-2.5≥15；（2）x≤8.75； （3）x<4；（4）5+3x>240. 这些不等式有哪些共同特点？ 共同特点：这些不等式的两边都是整式，只含一个未知数、并且未知数的(最高)指数是1 . 学生回答，教师可以引导学生从不等式中未知数的个数和次数两个方面去观察不等式的特点，并与一元一次方程的定义类比． 师生共同归纳获得：含有一个未知数，未知数的次数是１的不等式，叫做一元一 第一课时：不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？ 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)； 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式 (3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac 如何进行概念教学 概念是客观事物的特有属性（或叫本质属性）在人们头脑中的反映。无论什么事物，只要我们认识了它的本质属性，就会在自己头脑中产生相应的概念。数学概念就是现实世界中空间形式和数量关系及其特有的属性（即本质属性）在人们头脑中的反映。例如长方形是四条线段围成的图形，对边平行而且相等，四个角都是直角，这是空间形式在头脑中的反映。又比如12只白兔、7只黑兔。以黑兔为标准，称白兔比黑兔多5只，以白兔为标准，称黑兔比白兔少5只。两种兔相差5只，用12-7=5（只）表示，这是数量关系在头脑中的反映。数学概念可以说是构成数学知识的细胞，是进行逻辑思维的第一要素，人们借助于概念才能进行思维，离开了概念就不能进行思维，也不能进行判断。例如：长方体棱长总和是72分米，长、宽、高之比是3∶1∶2，长方体体积是多少要求长方体体积就得知道长、宽、高各是多少，求长、宽、高各是多少，必须知道连比和按比例分配的概念含义。解这道题的关键是对长方体这个概念清楚，在头脑中能出现棱长总和的具体图象 72分米，按比例分配求出长、宽、高各是多少，需要先求出一组长、宽、高的和，那就是用： 72÷4=18（分米），3+1+2=6， 学生对长方体概念含混不清，往往错成72÷3=24（分米）。长方体是3组平行的棱、但不一样长。24分米不是长、宽、高的和。每一种学科都有它所运用的概念。数学这门学科也有它所运用的概念。归纳起来有以下几类：数的概念；四则运算的概念；数的整除性概念；量的计算概念；几何形体的概念、比和比例的概念，简单应用题解答方法的概念；简易方程的概念等。小学数学教材主要是以上述这些概念为骨架，组成了一个小学阶段的数学结构。 一、为什么要讲清楚数学概念 小学数学概念教学三个环节 根据数学概念学习的心理过程及特征，数学概念的教学一般也分为三个阶段：1、引入概念，使学生感知概念，形成表象；2、通过分析、抽象和概括，使学生理解和明确概念；3、通过例题、习题使学生巩固和应用概念。 一、数学概念的引入 数学概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重要的环节。教学中必须根据各种概念的产生背景，结合学生的具体情况，适当地选取不同的方式去引入概念。 1、以感性材料为基础引入新概念。 用学生在日常生活中所接触到的事物或教材中的实际问题以及模型、图形、图表等作为感性材料，引导学生通过观察、分析、比较、归纳和概括去获取概念。 2、以新、旧概念之间的关系引入新概念。 如果新、旧概念之间存在某种关系，如相容关系、不相容关系等，那么新概念的引入就可以充分地利用这种关系去进行。 3、以“问题”的形式引入新概念。 以“问题”的形式引入新概念，这也是概念教学中常用的方法。一般来说，用“问题”引入概念的途径有两条：①从现实生活中的问题引入数学概念；②从数学问题或理论本身的发展需要引入概念。 4、从概念的发生过程引入新概念。 数学中有些概念是用发生式定义的，在进行这类概念的教学时，可以采用演示活动的直观教具或演示画图说明的方法去揭示事物的发生过程。 二、数学概念的形成 引入概念，仅是概念教学的第一步，要使学生获得概念，还必须引导学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性。 1、对比与类比。对比概念，可以找出概念间的差异，类比概念，可以发现概念间的相同或相似之处。 2、恰当运用反例。反例的构造，就是让学生找出不属于概念外延集的对象，必须注意，所选的反例应当恰当，防止过难、过偏，造成学生的注意力分散，而达不到突出概念本质属性的目的。 3、合理运用变式。教学中应注意运用变式，从不同角度、不同方面去反映和刻画概念的本质属性。一般来说，变式包括图形变式、式子变式和字母变式等。 三、数学概念的巩固与应用 1、注意及时复习 复习的方式可以是对个别概念进行复述，也可以通过解决问题去复习概念，而更多地则是在概念体系中去复习概念。在章节末复习、期末复习和毕业总复习时，要重视对所学概念的整理和不等关系与基本不等式同步练习题
教育学概念定义
一元一次不等式组的概念及解法
不等关系与不等式经典教案
什么是概念教学
不等式与不等式组知识概念
一元一次不等式概念分析(1)
不等关系与不等式-教学设计
浅谈数学概念教学的重要性
小学数学概念教学的策略研究
不等式的有关概念
不等关系与基本不等式同步练习题
元学习概念及其教学论意义_张楚廷
小学数学概念教学的过程与方法
不等式的解集(概念定义课)
(完整版)一元一次不等式的概念和解法
5第五讲 不等关系与基本不等式(教师版) - 副本 - 副本
概念教学流程
小学数学概念教学三个环节