12不等式的概念老师
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行
例6、设0 <a,b,c< 1，求证：(1a)b, (1b)c, (1c)a,不可能同时大于
C.x+y≤（ +1）2D.x+y≥（ +1）
4．若 且 ，则 的最小值为（）
A. B.3C.2D.
5.函数 的值域为
6.求下列函数的值域
（1） （2）
7.已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。
同时还应化简中y2前面的系数为，x＝x＝x·
下面将x，分别看成两个因式：
x·≤＝＝即x＝·x≤
（5）已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的取值范围为.
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单
＋≤＝＝2
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
点评：①本题考查不等式 的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式 出发求得 的范围，关键是寻找到 之间的关系，由此想到不等式 ，这样将已知条件转换为含 的不等式，进而解得 的范围.
8.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
9.若 求证：
三：不等式证明
法一：a＝，ab＝·b＝
由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8
∴ab≤18∴y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2∴30－ab≥2
令u＝则u2＋2u－30≤0，－5≤u≤3
∴≤3，ab≤18，∴y≥
例8、求证：
证明：由 （ 是大于2的自然数）
得
例9、若a,b,c,dR+，求证：
证：记m=
∵a,b,c,dR+
∴
∴1 < m < 2即原式成立。
练习：
选择题：
1．若 是任意的实数,且 ,则( )
(A) (B) (C) (D)
2．不等式 的解集是( )
(A) (B) (C) (D)
3．不等式 的解集为( )
所以c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)>=(a+b+c)^2/[2/3*(a+b+c)^2]=3/2
【经典练习】
1.若实数a、b满足 （）
A．8B．4C． D．
2.函数 的最小值是（）
A.24B.13C.25D.26
3.设x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，则（）
A.x+y≤2 +2B.x+y≥2 +2
(A) (B)
(C) (D)
4．若 ,则 的最小值为( )
(A) 2(B) 4(C) 6(D) 8
5．设 , ，则 的大小关系是（）
A． B．
C． D．
6．若 ，且 恒成立，则 的最小值是（）
A． B． C． D．
选择证明:
1．若A= ，B= ，则A，B的大小关系为__________.
2．若 ，则 的最小值是_____________。
（5） ≥
例7.不等式的证明
（1）已知 ，求证：
（2）已知 ，求证：
左边=(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)-3
=0.5*(a+b+b+c+c+a)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]-3
≥0.5*{3*[(a+b)(b+c)(c+a)]^1/3}*{3*[1/(a+b)*1/(b+c)*1/(c+a)]^1/3}-3
，当且仅当 时等号成立.
介绍着四个分别叫做调和平均值，几何平均值，算术平均值，平方平均值
【典型例题】
例1.均值不等式的基本运用
1.下列结论正确的是（）
A．当 B．
C． 的最小值为2D．当 无最大值
2.下列函数中，最小值为2 的是（）
A． B．
C． D．
3.设 ，则下列不等式成立的是（）
A． B．
C． D．
1.如果 ， ，求 的取值范围为。
2.a＞b＞0，m＞0，n＞0，则 ， ， ， 的由大到小的顺序是____________.
3.不等式ax2+（ab+1）x+b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则a+b=_______.
4.不等式|x－3|－|x－1|>m对 恒成立，则m的取值范围是
5.如果对任意实数x，不等式|x+1|≥kx恒成立，则实数k的范围是____________.
要证（3），只需证 （4）
已知（4）成立，所以（1）成立。
上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。
证法二因为 是正数，所以
两边同时加上 得
两边同时除以正数 得（1）。
例4、证明：
（1） （2）
（3）
（4）
（5）
（5）显然成立。因此（1）成立。
例5、设二次函数 ，求证： 中至少有一个不小于 .
=0.5*3*3-3=3/2
证毕
或利用柯西不等式
[c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)]*[c(a+b)+a(b+c)+b(a+c)]>=(a+b+c)^2
而[c(a+b)+a(b+c)+b(a+c)]=2(ab+bc+ac)<=2/3*(a+b+c)^2
这是因为(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0
证：设(1a)b> , (1b)c> , (1c)a> ,
则三式相乘：ab< (1a)b•(1b)c•(1c)a< ①
又∵0 <a,b,c< 1∴
同理：ห้องสมุดไป่ตู้,
以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤ 与①矛盾
∴原式成立
例7、若 是自然数，求证
证明：
=
=
注意：实际上，我们在证明 的过程中，已经得到一个更强的结论 ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
例2.利用均值不等式求值域（最值）
（1）求函数 的值域。
（2）求函数 的最小值。
（3）求函数 的最小值。
（4）求函数y =的值域
例3.（1）已知 且 ，则 的最小值是
（2）若正数 满足 ，则 的取值范围是
（3）已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值
（4）已知x，y为正实数，且x2＋＝1，求x的最大值.为
【知识要点】
1.比较法，分析法，综合法，反证法，放缩法
【典型例题】
例1、若实数 ，求证：
证明：采用差值比较法：
=
=
=
=
∴
∴
例2、设 求证；对任意实数 ，恒有
证明考虑（1）式两边的差。
＝
＝ （2）
即（1）成立。
例3、已知a，b，m都是正数，并且 求证：
证法一要证（1），只需证 （2）
要证（2），只需证 （3）
6.对于0≤ ≤4的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是______.
7．已知 是定义在 的等调递增函数， 且 ，则不等式 的解集为。
8.解不等式
（1） （2）
（3） （4）
6.已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围.
二：基本不等式
【知识要点】
1.推导并掌握均值不等式
2.你会运用均值不等式求最值吗
W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2＝10＋(3x＋2y)＝20
∴W≤＝2
（6）若 ，且 恒成立，则 的最小值为
，
，而 ，
即 恒成立，得
例4.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
例5 .不等式的证明
（1）求证：
（2）求证
例6.设 ，求证：
（1） ；（2） ；
（3） ≤ （4）( )( )≥9
3．若 ，则 , , , 按由小到大的顺序排列为
4．已知 ，且 ，则 的最大值等于_____________。
5．函数 的最小值为_____________。
6．若实数 满足 ，则 的最小值为
7．若 ，且 ，则 。
8．已知 ， ，…， ，且 ，求证 .
9.已知 ， ，且 .试证： ， 中至少有一个小于2.
参考答案
选择
1.D.提示：注意函数 的单调性；
2.B.提示：先移项，再通分，再化简；
不等式的基本概念与性质
不等式的基本概念与性质在数学中，不等式是表示两个数或者两个代数式之间大小关系的数学表达式。
不等式通过使用不等于号（≠）、小于号（<）、小于等于号（≤）、大于号（>）和大于等于号（≥）等符号，来描述数值的相对大小关系。
不等式的概念和性质在数学中起到了重要的作用，对于解决实际问题和进行数学推理都具有重要意义。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义不等式是一个数学表达式，通过使用不等于号、小于号、小于等于号、大于号和大于等于号等符号来比较两个数或者两个代数式的大小关系。
2. 不等式的符号及其含义（1）≠：不相等。
表示两个数或两个代数式不相等。
（2）<：小于。
表示第一个数或者代数式小于第二个数或代数式。
（3）≤：小于等于。
表示第一个数或代数式小于等于第二个数或代数式。
（4）>：大于。
表示第一个数或代数式大于第二个数或代数式。
（5）≥：大于等于。
表示第一个数或代数式大于等于第二个数或代数式。
3. 不等式的解集不等式的解集是使得不等式成立的数的集合。
解集可以是无穷集合、有限集合或为空集。
二、不等式的性质1. 不等式的传递性如果a＜b，b＜c，那么a＜c。
即如果两个数的大小关系成立，并且第二个数与第三个数的大小关系也成立，那么第一个数与第三个数之间的大小关系也成立。
2. 不等式的加减性如果a＜b，那么a±c＜b±c。
即不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向保持不变。
3. 不等式的乘除性（1）如果a＜b，且c＞0，那么ac＜bc。
即不等式两边同时乘以一个正数，不等式的方向保持不变。
（2）如果a＜b，且c＜0，那么ac＞bc。
即不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向发生改变。
4. 不等式的倒置性如果a＜b，那么-b＜-a。
即不等式两边取相反数，不等式的方向发生改变。
5. 不等式的平方性（1）如果a＜b，且a、b≥0，那么a²＜b²。
即两个非负数之间的不等关系，其平方的大小关系保持不变。
初中数学点知识归纳不等式的概念和解法
初中数学点知识归纳不等式的概念和解法初中数学点知识归纳：不等式的概念和解法不等式是数学中重要的概念之一，它在解决各种实际问题时起着重要的作用。
本文将对初中数学中关于不等式的概念和解法进行归纳总结。
一、不等式的概念不等式是表示两个数或者两个算式之间大小关系的数学式子。
常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
举例来说，对于两个实数a和b，我们可以表示不等式a > b（a大于b）、a < b（a小于b）、a ≥ b（a大于等于b）和a ≤ b（a小于等于b）。
二、不等式的解法1. 加减法解不等式若不等式两边加上或减去同一个数，不等号的方向不会改变。
例如，对于不等式a > b，如果两边同时加上一个数c，则不等式变为a + c > b + c。
2. 乘除法解不等式若不等式两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不会改变；若乘以或除以同一个负数，不等号的方向会发生改变。
例如，对于不等式a > b，如果两边同时乘以一个正数x，则不等式变为ax > bx；如果乘以一个负数x，则不等式变为ax < bx。
3. 求根解不等式对于一元二次不等式（即含有x²的不等式），可以求出不等式的解集。
一般的方法是将不等式化为标准形式，然后根据二次函数的图像来确定解集。
4. 图像法解不等式类似于求根解不等式，对于某些不等式，可以利用函数图像来确定解集。
例如，对于一次不等式（即含有x的不等式），可以根据一次函数的图像来确定解集。
5. 区间法解不等式对于一些不等式，可以用区间法来确定解集。
例如，对于一个线性不等式ax + b > 0，可以先求出x的一个满足条件的取值范围（即一个开区间），然后表示为x ∈ (a, b) 的形式。
三、不等式的特殊性质在解决不等式问题时，有一些特殊的性质可以帮助我们简化解法。
1. 加减常数不等式性质对于同一个不等式两边加上或减去同一个数不会改变不等式的解集。
不等式的有关概念
不等式的有关概念1、不等式定义:用符号“<”、“≤”、“>”、“≥”、“≠”连接而成的数学式子,叫做不等式。
这5个用来连接的符号统称不等号。
只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。
2、列不等式:步骤如下(1)根据所给条件中的关系确定不等式两边的代数式;(2)选择与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。
3、用数轴表示不等式(1)a<x: 表示小于a 的全体实数,在数轴上表示a 左边的所有点,不包括a 在内。
(2)a≥x: 表示大于或等于a 的全体实数,在数轴上表示a 右边的所有点,包括a 在内。
(3)b<x<a: 表示大于b 而小于a 的全体实数。
4、不等式的基本性质(1)基本性质1:若a<b,b<c,则a<c。
(不等式的传递性)(2)基本性质2:不等式的两边都加上(或减去)同一个数,所得到的不等式仍成立。
①若a>b>c,则a+c>b+c,a-c>b-c ;②若a<b<c,则a+c<b+c ,a-c<b-c。
(3)基本性质3:①不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数,所得的不等式仍成立; 若a>b ,且0>c ,则ac>bc.②不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数,必须把不等号的方向改变,所得的不等式成立。
若a>b ,且0<c ,则ac<bc .要点诠释：(1)不等式基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握.（2)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“<”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”.5、一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：【(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.】(1)求分解,分别解不等式组中的每一个不等式,并求出它们的解;(2)画公解,将每一个不等式的解集画在同一数轴上,并找出它们的公共部分;(3)写组解,将(2)步中所确定的公共部分用不等式表示出来,就是原不等式组的解集。
不等式的概念与性质
【本讲主要内容】不等式的概念与性质包括不等式、不等式的解、解集、一元一次不等式、不等式的性质等。
【知识掌握】【知识点精析】1. 用“<”或“>”号表示大小关系的式子，叫做不等式。
2. 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3. 使不等式成立的未知数的解的集合，简称解集。
4. 含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
5. 不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【解题方法指导】例1. 若a <-1，下列判断中正确的是（ ）A. a a >-B. a a <-C. a a =-D. a a ，-大小不确定分析：a <-1，即a 为一个负数，即a <0；->a 0∴a 不能大于-a ，排除A 。
B 是正确的，C 不正确，排除C ；D 也应排除。
故选B解：对于A ， a <-1，即a 是一个负数∴<∴->a a 0∴a 不能大于-a ，故排除A对于B ，a 是负数，-a 是正数∴<-a a ，正确对于C ， a <0，->a 0∴≠-a a ，故排除C对于D ，a a ，-大小可以确定，故排除D因此选B评析：此题运用了排除法，排除了A 、C 、D ，剩下的B 必然正确。
也可以用特殊值法加以判断，如由a <-1，不妨设a =-2，则-=a 2，可作判断。
例2. 下列各式中正确的是（ ）A. a a >-B. 45a a <C. a a>1 D. 32->-a a 分析：可给a 赋予一个特殊值，排除三个不正确的。
解：对于A ，若a =-3，则-=-a 33，不大于3，故排除A对于B ，若a =0，则45a a =，故排除B对于C ，若a =1，则a a=1，故排除C 对于D ，正确故选D评析：用特殊值进行判断比较容易做出。
初中不等式知识点总结
初中不等式知识点总结初中不等式知识点总结通常不等式中的数是实数，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
以下是小编收集的不等式知识点总结，欢迎查看！初中不等式知识点总结1一、不等式的概念1、不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）将 x 项的系数化为 1。
四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集。
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
第九章不等式与不等式组一、目标与要求1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上;2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想;3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。
2020-2021学年初中数学精品课程：第12讲-不等式的概念及解法(上)
2020-2021学年初中数学精品课程不等式的概念：用不等号连接的式子叫不等式。
不等号包括：“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”。
不等式基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变。
不等式基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
不等式具有互逆性：若a>b，则b< a不等式具有传递性：若a>b ，b>c ，则a>c。
在不等式两边都乘以０，不等式变为等式。
一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。
不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫作不等式的解。
不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫作不等式的解集。
解一元一次不等式的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax b<或ax b>形式)→系数化为1(化成b xa>或bxa<的形式)。
不等式的解与不等式解集的区别与联系：不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解。
在数轴上表示不等式的解集(示意图)：不等式的概念及解法（上）【例1】用不等式表示数量的不等关系。
①a 是正数 ②a 是非负数③a 不比0大 ④x 与y 的差是负数⑤a 的相反数不大于1⑥q 的相反数与q 的一半的差不是正数【例2】⑴设a ，b ，c 都是实数，且满足：用a 去乘不等式的两边，不等号方向不变；用b 去除不等式的两边，不等号方向改变；用c 去乘不等式的两边，不等号要变成等号。
则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>⑵设a >b ，则下列各式不成立的是( )A ．44a b +>+B ．2323a b +>+C ．66a b ->-D ．4343a b ->-⑶设a >b ，则下列不等式成立的是( )A ．0b a -<B ．ac bc <C ．b a -<-D ．1a b>【例3】⑴下列说法中，正确的是( )A ．231x x =>-是不等式的解B ．231x x =>-是不等式的唯一解C ．231x x =>-不是不等式的解D ．231x x =>-是不等式的解集⑵利用数轴表示下面未知数的取值范围：①2x >-② 1.5x ≤③12x -<<⑶求不等式32x -<≤的所有整数解的和。
不等式的概念
不等式的概念不等式是数学中一个重要的概念，用于描述数值之间的大小关系。
它是数学分析、代数学和几何学中的基本概念之一。
不等式被广泛应用于各个领域，包括物理学、经济学和工程学等。
本文将介绍不等式的定义、性质以及解不等式的方法。
一、不等式的定义不等式是数学中利用不等号表示的一种关系。
形式上，不等式可以写成a ≤ b、a < b、a ≥ b或a > b等形式，分别表示“不大于”、“小于”、“不小于”和“大于”。
不等式中的a和b可以是任意实数或变量。
对于两个实数a和b，可以利用比较运算符（如“≤”、“≥”、“<”、“>”）来判断它们的大小关系。
二、不等式的性质1. 传递性：如果a ≤ b且b ≤ c，则a ≤ c。
2. 反对称性：如果a ≤ b且b ≤ a，则a = b。
3. 加法性：如果a ≤ b，则a + c ≤ b + c，其中c为任意实数。
4. 乘法性：如果a ≤ b，且c为正实数或零，则ac ≤ bc；如果c为负实数，则ac ≥ bc。
5. 不等式的加减混合性：如果a ≤ b且c ≤ d，则a + c ≤ b + d。
6. 不等式的乘除混合性：如果a ≤ b且c ≥ 0，则ac ≤ bc；如果c ≤ 0，则ac ≥ bc。
三、解不等式的方法解不等式的目标是确定不等式中变量的取值范围。
根据不等式的性质，可以采用以下方法来解不等式：1. 图形法：将不等式表示的数值关系在数轴上进行图形表示，进而确定变量的取值范围。
2. 变量替换法：通过引入辅助变量，将原始不等式转化为等效的形式，进而求解。
3. 分情况讨论法：根据不等式中的条件，将问题分解为不同的情况，逐个求解。
4. 开区间法：通过定义开区间来确定变量的取值范围，如(a, b)表示不包括a和b的区间。
5. 不等式的性质法：借助不等式的性质进行变形和简化，得到更容易求解的形式。
四、不等式的应用不等式在许多实际问题中起着重要的作用。
1. 不等式的基本定义是什么？
1. 不等式的基本定义是什么？不等式是数学中一个非常重要的概念，它在解决各种数学问题和实际生活中的应用中都发挥着关键作用。
那么，不等式的基本定义是什么呢？简单来说，不等式就是用不等号（大于“＞”、小于“＜”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）连接两个数或者表达式的式子。
例如，“5 ＞3”，“x ＜10”，“y ≥ 5”，“z ≤ 7”等等，这些都是不等式。
不等式反映了数量之间的大小关系或者范围的限制。
与等式不同，等式表示两个量完全相等，而不等式则表示两个量不相等，并且明确了它们之间大小的倾向。
不等式的出现，让我们能够更准确地描述和解决许多实际问题。
比如，在购物时，我们可能有一个预算限制，假设我们只有 200 元，那么买一件商品的价格 x 就必须满足x ≤ 200 这个不等式，这帮助我们在选择商品时做出合理的决策。
再比如，在安排工作任务时，如果一项工作需要至少 5 个人才能完成，那么参与工作的人数 n 就要满足n ≥ 5 这个不等式。
从数学的角度来看，不等式有着自己的一些基本性质。
首先，传递性。
如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且b ＜c ，那么 a ＜ c 。
其次，加减性质。
如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c ；如果 a ＞ b ，那么 a c ＞ b c 。
再者，乘除正数的性质。
如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ，a/c＞ b/c ；但要注意乘除负数时情况会相反，如果 a ＞ b 且 c ＜ 0 ，那么ac ＜ bc ，a/c ＜ b/c 。
这些性质是我们解决不等式问题的重要工具。
不等式在数学的各个领域都有广泛的应用。
在代数中，我们经常通过求解不等式来确定变量的取值范围。
例如，求解不等式 2x ＋ 3 ＞ 7 ，首先通过移项得到 2x ＞ 4 ，然后再除以 2 ，得到 x ＞ 2 ，这就确定了 x 的取值范围。
在几何中，不等式可以用来描述图形的位置关系和大小范围。
不等式的概念
不等式的概念不等式是数学中一种基本的表达方式，用来描述多个数（或其他数学对象）之间的大小关系。
与等式不同，不等式中的等号被替换为大于号、小于号或其对应的符号组合，以表示不同的大小关系。
在数学中，不等式的概念及其应用十分广泛，它在代数、几何、计算和实际问题解决中都起着重要的作用。
一、不等式的基本形式不等式包含三种基本形式：大于不等式、小于不等式和不等不等式。
1. 大于不等式：大于不等式具有如下的形式：a > b，表示a大于b。
例如，3 > 2 表示3大于2。
2. 小于不等式：小于不等式具有如下的形式：a < b，表示a小于b。
例如，2 < 3 表示2小于3。
3. 不等不等式：不等不等式具有如下的形式：a≠b，表示a不等于b。
例如，2 ≠ 3 表示2不等于3。
需要注意的是，不等式的符号在比较两个数的大小关系时，不能互换。
例如，1 > 2 并不等于 2 < 1。
另外，不等式在求解时有时还需要考虑等于的情况，可以使用大于等于（≥）或小于等于（≤）符号来表示。
二、不等式的解集不等式的解集是满足不等式条件的所有数的集合。
求解不等式的过程就是确定解集的过程。
1. 一元一次不等式的解集：一元一次不等式即只有一个未知数的一次方程。
例如，2x + 3 > 5，其中x为未知数。
解这个不等式时，我们需要通过移项和分析符号的变化来确定解集。
2. 一元二次不等式的解集：一元二次不等式即只有一个未知数的二次方程。
同样地，通过移项和分析符号的变化，我们可以确定解集。
3. 线性不等式组的解集：线性不等式组是由多个线性不等式组成的方程组。
例如，将多个不等式组合在一起求解，可以得到整个不等式组的解集。
三、不等式的应用不等式的应用广泛存在于日常生活、自然科学和社会科学等领域。
1. 经济学：经济学中常常涉及到生产成本、销售利润、投资回报率等诸多因素的不等式关系，通过不等式可以对这些经济问题进行分析和优化。
不等式及其性质(基础)知识讲解
不等式及其性质（基础）知识讲解知识梳理要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示：(1)x与-3的和是负数；(2)x与5的和的28％不大于-6;(3)m除以4的商加上3至多为5．【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．【答案与解析】解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34m +≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x-y ＞0；若x 小于y ，则有x-y ＜0等．举一反三：【变式】a a +的值一定是（ ）．A.大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零【答案】D.2.下列叙述：①a 是非负数则a ≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为1x ＞10；④“a ，b 两数的平方和为正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.A.1个B.2个C.3个D. 4个【答案与解析】①非负数是大于等于零的实数，即a ≥0．故①正确；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10≤2；故②错误；③“x 的倒数超过10”就是“③“x 的倒数大于10”，可表示为1x＞10．故③正确；④“a ，b 两数的平方和为正数”，即“；④“a ，b 两数的平方和大于零”，可表示为a 2+b 2＞0．故④正确．综上所述，正确的说法有3个．故选C ．【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠． 类型二、不等式的基本性质3.（2015春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜． ．【答案与解析】解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确；（2）如果﹣5x ＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a ＞b ，当c=0时则 ac 2＞bc 2错误，故错误；（4）由ac 2＞bc 2得c 2＞0，故正确；（5）若a ＞b ，根据c 2+1，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）正确．（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．4.如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( ).A．a+c＞b+c B．c-a＞c-b C．ac＞bc D．a b c c【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．【答案】A.【解析】A、在不等式的两边同时加上c不等号方向不变，故本选项正确；B、在不等式的两边同时乘以-1，加上c后不等号方向改变，故本选项错误；C、两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；D、两边同时除以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．举一反三：【变式】（2015春•秦淮区期末）根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞3m”，则m的取值范围是．【答案】m＜0.解：∵将“mx＜3”变形为“x＞3m”，∴m的取值范围是m＜0．故答案为：m＜0．。