高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二)
高中_数学竞赛辅导讲义(1)
数学竞赛辅导讲义〔1〕（一） 抽象函数知识提要：所谓抽象函数泛指不具体的函数，然而抽象函数又以具体函数为背景，所以研究抽象函数很有应用价值.()f x 是定义在R +上的增函数，且()()x f x f f y y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，假设()31f =，那么使()125f x f x ⎛⎫-≥ ⎪-⎝⎭成立的x 的取值范围是 . ()f x 是定义在R 上的函数，它的图象既关于直线5x =对称，又关于直线7x =对称，那么函数()f x 的最小正周期是 .()y f x =是在R 上有定义且在[]0,1上是单调递减的周期为2的偶函数，那么()()()1,0, 2.5f f f -由小到大的顺序为 .R 上的函数()f x ，恒有()()()f x y f x f y +=+.假设()164f =，那么()2006f 等于 . 〔二〕函数[]x 和{x }知识提要： 函数[]x 表示实数x 的整数局部〔不超过x 的最大整数〕.通常称[]y x ={}x 为实数x 的小数局部.任一实数都能写成整数局部与小数局部之和， 即[]{}x x x =+.例如：当3.71x =-时，[]3.714-=-，{3.71}0.29-=，且()()3.7140.29-=-+.[]x 表示不超过x [][]2sin x x =()0x ≥的解集〔x 以弧度为单位〕是 .[]x 表示不超过x 的最大整数，那么不等式[][]221160x x --≤的解集是 .n 能被整除，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，那么n 的表达式为 〔用表示结果〕. 8.1x y -<是[][]x y =成立的 条件.〔选填“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充分且必要〞、“既不充分也不必要〞四者之一〕〔三〕函数迭代和函数方程设f 是D D →的函数，对任意,x D ∈记()()0,fx x =定义()()()()1*,,n n f x f f x n N +=∈那么称函数()n f x 为()f x 的n 次迭代. ()n f x 的一般求法是先猜后证：先迭代几次，观察有何规律，由此猜想出()n f x 的表达式，然后证明.()f x 对其定义域内自变量的一切取值均满足所给的函数方程，那么称()f x 为该方程的解.证明函数方程无解或寻求其解的过程就是解函数方程.一般用以下方法：〔1〕代换法：将方程中的自变量适当地以别的自变量代换〔代换时应注意使函数的定义域不发生变化〕，得到一个或几个新的函数方程，然后设法求得未知函数.〔2〕赋值法：根据所给条件，适当地对自变量赋予某些特殊值，从而简化函数方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题.〔3〕待定系数法：当函数方程中的未知函数是多项式时，可用此法比拟系数而求解. 〔4〕递推法：即通过初始条件和递推关系求解，例如通过数列的递推关系求通项公式等.k 的各位数字和的平方记为()1,f k 且()()()11,n n f k f f k -⎡⎤=⎣⎦那么()11n f 的值域为〔A 〕*N ； 〔B 〕 {2,4,7} ；〔C 〕{4,16,49,169,256} ； 〔D 〕{2,4,7,13,16}()12,1f x x =+而()()*11,.n n f x f f x n N +=∈⎡⎤⎣⎦记()()21,22n n n f a f -=+那么99a 等于。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛教案讲义
高中数学竞赛教案讲义主题：高中数学竞赛备考一、课程目标：1. 提高学生数学逻辑思维能力和解题能力；2. 增强学生对数学知识的理解和应用能力；3. 培养学生团队合作意识和竞赛意识；4. 培养学生学习数学的兴趣和信心。
二、教学内容：1. 数论知识与解题方法；2. 代数知识与解题方法；3. 几何知识与解题方法；4. 概率与统计知识与解题方法。
三、教学重点：1. 突出数学问题解题的逻辑思维；2. 突出数学知识运用的方法；3. 突出解题过程中的技巧与技法。
四、课堂教学安排：第一节课：数论知识与解题方法1. 介绍数论基础知识；2. 讲解数论解题方法；3. 练习数论题目。
第二节课：代数知识与解题方法1. 复习代数基础知识；2. 讲解代数解题方法；3. 练习代数题目。
第三节课：几何知识与解题方法1. 复习几何基础知识；2. 讲解几何解题方法；3. 练习几何题目。
第四节课：概率与统计知识与解题方法1. 介绍概率与统计基础知识；2. 讲解概率与统计解题方法；3. 练习概率与统计题目。
五、课后作业：1. 每节课的课后习题；2. 复习本节课的知识点；3. 复习前几节课的知识点；4. 组织小组讨论解题方法。
六、教学评估：1. 每节课的课堂练习成绩；2. 期中考试成绩；3. 期末考试成绩；4. 学生综合表现与进步情况。
七、教学心得与总结：数学竞赛备考是一个长期的过程，需要坚持不懈和不断努力。
教师要引导学生找到解题的方法，培养学生的数学思维和解题能力。
同时，学生也要积极主动，多加练习，不断提高自己的数学水平。
希望通过我们的共同努力，可以在数学竞赛中获得好的成绩。
高中数学竞赛指导(第二讲)
第二讲函数的性质与图像赛点直击一、单调性设函数y＝f(x)在区间[a,b]上满足：若x1,x2∈[a,b]且x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)( f(x1)＞f(x2))成立，则称y＝f(x)在区间[a,b]上是单调递增(单调递减)函数，称区间[a,b]是函数y＝f(x)的单调递增区间(单调递减区间).(1) 所谓函数的单调性是指函数在什么区间上是单调增的，什么区间是单调减的.单调函数是指函数在整个定义域上是单调增（或减）的.若函数在某区间上具有单调性且在两端有意义，这时单调区间应为闭区间.反之，则为开区间.(2) 设f(x)在区间I1和I2上都分别是单调递增（或递减），且I1∩I2≠Φ，则f(x)在I1∪I2上也是单调递增（或递减）的.【若I1∩I2＝Φy＝1x在(0,+∞)和(-∞,0)上均为单调递减，但在(0,+∞)∪(-∞,0)上不是单调递减的.】(3) 设y＝f(x)在区间I上单调递增(单调递减)函数，且f(x)的值域为E，则它在I上必存在反函数，且反函数在E上必是单调递增（或递减）函数.特别地，单调函数必有反函数，且反函数的单调性与原函数是一致的.(4) 关于复合函数y＝f(ψ(x))(u＝ψ(x)).①若y＝f(u)与u＝ψ(x)单调性相同，则F(x)＝f(ψ(x))是增函数.②若y＝f(u)与u＝ψ(x)单调性相反，则F(x)＝f(ψ(x))为减函数.(5) 若f(x),g(x)是定义在同一区间上的两个函数.①f(x),g(x)是增函数（或减函数），则f(x)＋g(x)也必为增函数（或减函数）.②若f(x),g(x)恒大于零，且f(x),g(x)都是单调增（或减）的，则f(x)·g(x)也为增函数（或减函数）.二、奇偶性若函数y＝f(x)对定义域内一切x，都有f(﹣x)＝f(x)（或f(﹣x)＝﹣f(x)），则称y＝f(x)为偶函数（或奇函数）.(1) 奇、偶函数的定义域必是关于数轴原点对称的区域.(2) 既是奇函数又是偶函数的函数是存在的，且有无数多个，其函数值均为0，定义域是关于原点对称的区域.(3) 在共同的定义域上，两个偶（奇）函数和、差仍为偶（奇）函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，两个奇（偶）函数的积为偶函数.(4) f(x)与1f(x)具有相同的奇偶性.(5) 偶函数必不存在反函数.(6) 定义域关于原点对称的任何一个函数，都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和.三、周期性函数y＝f(x)满足：对定义域内任意ｘ，存在常数Ｔ≠０，使ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）恒成立，则称y＝f(x)为周期函数，Ｔ为y＝f(x)的周期(1) 周期函数的定义域是无界的.(2) 若T为y＝f(x)的周期，则nT（ｎ∈Ζ且ｎ≠０）均为y＝f(x)的周期.(3) 若函数y＝f(x)有最小正周期T，那么它除nT（ｎ∈Ζ且ｎ≠０）外，函数f(x)无其他周期.(4) 设f(x)的最小正周期T，则f(λx)（λ≠０，λ∈Ｒ）有最小正周期T|λ|.错误!未定义书签。
高中数学竞赛讲义
高中数学竞赛讲义一、数学竞赛概述数学竞赛作为一种普及数学知识、培养学生动手能力和思维能力的形式越来越受到人们的重视。
在学生们的数学学习道路上，参加数学竞赛既可以拓宽数学视野，又可以激发学习兴趣，提高解决问题的能力。
因此，掌握数学竞赛的解题技巧和方法显得尤为重要。
二、常见数学竞赛题型1. 判断题：对错难定，需要严密地逻辑推理，做题时要仔细阅读题目和选项，理清思路，做出准确判断。
2. 选择题：包括单选和多选，需要理解题意，分析选项并选择正确答案。
在解答多选题时，尤其要注意排除干扰项。
3. 填空题：填空题要求对知识点有深入理解，准确地计算并填写答案。
解答填空题时要注意精确计算，不出现大的误差。
4. 解答题：解答题难度较大，需要考生具备深厚的数学基础和解题技巧。
解答题时要逻辑清晰、表述准确，给出详细的解题过程和答案。
5. 证明题：证明题是数学竞赛中的重头戏，要求考生深入理解数学原理，熟练运用推理方法，严密地推演证明过程，确保证明的准确性和完整性。
三、数学竞赛的备考建议1. 熟练掌握基础知识：数学竞赛离不开扎实的基础知识，要多练习经典题目，熟悉各种解题方法，打牢基础。
2. 注重思维训练：数学竞赛考验的不仅是知识面，更重要的是解题思维和方法。
锻炼逻辑思维，注重推理能力的培养。
3. 多做题多练习：多参加数学竞赛训练营、题解讨论会，多做模拟题和历年真题，积累解题经验，提高解题速度和准确度。
4. 态度决定成败：对待数学竞赛要积极认真，保持良好的心态，相信自己的能力，不断学习进步。
四、数学竞赛的意义参加数学竞赛可以拓宽学生的视野，激发学习兴趣，培养学生的自信心和解决问题的能力。
数学竞赛不仅仅是一种知识技能的检验，更是一种学习态度和思维方式的养成。
通过参加数学竞赛，学生可以更深入地了解数学学科，提高自身的综合素质，为未来的学习和发展打下坚实的基础。
五、结语高中数学竞赛虽然挑战性较大，但是只要有充分的准备和信心，相信每一位学生都能在竞赛中取得优异的成绩。
高中数学竞赛讲义
数学竞赛讲义目录第一章集合 (2)第二章函数 (15)§2.1函数及其性质 (15)§2.2二次函数 (21)§2.3函数迭代 (28)§2.4 抽象函数 (32)第三章数列 (37)§3.1 等差数列与等比数列 (37)§3.2 递归数列通项公式的求法 (44)§3.3 递推法解题 (48)第四章三角平面向量复数 (51)第五章直线、圆、圆锥曲线 (60)第六章空间向量简单几何体 (68)第七章二项式定理与多项式 (75)第八章联赛二试选讲 (82)§8.1 平几名定理、名题与竞赛题 (82)§8.2 数学归纳法 (99)§8.3 排序不等式 (103)第一章集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.§1.1集合的概念与运算【基础知识】一．集合的有关概念1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3．集合的分类：无限集、有限集、空集 .4. 集合间的关系：二．集合的运算1．交集、并集、补集和差集A\.差集：记A、B是两个集合，则所有属于A且不属于B的元素构成的集合记作B即A x B A ∈={\且}B x ∉.2.集合的运算性质(1)A A A = ,A A A = (幂等律);(2)A B B A =, A B B A =(交换律);(3))()(C B A C B A =, )()(C B A C B A =(结合律);(4))()()(C A B A C B A =,)()()(C A B A C B A =(分配律);(5)A A B A =)( ,A B A A =)( (吸收律);(6)A A C C U U =)((对合律);(7))()()(B C A C B A C U U U =, )()()(B C A C B A C U U U =(摩根律)(8))\()\()(\C A B A C B A =,)\()\()(\C A B A C B A =.3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例1】在集合},,2,1{n 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=n i n n i S 【解】集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n 〖说明〗本题的关键在于得出},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例2】已知集合}034|{},023|{222<+-=<++=a ax x x B x x x A 且B A ⊆,求参数a 的取值范围.〖分析〗首先确定集合A 、B,再利用B A ⊆的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得}0)3)((|{},12|{<--=-<<-=a x a x x B x x A当0>a 时,}3|{a x a x B <<=,由B A ⊆知无解;当0=a 时,φ=B ,显然无解;当0<a 时, }3|{a x a x B <<=,由B A ⊆解得.321≤≤-a 综上知,参数a 的取值范围是]32,1[-.〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例3】已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A .若B A =,则22y x +的值是( )A.5B.4C.25D.10【解】0)1(2≥+x ,x x x -≥++∴12,且012>++x x 及集合中元素的互异性知 x x x -≠++12,即1-≠x ,此时应有.112-->->++x x x x而+∈R y ,从而在集合B 中,.21y y y ->->+ 由B A =,得)3()2()1(12112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+=++yx y x y x x 由(2)(3)解得2,1==y x ,代入(1)式知2,1==y x 也满足(1)式..5212222=+=+∴y x〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例4】已知集合}|,|,0{)},lg(,,{y x B xy y x A ==.若B A =,求++++)1()1(22yx y x ……+)1(20082008y x +的值.〖分析〗从集合A=B 的关系入手,则易于解决.【解】B A = ,⎩⎨⎧=⋅⋅+=++∴0)lg(||)lg(xy xy x y x xy xy x ,根据元素的互异性,由B 知0,0≠≠y x . B ∈0 且B A =,A ∈∴0,故只有0)lg(=xy ,从而.1=xy又由A ∈1及B A =,得.1B ∈所以⎩⎨⎧==1||1x xy 或⎩⎨⎧==11y xy ,其中1==y x 与元素的互异性矛盾! 所以,1-=y x 代入得:++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008yx +=(2-)+2+(2-)+2+……+(2-)+2=0. 〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例5】已知A 为有限集,且*N A ⊆,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合A=)1}(,,,{21>n a a a n 且n a a a <<≤211,由=+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21, *)(N n n a n ∈≥,得≥n na =+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21)!1(-≥n a n ,即)!1(-≥n n 2=∴n 或3=n (事实上,当3>n 时,有)2)1()2)(1()!1(n n n n n >⋅-≥--≥-. 当2=n 时,1,2,21122121=∴<∴<+=⋅a a a a a a a ,而.2,1122≠∴+≠⋅n a a当3=n 时,3,3213321321<⋅∴<++=⋅⋅a a a a a a a a a ,.2,121==∴a a由3332a a +=,解得.33=a综上可知,}.3,2,1{=A〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合}02|{},023|{22≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ,若P S ⊆,求实数a 的取值组成的集合A.【解】}21|{≤≤=x x P ,设a ax x x f +-=2)(2.①当04)2(2<--=∆a a ,即10<<a 时,φ=S ,满足P S ⊆;②当04)2(2=--=∆a a ,即0=a 或1=a 时,若0=a ,则}0{=S ,不满足P S ⊆,故舍去;若1=a 时,则}1{=S ,满足P S ⊆.③当04)2(2>--=∆a a 时,满足P S ⊆等价于方程022=+-a ax x 的根介于1和2之间. 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-<<><⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥<--<>∆0340121100)2(0)1(22)2(10a a a a a f f a 或φ∈⇔a . 综合①②③得10≤<a ,即所求集合A }10|{≤<=a a .〖说明〗先讨论特殊情形(S=φ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对∆分类讨论,确定a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0>∆【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++∈R }, {(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 MN ≠∅, 则 a 的取值范围是． 【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:令 1y =,代入方程|1|x y ++=, 得 2420x x --=，解出得2x =± 所以，当211a <= 时, M N =∅． ………… ③令 2y =，代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =．所以，当3a > 时, M N =∅． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当13a ≤≤+即[13a ∈ 时, M N ≠∅．故填[1-.【例8】已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍) 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意. 综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A 、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足条件||4|)()(|2121x x x g x g -≤-的函数)(x g 形成了一个集合M,其中R x x ∈21,,并且1,2221≤x x ,求函数)(23)(2R x x x x f y ∈-+==与集合M 的关系. 〖分析〗求函数23)(2-+=x x x f 集合M 的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M 的属性. 【解】|3||||)23()23(||)()(|212122212121++⋅-=++-++=-x x x x x x x x x f x f取65,6421==x x 时, .||4||29|)()(|212121x x x x x f x f ->-=- 由此可见,.)(M x f ∉〖说明〗本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(x f 是否属于M,只要找至一个或几个特殊的i x 使得)(i x f 不符合M 中的条件即可证明.)(M x f ∉【例10】对集合}2008,,2,1{ 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469=+-+-,集合}10,7{的“交替和”是10－7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n 求出所有的“交替和”.〖分析〗集合A 的非空子集共有122008-个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1; {1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1;{1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设i A 是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令i A 与i A }4{相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32.【解】集合}2008,,2,1{ 的子集中,除了集合}2008{,还有222008-个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果i A 是第二类的,则必有}2008{ i A 是第一类的集合;如果j B 是第一类中的集合,则j B 中除2008外,还应用1,2,……,2007中的数做其元素,即j B 中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为.2008220082008)22(2120072008⨯=+⨯- 同样可以分析},,2,1{n ,因为n 个元素集合的子集总数为n 2个(含φ,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n 的子集有12-n 个,不包括n 的子集的个数也是12-n 个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n ),设不含n 的子集“交替和”为S,则对应的含n 子集的“交替和”为S n -,两者相加和为n .故所有子集的“交替和”为.21n n ⋅-〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少？〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为n 5.“按每横排4人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题.n 5被4、3、2除时都余地，即15-n 是12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为)(5+∈N n n ，则由题意知n 5分别被4、3、2除时均余1，即15-n 是4、3、2的公倍数，于是可令)(1215+∈=-N m m n ，由此可得：5112+=m n ①要使游行队伍人数最少，则式①中的m 应为最少正整数且112+m 为5的倍数，应为2.于是可令)(25+∈+=N p q m ，由此可得：512]1)25(12[51+=++⋅=p p n ，25605+≥p n ② 所以10002560≥+p ，4116≥p . 取17=p 代入②式，得10452517605=+⨯=n故游行队伍的人数最少是1045人.〖说明〗本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.【例12】设n N ∈且n ≥15，B A ,都是{1，2，3，…，n }真子集，A B φ=，且A B ={1，2，3，…，n }.证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设，{1，2，3，…，n }的任何元素必属于且只属于它的真子集B A ,之一. 假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n }的真子集B A ,，使得无论是A 还是B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.不妨设1∈A ，则3∉A ，否则1+3=22，与假设矛盾，所以3∈B .同样6∉B ，所以6∈A ，这时10∉A ，，即10∈B .因n ≥15，而15或者在A 中，或者在B 中，但当15∈A 时，因1∈A ，1+15=24，矛盾；当15∈B 时，因10∈B ，于是有10+15=25，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】(A 组)1.(2006年江苏预赛) 设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为( ) A.31 B.32 C.1 D.34 2. (2006年陕西预赛)b a ,为实数,集合M=x x f a P ab →=:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ,则b a +的值等于( )A.1-B.0C.1D.1± 3. (2004年全国联赛)已知M={}32|),(22=+y x y x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是A ．[26,26-] B.（26,26-）C.（332,332-） D.[332,332-] 4. (2005年全国联赛) 记集合},6,5,4,3,2,1,0{=T },4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++=i T a a a a a M i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++ 5. 集合A,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3}，当且仅当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有( )A.27B.28.C.26D.256.设A={n |100≤n ≤600,n ∈N }，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.7. 已知2{430,}A x x x x R =-+<∈,12{20,2(7)50,}x B x a x a x x R -=+-++∈且≤≤.若A B ⊆,则实数a 的取值范围是 .8. 设M={1,2,3,…,1995}，A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时,15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是_______________.9. (2006年集训试题)设n 是正整数，集合M={1，2，…，2n }．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于10. 设A ＝{a |a ＝22x y -,,x y Z ∈}，求证：⑴21k -∈A (k Z ∈)； ⑵42 ()k A k Z -∉∈. 11.（2006年江苏）设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值范围．12. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；②P 中的元素有奇数,有偶数；③－1∉P ；④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系.(B 组)1. 设S 为满足下列条件的有理数的集合：①若a ∈S ，b ∈S ，则a +b ∈S ， S ab ∈；②对任一个有理数r ，三个关系r ∈S ，－r ∈S ，r ＝0有且仅有一个成立.证明：S 是由全体正有理数组成的集合.2．321,,S S S 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈-（1）证明：三个集合中至少有两个相等.（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？3．已知集合：}1|),{(},1|),{(},1|),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A 问（1）当a 取何值时，C B A )(为含有两个元素的集合？（2）当a 取何值时，C B A )(为含有三个元素的集合？4．已知{}22(,)4470,,A x y x y x y x y R =++++=∈, {}(,)10,,B x y xy x y R ==-∈.⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合A 与B 的距离定义;⑵依据⑴中的定义求出A 与B 的距离.5.设集合=P ｛不小于３的正整数｝，定义Ｐ上的函数如下：若P n ∈，定义)(n f 为不是n 的约数的最小正整数，例如5)12(,2)7(==f f .记函数f 的值域为Ｍ.证明：.99,19M M ∉∈6．为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个.【参考答案】A 组1.解： N M 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称，由此N M 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得.为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了.由题意可得，N M 的图形在第一象限的面积为A ＝613121=-.因此N M 的图形面积为32. 所以选B.2.解:由M=P,从而1,0==a a b ,即0,1==b a ,故.1=+b a 从而选C. 3. 解：M N ≠∅相当于点（0，b ）在椭圆2223x y +=上或它的内部221,322b b ∴≤∴-≤≤.故选A. 4.解: 用p k a a a ][21 表示k 位p 进制数，将集合M 中的每个数乘以47，得 32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.i i M a a a a a T i a a a a a T i '=⋅+⋅+⋅+∈==∈= M ' 中的最大数为107]2400[]6666[=.在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400－2004=396.而=10]396[7]1104[将此数除以47，便得M 中的数.74707171432+++故选C.5.解：A=φ时，有1种可能；A 为一元集时，B 必须含有其余2元，共有6种可能；A 为二元集时，B 必须含有另一元.共有12种可能；A 为三元集时，B 可为其任一子集.共8种可能.故共有1+6+12+8=27个.从而选A.6．解：被7除余2的数可写为7k +2. 由100≤7k +2≤600.知14≤k ≤85. 又若某个k 使7k +2能被57整除，则可设7k +2=57n . 即57256227778n n n n k n -+--===+.即n －2应为7的倍数. 设n =7m +2代入，得k =57m +16. ∴14≤57m +16≤85. ∴m =0,1.于是所求的个数为85－(14－1)－2=70．７．解：依题意可得{13}A x x =<<,设1()2x f x a -=+,2()2(7)5g x x a x =-++要使A B ⊆,只需()f x ,()g x 在(1,3)上的图象均在x 轴的下方,则(1)0f ≤,(3)0f ≤,(1)0g ≤,(3)0g ≤,由此可解得结果.8．解：由于1995=15⨯133，所以，只要n >133，就有15n >1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数. 由于这时己取出了15⨯9=135, … 15⨯133=1995. 故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数, 这说明所求数≥1870.另一方面，把k 与15k 配对，（k 不是15的倍数，且1≤k ≤133）共得133—8=125对，每对数中至多能取1个数为A 的元素，这说明所求数≤1870，综上可知应填1870.9.解：考虑M 的n +2元子集P={n －l ，n ，n +1，…，2n }．P 中任何4个不同元素之和不小于(n －1)+n +( n +1)+( n +2)=4 n +2，所以k ≥n +3．将M 的元配为n 对，B i =(i ，2 n +1－i )，1≤i ≤n ． 对M 的任一n +3元子集A ，必有三对123,,i i i B B B 同属于A(i 1、I 2、I 3两两不同)．又将M 的元配为n －1对，C I (i ，2n －i )，1≤i ≤n －1．对M 的任一n +3元子集A ，必有一对4i C 同属于A ，这一对4i C 必与123,,i i i B B B 中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整数k = n +310．10.解: ⑴∵k ,1k -∈Z 且21k -＝22(1)k k --,∴21k -∈A ；⑵假设42 ()k A k Z -∈∈,则存在,x y Z ∈,使42k -＝22x y -即()()2(21)x y x y k -+=- (*) 由于x y -与x y +具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立.由此，42()k A k Z -∉∈.11.解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<．当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由A B ≠∅得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由AB ≠∅得1a >-；当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-．12．解：由④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 可知，若x ∈P ，则)( N k P kx ∈∈（1）由①可设x ，y ∈P ，且x ＞0，y ＜0，则－y x ＝|y |x (|y |∈N ) 故x y ,－y x ∈P ,由④,0＝(－y x )+x y ∈P .（2）2∉P .若2∈P ，则P 中的负数全为偶数，不然的话，当－（12+k ）∈P （N k ∈）时，－1＝（－12-k ）＋k 2∈P ，与③矛盾.于是，由②知P 中必有正奇数.设),( 12,2N n m P n m ∈∈--，我们取适当正整数q ，使 12|2|->-⋅n m q ，则负奇数P n qm ∈-+-)12(2.前后矛盾B 组1．证明：设任意的r ∈Q ，r ≠0,由②知r ∈S ，或－r ∈S 之一成立.再由①，若r ∈S ，则S r ∈2；若－r ∈S ，则S r r r ∈-⋅-=)()(2.总之，S r ∈2.取r =1，则1∈S .再由①，2=1+1∈S ，3=1+2∈S ，…，可知全体正整数都属于S . 设S q p ∈,，由①S pq ∈，又由前证知S q ∈21，所以21q pq q p ⋅=∈S .因此，S 含有全体正有理数.再由①知，0及全体负有理数不属于S .即S 是由全体正有理数组成的集合. 2．证明：（1）若j i S y S x ∈∈,，则i k S x y x y S x y ∈-=--∈-)(,，所以每个集合中均有非负元素.当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立.否则，设321,,S S S 中的最小正元素为a ，不妨设1S a ∈，设b 为32,S S 中最小的非负元素，不妨设,2S b ∈则b －a ∈3S .若b ＞0,则0≤b －a ＜b ，与b 的取法矛盾.所以b =0.任取,1S x ∈因0∈2S ,故x －0＝x ∈3S .所以⊆1S 3S ，同理3S 1S ⊆. 所以1S =3S .（２）可能.例如1S =2S ={奇数}，3S ={偶数}显然满足条件，1S 和2S 与3S 都无公共元素. 3．解：C B A )(=)()(C B C A .C A 与C B 分别为方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=+=+1122y x y ax （Ⅱ）⎩⎨⎧=+=+1122y x ay x 的解集.由（Ⅰ）解得（y x ,）=（0，1）=（212aa+，2211a a +-）；由（Ⅱ）解得（y x ,）=（1，0），（2211a a +-，212aa+） （1）使C B A )(恰有两个元素的情况只有两种可能：①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+111012222a a a a ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+011112222aa a a由①解得a =0；由②解得a =1.故a =0或1时，C B A )(恰有两个元素.（2）使C B A )(恰有三个元素的情况是：212a a +=2211aa +- 解得21±-=a ，故当21±-=a 时，C B A )(恰有三个元素.4．解: (1)设1212,minP A P Bd P P ∈∈=(即集合A 中的点与集合B 中的点的距离的最小值),则称d 为A 与B 的距离.⑵解法一：∵A 中点的集合为圆22(2)(2)1,x y +++=圆心为(2,2)M --,令(,)P x y 是双曲线上的任一点,则2MP =22(2)(2)x y +++=224()8x y x y ++++ =2()24()x y xy x y +-+++8=2()4()28x y x y ++++ 令t x y =+,则2MP =22428(2)24t t t ++=++ 当2t =-时,即102xy x y =-⎧⎨+=-⎩有解，∴min 26MP =∴261d =-解法二：如图,P 是双曲线上的任一点, Q 为圆22(2)(2)1x y +++=上任一点,圆心为M .显然,P M MP +Q Q ≥(当P M 、Q 、三点共线时取等号)∴min 1d MP =-.5．解：记!18=n 时，由于1，2，……18都是n 的约数，故此时.19)(=n f 从而.19M ∈ 若存在P n ∈，使99)(=n f ，则对于小于99的正整数k ，均有n k |，从而n n |11,|9，但是1)11,9(=，由整数理论中的性质9×11=99是n 的一个约数，这是一个矛盾！从而.99M ∉6．证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
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4
C1 A I C1 B = C1 ( A U B).
证明
3 ， 余 读者自 完成
则 x ∈ A， 且 x ∈ B 或 x ∈C ， 所 1 若 x ∈ A I (B U C ) ，
x ∈ ( A I B) 或 x ∈ ( A I C ) ，
x ∈ ( A I B) U ( A I C )
之，x ∈ ( A I B ) U ( A I C ) ， 则 x ∈ ( A I B) 或 x ∈ ( A I C ) ，
k 个子集中
，否则，若 在 k 个子
A，并设 A I A1 = ∅ ，则 A1 ⊆ C1 A ， 而可
集中再添加 C1 A ，
知矛盾，所
k ≥ 2 n −1
综 ， k = 2 n −1
6．竞赛常用方法 例 题 定理 4 容斥原理 用 A 表示集合 A 的元素个数，则 A U B = A + B − A I B ,
的一元一次方程 一元 次方程的解法 含 母系数的一元一次 等式的解法，一元 次 等式的解法 含绝对值的一元一次 等式 简单的多元方程组 简单的 定方程 组 4 函数 次函数在给定 间 的最值，简单 函数的最值 含 母系数的 次函数 5 几何 角形中的边角之间的 等关系 面 等 换 角形中的边角之间的 等关系 面 等 换 角形的心 内心 外心 垂心 心 性质 相似形的概念和性质 圆，四点共圆，圆幂定理 四种命题 关系 6 逻 推理 题 抽屉原理 简单 用 简单的组合 题简单的逻 推理 题， 证法 极端原理的简 单 用 枚举法 简单 用
A U B = A, A I C = C ，求 a, m.
解 依题设， A = {1,2} ，再 因 因
x 2 − ax + a − 1 = 0 解得 x = a − 1 或 x = 1 ，
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竞赛讲座01－奇数和偶数整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.1.代数式中的奇偶问题例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？□+□=□，□-□=□，□×□＝□□÷□＝□.解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数分析由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数.2.与整除有关的问题例4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？解设70个数依次为a1,a2,a3据题意有a1=0, 偶a2=1 奇a3=3a2-a1, 奇a4=3a3-a2, 偶a5=3a4-a3, 奇a6=3a5-a4, 奇………………由此可知：当n被3除余1时，a n是偶数；当n被3除余0时，或余2时，a n是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22（为什么？）.由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0.故所求的十位数是9876524130.例6（1990年日本高考数学试题）设a、b是自然数，且有关系式123456789=（11111+a）（11111-b），①证明a-b是4的倍数.证明由①式可知11111（a-b）=ab+4×617②∵a＞0,b＞0,∴a-b＞0首先，易知a-b是偶数，否则11111(a-b)是奇数，从而知ab是奇数，进而知a、b 都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式①矛盾其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而ab+4×617是4的倍数，由②知a-b是4的倍数.3.图表中奇与偶例7（第10届全俄中学生数学竞赛试题）在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.解按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个.表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数；但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.例8（第36届美国中学生数学竞赛试题）将奇正数1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，从左数起是第几列？（此处无表）解由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985在第二列.例9 如图3-1，设线段AB的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入n个分点，把AB分成n+1个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为绿点的话，则称它为标准线段.证明不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数.分析 n个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用A、B分别表示红、绿点；不难看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从A点开始，每连续改变两次又回到A，现在最后一个字母是B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数必为奇数.4.有趣的应用题例 10（第2届“从小爱数学”赛题）图3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.（1）如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中？说明理由.解（1）连结AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而A点必在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为2，由于 A点在水中，氢不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见B点必在岸上.例11 书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年片，小华花了几张一元钱，正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年片花去多少钱？分析设买的贺年片分别为a、b、c、d（张），用去k张1元的人民币，依题意有10a+15b+25c+40d=100k,(k为正整数)即 2a+3b+5c+8d=20k显然b、c有相同的奇偶性.若同为偶数，b-c=10 和a=b=5，不是整数；若同为奇数，b=c=5和a=d=10,k=7.例12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室（可重复）之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数（重复经过的重复计算）之差总是偶数.证明给出入口处展览室记“+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与“-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻两室的“+”、“-”号都不同.一参观者从出入口处的“+”号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的“+”号室，他的路线是+-+-…+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“-”、“+”号室为n+1（重复经过的重复计算），即共走了2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门（包括进出出入口门各1次）.设其经过的方形门的次数是r次，经过圆形门的次数是s，则s+r=2n+2为偶数，故r-s也为偶数，所以命题结论成立.例13 有一无穷小数A=0.a1a2a3…a n a n+1a n+2…其中a i(i=1,2)是数字，并且a1是奇数，a2是偶数，a3等于a1+a2的个位数…，a n+2是a n+a n+1(n=1,2…,)的个位数，证明A 是有理数.证明为证明A是有理数，只要证明A是循环小数即可，由题意知无穷小数A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即0.…ab…ab…此小数就开始循环.而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……又a是奇数可取1，3，5，7，9；b是偶数可取0，2，4，6，8.所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的，在构成A的前25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得A是一循环小数，即A是有理数.练习1.填空题（1）有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.（2）有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的多18，这五个偶数之和是____.（3）能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结？答____.2.选择题（1）设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（）①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数；②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数；③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数；④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（2）若n是大于1的整数，则的值（）.（A）一定是偶数（B）必然是非零偶数（C）是偶数但不是2 （D）可以是偶数，也可以是奇数（3）已知关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c为整数），如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a（）（A）不能确定奇数还是偶数（B）必然是非零偶数（C）必然是奇数（D）必然是零3.（1986年宿州竞赛题）试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.7.（1983年福建竞赛题）一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.8.（1909年匈牙利竞赛题）试证：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次幂整除.9.（全俄15届中学生数学竞赛题）在1，2，3…，1989之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少？练习参考答案１．（１）３０．（最小两位奇数是１１，最大数与最小数同为奇数）（２）１８０．设第一个偶数为ｘ，则后面四个衣次为ｘ＋２，ｘ＋４，ｘ＋６，ｘ＋８．（３）不能．２．Ｂ．Ｂ．Ａ３．１１９８６是奇数１，９１９８６的个位数字是奇数１，而８１９８６，６１９８６都是偶数，故最后为偶数．４．仿例５１２０３４６５８７９．５．设ａ１，ａ２，…，ａｎ满足题设即ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ＝０①ａ１·ａ２……ａｎ＝ｎ②。
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高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二) 高中数学竞赛讲义（十）──直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
如x22=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：（1）一般式：0；（2）点斜式：0(0)；（3）斜截式：；（4）截距式：；（5）两点式：；（6）法线式方程：θθ（其中θ为法线倾斜角，为原点到直线的距离）；（7）参数式：（其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P（x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ，夹角为α，则θα=.6．平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。
且两者不重合，则l12的充要条件是k12；l1l2的充要条件是k1k21。
7．两点P1(x1, y1)与P2(x2, y2)间的距离公式：1P2。
8．点P(x0, y0)到直线l: 0的距离公式：。
9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l1：A111=0与l2：A222=0，则过l1, l2交点的直线方程为A111+λ(A222=0；由l1与l2组成的二次曲线方程为（A111）（A222）=0；与l2平行的直线方程为A110().10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为0. 若B>0，则>0表示的区域为l上方的部分，<0表示的区域为l下方的部分。
11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。
12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r的圆的标准方程为()2+()22，其参数方程为（θ为参数）。
13．圆的一般方程：x220(D22-4F>0)。
其圆心为，半径为。
若点P(x0, y0)为圆上一点，则过点P的切线方程为①14．根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。
给定如下三个不同的圆：x220, 1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为(D12)(E12)(F12)=0; (D23)(E23)(F23)=0; (D31)(E31)(F31)=0。
不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。
二、方法与例题1．坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。
例1 在Δ中，，∠900，过A引中线的垂线与交于点E，求证：∠∠。
[证明] 见图10-1，以A为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系。
设点B，C坐标分别为（0,2a）,(2a,0)，则点D坐标为（a, 0）。
直线方程为，①直线方程为2a，②设直线和的斜率分别为k1, k2，则k12。
因为，所以k1k21.所以，所以直线方程为，由解得点E坐标为。
所以直线斜率为因为k13=0.所以∠∠1800，即∠∠。
例2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。
证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为600。
[证明] 以A为原点，平行于正三角形的边的直线为x轴，建立直角坐标系见图10-2，设⊙D的半径等于边上的高，并且在B能上能下滚动到某位置时与，的交点分别为E，F，设半径为r，则直线，的方程分别为,.设⊙D的方程为()222.①设点E，F的坐标分别为(x11),(x22)，则，分别代入①并消去y得所以x1, x2是方程4x2-222=0的两根。
由韦达定理，所以2=(x)2+(y12)2=(x12)2+3(x12)212=4(x12)2-4x1x22-(m22)2.所以。
所以∠600。
2．到角公式的使用。
例3 设双曲线1的两支为C1，C2，正Δ三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R不可能在双曲线的同一支上。
[证明] 假设P，Q，R在同一支上，不妨设在右侧一支C1上，并设P，Q，R三点的坐标分别为且0<x1<x2<x3. 记∠θ，它是直线到的角，由假设知直线，的斜率分别为，由到角公式所以θ为钝角，与Δ为等边三角形矛盾。
所以命题成立。
3．代数形式的几何意义。
例4 求函数的最大值。
[解] 因为表示动点P(x, x2)到两定点A(3, 2), B(0, 1)的距离之差，见图10-3，当延长线与抛物线2的交点C与点P重合时，f(x)取最大值4．最值问题。
例5 已知三条直线l1: 0, l2: (1)=0, l3: (1)1=0围成Δ，求m为何值时，Δ的面积有最大值、最小值。
[解]记l1, l2, l3的方程分别为①，②，③。
在①，③中取1, 0，知等式成立，所以A(-1, 0)为l1与l3的交点；在②，③中取0, 1，等式也成立，所以B(0, 1)为l2与l3的交点。
设l1, l2斜率分别为k1, k2, 若m0，则k12=, SΔ，由点到直线距离公式，。
所以SΔ。
因为2m≤m2+1，所以SΔ≤。
又因为2-1≤2m，所以，所以SΔ≥当1时，（SΔ）；当1时，（SΔ）.5．线性规划。
例6 设x, y满足不等式组（1）求点(x, y)所在的平面区域；（2）设a>-1，在（1）区域里，求函数f()的最大值、最小值。
[解] （1）由已知得或解得点(x, y)所在的平面区域如图10-4所示，其中各直线方程如图所示。
：25；：21；：1；：4.(2) f(x, y)是直线l: 在y轴上的截距，直线l与阴影相交，因为a>-1，所以它过顶点C时，f(x, y)最大，C点坐标为（-3，7），于是f(x, y)的最大值为37. 如果-1<a≤2，则l通过点A（2，-1）时，f(x, y)最小，此时值为-21；如果a>2，则l通过B（3，1）时，f(x, y)取最小值为-31.6．参数方程的应用。
例7 如图10-5所示，过原点引直线交圆x2+(1)2=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线2的距离等于，求P 点的轨迹方程。
[解] 设直线的参数方程为（t参数）。
代入已知圆的方程得t2?2α=0.所以0或2α。
所以2α|，而.所以2α|，而2α|.所以2α2α|. 化简得2或2或α1.当±2时，轨迹方程为x22=4；当α=1时，轨迹方程为0.7．与圆有关的问题。
例8 点A，B，C依次在直线l上，且，过C作l的垂线，M是这条垂线上的动点，以A为圆心，为半径作圆，1与2是这个圆的切线，确定Δ1T2垂心的轨迹。
[解] 见图10-6，以A为原点，直线为x轴建立坐标系，H为与圆的交点，N为T1T2与的交点，记1。
以A为圆心的圆方程为x22=16，连结1，2。
因为22，T12，所以21，同理12，又12，所以12是菱形。
所以2。
又因为1T2，11，所以。
设点H坐标为（）。
点M坐标为(5, b)，则点N坐标为，将坐标代入，再由得在上取点K，使，所求轨迹是以K为圆心，为半径的圆。
例9 已知圆x22=1和直线2相交于A，B，且，与x轴正方向所成的角是α和β，见图10-7，求证：(α+β)是定值。
[证明] 过D作于D。
则直线的倾斜角为，因为，所以2?,所以。
所以例10 已知⊙O是单位圆，正方形的一边是⊙O的弦，试确定的最大值、最小值。
[解] 以单位圆的圆心为原点，的中垂线为x轴建立直角坐标系，设点A，B的坐标分别为A(αα)(αα)，由题设2α，这里不妨设A在x轴上方，则α∈(0,π).由对称性可设点D在点A的右侧（否则将整个图形关于y轴作对称即可），从而点D坐标为(α+2αα)，所以=因为，所以当时，1；当时，例11 当m变化且m≠0时，求证：圆(21)2+(1)2=4m2的圆心在一条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。
[证明] 由消去m得21=0.故这些圆的圆心在直线21=0上。
设公切线方程为，则由相切有2，对一切m≠0成立。
即(-43)m2+2(21)(1)(1)2=0对一切m≠0成立所以即当k不存在时直线为1。
所以公切线方程和1.三、基础训练题1．已知两点A(-3,4)和B(3,2)，过点P(21)的直线与线段有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是.2．已知θ∈[0,π]，则的取值范围是.3．三条直线236=0, 2, 32=0围成一个三角形，当点P(x, y)在此三角形边上或内部运动时，2的取值范围是.4．若三条直线44, 0, 234能围成三角形，则m的范围是.5．若λ∈R。
直线(2+λ)(1+λ)2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离为d，比较大小：.6．一圆经过A(4,2), B(-1,3)两点，且在两个坐标轴上的四个截距的和为14，则此圆的方程为.7．自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x22-447=0相切，则光线l所在的方程为.8．D2=4F且E≠0是圆x220与x轴相切的条件.9．方程1=表示的曲线是.10．已知点M到点A（1，0），B（a,2）及到y轴的距离都相等，若这样的点M恰好有一个，则a可能值的个数为.11．已知函数，变量x, y满足条件y2-2x≤0和2≤2，试求S的最大值和最小值。
12．A，B是x轴正半轴上两点，，(a<b)，M是y轴正半轴上的动点。
（1）求∠的最大值；（2）当∠取最大值时，求长；（3）当∠取最大值时，求过A，B，M三点的圆的半径。
四、高考水平训练题1．已知Δ的顶点A(3,4)，重心G(1,1)，顶点B在第二象限，垂心在原点O，则点B的坐标为.2．把直线绕点（-1，2）旋转300得到的直线方程为.3．M是直线l:上一动点，过M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，则在线段上满足的点P的轨迹方程为.4．以相交两圆C1：x22+41=0及C2：x22+221=0的公共弦为直径的圆的方程为.5．已知{()>0}{()|(1)2+()22>0}，a的最大值与最小值的和是.6．圆x2260与直线23=0交于P，Q两点，O为原点，，则.7．已知对于圆x2+(1)2=1上任意一点P()，使≥0恒成立，m范围是.8．当a为不等于1的任何实数时，圆x2-22+2(2)2=0均与直线l相切，则直线l的方程为.9．在Δ中，三个内角A，B，C所对应的边分别为，若, 成等差数列，那么直线2与直线2的位置关系是.10．设{()|0≤x≤2,0≤y≤2}{()≤10≥2≤4}是坐标平面上的点集，所围成图形的面积是.11．求圆C1：x22+269=0与圆C2：x22-621=0的公切线方程。