解析几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲：解析几何1、（2009一试2）已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为． 【答案】[]36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 36a ≤≤．2、（2009一试5）椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为．【答案】22222a b a b+【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ②①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ =OP OQ 达到最小值22222a b a b +．3、（2010一试3）双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是. 【答案】98004、（2011一试7）直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为． 【答案】)2,1(-或)6,9(-即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．5、（2012一试4）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是. 【答案】1【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.6、（2013一试2）在平面直角坐标系xOy 中，点A B 、在抛物线24y x =上，满足4OA OB ⋅=-，F 是抛物 线的焦点.则OFA OFB S s ∆∆⋅=. 【答案】2.【解析】点F 坐标为()1,0.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2114y x =，2224y x =，故()2121212121416OA OB x x y y y y y y -=⋅=+=+，即()21218016y y +=，故128y y =-.212121112224OFA OFB S S OF y OF y OF y y ∆∆⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7、（2013一试7）若实数,x y 满足x -x 的取值范围是. 【答案】{}[]04,20.如图所示，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2为圆心，,0a b ≥的部分，即点O 与弧ACB 的并集.因此{}02,25⎡⎤⎣⎦，从而{}[]2204,20x a b =+∈.学%科网8、（2014一试6）设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,，若||||212F F PF =，且||4||311QF PF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.【解析】11||4,||3,PF QF ==记椭圆T 的长轴，短轴的长度分别为2a,2b,焦距为212||||2,F F c ==2c,则PF 且由椭圆的定义知，12122||||||||2 4.a QF QF PF c =+=+=+PF 2121||||||||2 1.QF PF QF c =+-=+于是PF11||2||5H PF F H QH ==设为线段的中点，则，，21.F H PF ⊥且有由勾股定理知，2222222121||-||||||||QF QH F H F F F H ==-222221)5(2)2,5,7c c c a +-=-==即（解得b T =因此椭圆的短轴与长轴的比值为b a =9、（2016一试7）双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1∆的内切圆半径是 . 【答案】17- 【解析】10、（2017一试3）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的方程为221910x y +=，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为.【答案】2【解析】易知(3,0),F(0,1).P 3cos ),[0,],2A πθθθ∈设的坐标是（则113313cos sin )).2222=OAPF OAF OFP S S S OAPF θθθθθϕϕθ∆∆=+=⋅+⋅⋅=+=+=其中当11、（2009一试9）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k x kmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k+=-+ ()()()222184344480km k m ∆=-+-> ①由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k x kmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k +=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ②因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=． 由1234x x x x +=+得2282343km kmk k-=+-． 所以20km =或2241343k k-=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k <k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．12、（2010一试10）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值. 【解析】解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .AB=]4))[(91(2122120yyyyy-++=))122(44)(91(2220--+=yyy)12)(9(3222yy-+= .定点)0,5(C到线段AB的距离2229)0()25(yyCMh+=-+-==.2229)12)(9(3121yyyhABSABC+⋅-+=⋅=∆)9)(224)(9(2131222yyy+-+=32220)392249(2131yyy++-++≤7314= .当且仅当222249yy-=+，即y=A B或66((33A B-时等号成立.所以，ABC∆面积的最大值为7314.2222122112))656665(21(tt tt ttSABC--+=∆221221)5()(23+-=t ttt)5)(5)(24(23212121++-=t tt tt t3)314(23≤,所以7314≤∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即 ,6571-=t 6572+-=t,66((33A B +或A B -时等号成立.所以，ABC ∆面积的最大值是7314.13、（2011一试11）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积． 【解析】（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ． 将m x y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得03696222=-++m mx x ．上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m 0122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+P B P A k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB 时，结合（1）的结论可知3,3-==P B P A k k ．直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+y x 中，消去y 得0)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x ，即14)3313(231-=x ．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．1||||sin 60211)1)277249PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒=⋅⋅⋅=所以．14、（2012一试11）如图5，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．（１）求证：||||OA OC ⋅为定值；（２）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时，求点C 的轨迹．(2)设(,),(22cos ,2sin ),C x y A αα+其中(),22XMA ππαα=∠-≤≤则2XOC α∠=. 因为2222(22cos )(2sin )8(1cos )16cos,2OA αααα=++=+=所以4cos2OA α=由(1)的结论得cos5,2OC α=所以cos5.2x OC α==从而sin5tan[5,5].22y OC αα==∈-故点C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为(5,5),(5,5)A B - 学科/网15、（2013一试11）（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，12A A 、分别为椭圆的左、右顶点，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中两个点Q R 、满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥,11RF PF ⊥,22RF PF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.【解析】令c ，则()1,0A a -，()2,0A a ，()1,0F c -，()2,0F c .设()00,P x y ，()11,Q x y ，()22,R x y ，其中2200221x y a b+=，00y ≠.由11QA PA ⊥，22QA PA ⊥可知()()1110100AQ A P x a x a y y ⋅=+++=，○1 ()()2210100A Q A P x a x a y y ⋅=--+=○2根据11RF PF ⊥,22RF PF ⊥，同理可得22000,x c R x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因此2222200000x a x c b QR y y y --=-=， 由于(]00,y b ∈，故QR b ≥（其中等号成立的充分必要条件是0y b =，即点P 为()0,b ±）.16、（2014一试9）（本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上一个动点，满足条件：过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直.设直线P l 与PO ，x 轴的交点分别为R Q ,， （1）证明：R 是一个顶点. （2）求||||QR PQ 的最小值. 【解析】(1)设P 点的坐标为(a,b)(0)b ≠,易知0a ≠,记两切点A B ，的坐标为1122,),,),x y x y （（则PA PB ，的方程分别为11222()12()2yy x x yy x x =+=+（）（）而点P 的坐标为(a,b)同时满足（1）（2），故A ，B 的坐标均满足方程by=2(x+a)(3)，故（3）就是直线AB 的方程. 直线PO 与AB 的斜率分别为22=-1,a=-2b b PO AB a b a b⊥与，由知，故 从而（3）即为2y=(2),x b-故AB 与x 轴的交点R 是定点（2,0）.(2)因为a=-2，故直线PO 的斜率12.24b b PR k =-=-k ，直线的斜率设=OPR α∠，则α为锐角，且212121()()1||1824||||||tan 2||2||24b bk k PQ b b b QR k k b b α+--++====≥=--+||||PQ b QR =±当时，的最小值为17、（2015一试11）(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左,右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B ,焦点2F 到直线l 的距离为d .如果直线11,,AF l BF 的斜率成等差数列,求d 的取值范围.由于点A 、B 不重合，且直线l 的斜率存在，故12,x x 是方程（1）的两个不同实根，因此有（1）的判别式 22222=4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆-+-=+->（， 即2221.(2)k m +>由直线11AF l BF 、、的斜率121211y yk x x ++、、依次成等差数列， 12112212+2,,11y yk y kx m y kx m x x ==+=+++又，所以 122112)(1))(1)2(1)(1).kx m x kx m x k x x +++++=++（（化简并整理得12)(2)0m k x x -++=（假如m k =，则直线L 的方程为y=kx+k,即l 经过点11,0F （-），不符合条件. 因此必有122=0x x ++，故由方程（1）及韦达定理知，12241()2,.(3)212km x x m k k k=-+==++即由22212321=2k m k k +>+（）、（）知，（）化简得2214k k >，这等价于||2k >反之当m,k 满足（3及）||k >l 必不经过点1F （否则将导致,m k =与（3）矛盾），注意到||k >，令t =(1t ∈上式可改写为21313()().(4)222t t t t ⋅+=⋅+d=考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在[1上单调递减，故由（4）得(1),f d f <<即d ∈ 18、（2016一试11）（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上的一个动点.以F 为焦点，O 为顶点作抛物线C .设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与轴相切.求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值.【解析】设抛物线C 的方程是)0(22>=p px y ，点Q 的坐标为)0)(0,(>-a a ，并设21,C C 的圆心分别为),(),,(222111y x O y x O .设直线PQ 的方程为)0(>-=m a my x ，将其与C 的方程联立，消去x 可知0222=+-pa pmy y . 因为PQ 与C 相切于点P ，所以上述方程的判别式为024422=∙-=∆pa m p ，解得pa m 2=.进而可知，点P 的坐标为)2,(),(pa a y x P P =.于是 )2(2221|0|1||2a p a pa pa y m PQ P +=∙+=-+=.由｜PQ ｜=2可得4242=+pa a ①结合①，就有2221342a pa a y y -=+=②由21,,O P O 共线，可得212121212122y y N O M O PO P O y y y y y pa pay P P ===--=--. 化简得212122y y pa y y =+③ 令2221y y T +=，则圆21,C C 的面积之和为T π.根据题意，仅需考虑T 取到最小值的情况. 根据②、③可知，212221212212242)(y y y y pay y y y T -=-+= 22222221)2)(34()34(2)34(444aa a a a a ---=----=.学科*网 作代换21a t -=，由于024442>=-=pa a t ，所以0>t .于是4324132413)1)(13(+=+∙≥++=++=tt t t t t t T . 上式等号成立当且仅当33=t ，此时3111-=-=t a ，因此结合①得， 331333311122-=-=-=-=t t a a p从而F 的坐标为)0,331()0,2(-=p .。