2020北京各区一模数学试题分类汇编--解析几何(原卷版)
2020年北京各区高三一模数学分类---解析几何
【答案】①②
【分析】将 代入 也成立得①正确；利用不等式可得 ，故②正确；联立 得四个交点，满足条件的最小正方形是以 为中点，边长为2的正方形，故③不正确.
【详解】对于①，将 代入 得 成立，故曲线 关于直线 对称，故①正确；
对于②，因为 ，所以 ，所以 ，
所以曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ，故②正确；
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为 ，根据双曲线的定义可得 ，根据余弦定理可得 ，再根据离心率公式即可求得结果.
【详解】设双曲线 实半轴长，半焦距分别为 ，因为 ，所以 ，
因为以 ， 为焦点的双曲线经过点 ，所以 ， ，
在三角形 中由余弦定理得 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ， ，则
因为 ，所以椭圆 的半焦距
设椭圆 的左焦点为 ，则 ，连接 ，由椭圆的定义可得
即 ，解得 ，故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质以及椭圆的基本性质，其中利用定义求 是解题的关键，属于中档题.
9.（2020朝阳一模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，点 是抛物线 上一点， 于 .若 ， ，则抛物线 的方程为（）
A. B. C. D.【答源自】B【分析】根据抛物线的定义求得 ，然后在直角三角形中利用 可求得 ，从而可得答案.
【详解】根据抛物线的定义可得 ，又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以抛物线 的方程为 .故选：B
【点睛】本题考查了抛物线的定义，利用定义得 是解题关键，属于基础题.
10.（2020朝阳一模）在 中， ， .若以 ， 为焦点的双曲线经过点 ，则该双曲线的离心率为（）
2020年北京高三一模分类汇编集合(含答案)
2020北京各区高三数学一模分类汇编—集合1、（2020北京朝阳一模）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则A B =（A ）{}3（B ）{}1,3（C ）{}1,2,3,5（D ）{}1,2,3,4,52、（2020北京东城一模）已知集合，，那么(A) (B)(C)(D)3、（2020北京房山一模）已知集合则 z4、（2020北京丰台一模）若集合，，则（A ） （B ）（C ） （D ）5、（2020北京适应一模）已知集合则（A ）（B ）（C ） （D ）6、（2020北京高考模拟一模）已知集合，，则A ．，B ．，C ．，D ．7、（2020北京海淀一模）己知集合，则集合B 可以是A. B.C.D.8、（2020北京密云一模）已知集合，则A. B.C. D.9、（2020北京密云一模）已知集合A={x|x>-1},集合B={x|x(x+2)<0},那么A∪B等于A.{x|x>-2}B.{x|-1<x<0}C.{x|x>-1}D.{x|-1<x<2}10、（2020北京人大附一模）若集合,则集合等于()A. B.C. D.11、（2020北京15中一模）若集合A＝{x|x2+2x＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}12、（2020北京石景山一模）设集合，则等于A. B.C. D.13、（2020北京顺义一模）已知集合那么A. B.C. D.14、（2020北京通州一模）已知集合，，则A. B.C. D.15、（2020北京西城一模）设集合则(A) (B)(C) (D)16、（2020北京延庆一模）已知集合,且则的取值范围是17、（2020北京11中一模）已知集合，，则（）A． B．C． D．18、（2020北京11校一模）若集合则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件2020北京各区高三数学一模分类汇编—集合参考答案1、C2、D3、34、C5、C6、D7、B8、C9、A10、 D11、 A12、 B13、 C14、 D15、 C16、17、 B18、 A。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--立体几何(解析版)
1 / 362020北京各区一模数学试题分类汇编--立体几何（2020海淀一模）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】由三视图知，四棱锥底面是直角梯形，EA ⊥底面ABCD ,2EA AB BC ===,最长棱是EC ， 在Rt ABC ∆中，222AC AB BC =+，在Rt EAC D 中，222EC EA AC =+，222212EC EA AB BC \=++=，EC =故选：D ．（2020西城一模）某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）2 / 36A. S S ，且B. S S ，且C. S S ，且D. S S ，且 【答案】D【解析】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件. 故12AB BCCD AD CC =====，11BC DC ==，1AC =故{2,S =，故S，S .故选：D .（2020东城一模）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．【答案】4 3【解析】由三视图知该几何体如图，V＝12123⨯⨯⨯＝433/ 364 / 36故答案为43（2020丰台一模））A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】该几何体对应直观图如下图所示122ABC S =⨯=V 122ABD S =⨯=VAC ==Q ，AD ==122BCD S ∴=⨯=V 122ACD S ∆=⨯=3个 故选：C的5 / 36（2020朝阳区一模）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为________.【答案】 (1). 5 (2). 4【解析】如图所示是三棱锥的直观图：其中AF ⊥平面BCD ，垂足为F ，根据三视图可知，2BE ED ==，2CE EF ==，3AF =，6 / 36所以BF DF BC CD ====AB AD ===，5AC ==，比较可知该三棱锥的最长棱的长为5AC =， 它的体积为1113424332BCD AF S ∆⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 故答案为：（1）5 （2）4（2020石景山一模）如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 8【答案】B【解析】如图所示，题中的几何体是棱长为2的正方体被平面ABCD 截得的正方体的下部分，很明显截得的两部分是完全一致的几何体，则该几何体的体积为31242V =⨯=. 故选：B7 / 36（2020丰台一模）已知平面α和三条不同的直线m ，n ，l .给出下列六个论断：①m α⊥；②//m α；③//m l ；④n α⊥；⑤//n α；⑥//n l .以其中两个论断作为条件，使得//m n 成立.这两个论断可以是______.（填上你认为正确的一组序号） 【答案】①④（或③⑥）【解析】对①④，由线面垂直的性质定理可知，若m α⊥，n α⊥，则//m n ，故可填①④ 对①⑤，若m α⊥，//n α，则m n ⊥；对①⑥，若m α⊥，//n l ，则无法判断,m n 的位置关系； 对②④，若//m α，n α⊥，则m n ⊥；对②⑤，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，平行或异面；8 / 36对②⑥，若//m α，//n l ，则无法判断,m n位置关系；对③④，若//m l ，n α⊥，则无法判断,m n 的位置关系； 对③⑤，若//m l ，//n α，则无法判断,m n 的位置关系；对③⑥，由平行的传递性可知，若//n l ，//m l ，则//m n ，故可填③⑥ 故答案为：①④（或③⑥）（2020朝阳区一模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动.当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A. 线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB. 线段1CA 的中点C. 线段1CA 的三等分点，且靠近点CD. 线段1CA 的四等分点，且靠近点C【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：的9 / 36则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-u u u r， 设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---u u u r，由1AC u u u r 与PC uuu r 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为||PM =u u u ur=，||PN =u u ur =，所以||||PM PN =u u u u r u u u r，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，由空间两点间的距离公式可得||PQ ===10 / 36所以当12c =时，||PQP 为线段1CA 的中点，由于||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点. 故选：B（2020石景山一模）点M ，N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动.若1//PA 面AMN ，则1PA 的长度范围是（ ）A. ⎡⎣B. ⎣C. ⎤⎥⎣⎦D. []2,3【答案】B【解析】取11B C ，1B B 中点E ，F ， 连接1A E 、1A F .则1A E ∥AM .EF ∥MN .又因为1A E EF E ⋂= . 所以平面1A EF ∥平面AMN .又因为动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动， 所以点P 的轨迹为线段EF .11 / 36又因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以11A E A F =EF =所以1A EF V 为等腰三角形.故当点P 在点E 或者P 在点F 处时，此时1PA最大，最大值当点P 为EF 中点时，1PA= .故选：B.（2020怀柔一模）如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）12 / 36A.23B.43C. 3D.32【答案】D【解析】根据三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥P ABC -， 如图可知3,1,==⊥AB BC AB BC ，点P 到平面ABC 的距离为3h =11331222△=⋅⋅=⋅⋅=ABC S AB BC所以113333322△-=⋅⋅=⋅⋅=P ABC ABC V S h 故选：D（2020密云一模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）13 / 36A. 8B.83C. 8+D. 8+【答案】D【解析】由三视图知几何体是四棱锥，如图，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2，所以112222222822S =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+， 故选：D（2020密云一模）在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A. 点F 的轨迹是一条线段B. 1A F 与BE 是异面直线C. 1A F 与1D E 不可能平行D. 三棱锥1F ABD -体积为定值【答案】C【解析】对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点14 / 36分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，11//A M D E Q ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ，1A M Q 、MN 是平面1A MN 内的相交直线∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上上的动点．A ∴正确．对于B ，Q 平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交， 1A F ∴与BE 是异面直线，B ∴正确．对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ，1A F ∴与1D E 不可能平行，C ∴错误．对于D ，因为//MN EG ，则F 到平面1AD E 的距离是定值，三棱锥1F AD E -的体积为定值，所以D 正确； 故选：C ．（2020顺义区一模）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的侧面积是A. 4+B. 12C. D. 8【答案】D【解析】由三视图知：原几何体是一个正四棱锥，正四棱锥的底面边长为2，所以该几何体的侧面积为1=224=82s⨯⨯⨯．故选：D．（2020延庆一模），则它的表面积为( )A. 8B. 12C. 4+ D. 2015/ 3616 / 36【答案】B【解析】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，如图所示，底面边长为2，设四棱锥的高为h，则依题意有1223V h =⨯⨯=所以h =12h ===所以四棱锥的侧面积11=422=82S ⨯⨯⨯， 所以该四棱锥的表面积为：2=8+22=12S ⨯. 故选：B（2020延庆一模）已知直线,a b ，平面,//b a a b αβαβα⋂=⊥，，，，那么“a β⊥”是“αβ⊥”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若//a α，则在平面α内必定存在一条直线a '有//a a '， 因为a b ⊥r r，所以a b '⊥，若a β⊥，则a β'⊥，17 / 36又a α'⊂，即可得αβ⊥，反之，若αβ⊥，由b αβ=I ，a b '⊥，a α'⊂可得a β'⊥，又//a a '，则有a β⊥. 所以“a β⊥”是“αβ⊥”的充分必要条件. 故选：C（2020海淀一模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB⊥平面1111,22,BB C C AB BB BC BC ===E 为11A C 的中点.(I)求证：1C B ⊥平面ABC ； (II)求二面角A BC E --的大小.【解析】 (I)AB Q ⊥平面11,BB C C 1C B ⊂平面11CBB C ，1AB C B ∴⊥，在1CBC △中，1112,1,CC BB BC BC ====，22211BC BC CC +=， 1BC C B \^，AB BC B ⋂=，1C B ∴⊥平面ABC ；(II)由(I)知11AB C B AB CB BC C B ^^^，，,则建立空间直角坐标系B xyz -，则1(0,0,0),((1,0,0)2B EC -，18 / 361(1,0,0),(2BC BE ==-u u u r u u u r设平面BEC 的法向量为(,,)n x y z =r，故00n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u uv v，0102x x z =⎧⎪∴⎨-+=⎪⎩.令y =0,3x y z \===-，3)n r \=-，又平面BAC 的法向量为(0,1,0)m =u r，1cos ,2m n m n m n \<>==u r ru r r g u r r .由题知二面角A BC E --为锐二面角，所以二面角A BC E --的大小为3π.（2020西城一模）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且12AB AD AA BD DC =====，19 / 36(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.【解析】 (Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥. 1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =r ，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =r ，()2,0,0AB =u u u r，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ故sin cos ,6n AB n AB n ABθ⋅====⋅r u u u r r u u u r r u u ur .20 / 36（2020东城一模）16.如图1，在ABC V 中， D ， E 分别为AB ， AC 的中点，O 为DE的中点，AB AC ==4BC =.将ABC V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2.（1）求证：1AO BD ⊥； （2）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值.【解析】（1）连接1A O .图1中，AB AC =Q ，D ， E 分别为AB ， AC 的中点，AD AE ∴=，即11A D A E =，又O 为DE 的中点，1AO DE ∴⊥.21 / 36又平面1A DE ⊥平面BCED ，且平面1A DE I 平面BCED DE =，1AO ⊂平面1A DE ， 1A O ∴⊥平面BCED ，又BD ⊂平面BCED ， 1A O BD ∴⊥.（2）取BC 中点G ，连接OG ，则OG DE ⊥.由（1）可知1A O ⊥平面BCED ，OG ⊂平面BCED 11,AO DE AO OG ∴⊥⊥. 以O 为原点，分别以1,,OG OE OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示AB AC ==Q 4BC =，112,1,2A D DE OD AO ∴==∴=∴==.()()()()10,0,2,2,2,0,2,2,0,0,1,0A B C D ∴--，()()()11112,2,2,0,1,2,2,2,2A B A D AC AC ∴=--=--=-=u u u r u u u u r u u u r u u u r， 设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =r，则11·0·0n A B n A D ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，即222020x y z y z --=⎧⎨--=⎩，令1z =，则2,1y x =-=-，()1,2,1n n ∴=--=r r ，.设直线1A C和平面1A BD所成的角为θ，则111sin cos,3AC nAC nAC nθ=〈〉===u u u r ru u u r r gu u u r r所以直线1A C和平面1A BD.（2020丰台一模）17.如图，在四棱锥M ABCD-中，//AB CD，90ADC BM C∠=∠=o，M B M C=，12AD DC AB===BCM⊥平面ABCD.（1）求证：//CD平面ABM；（2）求证：AC⊥平面BCM；（3）在棱AM上是否存在一点E，使得二面角E BC M--的大小为4π？若存在，求出AEAM的值；若不存在，请说明理由.【解析】证明：（1）因为AB CD∥，ABÌ平面ABM，CD⊄平面ABM，所以CD∥平面ABM.（2）取AB的中点N，连接CN.22/ 3623 / 36在直角梯形ABCD 中，易知AN BN CD ===CN AB ⊥.在Rt CNB △中，由勾股定理得2BC =. 在ACB △中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =， 所以AC ⊥平面BCM .（3）取BC 的中点O ，连接OM ，ON . 所以ON AC ∥， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，24 / 36则()0,0,1M ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()2,1,0A -，()2,1,1AM =-u u u u r ，()0,2,0BC =-u u u r ，()2,2,0BA =-u u u r. 易知平面BCM 的一个法向量为()1,0,0m =u r.假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π. 不妨设AE AM λ=u u u r u u u u r（01λ≤≤），所以()22,2,BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r，设(),,n x y z =r为平面BCE 的一个法向量，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r 即()20,220,y x z λλ-=⎧⎨-+=⎩令x λ=，22z λ=-，所以(),0,22n λλ=-r.从而cos ,2m n m nm n ⋅==⋅u r ru r r ur r .25 / 36解得23λ=或2λ=. 因为01λ≤≤，所以23λ=. 由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π， 此时23AE AM=.（2020朝阳区一模）17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，四边形11ACC A 是正方形，点D ，E 分别是棱BC ，1BB 的中点，4AB =，12AA =，BC =（1）求证：1AB CC ⊥；（2）求二面角1D AC C --的余弦值；（3）若点F 在棱11B C 上，且1114B C B F =，判断平面1AC D 与平面1A EF 是否平行，并说明理由.【解析】（1）证明：因为四边形11ACC A 是正方形，所以1CC AC ⊥.又因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，26 / 36平面ABC I 平面11ACC A AC =，所以1CC ⊥平面ABC又因为AB Ì平面ABC ， 所以1AB CC ⊥.（2）由（1）知，1CC AB ⊥，11//AA CC ，所以1AA AB ⊥.又4AB =，12AC AA ==，BC =所以222AB AC BC +=.所以AC AB ⊥.如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 所以(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(0,0,2)C ，1(0,2,0)A ..27 / 36则有(2,0,1)D ，1(0,2,2)C ，(4,1,0)E ， 平面1ACC 的一个法向量为(1,0,0)u =r.设平面1AC D 的一个法向量为(,,)v x y z =r，又(2,0,1)AD uuu r=，1(0,2,2)AC uuu r =，由10,0.v AD v AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v r u u u u v r 得20,220.x z y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则2z =-，2y =.所以(1,2,2)v =-r.设二面角1D AC C --的平面角为θ，则||11|cos |||||133u v u v ×===´r r r r q . 由题知，二面角1D AC C --为锐角，所以其余弦值为13. （3）平面1AC D 与平面1A EF 不平行.理由如下：由（2）知，平面1AC D 的一个法向量为(1,2,2)v =-r，1(4,1,0)A E uuu r=-，所以120A E v??uuu r r，所以1A E 与平面1AC D 不平行.28 / 36又因为1A E ⊂平面1A EF ，所以平面1AC D 与平面1A EF 不平行.（2020石景山一模）16.如图，在正四棱锥P ABCD -中，AB PB ==AC BD O =I .（1）求证：BO ⊥平面PAC ； （2）求二面角A PC B --的余弦值. 【解析】（1）证明：联结PO .在正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥底面ABCD . 因为BO ⊂平面ABCD ，所以PO BO ⊥. 在正方形ABCD 中，BO AC ⊥，又因为PO AC O =I ，所以BO ⊥面PAC.29 / 36（2）解：由（1）知，PO ，AO ，BO 两两垂直， 以O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 在正方形ABCD中，因为AB = 所以2AO =.又因为PB = 所以2PO =.所以点P 的坐标为()002P ,,，点C 的坐标为()2,0,0C -， 点B 的坐标为()0,2,0B .则()2,0,2PC =--u u u r ，()2,2,0CB =u u u r.由（1）知，BO ⊥平面PAC .所以平面PAC 的一个法向量为()10,2,0n OB ==u r u u u r . 设平面PBC 的一个法向量()2,,n x y z =u u r.则2200n PC n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v ，即220,220.x z x y --=⎧⎨+=⎩令1y =，则1x =-，1z =.故平面PBC 的一个法向量()21,1,1n =-u u r. 121212cos ,3n n n n n n ⋅==u r u u ru r u u r u r u u r 所以二面角A PC B --（2020怀柔一模）17.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是BC ，PC 的中点，2,2AB AP ==，．30 / 36（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角E AF C --的大小．【解析】（1）PA ABCD PA BD ABCD AC BD BD PAC⊥⇒⊥⇒⊥⇒⊥Q 平面正方形平面（2）以A 为原点，如图所示建立直角坐标系(0,0,0)(2,1,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)A E F AE AF ==u u u r u u u r ，， 设平面FAE 法向量为(,,)n x y z =r，则20{x y x y z +=++=(1,2,1)n =-r，(2,2,0)BD =-u u u r ，·cos2||?,66n BDn BDE AF Cθππθ===∴=--u u u rru u u u ru u r即二面角的大小为（2020密云一模）18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，60ADC∠=︒，PAD△为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点.（1）求直线CM与平面P AB所成角的正弦值；（2）求二面角D-AP-B的余弦值；（3）试判断直线MN与平面P AB的位置关系，并给出证明.【解析】Q底面ABCD是边长为2的菱形，60ADC∠=︒，ACD∴∆为等边三角形．取AD中点O，连接OC，则OC AD⊥，PAD∆Q为等边三角形，OP AD∴⊥，又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD I平面ABCD AD=，OP∴⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．31/ 3632 / 36则(0A ，1-，0)，(0D ，1，0)，C 0，0)，B 2-，0)，(0P ，0，(0M ，12，N 1-，0)．AP →=，1,0)AB →=-，设平面PAB 的一个法向量为n (x,y,z)→=．由00n AP y n AB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v r u u u v r，取y =1)n →=-．（1）证明：设直线CM 与平面PAB 所成角为θ，1(2CM →=，则||sin |cos ,|||||n CM n CM n CM θ→→→→→→⋅=<>===⋅，即直线CM 与平面PAB所成角的正弦值为10；（2）设平面DAP 的一个法向量为(1,0,0)m →=，由cos ,||||n mn m n m →→⋅<>===⋅r rr r ，33 / 36得二面角D AP B --的余弦值为- （3）Q 3,2MN →=-，∴0n MN →→⋅==， 又MN ⊄平面PAB ，∴直线//MN 平面PAB ．（2020顺义区一模）16.已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD AB =,E 是PB 的中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ;（2）求二面角E AD B --的大小;（3）试判断AE 所在直线与平面PCD 是否平行,并说明理由.【解析】（1）证明：∵ABCD 正方形BC CD ∴⊥∵PD ⊥平面ABCD , BC ⊂平面ABCD ,∴PD BC ⊥∵PD CD D ⋂=,PD CD ⊂平面PCD∴BC ⊥平面PCD34 / 36又∵BC ⊂平面PBC∴平面PBC ⊥平面PCD（2）∵PD ⊥平面ABCD , ,AD CD ⊂平面ABCD∴,PD AD PD CD ⊥⊥又∵ABCD 是正方形∴AD CD ⊥∴,,DA DC DP 两两垂直∴以D 为原点如图建系,设1PD AB ==∴0,0,0D （）,(1,0,0)A ,(0,1,0)C ,(1,1,0)B ,(0,0,1)P , 111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭∴111(1,0,0),,,222DA DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r又∵PD ⊥平面ABCD∴平面ADB 的法向量(0,0,1)DP =u u u r设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =r则DA n ⊥u u u r r ,DE n ⊥u u u r r35 / 36∴01110222DA n x DE n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u r r u u u r r 令1z =,得1,0y x =-=∴(0,1,1)n =-r∴cos ,2||||DP n DP n DP n ⋅<>===⋅u u u r r u u u r r u u u r r ∴二面角E AD B --的大小为45︒（3）∵PD AD ⊥,AD CD ⊥ ,PD CD D ⋂=又,PD CD ⊂平面PCD ,∴AD ⊥平面PCD∴平面PCD 的法向量为(1,0,0)DA =u u u r又∵1111,,02222AE AE DA ⎛⎫=-⋅⋅=-≠ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ∴AE u u u r 与DA u u u r 不垂直,∴AE 与平面PCD 不平行（2020延庆一模）16.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，4AB PD PC O =⊥，，是CD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点，//PA 平面BDE .（1）求证：E 是PC 的中点；（2）求证：PD 和BE 所成角等于90.︒36 / 36 【解析】（1）如图，联结AC ，设AC 与BD 交于F ，联结EF ， 因//PA 平面BDE ，平面PAC I 平面BDE =EF ,所以//PA EF . 又因为四边形ABCD 是正方形，所以F 是AC 的中点， 所以EF 是PAC V 的中位线，所以E 是PC 的中点 （2）因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO BC ⊥.因为四边形ABCD 是正方形，所以BC CD ⊥又PO CD O =I ，所以BC ⊥平面PDC ，所以BC PD ⊥ 又因为PD PC ⊥且BC PC C ⋂=，所以PD ⊥平面PBC 因为BE ⊂平面PBC ，所以PD BE ⊥，所以PD 与BE 成90︒角.。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--应用题(原卷版)
2020北京各区一模数学试题分类汇编--应用题（2020海淀一模）形如221n (n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（ ） (参考数据: lg 2≈0.3010 )A. 9B. 10C. 11D. 12（2020西城一模）在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.（2020东城一模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ,观影人数记为x ,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）（2020东城一模）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A. 10天B. 15天C. 19天D. 2天（2020东城一模）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8（2020朝阳区一模）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.（2020石景山一模）长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．（2020怀柔一模）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．（2020怀柔一模）“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周≈）率π，则π的近似值是（）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588A. 3.05B. 3.10C. 3.11D. 3.14（2020密云一模）在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.（2020顺义区一模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y,观影人数记为x,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象.给出下列四种说法:①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）（2020延庆一模）某企业生产,A B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B两种产品的年产量的增长率分别为50%和lg ）( ) 20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取20.3010A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年（2020延庆一模）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数(解析版)
1 / 312020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数（2020海淀一模）已知函数f (x )=|x -m |与函数g (x )的图象关于y 轴对称.若g (x )在区间(1，2)内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A. [-1，+∞) B. (-∞，-1]C. [-2，+∞)D. (-∞，-2]【答案】D【解析】函数()f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称,()=()g x f x x m \-=+，()g x 在区间(12)，内单调递减， 则22m m -砛?，， 故选：D ．（2020西城一模）设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A. (]0101， B. (]099，C. (]0100， D. ()0+∞，2 / 31【答案】B【解析】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .（2020西城一模）下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ）3 / 31A. 2y x =+B. y sinx =C. 3y x x =-D. 2x y =【答案】C【解析】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除； B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除； 故选：C .（2020东城一模）设函数()()120f x x x x=+-<，则()f x （ ） A. 有最大值 B. 有最小值C. 是增函数D. 是减函数【答案】A【解析】0x <Q ，()()112224f x x x x x ⎡⎤∴=+=--+-≤--=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即 1x =-时取等号，()f x ∴有最大值，又由对勾函数的图象可知()f x 在(),0-∞上不具单调性. 故选：A.（2020丰台一模）已知函数()e 1,0,,0.x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. (),1-∞-B. (],1-∞-C. ()1,0-D. [)1,0-4 / 31【答案】A【解析】不妨设00x >当0k ≥时，()00=e 10xf x ->，()000f x kx -=-≤，不存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则0k ≥不满足题意当k 0<时，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则方程00e 1xkx -=-有非零的正根，即函数()e 1,0x y x =->与(),0y kx x =->有交点先考虑函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切的情形设切点为11(,)x y ，则11111e 1x x k e y kx y ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，整理得()111e 10xx -+=令()()1e 1,0xg x x x =-+≥，则()0e xg x x '=≥，即函数()g x 在[)0,+∞上单调递增则()(0)0g x g ≥=，所以方程()111e 10xx -+=的根只有一个，且10x =，即1k -=则函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切时，切点为原点所以要使得函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点，则1k ->，即1k <-所以实数k 的取值范围是(),1-∞- 故选：A（2020丰台一模）已知132a =，123b =，31log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>【答案】C5 / 31【解析】66121342372⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，0a b ∴<<331log log 021c =<=Q b a c ∴>>故选：C（2020朝阳区一模）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. 21y x =-+C. 2log y x =D. ||2x y =【答案】D【解析】函数3y x =是奇函数，不符合；函数21y x =-+是偶函数，但是在(0,)+∞上单调递减，不符合；函数2log y x =不是偶函数，不符合；函数||2x y =既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增，符合. 故选：D（2020朝阳区一模）已知函数222,1,()2ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()2af x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (-∞B. 3[0,]2C. [0,2]D.【答案】C【解析】（1）当1x ≤时，由()2a f x ≥得23(2)2x a x ≥-，6 / 31当314x <≤时，2322x a x ≤-232()4x x =-恒成立，因为222333933()()()42416443332()2()2()444x x x x x x x -+-+-+==---913316()32442()4x x =-++- 令34t x =-，则104t <≤，令193()2164y t t =++，则219(1)216y t'=-0<， 所以193()2164y t t =++在1(0,]4上递减，所以11938()212444164y ≥++==⨯， 即913316()32442()4x x -++-的最小值为2， 所以此时2a ≤，当34x ≤时，2322x a x ≥-913316()32442()4x x =-++-1393[()]324416()4x x =--++-恒成立， 因为1393[()]324416()4x x --++-1324≤-⨯0=，当且仅当0x =时取等， 所以0a ≥，（2）当1x >时，由()2a f x ≥得21ln 2xa x ≤+恒成立， 令21ln 2x y x =+(1)x >，则22ln 11(ln )2x y x -'=+，7 / 31由0y '>得12x e >，由0y '<得121x e <<，所以函数21ln 2x y x =+12(1,)e 上递减，在12(,)e +∞上递增，所以x =min 22y ==+a ≤ 综上所述：02a ≤≤. 故选：C（2020石景山一模）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 22y x =-+B. 2x y -=C. ln y x =D. 1y x=【答案】D【解析】由基本函数的性质得：22y x =-+为偶函数，2xy -=为非奇非偶函数，ln y x =为非奇非偶函数，1y x=为奇函数，且在区间()0,∞+上单调递减. 故选：D（2020石景山一模）设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数：①()1,00,0x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②()2f x x =；8 / 31③()21f x x =-；具有性质P 的函数的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】对于①：取121,1x x ==-，则 12()1,()1f x f x ==-此时，12(0)02x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()121(1)022f x f x ++-==. 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭故函数①具有性质P .对于②：假设存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭， 则222121211222224x x x x x x x x f +++⋅+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ()()22121222f x f x x x ++=. 所以22112224x x x x +⋅+22122x x +=，化简得：2221212122()0044x x x x x x +--=⇒=即：12x x =.与“存在两个不等实数12,x x R ∈，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭” 矛盾.9 / 31故函数②不具有性质P .对于③：取12x x = 12()1,()1f x f x ==此时，12(0)12x x f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，()()1211122f x f x ++== 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭故函数③具有性质P . 故选：C.（2020怀柔一模）若函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.【答案】)+∞. 【解析】由题可知：函数()(cos )xf x e x a =-在区间(,)22ππ-上单调递减 等价于'()0f x ≤在(,)22ππ-恒成立 即()'()cos sin 0=--≤xf x ex x a 在(,)22ππ-恒成立则cos sin 4π⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭a x x x 在(,)22ππ-恒成立所以max4π⎤⎛⎫≥+⎪⎥⎝⎭⎦a x ，10 / 31由(,)22x ππ∈-，所以3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x故cos 42π⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦x(4π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x所以a ≥)∈+∞a故答案为：)+∞（2020怀柔一模）函数f(x)=|log 2x|的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】易知函数值恒大于等于零，同时在（0，1）上单调递减且此时的图像是对数函数的图像关于x 轴的对称图形，在单调递增．故选A ．（2020密云一模）已知函数21,0()(2),0x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______________.11 / 31【答案】(,3)-∞【解析】函数()f x 的图象如图所示：因为方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根， 所以()y f x =图象与直线32y x a =+有且只有两个交点即可， 当过(0,3)点时两个函数有一个交点，即3a =时，32y x a =+与函数()f x 有一个交点， 由图象可知，直线向下平移后有两个交点， 可得3a <， 故答案为：(,3)-∞．（2020顺义区一模）11.若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.【答案】0【解析】要求函数()1y f x =-的零点, 则令()10y f x =-=,即()1f x =,12 / 31又因为：()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩, ①当0x ≤时,()xf x e =,1x e =,解得0x =.②当0x >时,()21f x x =-,211x -=,解得x =,所以x =综上所以,函数()1y f x =-的零点是0或.故答案为：0（2020顺义区一模）当[]0,1x ∈时,若函数()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是（ ）A. [)2,+∞B. (]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭C. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. (][)20,1,+U ∞【答案】B【解析】当[]0,1x ∈时,又因为m 为正实数,函数()()21f x mx =-的图象二次函数,在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间[1m ，1)为增函数; 函数()22m mg x x x =+=+,是斜率为1的一次函数.13 / 31最小值为()min 2m g x =,最大值为()max 12m g x =+; ①当11m≥时,即01m <≤时, 函数()()21f x mx =-在区间[]0,1 为减函数,()2mg x x =+在区间[]0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max min f x g x ≥,()()max min 00f g ≥即()2012mm ⨯-≥,解得2m ≤, 所以01m <≤ ②当101m<<时,即1m >时, 函数()()21f x mx =-在区间10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数,在区间[1m ，1)为增函数,()2mg x x =+在区间[]0,1 为增函数, ()f x 的图象与()g x 的图象有且只有一个交点,则()()max minf xg x ≥()()max min 00f g ≥即()()21f x mx =-的图象与()2mg x x =+的图象有且只有一个交点 ,14 / 31()()()()10011m f g f g ⎧>⎪≥⎨⎪<⎩,()()2201021112m m m m ⎧⨯-≥+⎪⎪⎨⎪⨯-≥+⎪⎩ 解得12m <≤或52m >综上所述：正实数m 的取值范围为(]50,2,+2U ⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭.故选:B（2020顺义区一模）若3log 0.2a =，0.22b =，20.2c =，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】A【解析】33log 0.2log 10a =<=,0.20221b =>=, 2000.20.21c <<==,所以01a c b <<<<,即a c b <<. 故选：A（2020延庆一模）下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( )A. 1y x=B. y tanx =C. x x y e e -=-D. 2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】对于A 选项，反比例函数1y x=，它有两个减区间，15 / 31对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意； 对于C 选项，令()xxf x e e -=-知()xx f x ee --=-，所以()()0f x f x +-=所以()x xf x e e -=-为奇函数，又x y e =在定义内单调递增，所以xy e -=-单调递增，所以函数x xy e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数. 故选：C（2020海淀一模）已知函数()x f x e ax =+. (I )当a =-1时，①求曲线y = f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； ②求函数f (x )的最小值；(II )求证:当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1y lnx =-有且只有一个交点. 【解析】 (I)当1a =-时，①函数()xf x e x =-，0(0)=1f e ∴=，()1x f x e =-'，即0(0)1=0f e -'=，16 / 31∴曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线方程为1y =.②令()1>0x f x e -'=，得0x >，令()1<0x f x e -'=，得0x <， 所以()f x 在(0,+)∞上单增，在(,0)-∞单减,∴函数()f x 的最小值为min ()(0)1f x f ==.(II) 当()2,0a ∈-时，曲线() y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点. 等价于()()ln 10xg x e ax x x =++->有且只有一个零点.()()10x g x e a x x'=++>， 当()0,1x ∈时，11,1xe x>>， ()2,0a ∈-Q ，则()10x g x e a x'=++>， 当[)1,x ∈+∞时，12,0xe e x>>>， ()2,0a ∈-Q ，则()10x g x e a x'=++>， ()g x ∴在()0,∞+上单增，又1121()220e a g e e e e=+-<-<Q ， ()220e g e e ae e e =+>->，由零点存在性定理得()g x 有唯一零点，即曲线() y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点. （2020西城一模）设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈17 / 31(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【解析】 (Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.（2020东城一模）已知函数()ln 1a f x x x=--. （1）若曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，求实数a 的取值范围；18 / 31（2）求()f x 的单调区间；（3）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时， ()g x 在()1,+∞上存在极小值. 【解析】（1）由()ln 1a f x x x =--得()221'(0)a x af x x x x x+=+=>. 由已知曲线()y f x =存在斜率为-1的切线，所以()'1f x =-存在大于零的实数根，即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围(),0-∞. （2）由()2',0,x af x x a R x+=>∈可得 当0a ≥时， ()'0f x >，所以函数()f x 的增区间为()0,∞+； 当0a <时，若(),x a ∈-+∞， ()'0f x >，若()0,x a ∈-， ()'0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(),a -+∞，减区间为()0,a -.（3）由()ln x ag x x+=及题设得()()()()22ln 1'ln ln ax f x x g x x x --==， 由10a -<<可得01a <-<，由（2）可知函数()f x 在(),a -+∞上递增， 所以()110f a =--<，取x e =，显然1e >，()ln 10a af e e e e=--=->，所以存在()01,x e ∈满足()00f x =，即存在()01,x e ∈满足()0'0g x =，所以()g x ， ()'g x 在区间（1，+∞）上情况如下：x 0(1,x ） 0x 0(+x ，）∞19 / 31()'g x － 0 + ()g x ↘ 极小 ↗所以当-1<a<0时，g （x ）在（1，+∞）上存在极小值. （2020丰台一模）已知函数()()ln 1f x a x x x =+-+.（1）若曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）当0a =时，求证：()0f x ≥； （3）若函数()f x 在区间()1,+?上存在极值点，求实数a 的取值范围.【解析】（1）因为()()ln 1f x a x x x =+-+， 所以()ln a f x xx '=+.由题知()e ln e 1eaf '=+=， 解得0a =.（2）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以()ln f x x '=.当()0,1x ∈时，()0f x ¢<，()f x 在区间()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()1,+?上单调递增；所以()10f =是()f x 在区间()0,+?上的最小值.20 / 31所以()0f x ≥.（3）由（1）知，()ln ln a x x af x xxx +'=+=.若0a ≥，则当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在区间()1,+?上单调递增，此时无极值.若0a <，令()()g x f x '=， 则()21a g x x x '=-. 因为当()1,x ∈+∞时，()0g x ¢>，所以()g x 在()1,+?上单调递增.因为()10g a =<，而()()eee 10aaa g a a a -=-+=->，所以存在()01,eax -∈，使得()00g x =.()f x ¢和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值()0f x . 综上，a 的取值范围是(,0)-∞.21 / 31（2020朝阳区一模）已知函数()11xx f x e x +=--. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）判断函数()f x 的零点的个数，并说明理由；（3）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线也是曲线ln y x =的切线.【解析】（1）因为()11xx f x e x +=--， 所以001010)2(e f -=+=-，()2(1)2e xx f x -'=+，02(01)203e ()f -'==+.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程为320x y -+=. （2）函数()f x 有且仅有两个零点.理由如下： ()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠.因为22()e 0(1)xf 'x x =+>-，所以()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞上均单调递增.因为(0)20f =>，21(2)3e 0f --=-<，所以()f x 在(,1)-∞上有唯一零点1x .因为2e (2)30f =->，545()e 904f =-<，所以()f x 在(1,)+∞上有唯一零点2x . 综上，()f x 有且仅有两个零点.（3）曲线xy e =在点00(,)x x e 处的切线方程为00()-=-x x y e e x x ，即0000e e e x x x y x x =-+.22 / 31设曲线ln y x =在点33(,)x y 处的切线斜率为0e x ，则031e xx =，031e x x =，30y x =-，即切点为001(,)ex x -. 所以曲线ln y x =在点001(,)e x x -处的切线方程为 0001e ()ex x y x x +=-，即00e 1x y x x =--. 因为0x 是()f x 的一个零点，所以00011x x ex +=-. 所以00000000011e e e (1)(1)1x x xx x x x x x -+-+=-=-=--.所以这两条切线重合所以结论成立.（2020石景山一模）已知函数()2f x x =(0x >)，()lng x a x =(0a >).（1）若()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，过()f x 上一点()1,1作()g x 的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由. 【解析】（1）令()()()2ln h x f x g x x a x =-=-(0x >)所以()2222a x a x x h x x='-=-令()2220x x xh a -'==，解得x =. 当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表： .23 / 31所以在()0,∞+的最小值为ln ln 2222a a a ah a =-=- 令0h >，解得02e a <<. 所以当02e a <<时，()0h x >恒成立，即()()f x g x >恒成立. （2）可作出2条切线.理由如下：当1a =时，()ln g x x =.设过点()1,1的直线l 与()ln g x x =相切于点()00,P x y ，则()00011y g x x -'=-即000ln 111x x x -=-整理得000ln 210x x x -+=令()ln 21x x m x x -=+，则()m x 在()0,∞+上的零点个数与切点P 的个数一一对应.()ln 1m x x '=-，令()ln 10x m x '=-=解得x e =.24 / 31当x 变化时，()m x '，()m x 的变化情况如下表：所以()m x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增.且2222211124ln 110m e e e e e ⎛⎫=⨯-+=-+>⎪⎝⎭()ln 2110m e e e e e =⨯-+=-+<()2222ln 2110m e e e e =⨯-+=>所以()m x 在21,e e ⎛⎫⎪⎝⎭和()2,e e 上各有一个零点，即ln 210x x x -+=有两个不同的解. 所以过点()1,1可作出ln y x=2条切线.（2020怀柔一模）已知函数()ln ,()xf x xg x e ==.（1）求()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当0x >时，证明：()()f x x g x <<；（3）判断曲线()f x 与()g x 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由.25 / 31【解析】（1）()ln f x x =的定义域(0,)+∞1()(1)1f x k f x=⇒'='=由 又(1)0f =所以()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：1y x =-. （2）设()()ln (0)h x f x x x x x =-=->，11'()101x h x x x x-=-==⇒=由， '(),()h x h x x 随变化如下:max ()(1)ln1110h x h ∴==-=-< ()f x x ∴<设()(),=-=-xs x x g x x e 则'()1e 0xs x =-<在(0,)x ∈+∞上恒成立(0,())x s x ∈+∴∞在上单调递减()(0)10()∴<=-<⇒<s x s x g x综上()()f x x g x <<（3）曲线()f x 与()g x 存在公切线，且有2条，理由如下：26 / 31由（2）知曲线()f x 与()g x 无公共点，设12,l l 分别切曲线()f x 与()g x 于2112(,ln ),(,)xx x x e ，则22112211:ln 1;:(1)x x l y x x l y e x e x x =⋅+-=⋅+-， 若12l l =，即曲线()f x 与()g x 有公切线，则222122121(1)10ln 1(1)x x x ex e x x x e x ⎧=⎪⇒-++=⎨⎪-=-⎩ 令()(1)1xh x e x x =-++，则曲线()f x 与()g x 有公切线，当且仅当()h x 有零点，'()1x h x xe =-+Q ，当0x ≤时，'()0h x >，()h x 在(),0-∞单调递增，当0x >时，()''()10=-+<xh x x e ，'()h x 在()0,∞+单调递减'(0)10,'(1)10h h e =>=-<又，所以存在0(0,1)x ∈，使得000'()10=-+=xh x x e 且当0(0,)x x ∈时，'()0,()h x h x >单调递增， 当0(,)x x ∈+∞时，'()0,()h x h x <单调递减0max 0000001()()(1)1(1)10x h x h x e x x x x x ∴==-++=-++>，27 / 31又22(2)310,(2)30--=-<=-+<h eh e所以()h x 在00(2,),(,2)-x x 内各存在有一个零点故曲线()f x 与()g x 存在2条公切线.（2020密云一模）已知函数()()1xf x e ax =+，a R ∈.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0M f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）判断函数()f x 的零点个数.【解析】（1）()(1)x f x e ax =+Q ，()(1)(1)x x x f x e ax ae e ax a ∴'=++=++，设曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线的斜率为k ， 则0(0)(1)(1)1x x k f e ax ae e a a ='=++=+=+， 又(0)1f =，∴曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线方程为：1(1)y a x -=+，即(1)10a x y +-+=；（2）由（1）知，()(1)x f x e ax a '=++，故当0a =时，()0x f x e '=>，所以()f x 在R 上单调递增；当0a >时，1(,)a x a +∈-∞-，()0f x '<；1(a x a+∈-，)+∞，()0f x '>；28 / 31()f x ∴的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a+-，)+∞； 当0a <时，同理可得()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-，递减区间为1(a a+-，)+∞； 综上所述，0a =时，()f x 单调递增为(,)-∞+∞，无递减区间； 当0a >时，()f x 的递减区间为1(,)a a +-∞-，递增区间为1(a a+-，)+∞； 当0a <时，()f x 的递增区间为1(,)a a +-∞-，递减区间为1(a a+-，)+∞； （3）当0a =时，()0xf x e =>恒成立，所以()f x 无零点；当0a ≠时，由()(1)0x f x e ax =+=，得：1x a=-，只有一个零点． （2020顺义区一模）已知函数2()2ln f x x a x =-,其中a R ∈ （1）当2a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线方程； （2）若函数()f x 存在最小值Q ,求证:1Q ≤.【解析】（1）2a =时,22()4ln ,(1)1f x x x f =-=4()2f x x x'=-切线斜率(1)242k f '==-=-曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为：12(1)y x -=--即：230x y +-=（2）()222()2(0)x a a f x x x x x-'=-=>29 / 31①当0a ≤时,()0f x '≥恒成立()f x 在(0,)+∞单调递增,()f x 无最小值②当0a >时,由()0f x '=得x =x =(x ∈时,()0f x '<,()f x在(单调递减)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x在)+∞单调递增所以()f x 存在最小值,ln Q fa a a ==-下面证明1Q ≤.设函数()ln (0),()1(ln 1)ln g a a a a a g a a a '=->=-+=-由()0g a '=得1a =,易知()g a 在(0,1)单调递增,在(1,)+∞单调递减 所以()g a 的最大值为(1)1g = 所以()1g a ≤恒成立,1Q ≤得证.（2020延庆一模）已知函数()2221,1ax a f x x +-=+其中0a ≠ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.【解析】（1）2222(1)1()(1)x a f x x -'==+当时，. 所以切线的斜率(0)2k f '==；又(0)0f =.30 / 31所以曲线()y f x =在原点处的切线方程为：2y x =.（2）22222(1)(21)2()(1)a x ax a xf x x +-'+-=+()()22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++ 当0a >时，()0f x '=解得 121,x a x a=-=则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为21()f a a=，若()f x 存在最小值，则()0x ∈+∞，时， 2()(0)1f x f a ≥=-恒成立，即2222111ax a a x +-≥-+， 所以()2221ax a x ≥-即2112a a x-≤在(0,)x ∈+∞恒成立，31 / 31 所以2102a a -≤.又因为 0a >，所以210a -≤，则01a <≤. 当0a <时，()0f x '=解得 121,x a x a =-=则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为1-，若()f x 存在最大值，则()0x ∈+∞，时，2()(0)1f x f a ≤=-恒成立，即2222111ax a a x +-≤-+，所以()2221ax a x ≤-即2112a a x -≤在(0,)x ∈+∞恒成立，所以2102a a -≤.又因为 0a <，所以210a -≥，则1a ≤-. 综上所述，a 的取值范围为(,1](0,1]-∞-⋃.。
北京市各区2020年高考数学一模试题分类解析(6)数列理
六、数列2. （ 2020 年海淀一模理 2）在等比数列 { a n } 中， a 1 = 8， a 4 = a 3a 5 ，则 a 7 =（ B ）A ．1B ．1C．1D ．116 8427.（ 2020 年西城一模理 7）设等比数列 { a n } 的各项均为正数， 公比为 q ，前 n 项和为 S n ．若 对 n N * ，有 S 2 n 3S n ，则 q 的取值范围是（ A ）A ． (0,1]B． (0, 2)C ． [1,2)D． (0, 2)6．（ 2020 年东城一模理 6）已知 x ， y ， z R ，若 1， x ， y ， z ， 3 成等比数列，则xyz 的值为（ C ）A ． 3B． 3C ．33D． 3 310． （ 2020 年丰台一模理 10）已知等比数列 { a n } 的首项为 1，若 4a 1 ， 2a 2， a 成等差数3列，则数列 { 1 } 的前 5 项和为 ______．a n答案：31.162．（ 2020 年门头沟一模理 2）在等差数列a n 中， a 1 3 ， a 3 2 ，则此数列的前10 项之和S 10等于（ B ）A. 55.5B. 7.5C. 75D. 153.（2020 年旭日一模理 3）已知数列 {a n } 的前 n 项和为S n，且 S2an 1(n N ) ，则 a5n（ B ）A.16B.16C.31 D.3210. （ 2020 年石景山一模理 10）等差数列 a n 前 9 项的和等于前 4 项的和．若 a 4a k 0 ，则 k =________ ． 答案： 10。
2．（2020 年密云一模理 2）设 S n 为等比数列a n 的前 n 项和， 8a 2 a 5 0 ，则S 5 （ D ）S 2A ．11B ．5C ．8D． 1120. （ 2020 年丰台一模理20）已知函数 f ( x) x2 x ， f '( x) 为函数 f (x) 的导函数．（Ⅰ）若数列 { a n } 知足 a n 1 f '(a n ) ，且 a1 1，求数列 { a n } 的通项公式；（Ⅱ）若数列 { b n } 知足b1 b ， b n 1 f (b n ) ．（ⅰ）能否存在实数b，使得数列 { b n} 是等差数列？若存在，求出 b的值；若不存在，请说明原因；n b i 1 （ⅱ）若 b>0，求证：．i 1 b i 1 b解：（Ⅰ）由于 f ( x) x2 x ，因此 f '( x) 2x 1 ．因此a n 12a n1，因此 a n 1 1 2(a n 1) ，且 a1 1 1 1 2 ，因此数列 { a n 1} 是首项为2，公比为2 的等比数列．因此 a n 1 2 2n 1 2n，即 a n 2n 1．4分（Ⅱ）（ⅰ）假定存在实数 b ，使数列{ b n}为等差数列，则必有2b2 b1 b3，且 b 1 b ， b 2f (b 1 ) b 2 b ， b 3 f (b 2 ) (b 2 b)2 (b 2 b) ．因此 2(b 2 b) (b 2 b)2 (b 2 b) b ，解得 b 0 或 b 2 ．当 b 0时， b 1 0 ， b n 1 f (b n ) 0，因此数列 { b n } 为等差数列；当 b2 时， b 1 2 ， b 2 2 ， b3 6 ， b4 42 ，明显不是等差数列．因此，当 b 0 时，数列 { b n } 为等差数列．9 分（ⅱ） b 1b 0 ， b n 1f (b n ) ，则 b n 1 f (b n ) b n 2 b n ；因此 b n 2bn 1b n ；因此b nb n b n b n2bn 1b n 11b n 1b n 1 b nb n 1 b nb n 1 b n b n．b n 1由于 b n 2 bn 1bn0 ，因此 b n 1b nbn 1L b 1b 0 ；因此nb i (1 1) (1 1 ) L (11 ) 11 1 ．i 1 b i 1 b 1 b 2 b 2 b 3b nb n 1 b b n 1b20（. 2020 年东城 11 校联考理 20）直线 l 1 : y kx1 k ( k 0, k1)与 l 2 : y 1 x1222订交于点 P . 直线 l 1 与 x 轴交于点 P 1 ，过点 P 1 作 x 轴的垂线交直线 l 2 于点 Q 1 ，过点 Q 1 作 y 轴 的垂线交直线 l 1 于点 P 2 ，过点 P 2 作 x 轴的垂线交直线 l 2 于点 Q 2 ， ，这样向来作下去，可 获得一系列 P 1, Q 1 , P 2 ,Q 2 ， ，点 P n (n 1,2,L ) 的横坐标组成数列 x n . （ 1）当 k 2 时，求点 P 1 , P 2 , P 3 的坐标并猜出点 P n 的坐标；（2）证明数列 x n1是等比数列，并求出数列x n 的通项公式；（ 3）比较2 | PP n |2 与 4k 2 | PP 1 |2 5的大小 .解： (1) P 11,0 ,P 2 7 , 3 , P 3 31, 15 , 可猜得 P n22n 1 1 , 2 2n 2 1 .28 432 1622n 122n 24 分（ 2）设点 P n 的坐标是 (x n , y n ) ，由已知条件得点Q n , P n1 的坐标分别是：( x n , 1 x n1), ( x n 1, 1x n2 2 2 由 P n 1 在直线 l 11kx n 1 k. 1 上，得22 xn1因此 1(x n1) k (x n 1 1),即 x11(x n 2n 12k因此数列 { x n 1} 是首项为 x 11, 公比为 1 的等比数列2k1).21), n N.由题设知 x 1 11, x 1 11 0,kk进而 x n 11 ( 1) n 1,即 x n 1 2 ( 1) n , n N .9 分k 2k2ky kx 1 k,（3）由 y1 x 1 得点 P 的坐标为（ 1， 1）.,2 2因此2 | PP n |2 2(x n 1) 2 2(kx n 1 k 1) 28 ( 1 )2 n 2( 1 ) 2n 2 ,12k 2k4k 225 4k 2[(1 1)2 (01)2] 5 429.|PP 1 |kk（i ）当 | k |1,即 k 1或 k 1时， 4k 2 | PP 1 |251910,2 2 2而此时0 |1 | 1,因此2 | PP n |2 8 1 210.故 2 | PP n |2 4k 2 | PP 1 |2 5.2k（ii ）当 0 | k |1,即 k( 1 ,0) ( 0, 1)时， 4k 2 | PP 1 |25 1 910 .22 2而此时| 1 | 1,因此 2 | PP n |2 8 1 2 10.故 2 | PP n |2 4k 2 | PP 1 |2 5. 14 分2k20. （ 2020 年房山一模 20）在直角坐标平面上有一点列P 1 (x 1, y 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 ) , P n ( x n , y n )，对全部正整数 n ，点 P n 位于函数 y 3x13的图541为公差的等差数列 x n ．（ I ）求点 P n 的坐标；象上，且 P n 的横坐标组成以为首项，2（II ）设抛物线列 c 1, c 2 ,c 3 , , c n , , 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第 n 条抛物线 c n的极点为 P n ，且过点 D n (0, n 21) ，记与抛物线 c n 相切于 D n 的直线的斜率为 k n ，求：11 1 ；（ III ）设 S x | x 2x n , n N * ,Ty | y 4 y n , n N * ，k 1 k 2 k 2 k 3 k n 1k n等差数列 a n 的任一项 a n S I T ，此中 a 1 是 S I T 中的最大数，265a10125 ，求 a n 的通项公式．解：（ I ） x n5 (n 1) ( 1) n32 分2 2y n 3 x n 133n 5 , P n ( n 33n 53 分44 , )2 4（II ） c n 的对称轴垂直于 x 轴，且极点为 P n .设 c n 的方程为：y a(x 2n3) 2 12n 5 ,5 分把 D n (0, n 2 2 41) 代入上式，得a 1 ，c n 的方程为： y x 2 (2n 3) x n 21 .7 分y2x 2n 3当 x0时， k n2n 311111)k n 1 kn((2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3111 1 1 1 1 1 ( 11)]k 1 k 2 k 2 k 3k n 1kn[( ) ( )2 5 7 7 92n 1 2n 31 11 ) 1 19 分= ( 5 2n 10 4n 62 3（III ） S { x | x (2n 3), n N , n 1} ，T { y | y (12 n 5), n N , n 1}{ y | y 2(6n 1) 3, n N , n 1}S I T T ,T 中最大数 a 117 .10 分设 {a n }公差为 d ，则 a 1017 9d ( 265, 125) ，由此得248 d 12, 又 a nT d12m( mN *),9d24, a n 724n(n N *).20．（ 2020 年门头沟一模理 20）数列 a n 知足 a 11, a n 1a n 2 (n 1,2,L ) ．3a n 2 a n 1（Ⅰ）求 a 2 ， a 3 ； ( Ⅱ ) 求证 : a 1 a 2a n1a n 1；（Ⅲ）求证 :2 1 a n11 1a 1 a 2 a n 1 1232 n 1232 n．解：（Ⅰ） a 2 11 2 分， a 3437证明：（Ⅱ）由 a na n 2知1 1 11a n 2 a n 1 a n 1a n 2 1，a n1 11 ( 11) ．（ 1）an 1a na nan 1a 2a因此nna n ,1an 11 a n1 a n即a na na n1．5 分1 a n 1 a n 1进而a 1 a 2a na 1 a 2a 2a 3 a nan 11 a 11 a2 1 a 2 1 a 31 a n1 a n 1a 1 a n 11a n 1．7 分1 a 11 a n 12 1 a n 1(Ⅲ) 证明11a 1 a 2 a n1 1等价于2 32n 12 32 n证明111an 111，2 32 n 12 1 a n 1 2 32 n即32n 1 1 a n 132n．（ 2）8 分an 1当 n 1 时 ，1 a 26， 321 16321，a 2即 n 1 时，（ 2）建立．设 nk( k 1) 时，（ 2）建立，即32k11ak 132 k．ak 1当 nk 1时，由（ 1）知1 a k 21 1 a k 1)1 a k 1) 232k11 分a k 2(a k 1 (a k 1；a k 1又由（ 1）及 a 11 1 a n( n 1) 均为整数，3知a n1 a k 132k1 a k 13 2k1即 13 2k，进而由 a k有ak 11a k 11 a k2 1 1 a k 13 2 k 3 2k 3 2k 1 因此ak 1 ak 1，ak 2即（ 2）对n k 1 也建立．因此（ 2）对n1的正整数都建立，即1 1 a1 a2 a n1 1n 对n 1 的正整数都建立．13 分2n 12 3232。
2020北京各区一模数学试题分类汇编--解三角形(原卷版)
1 / 32020北京各区一模数学试题分类汇编—解三角形（2020海淀一模）在△ABC中，4AB B π=∠=，点D 在边BC 上，2,3ADC π∠=CD =2，则AD =___；△ACD 的面积为____.（2020顺义区一模）在ABC ∆中，若8ac =，7a c +=，3B π=，则b =_________.（2020延庆一模）在ABC V 中，10AB D =，是BC 边的中点.若660AC A =∠=︒，，则AD 的长等于________；若45CAD AC ∠=︒=，，则ABC V 的面积等于____________.（2020西城一模）已知ABC V 满足，且23b A π==，求sinC 的值及ABC V 的面积.（从①4B π=，②a =a =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）（2020东城一模）在①222b a c +=+,②cos sin a B b A =,③sin cos B B +=一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ______________,3A π=,b =求ABC ∆的面积.（2020丰台一模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，3A π=.（1）当2b =时，求a ；（2）求sin B C 的取值范围.2 / 3（2020朝阳区一模）在△ABC 中，sin cos()6b A a B π=-. （1）求B ； （2）若5c =，.求a . 从①7b =，②4C π=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.（2020石景山一模）已知锐角ABC V ，同时满足下列四个条件中的三个： ①3A π=②13a =③15c =④1sin 3C =（1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求ABC V 的面积.（2020怀柔一模）已知在ABC ∆中，2a =，b =①π4A =；②B A >；③sin sin B A <；④4c =. （1）直接写出所有可能满足的条件序号； （2）在（1）条件下，求B 及c 的值.（2020密云一模）在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=.3 / 3（1）已知_______________，计算ABC V 的面积；请①a =2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分. （2）求cos cos B C +的最大值.。
2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编(一)
2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编（一）复数（2020海淀一模）（1）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城一模）2.若复数z =(3−i)(1+i),则|z|= (A)2√2(B)2√5(C)√10(D)20（2020东城一模）(3) 已知21i ()1ia +a =-∈R ，则a =(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D)2-（2020朝阳一模）（11）若复数21iz =+，则||z =________． （2020石景山一模） 2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i（2020丰台一模）3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城5月诊断）02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限集合（2020海淀一模）（2）已知集合{ |0 3 }A x x =<<，A B ={ 1 }，则集合B 可以是（2020西城一模）1.设集合A ={x|x <3},B ={x|x <0,或x >2},则A ∩B = (A)(−∞,0)(B)(2,3) (C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)（2020东城一模）(1) 已知集合{}1>0A x x =-，{}1012B =-，，，，那么A B =(A){}10-， (B) {}01， (C) {}1012-，，， (D) {}2（2020朝阳一模）（1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则AB =（A ）{ 1 2 }， （B ）{ 1 3 }， （C ）{ 0 1 2 }，， （D ）{ 1 2 3 }，，（A ）{}3（B ）{}1,3 （C ）{}1,2,3,5 （D ）{}1,2,3,4,5（2020石景山一模）1. 设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---（2020西城5月诊断）01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2 （B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--（2020丰台一模）1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则AB =（A ）{0} （B ）{01}，（C ）{012}，，（D ）{1012}-，，，（2020石景山一模）15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．计数原理（2020朝阳一模）（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 （A ）23 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 910（2020石景山一模）5. 将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36B. 64C. 72D. 81二项式定理（2020海淀一模）（5）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（A ）120- （B ）120（C ）160- （D ）160（2020西城一模）11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)（2020东城一模）(12) 在62()x x+的展开式中常数项为 . (用数字作答)三角函数与解三角形（2020海淀一模）（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）32 （C ）22（D ）12（2020西城一模）9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 ①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④（2020东城一模）(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为(,)1322，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是 (A)(,)3122 (B) (,)-1322(C) (,)-3122(D) (,)--3122（2020朝阳一模）（8）已知函数()=3sin()(>0)f x ωxφω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6ϕπ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2020石景山一模）（2020丰台一模）9. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为9（2020西城5月诊断）05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）35（2020西城5月诊断）13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．（2020西城一模）14.函数f(x)=sin(2x +π4)的最小正周期为 ;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为.（2020海淀一模）（14）在△ABC中，AB =4B π∠=，点D 在边BC 上，23ADC π∠=，2CD =，则AD = ；△ACD 的面积为 . （2020东城一模）(14)ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，BD =则CD = ，sin ABD ∠= .（2020海淀一模）（17）（本小题共14分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=； ②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-,7.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 满足A. 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B. 图象关于直线6x π=对称C. 32f π⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 当512x π=时有最小值1-]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。
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1 / 122020北京各区一模数学试题分类汇编—解析几何（2020海淀一模）已知双曲线2221(0)y x b b-=>则b 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4（2020海淀一模） 已知点P (1，2)在抛物线C 2:2y px =上，则抛物线C 的准线方程为___.（2020西城一模） 设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率为____________.（2020西城一模） 设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+=B. 22(3)8x y -+=C. 22(3)2x y ++=D. 22(3)8x y ++=（2020东城一模） 若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________．（2020东城一模） 已知圆C 与直线y x =-及40x y +-=的相切，圆心在直线y x =上，则圆C 的方程为（ ）2 / 12A. ()()22112x y -+-= B. ()()22112x y -++= C. ()()22114x y ++-= D. ()()22114x y +++=（2020东城一模） 已知曲线C 的方程为221x y a b-=，则“a b >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（2020东城一模） 抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）A. 1(0,)2-B. (0,1)-C. (0,2)-D. (0,4)-（2020丰台一模） 已知双曲线M ：2213y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直线.若椭圆N ：22221x y a b+=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______.（2020丰台一模） 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60︒的直线与抛物线C 交于两个不同的点A ，B （点A 在x 轴上方），则AFBF的值为（ ） A.13B.43D. 33 / 12（2020丰台一模） 圆()2212x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（ ）A. 2C. 1D.2（2020朝阳区一模） 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD l ⊥于D .若4AF =，60DAF ∠=︒，则抛物线C 的方程为（ ）A. 28y x =B. 24y x =C. 22y x =D. 2y x =（2020朝阳区一模） 在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒.若以A ，B 为焦点的双曲线经过点C ，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.2C.12D.（2020朝阳区一模） 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线22322:()4C x y x y +=被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.4 / 12给出下列三个结论：①曲线C 关于直线y x =对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过1；的正方形，使得曲线C 在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________.（2020石景山一模） 圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A. 43-B. 34-C.D. 2（2020石景山一模）已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN =______.（2020怀柔一模） 已知抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准线方程为___________.（2020怀柔一模）6.已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于原点对称，则圆C 的方程为（ ） A. x 2＋y 2＝1 B. x 2＋(y ＋1)2＝1 C. x 2＋(y －1)2＝1 D. (x ＋1)2＋y 2＝15 / 12（2020密云一模） 如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ）A. 点M 在圆C 上B. 点M 在圆C 外C. 点M 在圆C 内D. 上述三种情况都有可能（2020密云一模） 已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞B. (,1]-∞C. (1,)+∞D. [1,)+∞（2020密云一模） 双曲线221y x -=的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________.（2020顺义区一模） 直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点,当AOB ∆的面积达到最大时,k =________.（2020顺义区一模） 抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p =（ ）A. B. 8 C. 4 D. 1（2020延庆一模） 已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF 的面积为( )6 / 12A.B.C.32D.92（2020延庆一模） 经过点()2,0M -且与圆221x y +=相切的直线l 的方程是____________.（2020海淀一模） 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>12(,0),(,0),(0,)A a A a B b -，12A BA ∆的面积为2.(I)求椭圆C 的方程；(II)设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M 与直线2A B 交于点Q .求证:△BPQ 为等腰三角形.（2020西城一模） 设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.7 / 12(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积;(Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由.（2020东城一模） 已知椭圆22:36C x y +=的右焦点为F . （1）求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；（2）直线():0l y kx m k =+≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为'P ，判断直线'P Q 是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由.8 / 12（2020丰台一模） 已知椭圆C ：22221y x a b +=（0a b >>）的离心率为2，点1,0P 在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A ，B. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.9 / 12（2020朝阳区一模） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆222:O x y r +=（O 为坐标原点）.过点(0,)b 且斜率为1的直线与圆O 交于点(1,2)，与椭圆C 的另一个交点的横坐标为85-. （1）求椭圆C 的方程和圆O 的方程；（2）过圆O 上的动点P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若直线1l 的斜率为(0)k k ≠且1l 与椭圆C 相切，试判断直线2l 与椭圆C 的位置关系，并说明理由.（2020石景山一模） 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为()1,0F，离心率为2.直线l 过点F 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，求此时直线l 的斜率.10 / 12（2020怀柔一模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，离心率为2．（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点A 在第一象限，AE x ⊥轴，垂足为E ，连接BE 并延长交椭圆于点D ，证明：ABD ∆是直角三角形．（2020密云一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>()0,1A .11 / 12 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M .直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系.（2020顺义区一模）已知椭圆C ：223412x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点,点P 在椭圆C 上,直线AP ,BP 分别与直线4x =相交于点M ,N .当点P 运动时,以M ,N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论.（2020延庆一模）已知椭圆22221(0)x ya ba bG+=>>：的左焦点为(),F且经过点(),,C A B分别是G的右顶点和上顶点，过原点O的直线l与G交于,P Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M.（1）求椭圆G的标准方程；（2）若3PQ=，求直线l的方程；（3）若BOP△的面积是BMQ的面积的4倍，求直线l的方程.12/ 12。