2019高考数学真题(理)分类汇编-平面解析几何含答案解析

专题05 平面解析几何

1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B

两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为

A ．2

212

x y +=

B ．22

132x y += C ．22

143

x y +=

D ．22

154

x y += 【答案】B

【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．

在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233

n n n F AB n n +-∠==??．

在12AF F △中，由余弦定理得2

2

14422243n n n n +-???

=

，解得n =

2

2

2

24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22

132

x y +=，故选B ．

法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．

在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122

2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n

?+-???∠=?+-???∠=?， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,

，得

223611n n +=，解得2

n =

．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22

132

x y +=，故选B ．

【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2

=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y p

p

+

=的一个焦点，则p =

A ．2

B ．3

C ．4

D ．8

【答案】D

【解析】因为抛物线2

2(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以2

3()2

p p p -=，解得8p =，故选D ．

【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．

3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以

OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为

A B

C ．2

D 【答案】A

【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又

||PQ OF c ==，||,2

c

PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，

∴||2c OA =

，,22c c P ??∴ ???

，

又P 点在圆2

2

2

x y a +=上，222

44

c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．

e ∴=A ．

【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．

4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：22

42

x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为

坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为

A ．

4

B ．

2

C ．

D ．【答案】A

【解析】由2,,a b c ===,2

P PO PF x =∴=

，

又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =

上，则2P P b y x a =?==

11

22PFO P S OF y ∴=

?==

△，故选A ． 【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素

养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．

5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆22

22 1x y a b

+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则

A ．a 2=2b 2

B ．3a 2=4b 2

C ．a =2b

D ．3a =4b

【答案】B

【解析】椭圆的离心率2

221,2

c e c a b a ===-，化简得2234a b =， 故选B.

【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识?基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.

6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：

①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②

D ．①②③

【答案】C

【解析】由2

2

1x y x y +=+得，2

2

1y x y x -=-，2

222

||3341,10,2443x x x y x ??-=-- ?

?

?厔， 所以x 可取的整数有0，?1，1，从而曲线22

:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，?1)，(1，0)，(1，

1)， (?1，0)，(?1，1)，共6个整点，结论①正确.

由2

2

1x y x y +=+得，222

2

12

x y x y +++…，解得22

2x y +≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离

. 结论②正确.

如图所示，易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -， 四边形ABCD 的面积13111122

ABCD S =

??+?=四边形，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S 四边形，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.

故选C.

【名师点睛】本题考查曲线与方程?曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识?基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.

7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线

22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为

A B

C ．2

D 【答案】D

【解析】抛物线2

4y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，

∴2b AB a =，

24b

a

=，2b a =，

∴c e a a

===故选D.

【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率. 8．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是

A ．

2

B ．1

C D ．2

【答案】C

【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离

心率c

e a

=

=故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.

9．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于

点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．

【答案】2-【解析】由题意可知11

:1(2)22

AC k AC y x =-?+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，

此时||r AC ==

=【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得

到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.

10．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22

195

x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．

【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，

由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22

(2)16x y -+=，

与方程22195

x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍）

， 又点P 在椭圆上且在x

轴的上方，求得3,22P ??

- ? ???

，所以212

PF

k ==.

方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即3

42

p p a ex x -=?=-

，

从而可求得32P ?-

??

，所以212

PF k ==.

【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合

思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.

11．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22

+13620

x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象

限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.

【答案】(

【解析】由已知可得2

2

2

2

2

36,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，

11228MF F F c ∴===，∴24MF =．

设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则1212001

42

MF F S F F y y =??=△，

又1201

442

MF F S y =

?=∴=△0y =， 2

20

136

20

x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）

，

M \的坐标为(．

【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落

实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、

，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.

12．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，

过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ?=，则C 的离心率为____________． 【答案】2

【解析】如图，由1,F A AB

=得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥由120F B F B ?=，得121

,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠

又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=

又渐近线OB 的斜率为

tan 60b a =?=∴该双曲线的离心率为2c e a ====．

【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，从而可以得到1AOB AOF ∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠进而得到

2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由

tan 60b

a

=?=. 13．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>经过点（3，4)，则该

双曲线的渐近线方程是 ▲ .

【答案】y =

【解析】由已知得2

2

2431b

-=，解得b =b =

因为0b >，所以b =

因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.

【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 14．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4

(0)y x x x

=+

>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4

【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4

y x x

=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小.

由24

11y x

'=-

=-

，得)x x ==

，y =

Q ， 则切点Q 到直线x +y =0

4=，

故答案为4．

【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.

15．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为

的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．

（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若，求|AB |． 【答案】（1）3728y x =

-；（2

【解析】设直线()()11223

:,,,,2

l y x t A x y B x y =

+． （1）由题设得3,04F ??

???

，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．

由232

3y x t y x

?

=+???=?，可得22

912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --

=，得7

8

t =-． 所以l 的方程为37

28

y x =

-． （2）由3AP PB =可得123y y =-．

由232

3y x t y x

?

=+???=?，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．

3

2

3AP PB =

代入C 的方程得1213,3

x x ==

．

故||3

AB =

． 【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系. 16．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (?2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之

积为?

12

.记M 的轨迹为曲线C .

（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交

C 于点G .

（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.

【答案】（1）见解析；（2）

16

9

. 【解析】（1）由题设得1222y y x x ?=-+-，化简得22

1(||2)42

x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．

（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．

由2

2142

y kx

x y =???+=?

?

得x =

记u =

，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．

于是直线QG 的斜率为

2k ，方程为()2

k

y x u =-． 由22

(),2142

k y x u x y ?

=-????+=??得

22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①

设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得3

2

2G uk

y k

=+． 从而直线PG 的斜率为3

22

2

12(32)2uk uk k u k k

u

k -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．

（ii ）由（i

）得||2PQ =

2

2||2PG k

=+，所以△PQG 的面积

2

222

18()

18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k

++===++++‖． 设t =k +

1

k

，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2

812t S t =

+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为16

9

． 因此，△PQG 面积的最大值为

16

9

． 【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.

17．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C ：y =2

2

x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，

切点分别为A ，B .

（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，

5

2

)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【答案】（1）见详解；（2）3

或【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ?

?-

???

，则2112x y =.

由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故1111

2y x x t

+

=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -

设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2

.

（2）由（1）得直线AB 的方程为12

y tx =+

. 由2

122

y tx x y ?

=+????=??，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,

1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，

()212||21AB x t =-==+.

设12,d d 分别为点D ，E

到直线AB

的距离，则12d d ==

因此，四边形ADBE 的面积(

)(2121

||32

S AB d d t =

+=+. 设M 为线段AB 的中点，则2

1,2M t t ??+

???

. 由于EM AB ⊥，而()

2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()

220t t t +-=.解得t =0或1t =±. 当t =0时，S =3；当1t

=±时，S =因此，四边形ADBE

的面积为3或【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.

18．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=?2py 经过点（2，?1）．

（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；

（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =?1分

别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 【答案】（1）抛物线C 的方程为2

4x y =-，准线方程为1y =；（2）见解析.

【解析】（1）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =.

所以抛物线C 的方程为2

4x y =-，其准线方程为1y =. （2）抛物线C 的焦点为(0,1)F -. 设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠.

由2

1,4y kx x y

=-??

=-?得2

440x kx +-=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-. 直线OM 的方程为1

1

y y x x =

. 令1y =-，得点A 的横坐标1

1

A x x y =-

. 同理得点B 的横坐标2

2

B x x y =-

. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ????

=-

--=--- ? ?????

， 212

12

(1)x x DA DB n y y ?=

++ 2

1222

12(1)44x x n x x =

++????-- ??????? 212

16

(1)n x x =

++ 24(1)n =-++.

令0DA DB ?=，即2

4(1)0n -++=，则1n =或3n =-. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.

【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短

轴长为4

（1）求椭圆的方程；

（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．

【答案】（1）22154

x y +=；（2

或．

【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，

依题意，24,

c b a ==222a b c =+

，可得a =2,b =1c =．

所以，椭圆的方程为22

154

x y +=． （2）由题意，设()()

()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠， 又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，

与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+??

?+=??整理得()2245200k x kx ++=，

可得2

2045P k

x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，

进而直线OP 的斜率2

4510P p y k x k

-=

-． 在2y kx =+中，令0y =，得2

M x k

=-

． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2

k -

．

由OP MN ⊥，得

2

451102k k k

-??

?-=- ?-??

，化简得2245k =，从而k =±

所以，直线PB 或． 【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．

20．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点为F 1

（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:2

2

2

(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=

5

2

． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．

【答案】（1）22

143

x y +=；

（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .

因为F 1(?1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.

又因为DF 1=

52，AF 2⊥x 轴，所以DF 23

2

==， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.

由b 2=a 2?c 2，得b 2

=3.

因此，椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=.

（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22

143

x y +=，a =2，

因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.

将x =1代入圆F 2的方程(x ?1) 2+y 2

=16，解得y =±

4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(?1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2. 由22

()22

116

y x x y =+-+=??

?，得256110x x +-=，解得1x =或115

x =-

. 将115x =-

代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112

(,)55

B --.

又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3

(1)4

y x =-.

由22

14

33(1)4x y x y ?????+=-?=?，得2

76130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得3

2

y =-. 因此3(1,)2

E --.

解法二：由（1）知，椭圆C ：22

143

x y +=.

如图，连结EF 1

.

因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .

因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.

因为F 1(?1，0)，由2214

31

x x y ??

?+

==-??，得32y =±.

又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以3

2

y =-. 因此3(1,)2

E --.

【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.

21．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线2

2(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物

线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求

1

2

S S 的最小值及此时点G 的坐标．

【答案】（1）p =2，准线方程为x =?1；（2

）最小值为12

+，此时G （2，0）． 【解析】（1）由题意得

12

p

=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =?1.

（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2

A x t =.

由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为21

12t x y t

-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t

--

-=，

故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B t

t ??- ???.

又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =

++=++及重心G 在x 轴上，故2

20c t y t

-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ????

-+????-- ? ? ? ? ?????????

. 所以，直线AC 方程为()

222y t t x t -=-，得()

21,0Q t -.

由于Q 在焦点F 的右侧，故2

2t >.从而

42242212

44

242222211|2|||322

221222211|||1||2|23A

c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t

-+-??--====--+--?--?-

.

令22

m t=-，则m>0，

1

2

2

1

2221

3

434

S m

S m m m

m

=-=-=

++++

…

当m=时，1

2

S

S

取得最小值1+G（2，0）．

【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.