高等数学 高斯公式
第六节 高斯公式
r 3 d ( r 2 sin z z 2 ) |0 dr 0 0 2
2 1
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例1 计算曲面积分 ( x y )dxdy ( y z ) xdydz,其中Σ为柱面
2 2
高 等 数 学
x y 1 及平面 z 0, z 3所围成的空间闭区域 的整 个边界曲面的外侧.
2 2 2
广 东 工 业 大 学
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2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ,其中Σ为锥 例2 计算曲面积分
高 等 数 学
面x y z 介于平面 z 0, z h(h 0) 之间的部分的下侧, cos , cos , cos 是Σ在 ( x, y, z ) 处的法向量的方向余弦。
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z
------------------高斯公式
广 东 工 业 大 学
高斯公式是计算第二类曲面积分的有效工具
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高 等 数 学
两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy ( P cos Q cos R cos )dS
R x y
于是 P y z , Q 0, R 0,
x
y
z
从而
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
O
广
( y z )dxdydz
(用柱面坐标)
x
1
1 y
东 工 业 大 学
{ 0 z 3, 0 r 1, 0 2 }
G11_6高斯公式
2
1
1
d x d ydz Dxy( x 2 ) d x d y
o
x
1y
2
1 2
13 1 3 1 2 2 z d z d r d r 1 0 12 2 0
d 1 x 2 y 2 d dz 2 Dz D
A n d S 为向量场 A 通过
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
20
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
div A 0 表明该点处有正源, div A 0 表明该点处有负源, div A 0 表明该点处无源,
上有连续的一阶偏导数 , 则有
P d y d z Q d z d x Rdx d y (Gauss 公式)
下面先证: R z d x d y d z R d x d y
3
证明: 设
为XY型区域 , 1 2 3 ,
1 : z z1 ( x, y ) ,
x y z
作辅助球面 1 : x 2 y 2 z 2 2
I
( 足够小）取内侧。
( P Q R )dv 1 x y z 3 1 1
1
xdydz ydzdx zdxdy
1
11
3 4 3 3 3 dv 4 3 3
原式 =
( y z ) d x d y d z
3
(用柱坐标)
zdv 0 zdz d
9 2
Dxy
o 1 (用对称性) x
格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的应用
Green公式、Stokes公式、Gauss公式在专业学科中的应用摘要格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公式和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。
它们建立了向量的散度与通量、旋度与环量之间的关系，除了在数学上应用于计算多元函数积分，在其他领域也有很多重要的应用。
本文将主要从这三个公式与物理学之间的联系展开介绍它们的其他应用，其中包括应用于GPS面积测量仪，确定外部扰动重力场，应用于保守场以及推证阿基米德定律和高斯定理等，帮助人们加深对格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的理解，从而能够更准确地应用此三个公式。
关键词：格林公式斯托克斯公式高斯公式散度旋度应用目录一、引言 (1)二、格林（Green）公式的应用 (1)（一）格林公式的定义 (1)1、单连通区域的概念 (1)2、区域的边界曲线的正向规定 (1)3、陈述 (1)(二)格林公式的物理原型 (1)1、物理原型 (2)2、计算方法 (2)（三）格林公式与GPS面积测量仪 (3)1.应用曲线积分计算平面区域面积 (3)2.GPS面积测量仪的数学原理 (4)3.实验结果 (5)4.进一步讨论 (5)（四）应用格林积分直接以地面边值确定外部扰动重力场 61.扰动重力位的地面边值问题 (6)2.地面边值问题的格林公式表示 (6)三、Stokes公式的应用 (8)（一）Stokes公式简介 (8)（二）环量与环量密度 (9)（三）环量的应用 (9)1.开尔文定理 (9)2.开尔文定理的推论 (10)3.升力 (10)（四）旋度 (11)（五）旋度的应用 (12)1. 平面矢量场的旋度 (12)2.环流量是区域S 内有无漩涡的量度 (12)3.旋度是矢量场某点漩涡强度的量度 (13)4.空间矢量场的旋度 (13)四、Gauss公式的应用 (16)1、数学中的高斯公式 (16)2、保守场的推导 (17)3、高斯公式在电场中的运用 (17)4、高斯定理在万有引力场中的应用 (19)5.高斯公式推证阿基米德浮力定律 (21)6.高斯公式推证静电场中的高斯定理 (22)7.高斯公式与散度 (24)五、结语 (25)六、参考文献 (26)一、引言格林（Green）公式，斯托克斯（Stokes）公和高斯（Gauss）公式是多元函数积分学中的三个基本公式，它们分别建立了曲线积分与二重积分、曲面积分与三重积分、曲线积分和曲面积分的联系。
高斯公式和斯托克斯公式
Pdx
Qdy
Rdz
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
R y
Q z
cos
高等数学
高斯公式和斯托克斯公式
格林公式建立起了平面区域上的二重积分与其区域边界上的曲线积分 之间的关系．由此可推想，空间区域上的三重积分与其区域边界上的曲面 积分之间是否也有类似的关系呢？更进一步，重积分能转化成定积分进行 计算，那么曲面积分与曲线积分是否也可以呢？本节讨论的高斯公式和斯 克托斯公式将给出以上问题的答案．
3
3
3
111
333
ydx zdy xdz
x
y
z
1 1 1
dS
3
3
3
dS
3 dS．
yzx
1.2 斯托克斯公式
例 4
计算曲线积分
ydx zdy
xdz
，其中
x2 y2 : x yz
z2 a2 0，
，若从 z
轴正向看
去， 取逆时针方向．
因为平面 x y z 0 过原点，球 x2 y2 z2 a2 的球心在原点，所以它们的交线 是圆心在原点、半径为 a 的圆周，于是 的面积为 a2 ．根据对面积的曲面积分性质 3，
P z
R x
cos
Q x
P y
cos
dS
．
其中 cos ，cos ，cos 是 在点 (x ，y ，z) 处法向量的方向余弦．
同济版高等数学第十一章高斯公式
例1. 用Gauss 公式求
为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的边界曲面的外侧.
z 3
解: 利用Gauss 公式, 得
原式 = [(x y)z (( y z)x)x ]d x d y d z ( y z) d x d y d z
o x1
x
y
z
dxdydz
应用: 计算曲面积分 (非闭注意添加辅助面的技巧)
第七节
第十一章
斯托克斯公式
环流量与旋度
一、斯托克斯公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
d
x
d
y
d
z
x Q u v
y
u
v cos
x
v cos
y
v cos d S
z
R u v z
u v u v u v d x d y d z
x x y y z z
其中 是整个 边界面的外侧.
内容小结
高斯公式及其应用
公式:
P Q R
Pdydz Qdzdx
Rdxdy
与阿基米德 牛顿并列
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲
面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在
上有连续的一阶偏导数 , 则有
P d y d z Q d z d x Rdx d y (Gauss 公式) 高斯 目录 上页 下页 返回 结束
证明: 设
为XY型区域 , 1 2 3, 1 : z z1(x, y),
《高等数学教学课件》2011 第五、六节 二型曲面积分、高斯公式
R 0
R2 r 2 r 5dr
d 1 2 1cos4
R
40
2
0
R2
r 2 r 5dr
4
R 0
R2 r 2 r 5dr
r R sin t
4
2 Rcos t(Rsint)5 Rcos tdt
0
4
R7
2 cos2t sin5 tdt
0
4
R7
2 (1 sin2 t ) sin5 tdt
P1dydz Q1dzdx R1dxdy P2dydz Q2dzdx R2dxdy.
(2).有限可加性
Pdydz Qdzdx Rdxdy ( )Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 (32).反向变号性
1 2
设 为的相反侧曲面,则
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy.
上侧
前侧 右侧
下侧
后侧 左侧
定理(第二型曲面积分计算方法)
设定向曲面为 : z z( x, y), ( x, y) Dxy 在xoy面投影区域
如果是上侧,那么: R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
如果是下侧,那么: R( x, y, z)dxdy R[x, y, z( x, y)]dxdy
2
h4
z 2dxdy h4
h2dxdy
h4 h2h2
h4 .
2
2
D
2
2
例4、计算 x 2dydz 2xydzdx 2xzdxdy,其中是球面
( x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2的内侧.
解 由高斯公式
高斯公式正负
高斯公式正负在我们学习高等数学的过程中，高斯公式（Gauss formula）是一个非常重要的定理。
它可以帮助我们快速求解一些复杂的数学问题。
但是，在使用高斯公式时，我们需要正确判断其正负号，以便将其应用于实际问题。
本文将详细介绍高斯公式的正负号含义及其应用。
首先，我们来回顾一下高斯公式的基本概念和公式。
高斯公式是空间几何中的一个重要定理，它描述了空间中两个向量的内积与它们的模长的关系。
高斯公式的公式如下：GB = Σ(μi * vi)其中，GB 表示两个向量GB 的内积，μi 表示向量GB 的第i 个分量，vi 表示向量V 的第i 个分量。
在高斯公式中，正负号有着重要的意义。
当我们计算GB 时，如果GB 的正负号与μi 和vi 的正负号一致，那么GB 就是一个正数。
反之，如果GB 的正负号与μi 和vi 的正负号相反，那么GB 就是一个负数。
在实际应用中，我们需要根据题目条件来判断高斯公式的正负号。
例如，在空间向量几何中，高斯公式可以用于判断两个向量之间的角度。
如果我们想要计算向量GB 和向量V 之间的夹角，我们可以使用高斯公式：GB = μ1 * v1 + μ2 * v2 + μ3 * v3如果GB 的值是正数，那么向量GB 和向量V 之间的夹角位于第一象限或第四象限，即它们之间的角度在0° 到90° 之间。
如果GB 的值是负数，那么向量GB 和向量V 之间的夹角位于第二象限或第三象限，即它们之间的角度在90° 到180° 之间。
为了更好地理解高斯公式的正负号应用，我们来看一个例子。
假设我们有两个向量GB 和V，它们的分量分别为：GB：μ1 = 2，μ2 = 3，μ3 = 1V：v1 = 1，v2 = 2，v3 = 1根据高斯公式，我们可以计算GB 和V 的内积：GB · V = 2 * 1 + 3 * 2 + 1 * 1 = 7由于GB 和V 的正负号相同，所以它们之间的角度位于第一象限，即它们之间的角度在0° 到90° 之间。
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.4.2)--高斯公式和司托克斯公式
习题10.41. 利用Gauss 公式, 计算下列第二类曲面积分：(1) 222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(2) ()d d ()d d x y z y z x z x y ∑-+-⎰⎰, 其中∑为圆柱面221x y +=与平面0=z 和3=z 所围立体的表面, 并取外侧；(3) 333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2222x y z R ++=(0R >), 并取内侧； (4) 32()d d 2d d d d x yz y z x y z x z x y ∑--+⎰⎰，其中∑为圆柱面222R y x =+)(1≤≤0z , 并取外侧；(5) (2)d d d d x z y z z x y ∑++⎰⎰，其中∑为定侧曲面22+=y xz )10(≤≤z , 其法向量与z 轴正向夹角为锐角；(6) 24d d 2d d (1)d d xz y z yz z x zx y ∑-+-⎰⎰，其中∑为yOz 平面上的曲线e y z =(0)y a ≤≤绕z 轴旋转所成的曲面, 并取下侧；(7) 33311d d d d d d y y x y z f y z x f z x y z z y z ∑⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰⎰, 其中函数)(u f 具有连续导数, ∑为球面1=++222z y x ，4=++222z y x 与锥面22+=z y x 所围立体的表面, 并取外侧.(8) 2∑0R >), 其中∑为下半球面z =并取下侧.2. 计算曲面积分2cos(,)d ||||S ∑⎰⎰r n r ，其中∑为一封闭光滑曲面，n 为∑上点),,(z y x 处的外法向量，),,(z y x =r . 讨论下列两种情况：(1) 曲面∑不包含原点；(2) 曲面∑包含原点.3. 计算下列向量场通过曲面∑指定侧的通量：(1) (,,)xz xy yz =A , ∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分, 并取上侧； (2) 333(,,)x y z =A , ∑为球面2222x y z R ++=(0R >), 并取外侧.4. 求下列向量场的散度：(1) 2(4,2,)x xy z =-A , 求(1,1,3)div A ；(2) xyz =A r , 其中),,(z y x =r , 求(1,3,2)div A ；(3) 2223(,,2),xz y x y u x yz =-=A , 求div ()u A .(4) r =∇A , 其中r =求div A ；5. 求向量场 32222(2)()()z y z x y x x yz y z x y z x z x yz x y =+-+-+A i j k的散度div A 在点(1,1,2)M 处沿22=+-l i j k 方向的方向导数，并求div A 在点M 的方向导数的最大值.6. 利用Stokes 公式, 计算下列第二类曲线积分：(1) 222()d ()d ()d L xyz x y zx y z xy z -+-+-⎰, 其中L 是任一分段光滑的闭曲线；(2) 22322(e )d (e )d (e )d xy z Lx y z x y z y yz z ++-++⎰, 其中L 是圆周222,0,y z R x ⎧+=⎨=⎩且从x 轴的正向看去，L 取逆时针方向； (3) ()d ()d ()d Lz y x x z y x y z -+-+-⎰, 其中L 是椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩ 且从z 轴的正向看去, L 取顺时针方向；(4) 222222()d (2)d (3)d Ly z x z x y x y z -+-+-⎰, 其中L 是平面2=++z y x 与柱面||||1x y +=的交线，且从z 轴的正向看去, L 取逆时针方向.7. 试由Stokes 定理推出空间曲线积分与路径无关的条件, 由此验证下列曲线积分与路径无关, 并计算积分值：(1)π3,2,3(0,0,0)(sin )d d cos d y z x x y x z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭+++⎰； (2) (,,)222(0,0,0)(2)d (2)d (2)d x y z x yz x y zx y z xy z -+-+-⎰.8. 求下列向量场A 沿定向闭曲线L 的环量：(1) (,,)y x a =-A (a 为常数), L 为圆周221,,x y z a ⎧+=⎨=⎩ 从z 轴的正向看去, L 取逆时针方向；(2) ),,(2z y x xy +=A , L 为圆周222,1,x y z z ⎧+=-⎨=⎩ 其方向与z 轴的正向符合右手法则.9. 求下列向量场的旋度：(1) (,,)xyz xyz xyz =A , 求(1,3,2)rot A ；(2) 222()y z x =，，A , 求(1,1,1)rot A ；(3) 22(cos ,ln ,)x zy y x z =-A , 求rot A ；(4) 2(3,,2)xz yz x z =-+A , 求rot A .10. 设),,(z y x =r ，||||r =r ，)(r f 具有二阶连续导数，C 为常向量，试证： (1) []()rot ()()f r f r r'=⨯C r C ； (2) []{}div rot ()0f r =C .。
同济版大一高数第十一章第六节高斯公式
(
P x
Q y
R z
)dv
1
3
1
xdydz ydzdx zdxdy
1
3
3
dv
3
3
4 3
3
4
11
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2. 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
x Q u v
y
u
v x
cos
v y
cos
v z
cos
d
S
R u v z
u x
v x d z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
分析:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
的夹角,
试证
证: 设 的单位外法向量为
则
cos
n
0
r
0
n0 r0
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1 3
3
dv
V
28
方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为,
在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以
任意方式缩小至点 M
则有
lim M V
P x
Q y
十个复杂的高等数学公式
十个复杂的高等数学公式1. 泰勒公式泰勒公式就像是一个超级魔法。
它说呢，一个函数f(x)在点x = a附近可以写成f(x)=∑_{n = 0}^∞frac{f^(n)(a)}{n!}(x a)^n。
啥意思呢？就是把一个复杂的函数用多项式来近似表示。
比如说f(x)是个弯弯曲曲很难算的函数，我们就可以用这个公式把它变成好多项相加的形式，就像把一个怪东西拆成一堆小零件，f^(n)(a)是f(x)在a点的n阶导数哦。
2. 牛顿莱布尼茨公式这个公式可牛啦，它就像一座桥梁。
如果有个函数f(x)在区间[a,b]上连续，而且它的原函数是F(x)，那么∫_{a}^bf(x)dx=F(b)-F(a)。
你可以想象成，你要计算函数f(x)在区间[a,b]下面围起来的面积（就是定积分啦），只要找到它的原函数F(x)，然后把区间端点的值一减就成。
就好比你要知道从A点到B点走了多远，只要知道起始和结束的状态就行。
3. 格林公式格林公式有点像在平面上玩的一种游戏规则。
对于平面闭区域D，它的边界是分段光滑的曲线L，如果有向量场→F(x,y)=<=ft(P(x,y),Q(x,y))，那么∬_{D}((∂ Q)/(∂x)-(∂ P)/(∂ y))dxdy=∮_{L}Pdx + Qdy。
简单说呢，就是把平面区域上的一种双重积分和这个区域边界上的曲线积分联系起来了。
就好像区域里面的情况和边界的情况是有某种神秘联系的。
4. 高斯公式高斯公式可不得了，它是在三维空间里的一个大发现。
对于空间闭区域varOmega，它的边界曲面是∑，向量场→F(x,y,z)=<=ft(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，那么∭_{varOmega}((∂ P)/(∂ x)+(∂ Q)/(∂ y)+(∂ R)/(∂ z))dxdydz=∬_{∑}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy。
这就像是把空间区域里面的一种三重积分和这个区域表面的曲面积分给关联起来了，就好像空间里面的东西和它表面的东西在互相交流信息呢。
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D xy
于是 R(x,y,z)dxdy { R [ x ,y ,z 2 ( x ,y ) ] R [ x ,y ,z 1 ( x ,y )d ] x d y } D xy
R zd v R (x ,y ,z)d x d y
8
高斯(Gauss)公式 通与散度
R zd v R (x ,y,z)d x d y
高斯 Gauss,K.F. (1777–1855) 德国数学家、物理学家、天文学家
第六节 高斯 (Gauss)公式 通量与散度
flux divergence
高斯公式
物理意义---通量与散度
小结 思考题 作业
1
高斯(Gauss)公式 通量与散度
格林公式把平面上的闭曲线积分与 所围区域的二重积分联系起来.
6
高斯(Gauss)公式 通量与散度
z
R d vR (x ,y,z)d x d y2 :z z 2 (x ,y )
z
由曲面积分的计算法
1 :z z 1 (x ,y ) O
n
n
R (x,y,z)dxdy
R(x,y,z)dxdyx Dxy
y n
123
1 取下侧, 2取上侧, 3取外侧 一投,二代,三定号
Dzx
16 ( 2)232
故 I2 ( 3) 2 34 1 1 2 1 24
高斯(Gauss)公式 通量与散度
二、物理意义 通量与散度
flux divergence
1. 通量
设有一向量场 A P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k
x 0
一周所成的曲面, 它的法向量与y轴正向的夹角
恒大于 .
2
z
解
z y1
x 0
绕y轴旋转曲面方程为
O
n
y1z2x2(如图)
x
y
22
高斯(Gauss)公式 通量与散度
高斯公式
欲 I ( 8 y 求 1 ) x d y d z 2 ( 1 y 2 ) d z d x 4 y d x d y z
对有的非闭曲面 的曲面积分,有时可作 辅助面, 化为闭曲面的曲面积分, 然后利用 高斯公式.(将辅助面上的积分减去).
14
高斯(Gauss)公式 通量与散度
例 计算曲面积分
( x 2 co y 2 s co z 2 s co ) d S ,s 其中 为
锥 x 2 面 y2z2 介于 z 0 及 平 z h (h 面 0 )之间
Dxz
标
202(23)d 2.
23
高斯(Gauss)公式 通量与散度
求 I 1 ( 8 y 1 ) x d y d z 0 2 ( 1 y 2 ) d z d x 4 y d x d 0y z
2(132)dzdx 补 1:y3 ,取右侧
1
Dzx
D zx :x2z2(2)2
16dzdx
补1:y3, 取右侧.
z
有 I
n
1 1
O
n
P Q R d x d y d z x
y
1 x y z
y1z2x2
(8 y 1 4 y 4 y )d x d y d z D zx :x2z2(2)2
dv
3
2
2
dxdz dy d
1z2x2
0
0
d1 3 2d y柱 坐
高斯(Gauss)公式 通量与散度
( P x Q y R z)dv P d y d z Q d z d x R d x d y
证明思路 分别证明以下三式,从而完成定理证明.
P xd v P (x ,y,z)d y d z
Q yd v Q (x ,y,z)d zd x R zd v R (x ,y,z)d x d y
I x 3 d y d z 1 z f z y y 3 d z d x 1 y f z y z 3 d x d y ,
Σ是锥面 x y2z2 和球面 x2y2z21及
x2y2z24所围立体的表面外侧.
如直接计算
z
y
分析 被积函数中有抽象函数,
解 P x 3 ,Q 因 Σy 是3 ,闭R 曲 z 面3 ,可
P 利3x用2,高Q斯公3式y2计, 算R. 3z2
z
x
y
z
I 3 (x 2 y 2 z 2 )d x d y d z
球 3 r2r2sid n rd d
O
y
x
32 ddR r4 sid r n 12 R5
0 00
5
12
高斯(Gauss)公式 通量与散度
zn
1h4h4
2
1 1
1 h
n
1h4.
2
1h4
1 2
O
x Dxy
y
17
高斯(Gauss)公式 通量与散度
利用高斯公式计算三重积分
I(x yy zz)x d v
其 是 中 x 由 0 ,y 0 , 平 z 0 ,z 1 面 以及 圆柱面 x2 y2 1围在第一挂限内的 . 立体
提示 由于 P,Q,R选取相当自由，考虑到 x y z
Rdv z
Dxy
z2(x,y)Rdz z1(x,y) z
dxdy
R (x,y,z)z2(x,y)dxdy z1(x,y) D xy
z
O
x Dxy
n
n y n
{ R [ x ,y ,z 2 ( x ,y ) ] R [ x ,y ,z 1 ( x ,y )d ] x d y }
D xy
同理
P xd v P (x ,y,z)d yd z
自 己
Q yd v Q (x ,y,z)d zd x 证
合并以上三式得
( P x Q y R z)dv P d y d z Q d z d x R d x d y
高斯公式
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高斯(Gauss)公式 通量与散度
若区域Ω的边界曲面 与任一平行于坐标轴 的直线的交点多于两点时, 可以引进几张辅助的 曲面把Ω分为有限个闭区域, 使得每个闭区域满 足假设条件, 并注意到沿辅助曲面相反两侧的两 个曲面积分的绝对值相等而符号相反, 相加时正 好抵消. 因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正 确的.
(x 2 co y 2 s co z 2 s co ) d S s z2dS
1
1
h2dxdyh4 co 0 ,c s o 0 ,c s o 1 s
Dxy
故所求积分为
dS 1 0 0dxdy dxdy
(x 2 co y 2 s co z 2 s co ) d S s
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高斯(Gauss)公式 通量与散度
例 计 I x 算 3 d y d z y 3 d z d x z 3 d x d y ,
P d y 为 d z Q d x z d 球 2 x y R 2d x z 面 d 2 y R 2 的 ( 外P x侧 .Q y R z)dv
2
(zP dcv osQ c{ o( x s, y , R z c) x o2 0s)dy S2 z 2 , 0 0 z h }
h
2 zdz dxdy 0
zn
Dz
2hzz2dz2 hz3dz h4
0
0
2
1 h
n
O
x Dxy
y
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高斯(Gauss)公式 通量与散度
1 : z h ,( x 2 y 2 h 2 )
O
2
= 3 d
4sind
2 r4dr
0
0
1
x
93(2 2).
5
21
高斯(Gauss)公式 通量与散度
计算曲面积分
I ( 8 y 1 ) x d y d z 2 ( 1 y 2 ) d z d x 4 y d x d y z
其 是 中 z 曲 y 1 线 (1 y 3 )绕y轴旋转
本节的高斯公式表达了空间闭曲面 上的曲面积分与曲面所围空间区域上的 三重积分的关系.
它有明确的物理背景— 通量与散度.
2
高斯(Gauss)公式 通量与散度
一高、斯公高式称斯为奥公高公式式,或奥斯特洛格拉斯基 公式.(俄)1801 –1861
设空间 闭 由区 分域 片光滑 围 的 ,成 闭
函 P ( x , y , z ) 、 Q 数 ( x , y , z ) 、 R ( x , y , z ) 在 上
底 1 :z 面 0 (下 )和 , 上 2:z1 面 (上 )构 ,故成
I 2 d Dxy[x1 y[ 12 s 12(xc i yn ) 1o 21 ]dx( dys s 极c 坐i标) n o d ]s
00
2
11 .
24 19
高斯(Gauss)公式 通量与散度
例 计算设f(u)是有连续的导数,计算
只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明.
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高斯(Gauss)公式 通量与散度
( P x Q y R z)dv P d y d z Q d z d x R d x d y
证 设空间区域Ω 在xoy面上的投影域 Dxy为
假 的直即设 线边: z 至1 界( 域 多x 的 面, 相y ) 交由 边 于 z 1 两 界 , z 点2 2( ,曲 x ., 3y ) 面 ( x , 与 y , ) 坐 任 D 标 x 一 柱 轴 zy 平 面行 n
部分的下侧. c o 、 cs o 、 cso 是 s在 (x,y,z)处
的法向量的方向余弦.
解 空间曲面Σ在xOy面上的
z n
投影域为 Dxy ,曲面 不是
1 h
封闭曲面, 为利用高斯公式.