高数高斯公式
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高等数学 高斯公式
球 3 r2 r2 sindrdd
O
y
x
3
2
d
d
R r 4 sin dr 12 R5
0
0
0
5
12
高斯(Gauss)公式 通量与散度
(P x
Q y
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx Rdxdy 高斯公式
使用Guass公式时易出的差错:
(1) 搞不清 P,Q, R是对什么变量求偏导; (2) 不满足高斯公式的条件, 用公式计算;
Dxy
R z
dv
R(
x
,
y
,
z
)dxdy
8
高斯Gauss)公式 通量与散度
R z
dv
R(
x
,
y,
z
)dxdy
同理
P x
dv
P(
x,
y,
z)dydz
自 己
Q y
dv
Q(
x,
y,
z)dzdx
证
合并以上三式得
(P x
Q y
R )dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
高斯公式
9
高斯(Gauss)公式 通量与散度
2
z
解
z y 1 x 0
绕y轴旋转曲面方程为
O
n
y 1 z 2 x 2 (如图)
x
y
22
高斯(Gauss)公式 通量与散度
高斯公式
欲求 I (8 y 1)xdydz 2(1 y2 )dzdx 4 yzdxdy
补 1 : y 3, 取右侧.
有 I
1 1
高斯公式
高斯公式 仍成立. 好抵消，因而
例1 利用高斯公式计算曲面积分：
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
其中 为柱面x 2 y 2 1及平面z 0, z 3所围成的空间 闭区域Ω的整个边界曲面的外侧 .
解:因由已知： P ( y-z ) x , Q 0,
2 2 2
xy
而 (简写)
1 1
π , cos 0, cos 0, cos 1 2
( x cos y cos z cos )ds
2 2 2
1
z ds h dxdy πh
或
P Q R x y z dv ( P cos Q cos R cos )dS
此时， 是Ω的整个边界曲面的外侧， 、 、 cos cos cos 是 上点( x，y，z )处的法向量的方向余弦，以上 二式称为 高斯公式 .
D xy
对于(1)与(2)式，同样可得:
如果穿过Ω内部，且平行于x轴的直线与Ω的边界曲 面 的 交点恰好为两个，
P 有： x dv P( x, y, z )dydz 成立. Ω
如果穿过Ω内部，且平行于y轴的直线与Ω的边界 曲面的 交点恰好为两个，
Q 有： dv Q( x, y, z )dzdx 成立. y
z z 2 ( x, y )
z1 ( x, y ) z 2 ( x, y )
(4) 1取下侧， 2 取上侧， 3是以Dxy的边界 曲线为准 线， 母线平行于z轴的柱面上的一 部分，取外侧.
则(3)式左边：
z2 ( x , y ) R R z dv z dz dxdy Ω Dxy z1 ( x , y ) Rx, y, z 2 ( x, y ) Rx, y, z1 ( x, y )dxdy
高等数学第十章 曲线积分与曲面积分第六节 高斯(Gauss)公式10-6
2
x
柱，前，右
zxdydz
1
o
1
y
6/16
例1 求
2 2 ( x y ) dxdy ( y z ) xdydz ， Σ ： x + y =1 及
z= 0、z= 3 所围闭区域边界曲面的外侧。
Gauss
P Q R 解2 原 式 ( )dv x y z
解1 原 式 (
顶 底 左右对称
( )( x y )dxdy 2
柱
)
顶 底
柱 xOy
顶、 底 yOz
柱 ， 前
( y z ) xdydz 0
z
柱
( y z ) xdydz
3
4
3 4 z 1 y ( dydz) 2 D yz
R R dxdydz dxdydz z k 1 k z n Rdxdy Rdxdy.
n
k 1 k
同理
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z 证毕
用法：同格林公式。
14/16
三、*物理意义----通量与散度
记 A( x, y, z ) ( P, Q, R), ,
P Q R ( )dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ＝ ＝
dir A dxdydz A dS
其中 是 的边界曲面的正向，cos 、cos 、 cos 是 上正向法向量的方向余弦。
Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面曲 面积分之间的关系.
x
柱，前，右
zxdydz
1
o
1
y
6/16
例1 求
2 2 ( x y ) dxdy ( y z ) xdydz ， Σ ： x + y =1 及
z= 0、z= 3 所围闭区域边界曲面的外侧。
Gauss
P Q R 解2 原 式 ( )dv x y z
解1 原 式 (
顶 底 左右对称
( )( x y )dxdy 2
柱
)
顶 底
柱 xOy
顶、 底 yOz
柱 ， 前
( y z ) xdydz 0
z
柱
( y z ) xdydz
3
4
3 4 z 1 y ( dydz) 2 D yz
R R dxdydz dxdydz z k 1 k z n Rdxdy Rdxdy.
n
k 1 k
同理
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z 证毕
用法：同格林公式。
14/16
三、*物理意义----通量与散度
记 A( x, y, z ) ( P, Q, R), ,
P Q R ( )dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ＝ ＝
dir A dxdydz A dS
其中 是 的边界曲面的正向，cos 、cos 、 cos 是 上正向法向量的方向余弦。
Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面曲 面积分之间的关系.
高考数学冲刺复习高斯公式考点解析
高考数学冲刺复习高斯公式考点解析在高考数学的冲刺复习阶段，高斯公式是一个重要的考点，理解并掌握它对于提高数学成绩至关重要。
高斯公式，又称为高斯通量定理，在数学和物理学中都有着广泛的应用。
首先，我们来了解一下高斯公式的基本概念。
高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。
简单来说，如果我们有一个空间闭区域Ω，其边界曲面为Σ，函数 P、Q、R具有一阶连续偏导数，那么高斯公式可以表示为：∫∫∫Ω （∂P/∂x ＋∂Q/∂y ＋∂R/∂z) dV ＝∫∫Σ Pdydz ＋ Qdzdx ＋ Rdxdy 。
接下来，让我们通过一些具体的例子来深入理解高斯公式的应用。
例 1：计算∫∫∫Ω （x ＋ y ＋ z) dV ，其中Ω是由球面 x²＋ y²＋ z²＝1 所围成的闭区域。
我们先求出∂P/∂x ＝ 1，∂Q/∂y ＝ 1，∂R/∂z ＝ 1 ，然后将其代入高斯公式，得到：∫∫∫Ω （x ＋ y ＋ z) dV ＝3∫∫∫Ω dV ，而∫∫∫Ω dV 表示闭区域Ω的体积，由于Ω是半径为 1 的球体，其体积为4π/3 ，所以最终结果为4π 。
例 2：计算∫∫Σ x²dydz ＋ y²dzdx ＋ z²dxdy ，其中Σ是立方体0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1，0 ≤ z ≤ 1 的表面外侧。
这里，我们直接使用高斯公式，得到：∫∫Σ x²dydz ＋ y²dzdx ＋ z²dxdy ＝∫∫∫Ω （2x ＋ 2y ＋ 2z) dV ，然后分别计算三个积分，最终结果为 3 。
在运用高斯公式时，需要注意一些关键的要点。
一是要正确判断闭区域的边界曲面的方向。
如果方向判断错误，会导致整个计算结果的错误。
二是要注意函数的偏导数是否连续。
如果不连续，可能需要采用其他方法进行计算。
三是在计算过程中，要仔细计算三重积分和曲面积分，避免出现计算错误。
高数高斯公式
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
2、高斯公式的实质
（1）应用的条件
（2）物理意义 divAdv AdS
21
习题10 6
P174
高斯 ( Gauss ) 公 式25
1(2)(3)(4),2(3),3(2)
22
1
3
x2 y2 dxdy
Dxy
2
d
R
r rdr
2 R3
0
0
3
1
1
1
高斯
1 4 R3 2 R3 4 R3
( Gauss ) 公 式10
23
3
3
9
例 3 计算曲面积分
高斯
( x2 cos y2 cos z2 cos )ds,其中Σ为
( Gauss ) 公 式11
解 P ( y z)x, Q 0, x R x y,
1
3
z
o1
y
5
P y z, Q 0, R 0,
x
y
z
z
高斯 ( Gauss ) 公
式7
1
3
原式 ( y z)dxdydz
(利用柱面坐标得)
(r sin z)rdrddz
o1
y
x
2
1
3
0 d 0 rdr 0 (r sin z)dz
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为
AdS Pdydz Qdzdx Rdxdy
如E为称电为场向强量 度,场单A位(时x,间y,通z)过向正的侧电穿通过量曲面I Σ的E通dS量.
高斯公式的表达式
高斯公式的表达式
高斯公式是18世纪德国数学家卡尔·马克思·高斯发明的一个知名的数学理论，用来求解多项式次方，如二次多项式的极值、四边形的面积等复杂问题。
其公式体现在各种数学、物理中，在用法亦十分广泛，即它可以口头表达，也可以用代数和几何等等各种数学形式表达。
高斯公式定义为：((x-a)(x-b))ⁿ=C(x-a)(x-b)¹¹⁰¹⁰...,(1)
其中a和b是多项式的系数，n是次方，C是常数项。
可以看出，高斯公式中包含了三个变量，通过这三个变量的变化，可以求出多种不同的数学结果。
高斯公式的广泛用途反映在多个领域中。
它经常用于分析二次多项式的极大值和极小值的位置。
此外，它还被用于数学归纳法，计算面积、计算积分和密度函数等方面，也可以用来解决有关组合数学和概率统计的问题。
在数学、物理学以及其他学科领域中，高斯公式是不可或缺的重要工具，它可以帮助我们解决复杂的数学问题。
其优秀的计算性能以及准确的结果被广泛应用于不同学科，从而极大地推动了科学发展。
高等数学11.6高斯(Gauss)公式
公式称为高斯(Gauss,1777-1855,德国)公式.
一、高斯公式
P Q R )dV ( x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy
其中 取外侧 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dv x y z
对图中区域 , 可添加曲面 3 ( 上侧 ),
1 2 ,
1 2 ,
1 1 3 , 2 2 3 ,
1 2
z
2
3
2
1
1 3
2 3
2
z=h
1
法向量 y z h( h 0) (0,0,1)
2 2
h
D xy
o
y
2 2 2 1 4 ( x cos y cos z cos ) dS 2 ( x y z ) dv h . 2 1
x
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS z 2 dS
2
y z h( h 0)
2 2
h
D xy
o
y
2
x P Q R ( P cos Q cos R cos )dS . ( ) dv x y z
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ( x y z )dv 1
0,
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
一、高斯公式
P Q R )dV ( x y z Pdydz Qdzdx Rdxdy
其中 取外侧 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy ( ) dv x y z
对图中区域 , 可添加曲面 3 ( 上侧 ),
1 2 ,
1 2 ,
1 1 3 , 2 2 3 ,
1 2
z
2
3
2
1
1 3
2 3
2
z=h
1
法向量 y z h( h 0) (0,0,1)
2 2
h
D xy
o
y
2 2 2 1 4 ( x cos y cos z cos ) dS 2 ( x y z ) dv h . 2 1
x
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS z 2 dS
2
y z h( h 0)
2 2
h
D xy
o
y
2
x P Q R ( P cos Q cos R cos )dS . ( ) dv x y z
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ( x y z )dv 1
0,
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
高数之 高斯公式,通量与散度
证：设 cos α 、 cos β 、 cos γ 是 Σ 在点 ( x, y, z ) 处的外法线向量的方向余弦，则
∂v = vx cos α + v y cos β + vz cos γ ． ∂n
故
∫∫ u ∂ndS = ∫∫ (uv
Σ Σ
∂v
x
cos α + uv y cos β + uvz cos γ )dS
0 0
1
3
2π 0
dθ ∫ ρ d ρ ∫ zdz
0 0
1
3
1 9 9 = 0 − 2π ⋅ ⋅ = − π ． 2 2 2
2
（2） 【P228， 例 3】 I=
∫∫ ( z
Σ
2
1 2 2 + x)dydz − zdxdy ， 其中 ∑ 是旋转抛物面 z = ( x + y ) 介于平面 z = 0 2
Ω
= −∫
2π 0
π 1 1 2 dθ ∫ 2 sin ϕ dϕ ∫ r 4 dr = −2π ⋅1⋅ = − π . 0 0 5 5
例 2【P232，例 3】 设函数 u ( x, y, z ) 和 v( x, y, z ) 在空间闭区域 Ω 上具有一阶及二阶连续偏导数， 证明 Green 第一公式：
Σ1 Σ1
h 2 dxdy = h 2 ⋅ π h 2 = π h 4 ．
x 2 + y 2 ≤ h2
故，原式 =
Σ+Σ1
∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy − ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy = 2 h
2 2 2 2 2 2
高数 高斯公式 通量与散度(正式)
R(
Dx y
x,
y,
z1
(
x,
y))
d
xdy
所以
R z
d
x
d
y
d
z
R
d
x
d
y
若不是上述区域 ,则可引进辅助面
将其分割成若干个上述区域,在辅助面
正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 .
类似可证
P x
d
x
d
y
d
z
Pd
y
d
z
Q y
d
xd
y
d
z
Qd
z
d
x
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
P x
Q y
Rdxdy,
(1)
或
(P x
Q y
R)dv z
( P
cos
Q cos
Rcos )dS, （1′）
这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、
cosγ是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。
公式（1）或（1′）叫做高斯公式。
证明:
1 2 3, 1 : z z1(x, y), 2 : z z2 (x, y),
导连续。
（4）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1 封 闭，所围区域Ω。
(P x
Q R)dv y z
及易于计算 A dS
1
例1.用Gauss公式计算
其中为柱面
及平面z = 0,z = 3所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
z
解:这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
I 2 (x y z) d xdydz Dxy h2 d x d y
同济版大一高数第十一章第六节高斯公式
(
P x
Q y
R z
)dv
1
3
1
xdydz ydzdx zdxdy
1
3
3
dv
3
3
4 3
3
4
11
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2. 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
x Q u v
y
u
v x
cos
v y
cos
v z
cos
d
S
R u v z
u x
v x d z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
分析:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
的夹角,
试证
证: 设 的单位外法向量为
则
cos
n
0
r
0
n0 r0
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1 3
3
dv
V
28
方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为,
在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以
任意方式缩小至点 M
则有
lim M V
P x
Q y
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o
1 x
1y Dxy
原式 1 8
P231 3(4) 计算 xzdxdy xydydz yzdxdz,其中是平面 x y z 1, x 0, y 0, z 0所围成立体表面外侧.
解： P xy, Q yz, R xz,
利用高斯公式
P y, Q z, R x,
x
y
z
原式 (x y z) d x d y d z
3
利用Gauss 公式, 得
原式 = ( y z)d x d y d z (用柱坐标) o
( sin z) d d d z
x1
y
2
d
1
d
3
( sin z) dz
9
0
0
0
2
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?
若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
P231 3(4)计算 xzdxdy xydydz yzdxdz,其中是平面 x y z 1, x 0, y 0, z 0所围成立体表面外侧. z 1
z = h 之间部分的外侧.
解: P y2, Q x2, R z2,
P 0, Q 0, R 2z,
x
y
z
h
o
y
x
h
I 2 z d xdydz 20 z d z Dz d x d y
2
h 0
z
z2 dz
1 h4
2
复习: 三重积分化为柱面坐标的三次积分
f ( x, y, z)dv
P[
x(
y,
z
),
y,
z
]dydz,
P[x( y, z), y, z]dydz
Dyz
取前侧, 取后侧.
Q(
x,
y,
z)dzdx
Dzx
Q[
x,
y(
z,
x),
z]dzdx,
Q[x, y(z, x), z]dzdx
Dzx
取右侧, 取左侧.
第十一章
第六节 高斯公式
复习:格林公式
定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L所围成, 函数P( x, y),Q( x, y)在D上具有一阶连续偏导数,
原式
D
(Q x
p)d
y
L
P(x,
y)dx
Q( x,
y)dy
一个重要的数学关系——区域内部的问题与边界
问题之间的联系
Green公式的推广-- Gauss公式
函数：二元函数
三元函数
积分范围：平面闭区域D
空间闭区域
边界: 曲线L
曲面
空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系
一、高斯 ( Gauss )公式
• 小结:
一、有向曲面及曲面元素的投影;
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质;
三、对坐标的曲面积分的计算法; 一投影,二代入,三定号
R(
x,
y,
z)dxdy
Dxy
R[
x,y,z(x,y)]dxdy,R[x, y, z(x, y)]dxdy
Dxy
取上侧, 取下侧.
P(
x,
y,
z
)dydz
Dyz
空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在
上有连续的一阶偏导数 , 则有 (Gauss 公式)
P d yd z Qd z d x Rdx d y
高斯公式是微积分基本公式在三重积分情形下 的推广,它将空间区域上的三重积分与定向边界曲面 上的积分联系了起来.
z 1
1 1x
1x y
0 dx0 dy0 (x y z) d z
o
1
1
dx
1 x
[1
(x
y)2 ]dy
20 0
1
1y
x
1
2
1(1 x 1 1 x3)dx
0
33
1(2 1 1 ) 1 2 3 2 12 8
P d yd z Qd z d x Rdx d y
P239
P d yd z Qd z d x Rdx d y
使用高斯公式时的注意事项 1.正确确定P,Q, R三个函数,并注意分别对哪个变 量求偏导数; 2.判断P,Q, R三个函数是否具有一阶连续偏导数; 3.注意曲面积分取封闭曲面的外侧.
例 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 为锥面 x2 y2 z2及
d
2 d 2 ( , ) f ( cos , sin , z)dz
1
1 ( , )
(先z次 后 )
例1. 用Gauss 公式计算
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
z
解: 这里 P ( y z)x,Q 0, R x y
解：P y z, Q z x, R x y,
P 0, Q 0, R 0
x
y
z
(y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy 0dxdydz 0
P d yd z Qd z d x Rdx d y
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 为锥面 x2 y2 z2及
解 P x y, Q y z, R z x, P 1, Q 1, R 1
x y z
根据高斯公式
原式
P x
Q y
R z
dv
a
(1 1 1)dv
Ω
3 (Ω的体积) 3a3.
练习 计算 ( y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy,其中
是曲面z x2 y2 及平面z h(h 0)所围成立体表面外侧.
则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy,
其中L 是 D 的正向边界曲线.
格林公式是微积分基本公式在二重积分情形下的推广. 反应的是二重积分与区域边界曲线上的第二类曲线积分的
关系。结果是二重积分与曲线积分的计算可以互转。
7
P217
(3,2)
(0,0)
(3,0)
P213
y2 x
y x2
解：P x2 xy3, Q y2 2xy
z = h 之间部分的外侧.
解: P y2, Q x2, R z2,
P 0, Q 0, R 2z,
x
y
z
h
o
y
x
h
I 2 z d xdydz 20 z d z Dz d x d y
P 4xz, Q y2, R yz,
P 4z, Q 2 y, R y,
x
y
z
z
1
1o
1 y
x
P d yd z Qd z d x Rdx d y
P d yd z Qd z d x Rdx d y
练习 计算 (x y)dydz ( y z)dzdx (z x)dxdy, 是 以原点为中心, 边长为a的正方体的整个表面的外侧.