从高斯公式到高斯定理
从高斯公式到高斯定理
电磁学知识点总结(一)
电磁学中有三大实验定律：库仑定律，安培定律及法拉第电磁感应定律；并在此基础上，麦克斯韦进行归纳总结，得出了描述宏观电磁学规律的麦克斯韦方程组。
1 电荷守恒与库伦定律1.1 电荷守恒定律摩擦起电和静电感应实验表明，起电过程是电荷从某一物体转移到另一物体的过程。
电荷守恒定律电荷不能被创造，也不能被凭空消失，只能从一个物体转移到另外的物体，或者是从物体的一部分转移到另一部分。
也就是说，在任何物理过程中，电荷代数式守恒的。
在1897年，英国科学家汤姆逊在实验中发现了电子；1907-1913年，美国科学家密立根通过油滴实验，精确测定除了电荷的量值：e =1.602 177 33×10^-19 C。
这表明电子式量子化的。
1.2 库伦定律库伦定律两个静止电荷q1和q2之间的相互作用力大小和与q1与q2的乘积呈正比，和它们之间的距离r的平方呈反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸，即：其中，ε0为真空介电常数。
ε0 ≈8. 854187817×10-12 C2 / (N?m2)。
在MKSA单位制中，1库伦定义为：如果导线中有1A的恒定电流，在1s内通过导线横截面的电量为1C，即：1 C=1 A?s。
1.3 电场强度电场强度E 这是一个矢量，表示置于该点的点位电荷所受到的力，是描述电场分布的物理量，即：场强叠加原理由于电场是矢量，服从矢量叠加原理，因此我们可以得出：电荷组所产生的电场在某点的场强等于各点电荷单独存在时所产生的电场为该点场强的矢量叠加。
电场线形象描述电场分布，我们可以引入电场线的概念，利用电场线可以得出较为直观的图像。
1.4 电荷分布为了对概念有更清晰的认识，我们介绍实际带电系统中电荷分布的4种形式：体分布电荷；面分布电荷；线分布电荷及点电荷。
电荷体密度：电荷连续分布于体积V 内，用电荷体密度来描述其分布，即：电荷面密度：若电荷分布在薄层上，当仅考虑薄层外、距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。
高斯定理(电磁学)
证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等 基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯 公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷 或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围 在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高 斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学 、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及 电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来 研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来 研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以 帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域 内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强 度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯 定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以 及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内 的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内 引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、 自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。
高斯定理和高斯数学的关系
高斯定理和高斯数学的关系
高斯定理和高斯公式都是以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的，他们在数学和物理中都有重要的应用。
数学中的高斯公式是曲面积分的一个重要公式，它把闭合曲面的第二类曲面积分和三重积分联系了起来。
物理电磁学中的高斯定理同样是求场强的一个重要定理，它把“面”与“体积”联系了起来，即闭合曲面的电场强度通量与闭合曲面内的电量。
我们可以通过高斯公式来推出高斯定理。
这种综合运用各学科知识的学习方法，能够帮助我们更好地理解所学的知识点。
总的来说，高斯定理和高斯公式都是高斯数学的重要组成部分，它们在解决实际问题时提供了强大的工具。
高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高...
a
即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零
Q q0 ≠ 0
r r ∴ ∫ E • dl = 0
26
在点电荷系电场中：
r n r E = ∑ Ei
i =1 l
n r r n r r r r ∫ E ⋅ dl = ∫ ∑ Ei ⋅ dl = ∑ ∫ Ei ⋅ dl = 0 l l i =1 i =1
r r 3. 分别求出 Φ E = ∫ E ⋅ d S
从而求得 E
和 ΦE =1Biblioteka εo∑qS内
i
，
17
例5-5 求均匀带电球面的电场。半径为R，带电量q>0 解: 对称性分析
r<R
= E 1 4π r
2
r E 具有球对称 作高斯面——球面
r v Φ e = ∫ E 1 ⋅ d S = E 1 ∫ dS
电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 称为电荷在静电场中的电势能 称为电荷在静电场中的电势能。 电势能。 静电场力对电荷所做的功 = 静电势能增量的负值 试验电荷 q0 处于 a 点和 b 点分 别具有电势能 Wa 和 Wb 则 a → b 电场力的功
∆S
∆S
r E
θ
θ
r n
r E
Φe = E∆S
r r Φe = E∆S cosθ = E • ∆S
8
(2) 非均匀电场 S为任意曲面
dΦe = EdS⊥ = EdS cos θ v v = E ⋅ dS
Φ e = ∫ d Φ e = ∫ E cos θ dS S S v v v v = ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ n dS
静电场中的高斯定理
静电场中的高斯定理：高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。
可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。
表达式为01()1/n i i S E ds q φε==∙=∑⎰⎰ （1）高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。
典型情况有三种:1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等;2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。
根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。
选取的原则是:○1 待求场强的场点必须在高斯面上;○2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○4 高斯面的形状应是最简单的几何面。
最后由高斯定理求出场强。
高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。
但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。
下面举一些例子来说静电场中高定理的应用：例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。
高斯定理的证明方法和应用
同理可得
dB dS
0 Idl y x dydz dxdz 0 4 S r 2 r2
0 Idl r 2 dS S 4 r
（c）电流元在任意闭曲面内 以此类推，在闭曲面 S 内，以电流元为球心作一辅助球面 S1，因为
dB dS dB dS 0
（2） 当电荷 Q 不包含在闭合曲面 S 内时，则
S V
r E dS dV 0
0
由此，高斯定理得证。 3、 高斯定理的另一种证明
如图所示，设有一电量为 q 孤立的正点电荷，现以点电荷所在处为球心，任意 r 为 半径作一球面为高斯面，球面上任意点的场强为
E
2 S
S
dS
4 r 2
（1）
0
（b）点电荷在任意闭曲面外 闭曲面 S 的电通量为
S
E dS q q
1 4 0
S
q r dS r3
（2）
1 xdydz ydxdz zdxdy 4 0 S r 3 1 1 1 xdydz ydxdz zdxdy 4 0 S r 3 r3 r3
（c）点电荷在任意闭曲面内 在任意闭曲面 S 内以点电荷 q 为球心作一辅助球面 S1，其法向朝内，根据（1）式可知点 电荷 q 在闭曲面 S+S1 的电通量为零，即：
E dS E dS 0
S S1
E dS E dS E dS
S S1 S2
r dS S r 2 dl
dB dS 0
S
（b）电流元 Idl 在任意闭曲面外 电流元的磁感应强度对闭曲面的磁通量为
高斯定理
1、电力线 若已知电荷分布，则空间各点的场强原则上都可求出。为了形象化地把客观存在的电场
表示出来，常引入电场线这一辅助工具。 （1）电力线的定义 ·电力线上每一点的切线的方向与相应点场强的方向一致。 ·电力线的数密度与该点的场强的大小成正比。
ΔN = EΔS ⊥
则这样定义的电力线既可以表示场强的方向，又可以表示场强的大小。 所谓电场线的数密度，就是通过垂直于场强方向的单位面积的电场线的条数。这样，凡 是电场线密集的地方，场强就大，电场线稀疏的地方，场强就小。 （2）电力线的性质
斯定理导出库仑定律。库仑定律不但说明电荷间的相互作用力服从平方反比律，而且说明电
荷间的作用力是有心力。因此，在静电范围内，库仑定律比高斯定理包含更多的信息。 四、高斯定理举例
高斯定理也是静电场的基本定理之一，它给出了场与源的联系，但并没有给出场分布与 产生电场的源电荷之间的直接联系。因此在一般情况下，已知电荷分布，并不能直接从高斯 定理求得场强分布。这也是高斯定理没有包括库仑定律全部信息的反映。
（2）高斯面上的电荷问题 高斯面把电荷区分为内外两种，是否存在一种点电荷正好在高斯面上？这是不存在
的，因为只有点电荷和线度要远小于 q 与高斯面间的距离，才能视为点电荷。 （3）高斯定理中的 E 问题 高斯定理中的 E 是全部电荷所产生的 E，而不管这电荷是在曲面内部或在曲面外
部。同一高斯面的 E 可能相同，也可能不同，因为高斯面是任意选取的。 （4）高斯定理表明的只是电通量和电荷的关系 如果在高斯面内部或外部电荷分布发生改变，则空间电场分布将发生变化，高斯面
部，把 qi +1，…， q N 包围在外部，则由叠加原理，总电场 E 对封增长曲面的电通量为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）
其中 S 取外侧，cosα，cosβ，cosγ是Σ上点（x，y，z）处 ［1］ 的法向量的方向余弦。 （1）式称为高斯公式。 高斯公式表明： 高斯面上的第二型曲面积分可以转化为所围立体内的三重积分。 ［2］ 而高斯定理是静电学中的一个重要定理。 在静电场中， 高斯定理的数学表达式为：
Φ =
若包含点电荷的闭合曲面为任意的，由于电场线不会在无 电荷的地方中断，因此，通过任意闭合曲面的电通量与上式相 等，若高斯面内包含多个电荷，根据矢量叠加原理，就可以得
4 × πR 3 = 4πR 3 。 3
S V V
∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) dS
S
r v 1 q q × 4πR3 = 。 于是通过高斯面的电通量： Φ = ∫∫ E ⋅ dS = 3 πε ε 4 R 0 0 S
= ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
－ 13 －
From Gauss Formula to Gauss Theorem
Chen Xiufang Abstract：Gauss theorem is an important theorem of electrostatic. In this thesis, Gauss formula in the advanced mathematics is adopted to derive Gauss theorem of electrostatic. In this way Gauss theorem is introduced naturally and is understood easily by students. Key words：Gauss formula; Gauss theorem; superposition principle
科学之友
Friend of Science Amateurs
2010 年 10 月
从高斯公式到高斯定理＊
陈修芳
（武汉工业学院，湖北 武汉 430023） 摘 要：高斯定理是静电学的一个重要定理。文章利用高等数学中高斯公式来推导高斯 定理，比较自然地引入静电场高斯定理，从而使学生对高斯定理有更深的理解。 关键词：高斯公式；高斯定理；叠加原理 中图分类号：O441.1 文献标识码：B 文章编号：1000－8136（2010）30－0012－02 俗话说， “数理不分家” ，主要是说数学中的理论来源于物 理实践，反过来又可以应用于物理。理论上，大学物理教师的 主要任务是提出物理概念，建立物理模型，至于模型计算如求 导积分等只要交给学生利用数学工具去解决就可以了。 数学中的高斯公式是曲面积分的一个重要公式。设空间区 域 V 由分片光滑的双侧封闭曲面 S 围成。若函数 P，Q，R 在 V 上连续，且有一阶连续偏导数，则：
图1
高斯面上电场强度示意图
高斯公式和高斯定理虽然表面形式不同， 但从高斯公式推 导出高斯定理，不仅使我们在电磁学中较容易地引进高斯定 理，而且使学生对高斯定理有比较准确地、深刻地理解，更重 要的是对学生综合运用所学知识的能力的一个训练， 收到较好 的效果。 参考文献 1 同济大学应用数学系.高等数学（第五版） ［M］.北京：高等 教育出版社，2005 2 施传柱.关于高斯定律应用的探讨［J］.曲靖师专学报，1996 （6） ：20～21 3 马文蔚.物理学中册 （第四版） ［M］ .北京： 高等教育出版社， 2008
2
环己二羧酸配合物
环己二羧酸是脂肪族羧酸的一种，两个羧基可处于 1,2－、 1,3－及 1,4－位置， 这些二元羧酸都具有柔性和自由多变的构型， 具有如下特点：①二齿或单齿的连接方式；②存在 e,e－，a,a－ 或 e,a－三种构造（1,2－、1,3－及 1,4－衍生物中 e,e－trans－是 最稳定的，见图 1） ，羧基可以从不同的方向连接金属离子，是 构筑手性配位聚合物的首选配体；③金属－氧构成的层状或网 状结构作为柱状支撑；④利用羧基与金属离子的键合，将金属 离子聚集成 M－O－C 原子簇形式的 SBU。 这类 SBU 顶点因为 羧基将金属离子固定在一定位置上显示出足够的稳定性，成为 更大的刚性网络顶点，因此具有很高的结构稳定性。 近几年来，随着芳香多羧酸功能性配合物的不断合成，由
⎛ ∂ P ∂ Q ∂R ⎞ ⎜ ∫∫∫ ⎟ dxdydz = ⎜ ∂x + ∂y + ∂z ⎟ ⎠ V ⎝
r v 1 q Φ = ∫∫ E ⋅ dS = xdydz + ydzdx + zdxdy 4πε 0 R 3 ∫∫ S S
根据高斯公式，有：
∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy = ∫∫∫ (1 + 1 + 1)dxdydz = 3∫∫∫ dV = 3
r v 出高斯定理 Φ = ∫∫ E ⋅ dS =
S
∑q
i =1
niε0。 Nhomakorabea∫∫
S
r v E ⋅ dS =
∑q
i =1
n
i
ε0
n i =1 i
（2）
（2）式中 ∫∫ 表示沿任一闭合曲面Σ的积分， ∑ q 为闭合曲
S
面 S 所包围的所有电荷的电量的代数和。高斯定理表明：通过 r 任一闭合曲面的电场强度 E 通量等于该曲面所包围的所有电荷 电量的代数和除以 ε 0 ，与闭合面外的电荷无关。 教科书上一般都是利用点电荷的电场线的特点和位于球面 球心的点电荷在球面上产生的电通量这个特例及电场线的特点 ［3］ 和电场强度的叠加原理来证明高斯定理， 这种证明虽然较为 简单，但学生较难理解。下面利用高斯公式推导高斯定理： 见图 1 ，闭合曲面为球面 S（方程 x 2 ＋ y 2＋ z 2 ＝ R 2 ） ，其 所围的立体为 V ，单位正电荷 q 放在球心。点电荷在球面上 1 q 的电场强度为 E = e ，其中 e 是由点电荷 q 指向球面 4πε 0 R 2 的单位矢量。由于球面指向外侧的法向量为 n ＝（2x，2y，2z） x y z 1 ＝2（x，y，z） ，于是单位矢量 e = ( , , ) = ( x, y, z ) ，从而 R R R R 1 q x y z 1 q E= ( , , )= ( x, y , z ) 。 又 dS＝ （dydz， dzdx， 4πε 0 R 2 R R R 4πε 0 R 3
dxdy） ，故通过高斯面的电通量可写成：
＊ 基金项目：武汉工业学院校基金资助（编号：2009Y24）
－ 12 －
科学之友
Friend of Science Amateurs
2010 年 10 月
环己二羧酸类配合物研究进展
肖艺唯，杨 笑
（东北师范大学附属中学，吉林 长春 130021） 摘 要：环己二羧酸配合物因其独特的性质、结构的多样化等特点，在非线形光学材料、 吸附、发光及催化等诸多领域都显示出广阔的应用前景。文章对羧酸配合物结构特点进 行了概述，并综述了近年环己二羧酸配合物研究进展。 关键词：环己二羧酸配合物；过渡金属；SBU；异构体分离 中图分类号：O641.4 文献标识码：A 文章编号：1000－8136（2010）30－0013－02 羧酸配合物因其独特的性质、结构的多样化及不同寻常的 光电效应等特点，在非线形光学材料、磁性材料、超导材料及 催化等诸多领域都显示出广阔的应用前景。到目前为止，已有 成千上万种羧酸配合物被合成和研究， 该类配位化合物的研究， 不仅有助于了解生物体内的桥连多核配合物所引起的各种生 物功能，而且为寻找新的抗癌药物提供有用的信息，同时对设 计理想的分子铁磁性材料和新型电致发光材料具有非常重要 的价值。 环己二羧酸构筑的配合物逐渐引起人们的关注。2002 年日本学 者 Mikako Inoue 用过渡金属铜和反式环己二羧酸合成的多孔性 化合物 Cu（trans－1；4－OOCC6H10COO） ，内含由正方形的格 子堆积的孔道，直径约为 4.2Å。该化合物能吸附大量的甲苯， 并且具有吸附/解附可逆性。
图 1 1,4－环己二羧酸三种构造 2003 年由胡长文课题组合成的［M2（phen）2（chdc）2（H2O）2］ ［1］ （M = Co（II） 、Ni（II）和 Zn（II） ）中， 1,4－环己二羧酸中 两个对位羧基分别采取单齿配位和双齿配位，分子中的左右手 螺旋链通过氢键作用形成二维的平面结构。2005 年该课题组又 通过溶剂热反应， 用咪唑代替 phen 合成三个新颖的配位聚合物 ［ M （ chdc ） （ imi ） ］ n （ chdc=1,4 － cyclo － hexanedicarboxylic dianion，imi=imidazole） ，这三个配合物是同构的，而且都是通 过金属二聚物以环己二羧酸配体为双桥构筑成一维链状的结 构。值得注意的是，在以上 6 个配位化合物中，配体 1,4－环己 二羧酸只拥有一种 e,a－cis 结构，而在反应物中用的却是顺式 和反式的混合物。这种选者性配位将有利于进一步研究分子识 别和选择配体的拆分。 羧酸被大量地用于金属－有机配位化合物的合成，除了其 配位模式多样性外，另一个原因就是羧酸对 pH 值特别敏感， 在不同的 pH 值下，羧基的去质子程度不同，往往得到不同的 配位模式。Y. Kim 课题组 2002 年在水热条件下用 1,4－环己二 羧酸作为配体， 控制溶液的 pH 值得到三个不同结构的 1D、 2D、 ［2］ 3D 化合物。 这项工作的意义在于：通过改变反应条件（酸度 和温度） ， 使得在配合物的结构体系中控制柔性块状配体的构造 成为了可能。
1
羧酸的配位结构及特点
羧酸类配合物种类繁多， 归因于羧基具有丰富的配位形式， 通常将其配位方式大致归为 3 类：单齿配位、螯合配位和桥联 配位。相对于其他类配体（如吡啶、席夫碱） ，羧酸配体具有如 下优点：①羧酸具有很强的桥联能力。在已报道的化合物中， 除了少数有第二配体（或水配体）参与下羧酸采取了单齿配位 的模式外，羧基无一例外地采取了多个原子的配位模式；②依 据去质子程度的不同，能够提供氢键的给体和受体，进行以超 分子弱作用或以配位键驱动的自组装；③羧基能以多种配位方 式与金属离子键合，组成多核金属离子的次级结构单元 SUB （secondary building unit） ，进而构造出各种各样的配位聚合物 网络结构。