高等数学(下册) 格林公式和高斯公式
第六节 高斯公式
r 3 d ( r 2 sin z z 2 ) |0 dr 0 0 2
2 1
返 回 前一页 后一页
例1 计算曲面积分 ( x y )dxdy ( y z ) xdydz,其中Σ为柱面
2 2
高 等 数 学
x y 1 及平面 z 0, z 3所围成的空间闭区域 的整 个边界曲面的外侧.
2 2 2
广 东 工 业 大 学
返 回
前一页
后一页
2 2 2 ( x cos y cos z cos )dS ,其中Σ为锥 例2 计算曲面积分
高 等 数 学
面x y z 介于平面 z 0, z h(h 0) 之间的部分的下侧, cos , cos , cos 是Σ在 ( x, y, z ) 处的法向量的方向余弦。
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z
------------------高斯公式
广 东 工 业 大 学
高斯公式是计算第二类曲面积分的有效工具
返 回 前一页 后一页
高 等 数 学
两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdxdy ( P cos Q cos R cos )dS
R x y
于是 P y z , Q 0, R 0,
x
y
z
从而
( x y )dxdy ( y z ) xdydz
O
广
( y z )dxdydz
(用柱面坐标)
x
1
1 y
东 工 业 大 学
{ 0 z 3, 0 r 1, 0 2 }
高斯公式——精选推荐
⾼斯公式⾼斯公式（Gauss Formula ）(⼀) ⾼斯公式：1st 导论：格林公式表达了平⾯闭区域D 上的⼆重积分与D的边界曲线的曲线积分的关系，⽽gauss formula 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲线上的曲⾯积分之间的关系。
2nd 定理1：设空间闭区域Ω是由分⽚光滑的闭曲⾯组成，函数∑(,,)P x y z ，，(,,)Q x y z (,,)R x y z 在上具有⼀阶连续偏导数，则： ∑()(P Q R dv Pd )ydz Qdxdz Rdxdy x y z Ω∑++=++∫∫∫∫∫或者： ……gauss formula ()(cos cos co P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑++=++∫∫∫∫∫ s )这⾥，是整个边界区域的外侧，∑(cos ,cos ,cos )αβγ是上点∑(,,)x y z 处的法向量的⽅向余弦。
(⼆) 沿任意闭区曲⾯的曲⾯积分等于0的条件：A. ⼆维单连通区域：对空间区域G ，如果G 内任意闭曲⾯所围成的闭曲⾯总是属于G ，则称空间区域G 是⼆维单连通区域。
B. 设G 是空间⽽为单连通区域，，，(,,)P x y z (,,)Q x y z (,,)R x y z 在G 内具有⼀阶连续偏导数，则曲⾯积分：(P Q R dv x y z )Ω++∫∫∫在G 上与所取曲⾯∑⽆关，⽽只取决于∑的边界曲线（或者沿G 内任⼀闭曲⾯的曲⾯积分为0）的充要条件是：0P Q R x y z++=；、(三)通量与散度总结：⼀般地，设某向量场由：(,,)(,,)(,,)(,,)x y z P x y z Q i j x y A z R x y z =++u r k r r r给出，其中 PQR 具有⼀阶连续偏导数，∑是场内的⼀⽚有向曲⾯，是上⼀点n r ∑(,,)x y z 处的单位法向量，则A n dS ∑∫∫u r r 叫做向量场A u r 通过曲⾯指定侧的通量（或者流量），⽽∑P Q R x y ++z 称作向量场A u r 的散度：P Q R x v zdi A y ++=u r GAUSS FORMULA 可以写成：()(nP Q R dv Pdydz Qdxdz Rdxdy x y z div AdS A dS Ω∑Ω∑++=++==∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫r u r u r )其中是空间闭区域的边界曲⾯，⽽∑Ωcos cos cos n A P Q R αβγ=++r表⽰向量A u r 在曲⾯外侧法向量上的投影。
关于格林公式_高斯公式和斯托克斯公式的历史注记
ST U D IES IN 高等数学研究 Vo l. 3, N o . 1 32 CO LLE GE M A T HEM A T ICS M ar . , 2000
收稿日期 : 1999- 12- 15
高等数学研究 2000 年 3 月 10
和
x - 0 = 30 + 5
y - 4 z - 1 = 30 + 4 - 17 - 3 30
( 12)
例 3 求过点 P , 与平面 平行, 又与直线 L 相交的直线方程 . 解 首先构造直线束 ( 9) , 方法同例 1. 令直线 ( 9) 与平面 平行 , 得 3 + ( - 4) ( 1 + )+ 1 (2 - 3 ) = 0 1 所以 = - 2 . 将其代入直线束 ( 9) 得所求直线方程 x- 0= y - 4= z - 1 - 1 1 7 例 4 求一直线的方程, 该直线过点 P , 与直线 L 相交 , 与平面 达到最小值 . 解 首先构造直线束 ( 9) , 方法同例 1, 再设直线束 ( 9) 所在平面为
S
E
dS =
1
0
∑q,
这个结果实际上是高斯公式在电磁学中应用 .
这些公式都是在研究物理过程中或在研究其他数学分支如偏微分方程中产生的, 这说明微积 分在其他学科中的应用 , 永远是推动本身发展动力之一 . 随着三个公式的产生及在物理学中的广泛应用 , 人们对Байду номын сангаас三个公式的本质及其内在联系的讨 论也开始了 . 人们发现可以用旋度, 散度这些向量分析的概念来描述这些公式 . 高 斯公式可被表 示为 cur lF
第10.5节 格林、高斯、斯托克斯公式
L2 : y 2 ( x)
L4 L3
P 因为 连续, 所以由对坐标的 y o 曲线积分及二重积分的 计算法有
L1 : y 1 ( x )
a
b x
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.5 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式
Pdx Pdx Pdx Pdx Pdx
D xy D xy
D xy
R( x , y, z ( x , y )) R( x , y, z ( x , y )) dxdy
2 1
z 2 : z z2 ( x , y )
dxdy
D xy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
R dz z
o
3
y
R d . z
(
P Q R )d , x y z
(10.5.4)
其中 ( x , y , z ), ( x , y , z )和 ( x , y , z )为曲面 在点( x , y , z )处的法向量关于 x轴、 y轴和 z轴的方向角 . 在定理 10.5.2中, 若 是 的整个边界曲面的内侧 , 则
1
y
L
1 0 2 xdy ydx a C 1 2 1 ( 1)dxdy a D
2
C
o
D1
x
2 2 a 2 2 . a
( D2 : x 2 y 2 a 2 )
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.5 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式
（10.5.1）
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
高等数学(下册)第11章第7讲高斯公式、通量和散度
P Q R
x
y
z
dV
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
或
P x
Q y
R z
dV
P cos
Q cos
R cos
dS
其中取外侧，cos，cos ，cos 是在点(x, y, z)处的正法向量方向余弦.
注意：格林公式取边界曲线的正向，高斯公式取边界曲面的外侧
3
一、高斯公式
证
Pdydz
xdydz ydzdx zdxdy
3 外
1 3dxdydz 3 4 π 3 4π
3 外
3 3
故 I 0 4π 4π.
11
本讲内容
01 高斯公式 02 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 03 通量和散度
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
空间二维单连通区域 对于空间区域G，如果G 内任一闭曲面所围成的 区域全属于G.
空间一维单连通区域 如果G内任一闭曲线总可以张成一片完全属于G 的曲面.
空间二维单连通区域 空间一维单连通区域
非空间二维单连通区域 空间二维单连通区域 空间一维单连通区域 非空间一维单连通区域
13
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
定理11.9
设G是空间二维单连通区域，若P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) 在G 内具有
z
Dxy
z z1 ( x, y)
x
R[x, y, z2(x, y)] R[x, y, z1(x, y)]d x d y Dxy
2
Dx y
3 1
y
Rdxdy ( )Rdxdy R[x, y, z2(x, y)] R[x, y, z1(x, y)]d x d y
高斯公式
【注】 公式成立的条件
(1) Σ − 封闭曲面
( 2) Σ − 方向取外侧
∂P ∂Q ∂R ( 3) , , 连续 ∂x ∂y ∂z
根据Gauss 公式，用 公式， 根据 三重积分来计算曲面积分 是比较方便的， 是比较方便的，但Gauss 公式同时也说明， 公式同时也说明，可用曲 面积分来计算三重积分
n n
表明
∂ P ∂Q ∂ R Φ = ∫∫∫ + + d xd yd z Ω ∂x ∂ y ∂z
机动 目录
③
上页 下页 返回
为了揭示场内任意点M 处的特性, 为了揭示场内任意点 处的特性 式两边同除以Ω 在③式两边同除以Ω 的体积 V, 任意方式缩小至点 M Φ lim Ω→ M V
Σ
则单位时间通过Σ 则单位时间通过Σ 的流量为
Φ = ∫∫ P d y d z + Q d z d x + Rdx d y
说明流入 当Φ > 0 时, 说明流入Σ 的流体质量少于 泉源; 表明Σ 内有泉源 流出的, 表明Σ 内有泉源 当Φ < 0 时, 说明流入Σ 的流体质量多于流出的, 说明流入 的流体质量多于流出 Σ 内有漏洞 ; 内有漏洞 说明流入与流出Σ 的流体质量相等 当Φ = 0 时, 说明流入与流出Σ 的流体质量相等 . 根据高斯公式, 流量也可表为 根据高斯公式
∫∫Σ A⋅ nd S 为向量场 A 通过
∂ P ∂Q ∂ R 记作 + + div A ∂ x ∂ y ∂z
散度. 称为向量场 A 在点 M 的散度
机动
目录
上页
下页
返回
是通量对体积的变化率 【说明】 由引例可知 散度是通量对体积的变化率 且 说明】 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 表明该点处有正 div A > 0 表明该点处有正源, 表明该点处有负 div A < 0 表明该点处有负源, 表明该点处无 div A = 0 表明该点处无源, 散度绝对值的大小反映了源的强度. 散度绝对值的大小反映了源的强度. 无源场. 若向量场 A 处处有 div A = 0 , 则称 A 为无源场 例如, 例如 匀速场
数学分析ch14-3Green公式、Gauss公式和Stokes公式
2π ab cos2 ab sin2 d ab
2π
d
πab
。
2L
20
20
例 14.3.2
计算 I
x2
y2 dx
y
xy
ln(x
x2 y2 ) dy ，其中 L 为
L
曲线 y sin x,0 x π 与直线段 y 0,0 x π 所围区域 D 的正向边界。
解 令 P x2 y2 , Q y xy ln(x x2 y2 ) ，则
D
Pdx
Qdy
D
Q x
P y
dxdy
。
对于 Green 公式一般情形的证明比较复杂，这里从略。
Green 公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去。 以只有一个洞为例（见图 14.3.4），用光滑曲线连结其外边界 L 上一 点 M 与内边界 l 上一点 N ，将 D 割为单连通区域。由定理 14.3.1 得到
与路径有关。
定理 14.3.2（Green 定理） 设 D 为平面上的单连通区域， P(x, y), Q(x, y) 在 D 上具有连续偏导数。则下面的四个命题等价：
(1) 对于 D 内的任意一条光滑（或分段光滑）闭曲线 L ，
Pdx Qdy 0 ；
L
(2) 曲线积分 Pdx Qdy 与路径无关； L
数学分析ch14-3Green公式、Gauss公 式和Stokes公式
单连通区域 D 也可以这样叙述：D 内的任何一条封闭曲线所围的 点集仍属于 D 。因此，通俗地说，单连通区域之中不含有“洞”，而 复连通区域之中会有“洞”。
对于平面区域 D ，给它的边界 D 规定一个正向：如果一个人沿 D 的这个方向行走时，D 总是在他左边。这个定向也称为 D 的诱导定向， 带有这样定向的 D 称为 D 的正向边界。例如，如图 14.3.1 所示的区 域 D 由 L 与 l 所围成，那么在我们规定的正向下，L 为逆时针方向，而 l 为顺时针方向。
格林公式
2xydx x2dy 0. L
14
证明 2xydx x2dy 0. L
证: 因 P 2x y, Q x2, 则
利用格林公式
Q P
(
D
x
y
)dxdy
L Pdx
Qdy
得 L 2x y dx x2 d y 0dx d y 0 D 15
例3 计算
xdy ydx L x2 y2
Q dxdy
D x
d
dy
2 ( y) Qdx
证
Q dxdy
Q( x, y)dy
c
1 ( y) x
D x
L
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
y
Q(x, y)dy Q(x, y)dy
CBE
CAE
d
E
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
y y
Q ( x2 y4 ) 2x x x
O
x
P Q 原积分与路径无关
y x
29
(x,y) P x, ydx Q x, ydy
( x0 , y0 ) x
x0 P( x, y0)dx
y
Q(x, y)dy
y0
( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy L
B(1,1)( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy
思考题解答 1. L由两部分组成
外边界：BCDAB
内边界：EGFE
y
D
C
G
E
F
oA
Bx
38
பைடு நூலகம்
高等数学下册必背公式
高等数学公式空间解析几何和向量代数：。
代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u KK K KK K K K K K K K K K K K KK KK K K K K K K ⋅×==⋅×=×=⋅==×=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=−+−+−== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+−=−+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===−=−=−+++++==++=+++==−+−+−cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y mtx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d czb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A K K多元函数微分法及应用z y z x y x y x y x y x F F yzF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx xudu y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x zdz −=∂∂−=∂∂=⋅−∂∂−∂∂=−==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==Δ+Δ=≈Δ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y −=−=−=−+−+−==⎪⎩⎪⎨⎧====−′+−′+−′′−=′−=′−⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线KK ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
§2 格林公式及其应用
1
力场势函数） 。 力场势函数）
1 F ( M ) 可理解为电荷体密度或质量密度。 称为体位势： 可理解为电荷体密度或质量密度。 − ∆ V ( M 0 ) 称为体位势： 4π
(2.11)
证 明： 将调和函数基本积分公式应用到Γa 上有：
1 ∂ 1 1 ∂u u( M 0 ) = − ∫∫ u r − r dS = 0 4π Γa ∂n r r ∂n
上页 下页 返回
1 1 1 ∂ 1 在Γa 上 = ， r = − 2 ，所以 r a ∂n r a 1 ∂u 1 ∂u r r ∫∫ r ∂n dS = a ∫∫ ∂n dS = 0 Γa Γa
1 1 1 ∂u ∂ 1 1 ∂u − ∫∫∫ ∆udΩ = ∫∫ u r − r dS + 2 ∫∫ udS − ∫∫ r dS r ∂n r r ∂ n ε Γε ∂n ε Γε Ω\ Kε Γ
ε ε ε
上页 下页 返回
1 ∂u 1 ∂u dS ， 即 u∗ 和 udS ， r = 记u = 2 ∫∫ r 2 ∫∫ 4πε Γε ∂n 4πε Γε ∂n
当 u 是Ω 内的调和函数， M 0 ≠ Ω ，则由格林第二公式 有：
∂ 1 u( M ) r ∫∫ ∂n rM 0 M Γ
1 ∂u( M ) − r dS = 0 r ∂n M0M
当 u 是 Ω 内的调和函数，M 0 ∈ ∂Ω = Γ ，类似基本积分公 内的调和函数， 式的推导， 式的推导，记 Γε′ = Γε I Ω ， Γ ′ = Γ \ K ε ，则有
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Pdx Qdy Q P
L
( x y )dxdy
Pdx Qdy
D D
L
其中 逆时针方向， L 逆时针方向， 是 D 中挖去小圆剩下的部分。 (转成一个二重积分(一般等于 0) 和一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ圆上的曲线积分。) 典型题：146 页例 4。
算开放路径积分
x0 y0 x y
du P( x, y )dx Q( x, y )dy
Q P x y
其中 x0 , y0 为适当选择值。 典型题：151 页，例 4，5。
高斯公式 封闭 分片光滑，正向法 线指向外侧，所围闭区域 记为 。函数 P( x, y, z ) ， Q( x, y, z ) ，R( x, y, z ) 在 内有一阶连续偏导数。
格林公式和高斯公式
积分与路径无关问题： 曲线积分 判别条件： 典型题：153 页，作业题 4 题（2）
L
Pdx Qdy 与
路径 无关，与起点、终 点有关 全微分问题： 寻找函数 u ( x, y ) ，使得
Q P x y
判别条件：
u ( x, y ) P ( x, y0 )dx P( x0 , y )dy
格林公式和高斯公式
格林公式 D 是单连通区域：
分段光滑曲线 (及 L )围 成区域 D，如右上图（右 下图）所示。
D D
( x y )dxdy
D
Q
P
Pdx Qdy
P( x, y ), Q( x, y )
在 D 上具有连续偏导数。
其中 逆时针方向。 约定路径 正向逆时针。 D 是单连通区域：
Pdx Qdy
D D
曲线 逆时针方向围出区 域D
(
D
Q P )dxdy x y
(直接转化成一个二重积分。) 典型题：145 页，例 2。
P( x, y ), Q( x, y ) 在 D 上某点 P
处没有定义，在 D 内部用逆 时针小圆 L 将 P 围住。
计算开放曲面 上的对坐 补上与做表面平行的平面 S ， 标的曲面积分。 与 形成闭合曲面
Pdydz Qdzdz Rdxdy
(
S
P Q R )dv x y z
Pdydz Qdzdz Rdxdy
S
（转成一个三重积分和一个平面 上的面积分。注意调整好方向，使 得 和 S 指向闭合区域的外侧。） 典型题:170 页，例 2；174 页，作 业题 1 题（3）。
Pdx Qdy
补上一段与坐标轴平行的路 径 L ，与 共同围出区域 D。
Pdx Qdy Q P ) dxdy L Pdx Qdy x y
曲线 是一个开放路径
(
D
L L
（转成一个二重积分和一个直线 段上积分。注意调整好方向，使得 和 L 连起来是逆时针方向。） 典型题：153 页，作业题 5 题（3， 4）
( x y )dxdy
D
Q
P
D D L
Pdx Qdy Pdx Qdy
L
其中 逆时针方向， L 顺时针方向。
算封闭曲线积分
约定外边路径 正向逆时针， 里边路径 L 顺时针。 格林公式的应用（二重积分与线积分转化） P( x, y ), Q( x, y ) 在 D 上具有 Pdx Qdy 连续偏导数
S
Pdydz Qdzdz Rdxdy
(
高斯公式的应用
P Q R ) x y z
算封闭曲面 上的对坐标 的曲面积分。
Pdydz Qdzdz Rdxdy
(
P Q R )dv x y z
注意正向法线指向外侧。 典型题：170 页，例 1；174 页，作 业题 1 题（1，2）。