微积分-高斯公式

定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的有向闭曲
面 所围成, 的方向取外侧,向量场F { P , Q , R }
上有连续的一阶偏导数 , 则有

F dS



(Gauss 公式)
即：
P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy
v v v u cos cos cos d S x y z
移项即得所证公式.(见 P171)
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , • 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; • 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 . 例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但 不是二维单连通区 域.
2

( u ) u u xx u yy u zz u

练习1、设f二次可微，求
f ( r ), ( f ( r ) r ), ( f ( r ) r , y },
r r x2 y2 .

一、高斯 ( Gauss ) 公式

下面先证:
R z d x d y d z R d x d y
证明: 设
为XY型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) ,
2 : z z2 ( x, y ), 则 z R z2 ( x, y ) R xd y dz z d x d y d z Dxd z1 ( x , y ) z y

Dx y
2
R ( x , y , z 2 ( x, y ) )
R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y
2 1 3

Dx y
3 1
y
x
R d x d y R d x d y
R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy

Dx y
h d xd y
z
2
利用重心公式, 注意 x y 0
4 2 z d x d ydz h

1 h h
o x

y
2 z z d z h
2
0
h
4
1 4 h 2
2 2 例3. 设 为曲面 z 2 x y , 1 z 2 取上侧, 求
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 在场中点 M(x, y, z) 处
P Q R 记作 x y z
div F F
i

称为向量场 F 在点 M 的散度.
R Q ( y z ), P R ( z x ),

Q P ( x y ) x y z
第六节 高斯公式 通量与散度
Green 公式
推广
第十一章
Gauss 公式
0、梯度、散度 与旋度 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度
0、梯度、散度 与旋度 定义: 设有向量场
F ( x , y , z ) P( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R( x , y , z ) k

若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y

n n
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉; 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
内有洞 ;
当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 .

9 d rd r (r sin z ) d z 0 0 0 2 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
2 1 3
(r sin z )r dr d d z

o 1 x
y
例2. 利用Gauss 公式计算积分
在 1 上 , 0 2
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
2
xy
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
I 2 ( x y z ) d xdydz
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2. 设 P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
P d y d z Q d z d x R d x d y 0
①
的充要条件是: P Q R ② 0 , ( x, y , z ) G x y z 证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件. “必要性”. 用反证法已知①成立 . , 假设存在 M 0 G, 使 P Q R M 0 0 x y z
I ( x 3 z x) d y d z x 2 yz d z d x x 2 z 2 d x d y. z 解: 作取下侧的辅助面 2 2 2 ( x , y ) D : x y 1 1 : z 1 xy 1 用极坐标 1 I 用柱坐标
( u F ) u F u F


( F G ) ( F ) G F ( G )
III、链规则 f ( u ) f ( u )u


注意：
( F ) divrot F 0 ( u ) rot gradu 0
( a F b G ) a F b G ( a F b G ) a F b G

II、乘积规则
( uv ) vu uv
( u F ) u F u F

Dx y Dx y
R 所以 z d x d y d z R d x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
根据高斯公式, 流量也可表为
③
为了揭示场内任意点M 处的特性, 设 是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为, 在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有 lim M V
P Q R M div v x y z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
1 1
d x d ydz (1) ( x ) d x d y
13 12
2
o
x
1y

2
0
d
0
1
Dxy
dr

2 0
cos d
2
在闭区域 上具有一阶和 v 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 Pu 2 2 2 x v v v d x d y d z v u x2 y 2 z 2 Qu y v v v v u cos cos cos d S Ru y z x z u v u v u v d x d y d z x x y y z z 其中 是整个 边界面的外侧. P Q R 分析: 高斯公式 x y z d x d ydz 例4. 设函数

j
k
记作
P Q R
rot F F
称为向量场 F 在点 M 的旋度.
若 u( x , y , z ) 是可微的数量函数，则
u u u gradu u( x , y , z ) i j k x y z
I、线性规则
( au bv ) au bv
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y


由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为


P cos Q cos R cos d S
v n d S

( M 0 )

P Q R d x d y d z x y z
0
与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.
三、通量与散度
引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为
v( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
P d y d z Q d z d x R d x d y

v v v , Q u , R u , 由高斯公式得 证 :令 P u x y z 2v 2v 2v x2 y 2 z 2 v v v x y z
因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域