高思导引-四年级第四讲-数阵图初步教师版

第4讲数阵图初步内容概述各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某些情况下还需要考虑对称性。

典型问题兴趣篇1. 在图4-1中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.【答案】：【分析与解】：先如下图将空白处标上字母：根据题意：a＝11－2－5＝4；b＝11－4－1＝6；c＝11－2－6＝3.2. 请分别将1，2，4，6这四个数填在图4-2中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于15.【答案】：【分析与解】：如下图，先将空白区域标上字母根据题意：上面圆内四个数之和等于15，可得a＋d＝15－5－7＝3＝1＋2；同理，b＋d＝15－5－3＝7＝1＋6；c＋d＝15－7－3＝5＝1＋4。

由于d属于三个圆的公共部分，经对比发现可得：d＝1；a＝2；b＝6；c＝4.3. 如图4-3所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等。

【答案】：【分析与解】：如下图：因为8＋9＋a＝b＋a＋7可得b＝10；那么每条线的和＝8＋3＋10＝21；那么a＝21－8－9＝4；c＝21－8－7＝6.4. 把1至8分别填入图4-4的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之【答案】：【分析与解】：因为1＋2＋3＋……＋8＝36；所以每行的和等于36÷2＝18；每列的和＝36÷4＝9；从列入手，可将1~8这八个数分为和等于9的四组：1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5。

再调整使行和等于18：我们发现1＋4＝2＋3；8＋5＝6＋7.经过调整可得答案。

5. 把1至12分别填入图4-5的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。

【答案】：【分析与解】：经过观察发现，此图是个具有对称性的图案；若使三个小三角形的三边之和相等；只需要使得图中每条边上的两个数之和相等即可。

因此可将1~12对称性地分为六组如下：1＋12＝2＋11＝3＋10＝4＋9＝5＋8＝6＋7.6. 在如图4-6所示的3×3方格表内填入1、2、3这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。

【分析与解】：利用此图的对称性；可将中间数2填入此图的正中心；然后利用每行每列都是1、2、3并注意使对角线的和等于6可将此图填写完整。

7. 把1至6分别填入图4-7的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点的数之和都为13.【答案】：【分析与解】：如下图所示：根据题意有：a＋b＋c＋d＝13；c＋d＋e＋f＝13将上述两个算式相加可得：（a＋b＋c＋d＋e＋f）＋c＋d＝26；也就是21＋c＋d＝26；得到：c＋d＝5＝1＋4＝2＋3；a＋b＝e＋f＝13－5＝8；而8＝2＋6＝3＋5只有这两种组成方式；因此排除掉c＋d＝2＋3；所以c＋d＝1＋4。

8. 把1至6分别填入图4-8的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等. 这个和最大是多少？最小是多少？【答案】：最大13；最小11【分析与解】：如下图标上字母，并且设两条线上的和均为k。

依据题意有：a＋b＋c＝k；b＋d＋e＋f＝k；将这两个等式相加可得：（a＋b＋c＋d＋e＋f）＋b＝2k；21＋b＝2k。

由奇偶性可得：b只能取1、3、5；分别对应k 的值为11、12、13.可知和最大为13，最小为11.9. 把1至7这七个数分别填入图4-9中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等，如果中心圆内填入数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。

【答案】：【分析与解】：如下图所示标上字母，并设每条线的和为k。

根据题意有：a＋b＋c＝k；a＋d＋e＝k；a＋f＋g＝k；将三式相加可得：（a＋b＋c＋d＋e＋f＋g）＋2a＝3k；28＋2a＝3k；经过分析可知：当a＝1时，k＝10；当a＝4时，k＝12；当a＝7时，k＝14。

10.在图4-10的6个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下面那个数最小是几？【答案】：8【分析与解】：根据题意可知；只要上面三个数确定，那么下面三个数也就确定了；若使最下面数最小，那么必须使最上面三个数最小，并且将最小数放在最中间；经过尝试有如下填法：拓展篇1. 将1至9分别填入图4-11中的圆圈内，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都等于15. 现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.【答案】：【分析与解】：先标上字母：c＝15－5－6＝4；同理可得：b＝2；a＝7；d＝3；e＝8；f＝1. 2. 在图4-12中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等. 现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。

【答案】：【分析与解】：先标上字母：有1＋16＋a＝a＋9＋b；可得b＝8；和＝7＋6＋8＝21；c＝21－1－7＝13.3. 图4-13是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈. 请你把1、2、3、4、5、6、7、8这八个自然数分别填入这些小圆圈内，使得每个长方形上的四个数之和都相等。

【答案】：【分析与解】：先标上字母：我们发现：a与b总是在一起；同样：c与d；e与f；g与h也总是在一起；考虑将1~分为4组：1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5.4. 在图4-14中的方格内填入三个0、两个2、两个3、两个4，使得每个箭头所指的列中各方格内数字之和都是6，并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是7.【答案】：18；而中间三列之和＝6×3＝18；所以e＝i＝0。

同样第二、三行之和＝7×2＝14；所以a＝18－14＝4。

则可以根据和依次填出其他方框内数字。

5. 请在图4-15的每个小圆圈内填入1或2，使得每个大圆圈上四个数之和两两不同，那么所填数的总和是多少？【答案】：9【分析与解】：观察得知：每个圆上面均有四个小圆圈；经过试验可填出：；此时所有圆圈内所填数之和等于9。

6. 把1至8分别填入图4-16的八个圆圈内，使得任意两个有线段直接相连的圆圈内的数字之差都不等于1.【答案】：【分析与解】：先标上字母如下：发现b与除了d之外的所有格子相连，意味着在1~8范围内，与b相差1的只有d；同样的道理，与c相差1的只有a；那么可以推出a＝7，c＝8；b＝1，d＝2；进而可以推出其它位置。

7. 在图4-17的七个圆圈内填入七个连续自然数，使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于它们连线上的已知数. 请问：标有★的圆圈内填的数是多少？【答案】：5【分析与解】：从和最小的4入手；4＝1＋3。

若4的上面填1下面填3，可以利用线上的和算下去发现所填的数并不是7个连续的自然数；所以4的上面填3下面填1，此时可推断出★＝5.8. 小悦是8月11日15点整出生的，她想把1，2，3，4，5，6，7这七个数填入图4-18的七个方框里，每个数只填一次，使三条直线上的三个数之和恰好是8，11，15，问：在圆上的三个数的乘积最大可能是多少？【答案】：168【分析与解】：先标上字母如下：可知：a＋b＋c＝8；a＋d＋e＝11; a＋f＋g＝15;将三式相加有：（a＋b＋c＋d＋e＋f＋g）＋2a＝34；解得a＝3；则b＋c＝5＝1＋4；若使圆上乘积最大，则c＝4；同理可得：d＝2；e＝6；f＝5；g＝7.此时圆上上个数的乘积为4×6×7＝168.9. 把1至6这六个数字填入图4-19六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最小是多少？最大是多少？【答案】：最小是9，最大是12【分析与解】：标注字母如下图；并设每条线的和为k：根据题意有：a＋b＋d＝k; b＋f＋c＝k; a＋e＋c＝k；将三式相加：（a＋b＋c＋d＋e＋f）＋（a＋b＋c）＝3k；21＋（a＋b＋c）＝3k；若使k最小，则使a＋b ＋c最小；此时a＋b＋c＝1＋2＋3＝6；k＝9.若使k最大，则使a＋b＋c最大；此时a＋b＋c＝4＋5＋6＝15；k＝12.10. 把1至11填入图4-20中“六一”图形的十一个空格内，使得每一条直线上的两个或三个数之和都相等。

【答案】：【分析与解】：标注字母如下图，并且设每条线上的和为m：有：a＋c＋d＝m；b＋c＝m；e＋f＝m；g＋h＝m；i＋j＋k＝m;五式相加得：（a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i＋j＋k）＋c＝5m；66＋c＝5m；设c＝4，m＝14；进而可得出上图结果。

11. 请将1至6填入图4-21的六个圆圈内，使得四条直线上的数字之和都相等。

【答案】：【分析与解】：标注字母如下图，且设每条线上的和为k：有：a＋b＋c＝k；a＋d＋f＝k；c＋d＋e＝k；e＋f＝k；将上述算式相加有：2（a＋b＋c＋d＋e＋f）－b＝4k；42－b＝4k。

解得b＝6，k＝9，则e＝4；f＝5；a＝1；b ＝2.12. 如图4-22，有一座长方形城堡，四周有十个掩体，守城的士兵有十件武器，各种武器的威力数如下表.为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同，并且尽量大，应如何在十个掩【答案】：【分析与解】：标注字母，并且设每条边上的和为m如下图：有：a＋b＋c＋d＝m；a＋e＋f＝m；f＋g＋h＋i＝m；d＋i ＋j＝m将上述算式相加有：（a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i＋j）＋（a＋d＋f＋i）＝4m;也就是：55＋（a＋d＋f＋i）＝4m;若使m最大，必须使a＋d＋f＋i最大。

但是当a＋d＋f＋i＝7＋8＋9＋10时m无整数解。

所以可解得：a＋d＋f＋i＝6＋8＋9＋10时，m＝22取得最大值。

经计算和实验，可填出如上图答案。

超越篇1. 如图4-23，四个圆共被分成十二个区域，其中已有六个区域内填有数，请将1至12中的另六个数填入其他区域内，使得每个圆中四个数之和都是28.【答案】：【分析与解】：由最下面的圆可知：空白两处所填数之和＝28－2－5＝21＝9＋12；由最右面的圆可知：空白两处所填数之和＝28－7－8＝13＝12＋1，因此下面的圆与右边的圆公共部分为12.依次类推，可将图形补充完整。

2. 如图4-24，请在三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和.【答案】：【分析与解】：标准字母如图，根据题意有：a＋1＋9＝b＋9＋9＝9＋7＋c＝a＋b＋c可解得：a＝12；b＝4；c＝6.3. 把1至8填入图4-25中正方体八个顶点处的圆圈内，使得正方体每个面上的四个数之和都相等。

【答案】：【分析与解】：由正方体的对称性可将四条高分为1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5＝9，每个面的和为18；适当调整每条高上的两个数的位置，使其也满足上下两面为18.4. 把1至12分别填入图4-26所示六角星图案的十二个圆圈内，使得每条直线上四个数之和都相等.现在已经填好了六个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？并把下图补充完整。