《最短路径-将军饮马问题》教学设计

《最短路径问题》教学设计
一、内容和内容解析
1、教学内容
《最短路径问题》是人教版八年级上册第十三章课题学习第1课时的内容.本节课的主要内容是解决由“将军饮马问题”引出的数学问题“两点在直线同侧求最短路径”以及“两线一点”，“两线两点”等最短路径问题.
2、教学内容解析
本节课是在学生学习了轴对称的知识以及“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等知识的基础上，展开了本节课的求最短路径问题，这节课是轴对称知识的一个很好的应用，进一步巩固了轴对称的知识，使轴对称知识更加灵活，并在学生头脑中打下扎实的基础。

最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典问题一“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”(或“三角形两边之和大于第三边”)问题.
3、教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最
短问题”
二、教学目标及其解析
1、教学目标:
(1)理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定。

(2)能利用轴对称解决简单的最短路径问题。

(3)通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

2、目标解析:
要求学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”把实际问题抽象为数学的线段和最小问题:能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题:能另选一点，通过比较、逻辑推理证明所求距离最短:在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

三、学生学情分析
八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学的意识比较薄弱，此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一些数学知识，但在数学的说理上还不规范，演绎推理能力有待加强。

学生已经储备了轴对称知识和“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”的相关知识，但是对于知识的运用比较抵触，不知道如何处理问题，所以本节课我们就加强知识的灵活应用和强化
解决新问题的思想方法，使学生真正的强大，不仅仅是光有知识，而是既有知识又有思想和能力的强大型人才，为了使学生真正掌握本节课的方法，我还特别设计了不同的例题以及一些拓展型题目，但是，不管什么样的题目，方法总是相似的，不同的问题，相似的方法，提高学生的理性思维，学生学习数学的能力越来越强。

教学难点:
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

难点突破的方法:
两点在直线同侧求最短路径时，我们用轴对称变换把线段的长度不变，位置改变，然后把所求线段和的最小值问题，转化成两点之间，线段最短。

4、教学策略分析
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此之前很少接触最值问题，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题更会感到陌生，无从下手。

解答“当A.B在直线L的同侧时，如何在L上找到点 C.使 AC 与 CB 的和最小”，需要将其转化为“直线L异侧的两点，与L上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。

在证明“最短”时，需要在直线上任取一点(与所求作的点不重合)，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。

教学时，教师可以让学生首先思考“直线L异侧的两点，与直线 L上的点的和最小”为
学生搭建桥梁，在证明“最短”时，教师要适当点拔学生，让学生体会任意的作用。

五、教学过程设计
13.4 课题学习
最短路径问题(第1课时)
一、导入：播放《从军行》古诗朗诵,引出数学史上著名的《将军饮马问题》生活中处处都有数学的存在，只要我们做生活的有心人。

前面我们学习了“两点的所有连线中,线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等问题,这就是最短路径问题，现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节将利用所学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”
设计意图:回顾以前的知识，为本节课的学习奠定基础和创造条件。

二、探究(一)
如图，牧马人从城堡出发，到一条笔直的河边饮马，然后回到军营。

牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短?
1.你能将这个问题抽象为数学问题吗?
B .
A .
L
设计意图:让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽
象为“线段和最小”问题
2.解决数学问题:
点A ，B 在直线L 的同侧，点C 是直线L 上的一个动点，当点C 在直线L 上的什么位置时，AC 与CB 的和最小?
教师可提示:
(1)设想如果点A 与点B 在直线L 异侧，应该怎样找到点C 的位置。

(2)如何将点B “移”到L 的另一侧B ‘处，并且直线L 上的任意一点 C ，都有 CB=CB'
(3)你能利用轴对称的知识找出(2)中的点B 吗
(4)对于(2)(3)，学生独立思考后，尝试画图得出结论:只要做出点B 关于L 的对称点，就可以满足CB=CB'，再利用(1)的方法，连接 AB'，AB'与直线L 的交点即为所求。

(1)作点B 关于直线L 的对称点B';
(2)连接 AB ’，与直线L 相交于点C.则点 C 即为所求.
设计意图:通过搭建台阶，为学生探究问题提供脚手架，将同侧难于解决的问题转化为异侧容易解决的问题。

3、证明 AC+BC 最短:
证明:在直线L 上任取一点C(与点C 不重合)，连接AC. BC.B ’C
A
l c l
由轴对称的性质知，BC=B'C，BC'='C所以AC+BC=AC+CB'=AB，AC'+BC'=AC'+B'C'在三角形AB'C中，AB'<AC'+B'C所以AC+BC<AC'+BC即 AC+BC 最短.
教师提出问题证明 AC+BC 最短时，为什么要在直线L上任取一点C(与点C不重合)，证明AC+BC<AC+BC?这里C的作用是什么?若直线L上任取一点C(与点C不重合)与A，B两点的距离和都大于 AC+BC，就说明 AC+BC最小。

设计意图:通过证明让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力。

三.将军饮马探究(二)(2017-2018龙江八上期末)
如图，还是那个将军骑马从P出发，他先使马到草地边OA吃草，再到河边OB 饮水，最后返回P，他怎样走才能使总路程最短?
这是2017-2018龙江八上期末类似的题型，也在2020-2021富裕县八上期末出现过，热度很高，由求两条线段和的最小值问题，上升到求三条线段和的最小值问题，由作一次轴对称变为作两次轴对称
问题，简称“两线一点”问题。

引导学生首先作出示意图，发现求三条线段之和最短，想到利用本节课探究(一)过程中的方法，借助于轴对称将其中的两条线段转化在直线的另一侧，再利用两点之间线段最短，找出三条线段的最短路径。

四.将军饮马之三:
牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.将军饮马之三是将军饮马之二的变形，把上面问题中的一个点变成了两个点，将草地和河抽象成直线，分别从A，B两点作草地和河的对称点A’，B'，连接A'，B’与草地和河的交点，即为最短路径的点。

设计意图:拓展学生的思路，强化解题方法和解题策略。

五、目标检测:
1.如图，A,B两地相距5km，A,B两地到河l的距离分别为3km,6km,欲在l上某点M处修建一个水泵站向A,B两地供水，现有以下四种铺设方案，红色实线表示铺设的管道，则所用管道最短的是（）
A B C D
设计意图:
第1题是两点在直线的同侧求最短路径的四种不同的作图方法，让学生从中选出正确的作法，起到巩固刚学新知识的作用，第1题从理论上知道了怎么作图，通过4个示意图，路径加以比较，能让学生更加明白这样作图的理由。

2、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD.CE是△ABC的两条中线，P 是AD上一个动点，则BP+EP的最小值等于线段 _______ 的长度.
设计意图：
让学生学会从复杂的图形中抽离出将军饮马模型，通过轴对称找对称点化折为直，对称点怎么找也有窍门，找图形中现成的点比较省力，方便求解。

六、小结：
1、本节课你有什么收获?
2、轴对称在研究问题中起了什么作用?
设计意图:
充分发挥学生的主体地位，由学生归纳总结，反思，提高学生的
概括表达能力。

七、作业：
必做：练习册56，57页。

选做：看几何画板
八、板书设计：
将军饮马问题条件特点：两定点一动点
问题特点：求线段和最短
求解思路：利用轴对称，化折为直求解原理：两点之间，线段最短。

九、反思：。