人教版高中数学必修第二册简单的线性规划(1)
高一数学§3.3.2简单的线性规划(1)
所以 zmax=2× 2-1=3.
（ 2）求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的 x、 y 满足约束条件
5x 3y 15, y x 1, x 5y 3.
教师课时教案
3
学生活动
学生完成 学生板演
问题与情境及教师活动
解：不等式组所表示的平面区
域如图所示：
从图示可知，直线 3x+5y=t
在经过不等式组所表示的公共区
及
3
因 此，问 题可以转 化为当 直线
方 y
2z x 与不等式组（ 1）确
33
法 定的平面区域有公共点时， 在区域
内找一个点 P，使直线经过点 P 时
截距 z 最大。 3
（ 5）获得结果：
由 上图 可以看 出， 当实 现
2z
y
x
3 3 金国直线 x=4 与直
z
14
线 x+2y-8=0 的交点 M（ 4， 2）时，截距 3 的值最大，最大值为 3 ，这
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
3、 变换条件，加深理解
教 探究：课本第 100 页的探究活动
（ 1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利
3 万元，每生产一件
学
乙产品获利 2 万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？
在换几组数据试试。
过 （ 2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
上.
3
2
x-y=0
1
11
O B(2, 2)
-2 -1
12
x
C(-1,-1) -1 A(2,-1)
x+y-1=0
2x+y=0
高二数学课件：《简单的线性规划》
高二数学课件：《简单的线性规划》机遇如风，才智似帆，勤奋为桨，现实是水，欲一帆风顺，须据此努力。
学生掌握寻找整点解的方法.三、教法建议（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的.（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握数形结合的数学思想，尽管侧重于用数研究形，但同时也用形去研究数，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维.（6）若实际问题要求的解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可.（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量，收到的效益；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.【课件二】教学目标巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值.重点难点理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点.如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点.教学步骤【新课引入】我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用.【线性规划】先讨论下面的问题设，式中变量x、y满足下列条件①求z的值和最小值.我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界.点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上.作一组和平等的直线可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足.即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t，以经过点的直线，所对应的t最小，所以在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件.是欲达到值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的值和最小值问题.线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得值和最小值，它们都叫做这个问题的解.。
高二数学简单的线性规划知识精讲 人教版
高二数学简单的线性规划知识精讲 人教版【同步教育信息】 一. 本周教学内容：简单的线性规划二. 重点、难点：1. 二元一次不等式的区域（1）在平面直角坐标系中，所有的点被直线x ＋y －1＝0分成三类，即点在直线上，点在直线的上方区域，点在直线的下方区域。
{}（）集合表示的图形是直线右上方的所有点。
210(,)|x y x y +-> {}（）集合表示的图形是直线左下方的所有点。
310(,)|x y x y +-<一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。
注意：在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时画成实线。
（4）区域判断方法是：特殊点法。
2. 线性规划：（1）约束条件、线性约束条件：变量x 、y 满足的一组条件叫做对变量x 、y 的约束条件，如果约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，则约束条件又称为线性的约束条件。
（2）目标函数、线性目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫做目标函数。
如果解析式是x 、y 的一次解析式，则目标函数又称线性目标函数。
（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
（4）可行域：满足线性约束条件的解（x 、y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
（5）最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解。
3. 解线性规划应用问题的一般方法和步骤： （1）理清题意，列出表格。
（2）设好变元并列出不等式组和目标函数、约束条件。
（3）准确作图，准确计算。
【典型例题】例1. 画出不等式表示的平面区域。
-+-<x y 240 解：先画直线（画成虚线）-+-=x y 240 取原点（，），代入O x y 0024-+-因为，所以原点在表示的平面区域内。
高二数学2017年新简单的线性规划课件
（6）最优解:使_目__标__函__数__取得最大值或最小值的可 行解.
3.利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)作出目标函数的等值线. (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数等值 线,从而确定__最__优__解___. (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值 或最小值.
当x=-1时,1≤y≤4,有4个整点;
当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42个.
本题主要考查不等式表示的平面区域、 数探列究求提和高及不等式的应用等基础知识，考查了数形结 合的方法和逻辑推理能力. (1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的 平面区域点集的交集,因而是各个不等式所表示的平 面区域的公共部分. (2)在封闭区域内找整点数目时,若数目较小时,可画网 格逐一数出;若数目较大,则可分x=m逐条分段统计.
故 SAB C1 2(43 4)13 4.
3
答案 C
5.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木 工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元， 现有工人工资预算2 000元,设木工x人，瓦工y人，
50x 40 y 2 000
x N*
.
请工人的约束条件是__y____N_*____________.
是
（C ）
A.（0，0）
B.（-1，1）
C.（-1，3）
D.（2，-3）
解析 将选项A、B、C、D中的坐标代入x+y-1验
证可得C符合题意.
2.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2x+y+m=0的两侧，则m
高中数学人教版必修简单的线性规划教案(系列一)
课题: 3.3.2简单的线性规划授课类型：新授课教学目标1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
教学重点利用图解法求得线性规划问题的最优解；教学难点把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
教学过程1.课题导入[复习引入]：1、二元一次不等式AxByC＞0在平面直角坐标系中表示直线AxByC=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:2.讲授新课线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：[范例讲解]例5营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。
为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.例6在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元。
高二数学 7.4简单的线性规划(备课资料)大纲人教版必修
高二数学 7.4简单的线性规划(备课资料)大纲人教版必修一、平面区域问题在直角坐标平面内，直线l可以用二元一次方程Ax+By+C=0来表示，点P(x0,y0)在直线l上的充要条件是Ax0+By0+C=0；若点P不在直线l上，则Ax0+By0+C＞0或Ax0+By0+C＜0，二者必居其一、直线l：Ax+By+C=0将平面划分为两个半平面Ax+By+C＞0和Ax+By+C＜0，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式、要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如取原点或坐标轴上的点来检验、另外，还可证明如下结论：（1）若A＞0，则Ax+By+C＞0表示直线l:Ax+By+C=0右侧的半平面，Ax+By+C＜0表示直线l左侧的半平面、（2）若B＞0，则Ax+By+C＞0表示直线l:Ax+By+C=0上方的半平面，Ax+By+C＜0表示直线l下方的半平面、［例1］在直角坐标平面上有两个区域M和N、M是由y≥0，y≤x和y≥z-x这三个不等式确定的、N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1的确定，t的取值范围是0≤t≤1、设M和N的公共面积是函数f(t)，求证：f(t)=-t2+t+、导析：这是一个基本问题，关键是确定M和N的公共部分的形状、可先让学生自行画出M、N这两个区域，然后再作判断、如图所示，依题意，区域M是图中△AOB,区域N是直线x=t与x=t+1(0≤t≤1)之间的带形域、M和N的公共部分为图中的阴影部分五边形ACDEF（包括边界）、关于五边形ACDEF面积的计算，可引导学生从下面三个途径去考虑：（1）△AOB的面积减去Rt△ODC、Rt△BEF的面积；（2）过A作x轴的垂线，将其划分为两个直角梯形来计算；（3）连结CF，将其划分为一个直角三角形CAF和一个直角梯形CDEF去求解、［例2］已知实数x、y满足2x+y≥1，求u=x2+y2+4x-2y的最小值、导析：注意到所求式的结构特点，学生容易想到将其作如下的配方变形、u=(x+2)2+(y-1)2-5显然，(x+2)2+(y-1)2表示点P（x,y)与定点A（-2,1)的距离的平方、由约束条件2x+y≥1知，点P（x，y）在直线l：2x+y=1的右上方区域G、于是，问题转化为求定点A（-2，1）到区域G的最近距离、由图知，点A到直线l的距离为A到区域G 中点的距离的最小值、d=∴d2=、故umin=d2-5=-、说明：这是一个条件最值问题，由于所求式呈现出两点间距离的特点，所以我们应用了等价转化的思想，应用解析法使问题得到巧妙地解决、［例3］设实数x、y满足不等式组（1）求点(x,y)所在的平面区域；（2）设a＞-1，在（1）所求的区域内，求函数f(x,y)=y-ax 的最值、导析：必须使学生明确，求点(x,y)所在的平面区域，关键是确定区域的边界线，可从去掉绝对值符号入手、（1）已知的不等式组等价于解得点（x,y)所在的平面区域为所示的阴影部分（含边界）、其中，AB:y=2x-5;BC:x+y=4;CD:y=-2x+1;DA:x+y=1、（2）f(x,y)表示直线l：y-ax=k在y轴上的截距，且直线l与（1）中所求区域有公共点、∵a＞-1,∴当直线l过顶点C 时，f(x,y)最大、∵C点的坐标为（-3，7），∴f(x,y)的最大值为7+3a、如果-1＜a≤2，那么当直线l过顶点A（2，-1）时，f(x,y)最小，最小值为-1-2a、如果a＞2，那么当直线l过顶点B （3，1）时，f(x,y)最小，最小值为1-3a、说明：由于直线l的斜率为参数a，所以在求截距k的最值时，要注意对参数a进行讨论，方法是将直线l动起来、二、参考例题［例1］不等式2x-y-6＞0表示的平面区域在直线2x-y-6=0的（）A、左上方B、右上方C、左下方D、右下方分析：因直线2x-y-6=0不过原点，故可取原点（0，0）代入2x-y-6，得20-0-6=-6＜0，在直角坐标系中画出直线2x-y-6=0，结合图形可知与原点同在直线一侧的平面区域表示2x-y-6＜0，故2x-y-6=0右下方表示2x-y-6＞0、解：在直角坐标系中画出直线2x-y-6=0，将原点（0，0）代入直线方程2x-y-6=0即可判定，应选D、［例2］图中阴影部分可用二元一次不等式组表示（）A、B、C、D、分析：结合图形可知，相关联的直线方程分别为x=0，y=-2，2x-y+4=0，再由原点(0,0）代入2x-y+4可知20-0+4=4＞0，故与原点同侧的平面区域表示2x-y+4≥0的区域、解：找出相关直线方程后，将原点（0，0）坐标代入直线方程判定平面区域可知选C、［例3］画出不等式组表示的平面区域图形，并计算它表示的平面区域的面积、分析：分别画出直线x=3,x+y=0，x+5-y=0，再代点判定平面区域、解：在直角坐标系画出直线x=3,x+y=0，x-y+5=0，因原点（0，0）不在直线x-y+5=0上，故将原点（0，0）代入x-y+5可知，原点所在平面区域表示x-y+5≥0部分，因原点在直线x+y=0上，故取（0，1）代入x+y判定可知点（0，1）所在平面区域表示x+y≥0部分，如图所示：解相应的方程组可求出A、B、C三点的坐标分别为（3，8），（-），（3，-3）、为计算△ABC的面积，可将AC作底边，点B作三角形顶点、S△ABC=、［例4］求下面不等式组表示的平面区域内的整点、分析：先画出不等式组所表示的平面区域，再根据图形找出整点、解：如图作直线l1：3x-2y-2=0，l2:x+4y+4=0,l3:2x+y-6=0，分别求出l1与l3的交点A（2，2），l1与l2的交点B（0，-1），l2与l3的交点C（4，-2），直线x=1与边界交于E（1，）、F（1，-），直线x=2与边界交于A（2，2）、G（2，-），直线x=3与边界交于M（3，0）、N（3，-）、由图可看出（1，-1）、（1，0）、（2，1）、（2，0）、（2，-1）、（3，-1）即为所求的整点、［例5］求不等式｜x-2｜+｜y-2｜≤2表示的平面区域的面积、分析一：依绝对值的定义去掉绝对值符号、解法一：｜x-2｜+｜y-2｜≤2作出以上不等式组所表示的平面区域；它是边长为2的正方形，其面积为8、分析二：因｜x-2｜+｜y-2｜=2是｜x｜+｜y｜=2向右、向上各平移2个单位而得到的，利用平移前后不改变图形的大小和形状解题、解法二：｜x-2｜+｜y-2｜≤2是由｜x｜+｜y｜≤2经过向右、向上各平移2个单位得到的，所以｜x-2｜+｜y-2｜≤2表示的平面区域的面积等于｜x｜+｜y｜≤2表示的平面区域的面积，由于｜x｜+｜y｜=2图象关于x轴、y轴、原点均对称，故求得平面区域如图所示：的面积为2、故｜x｜+｜y｜≤2的面积为42=8、∴所求面积为8、三、参考练习题1、画出下列不等式表示的平面区域、（1）2x+y-10<0;(2)y≤-2+3、解：（1）先画出直线2x+y-10=0(画成虚线)，取点（1，1），代入2x+y-10,有21+1-10=-7<0∴2x+y-10<0表示的区域是直线2x+y-10=0的左下半平面、如图所示、评述：本题用点（1，1）代入2x+y-10,来判断2x+y-10<0所表示的区域，遵循的是最简化原则、(2)将y≤-2x+3变形为2x+y-3≤0,首先画出2x+y-3=0（画成实线）、取点（0，0）代入2x+y-3,有20+0-3=-3<0、∴2x+y-3≤0表示的平面区域是直线2x+y-3=0的左下半平面、∴2x+y-3≤0表示的平面区域是直线2x+y-3=0以及左下半平面、如图、评述：本题解答过程中将y≤-2x+3变形为2x+y-3≤0来处理，其他类似情况，也须同样变形、3、画出下列不等式组表示的平面区域、解：不等式组的解集是x+y≤5，①x-2y≥3，②的解集的交集、①式区域是直线x+y-5=0左下半平面区域并且包括直线x+y-5=0、②式区域是x-2y-3=0的右下半平面区域并且包括直线x-2y-3=0、如图所示、4、画出不等式组表示的平面区域、解：不等式x<3表示直线x=3左侧点的集合、不等式2y≥x即x-2y≤0表示直线x-2y=0上及左上方点的集合、不等式3x+2y≥6即3x+2y-6≥0表示直线3x+2y-6=0上及右上方点的集合、不等式3y<x+9即x-3y+9>0表示直线x-3y+9=0右下方点的集合、综上，不等式组表示的平面区域如图:评述：对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x、y），实数Ax+By+C的符号相同，所以只须在直线某一侧任取一点（x0,y0）代入，由Ax0+By0+C值的符号即可判断出Ax+By+C表示的是直线哪一侧的点集、●备课资料一、简单线性规划问题的向量解法［例1］设z=2x+y，式中变量x，y满足下列条件求z的最大值和最小值、解：画出可行域如图所示中的阴影部分过原点O（0，0）作直线l0:2x+y=0，正法向量为n=(2,1)、当直线2x+y=t沿着正法向量平行移动时，t的值就逐渐增大，当直线2x+y=t通过与可行域的公共点B（1，1）时，目标函数z=2x+y取得最小值zmin=21+3=3；当直线2x+y=t通过与可行域的公共点C（5，2）时，目标函数z=2x+y取得最大值、zmax=25+2=12、［例2］求z=2x-y的最大值和最小值，式中变量x、y满足下列条件求z的最大值和最小值、解：如图所示可行域：过原点O（0，0）作直线l0:2x-y=0,正法向量为n=(2,-1),当直线2x-y=t沿着正法向量方向平行移动时，t的值就逐渐增大；当直线2x-y=t通过与可行域的公共点C（5，2）时，使目标函数z=2x-y 取得最大值为：zmax=25-2=8；当直线2x-y=t沿着负法向量方向平行移动时，t的值就逐渐减小，当直线2x-y=t通过与可行域的公共点A（1，）时，目标函数z=2x-y取得最小值为：zmin=-、这道题若用课本提供的方法，用纵截距来做学生易出错、这是因为由z=2x-y得y=2x-z与例1相比此处z为直线l:y=2x-z的纵截距的相反数，故欲求z的最大值与最小值，需先求出直线系y=2x+t 中与可行域有公共点的直线的纵截距的最小值与最大值，这样一正一反，概念容易混淆而出差错，而用按正法向量方向取最值不会出差错、为了避免这种差错，可以用横截距来做、由z=2x-y得x= (略）、通过例2 n种方法的比较不难看出用正法向量方法解题比较简单，学生容易掌握且不易出错、下面就用正法向量的方法解简单线性规划问题作一个说明、求x、y满足下列约束条件的目标函数z=ax+by的最大值与最小值：我们用符号K表示可行域（为便于说明仅假设可行域是有界的凸多边形），现在的问题是在可行域K中找一点（x0,y0），使ax0+by0达到最大（或最小）、设ax+by=t（把t作为参数）是表示平行直线系、在K中任取一点（x0,y0），使得ax0+by0=t就表示平行直线系中通过（x0,y0）的一条直线，而坐标原点到这直线的距离为d=,这说明把点(x0,y0)的坐标代入目标函数的绝对值正好是坐标原点到这条直线距离的倍（即d)、所以我们要在可行域K中找一点（x0,y0)，使ax0+by0达到最大（或最小）就转化为在直线系ax+by=t中找一条直线，使得这条直线通过可行域中的某一点且这条直线找到原点的距离最大（或最小）、怎样寻找这条直线呢？先作l0:ax+by=0、（1）若l0与K无交点，则让直线系ax+by=t 沿着正法向量方向从l0平行移动到与K有交点，如图，这时t为正且逐渐增大，移动到刚开始进入K且与K相交的那种点，这时原点到这直线的距离达到最小，即目标函数z=ax+by达到最小值zmin=ax0+by0；继续移动到刚开始要离开K但仍与K相交的那种点，这时原点到这直线的距离达到最大，即目标函数z=ax+by达到最大值zmax=ax0+by0、反之，如果让直线系ax+by=t沿着负法向量的方向从l0平行移动到与K刚有交点，如图所示，因为这时t为负且逐渐减小，移动到刚开始进入K且与K相交的那种点，这时原点到直线的距离达到最小，因t为负，此时目标函数达到最大值zmax=ax0+by0，移动到刚开始要离开K但仍与K相交的那种点时，此时直线到原点的距离最大，而目标函数达到最小值zmin=ax0+by0、（2）若l0与K有交点，如图，则直线系从l0开始沿正法向量方向平行移动的为最大值，沿负法向量方向平行移动的为最小值、本文从目标函数的法向量的观点来求最优解，而目标函数的法向量是教材上的阅读材料，不需要补充新的知识，学生理解容易，操作方便且不易出错，是提高学生能力的较好方法、二、参考例题［例1］已知x、y满足不等式组，试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标，及相应的z的最大值、分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点、解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组得C（），令t=300x+900y，即y=-,欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距的最大值，从而可求t的最大值，因直线y=-与直线y=-x平行，故作与y=-x的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=3000+900125=、［例2］求z=600x+300y的最大值，使式中的x,y满足约束条件的整数值、分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解、解：可行域如图所示：四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）由方程组：得点C的坐标为（69,91)因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当时，z取最大值为zmax=60070+300900=69000、［例3］已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最小值、分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0，找出可行解，进而求出目标函数的最小值、解：不等式x+2y≥2，表示直线x+2y=2上及右上方的点的集合；不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及右上方的点的集合、可行域如图所示：作直线l0:3x+y=0，作一组与直线l0平行的直线l:3x+y=t,(t∈R)、∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标、由图可知：当直线l:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即zmin=1、●备课资料参考练习题1、某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？分析：将已知数据列成下表甲原料（吨）乙原料（吨）费用限额成本100015006000运费5004002000产品90100解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则：z=90x+100y作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域：由令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（）时，直线90x+100y=t中的截距最大，由此得出t的值也最大，最大值zmax=90=440、答：工厂每月生产440千克产品、2、某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成、已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张、则目标函数为：z=2x+3y作出可行域：把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值、解方程得M的坐标为（2，3）、答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润、评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解、第 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高中数学 同步教学 简单的线性规划问题
x (1)
2
率的 2 倍,
因为 kQA= 7 ,kQB= 3 ,所以 z 的取值范围是[ 3 , 7 ].
48
42
方法技巧 与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数 的最值问题的求解,一般要结合给定代数式的几何意义来完成.
常 见 代 数 式 的 几 何 意 义 :(1) x2 y2 表 示 点 (x,y) 与 原 点 (0,0) 的 距
4.给定下列命题:在线性规划中,
①最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值;
②最优解指的是目标函数的最大值或最小值;
③最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域;
④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
其中正确命题的序号是
.
解析:因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解,即满足 线性约束条件的解(x,y),它是一个有序实数对,所以①②③均错,④正确. 故填④. 答案:④
变式探究:在本例的约束条件下,求z=x2+y2+2x的最大值与最小值.
解:z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1 表示可行域内任意一点(x,y)与点 D(-1,0)距离的平方减去 1,
如图所示,过 D 作 AB 的垂线 DP,垂足为 P,所以|DP|= | 1 0 4 | = 5 = 5 2 ,
(2)简单线性规划问题的解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤 可概括为“画、移、求、答”,即: ① 画 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 画 出 可 行 域 和 直 线 ax+by=0( 目 标 函 数 为 z=ax+by); ②移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点; ③求:求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或 最小值; ④答:给出正确答案.
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线性规划（一）
教学目标1、进一步熟悉二元一次不等式（组）表示的平面区域
2、了解线性规划的意义，会根据条件建立线性目标函数。
3了解问题的最优解的含义，并能用线性规划解决一些简单的问题。
教学重点线形规划及其有关概念
教学难点目标函数的建立，求目标函数的最优解。
教学过程
一、复习引入
1、不等式Ax+By+C>0（ Ax+By+C<0）与平面区域的关系
1）选点法； 2）转化为“斜截式”；
2、练习
1）{（x、y）|2x+3y-6>0}表示的平面区域为；
2）不等式0≤x≤1表示的平面区域为；
x<0
3）不等式组 y>0 表示的平面区域的整点为；
4x+3y+8>0
二、新授
例1、设z=2x+y，式中的变量x、y满足下列条件
x-4y≤-3
3x+5y≤25 求z的最大值与最小值。
x≥1
分析：1）你能找出不等式组所表示的平面区域吗？
2）设t=2x+y，在直线2x+y=t中，t有何意义？
t的变化导致直线如何运动？
3）直线处在什么位置，t取得最值
2、有关概念
线性目标函数：线性约束条件；
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值最小值问题。
可行解：可行域：最优解：
3、练习：求z=3x+5y的最大值、最小值，使得式中的x、
5x+3y≤15
x-5y≤3
4、例2、某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t；每1t甲种产品的利润是600元；每1t乙种产品的利润是1000元；工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，每不超过360t，甲、乙两种产品应各生产多少t，能使得利润总额达到最大？y满足条件 y≤x+1
例3、某工厂生产A、B两种产品，已知制造A种产品1kg要用煤9t，电力4kw，劳动力（按工作组）3个；制造B种产品1kg要用煤4t，电力5kw，劳动力10个；又制造成A种产品1kg 可获利7万元，制造成A种产品1kg可获利12万元，现在此工厂由于收某种条件限制，只有煤360t，电力200kw，劳动力300个，在这种条件下应生产A、B产品各多少kg能获得最大
经济效益？
小结作业：另附。