大物习题答案第5章机械波

第5章机械波

基本要求

1．理解描述简谐波的各物理量的意义及相互间的关系.

2．理解机械波产生的条件．掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法．理解波函数的物理意义．理解波的能量传播特征及能流、能流密度概念．

3．了解惠更斯原理和波的叠加原理.理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件.

4．理解驻波及其形成。

5．了解机械波的多普勒效应及其产生的原因.

基本概念

1．机械波

机械振动在弹性介质中的传播称为机械波，机械波产生的条件首先要有作机械振动的物体，即波源；其次要有能够传播这种机械振动的弹性介质。它可以分为横波和纵波。

2.波线与波面沿波的传播方向画一些带有箭头的线，叫波线。介质中振动相位相同的各点所连成的面，叫波面或波阵面。在某一时刻，最前方的波面叫波前。

3．波长λ在波传播方向上，相位差为2π的两个邻点之间的距离称为波长，它是波的空间周期性的反映。

4．周期T与频率ν一定的振动相位向前传播一个波长的距离所需的时间称为波的周期，它反映了波的时间周期性，波的周期与传播介质各质点的振动周期相同。周期的倒数称为频率，波的频率也就是波源的振动频率。

5．波速u单位时间里振动状态（或波形）在介质中传播的距离。它与波动的特性无关，仅取决于传播介质的性质。

6．平面简谐波的波动方程在无吸收的均匀介质中沿x轴传播的平面简谐波的波函数为

()2cos y A t

x ωϕπ

λ

=+

或s )co (x y A t

u ωϕ⎡

⎤=+⎢⎥⎣

⎦

其中，“-”表示波沿x 轴正方向传播；“+”表示波沿x 轴负方向传播。 波函数是x 和t 的函数。给定x ，表示x 处质点的振动，即给出x 处质点任意时刻离开自己平衡位置的位移；给定t ，表示t 时刻的波形，即给出t 时刻质点离开自己平衡位置的位移。

7．波的能量 波动中的动能与势能之和，其特点是同体积元中的动能和势

能相等。任意体积元的222k 211d =d d d sin ()22P W W W VA t x π

λ

ρωωϕ==-+

8．平均能量密度、能流密度 一周期内垂直通过某一面积能量的平均值是平均能量密度，用w 表示。单位时间内，通过垂直于波传播方向单位面积的平均能量，叫做波的能流密度，用I 表示。

其中22

011d 2

T w w t A T ρω=

=⎰，2212wuTS I wu A u TS ρω=== 9．波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向发生改变，并能绕过障碍物而继续向前传播，这种现象称为波的衍射（绕射）。

10．波的干涉 几列波叠加时产生强度稳定分布的现象称为波的干涉现象。产生波的相干条件是：频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波的叠加。加强和减弱的条件，取决于两波在相干点的相位差21

212π

r r ϕϕϕλ

-∆=--，

()2π0,1,2,...k k ϕ∆=±= 时，合振幅达到极大max 12A A A =+，称为干涉

相长

()()21π

1,2,3...k k ϕ∆=±-=振幅为极小，12A A A =

-，称为干涉相消。

11．驻波 它由两列同振幅的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成。

驻波方程：2π

2cos

cos y A x t ωλ

=。

12．半波损失 波由波疏介质行进到波密介质，在分界面反射时会形成波节，相当于反射波在反射点损失了半个波长的过程。

13．多普勒效应 因波源或观察者相对于介质运动，而使观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同的现象。

基本规律

1．惠更斯原理 介质中波动传到的各点均可看做能够发射子波的新波源，此后的任一时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波前。据此，只要知道了某一时刻的波面，就可用几何作图的方法决定下一时刻的波面。因而惠更斯原理在很广泛的范围内解决了波的传播问题。下面通过球面波的传播来说明惠更斯原理的应用。如图5-1所示，t 时刻的波面是半径为R 1的球面 S 1，按惠更斯原理，S 1上的每一点都可以看成发射子波的点波源。以 S 1面上各点为中心，以r u t =∆为半径作半球面，这些半球面就是这些新的子波的波前，它们的包络面S 2就是（t+Δt ）时刻的波面。

2．多普勒效应 当观察者和波源之间有相对运动时，观察者所测到的频率

R ν和波源的频率S ν不相同的现象称为多普勒效应。

当波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为R

R S S

u v u v νν±=。 u ：机械波在介质中的传播速度

S v ：波源相对于介质的速度

R v ：观察者相对于介质的速度为

观察者接近波源时，R v 前取“+”号，远离时，则取“-”号；波源朝向观察者运动时，S v 前取“-”号，远离时，则取“+”号。

学习指导

图

5-1

1重点解析

下面将讨论本章的习题分类及解题方法：

（1）已知波动表达式求有关的物理量，如振幅、周期、波长、质元间的相位差等.

通常采用比较法，即将已知的波动表达式与标准的波动表达式进行比较，从而找出相应的物理量；也可以根据各物理量的关系，通过运算得到结果。

（2）已知波动的有关物理量，建立波动表达式

基本步骤如下：（a ）由题给条件写出波源或传播方向上某一点的振动表达式。(b )在波线上建立坐标后，任取一点P ，距原点为x ，计算出p 点的振动比已知点的振动在时间上超前或落后。设超前或落后的时间为t ’，将原振动表达式中ｔ加上或减去t ’，即得该波的表达式。也可计算出P 点振动相位比已知点超前或落后，设超前或落后相位为

2x π

λ

，则将原振动表达式中的相位加上或减去

2x π

λ

。注意：超前为加，落后为减。为方便起见，有时常把波线上的已知点选

为坐标原点。

（3）已知波形曲线，建立波动表达式

从波形曲线上确定有关的物理量。如波长、振幅等，特别要注意从曲线上确定某点（如原点）的振动相位，这可用旋转矢量法或解析法确定，然后写出该点的振动表达式，再根据传播方向写出波动表达式。

例1 已知一平面波在t=0s 时的波形曲线如图5-2所示，波沿x 轴正向传播，已知波的周期3T s =.

求（1）该波的波函数；（2）点P 处质元的振动方程。

分析：首先要选一个参考点，如坐标原点，求出该点处质元的振动方程，因此必须求出振动的特征量A 、ϕ、ω。然后由图中信息求出波长或波速，再根据波的传播方向，写出波函数。将P 点x 坐标值代入波函数即可求P 处质元的振动方程。

解：选坐标原点为参考点，由图可知振幅

2410A m -=⨯，3T s

=，则圆频率

图5-2