大学物理上学期课后答案

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化学与材料科学学院 材料班 物理作业答案 第一章

1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为(cos sin )r =R ωt i ωt j + 其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

解：(1) 由(cos sin )r =R ωt i ωt j +，知：cos x R t ω= ，sin y R t ω=

消去t 可得轨道方程：2

2

2

x y R +=

∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R 的圆；

（2）由d r

v dt

=

，有速度：sin Rcos v R t i t j ωωωω=-+ 而v v =，有速率：12

22

[(sin )(cos )]

v R t R t R ωωωωω=-+=。

1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为2

4(32)r t i t j =++，式中r 的单位为m ，t 的单位为s 。求：（1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。

解：（1）由2

4(32)r t i t j =++，可知2

4x t = ，32y t =+ 消去t 得轨道方程为：x =2

(3)y -，∴质点的轨道为抛物线。 （2）由d r

v dt

=

，有速度：82v t i j =+ 从0=t 到1=t 秒的位移为：11

(82)42r v d t t i j d t i j ∆=

=+=+⎰⎰

（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度为：(0)2v j =，(1)82v i j =+ 。

1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为2

2r t i t j =+，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。 解：(1)由d r v dt =

，有：22v t i j =+，d v

a dt

=，有：2a i =； （2）而v v =，有速率：12

222

[(2)2]

21v t t =+=+

∴t dv a dt

=

=，利用222

t n a a a =+有：

n a =

=

。

1-4．一升降机以加速度上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为1y ，升降机上升的高度为2y ，运动方程分别为

2

1012y v t gt =- （1）

2

2012

y v t at =+ （2）

12y y d += （3）

（注意到1y 为负值，有11y y =-） 联立求解，有：t =

解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为'g g a =+，

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利用21'2

d g t =

，有：t == 1-5．一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求：

（1）小球的运动方程；

（2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的d r d t ，d v d t

，d v

d t 。

解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：

0x v t = ，212y h g t =- ，∴201()2

r v t i h g t j =+-；

（2）联立上面两式，消去t 得小球轨迹方程：2

20

2gx y h v =-+（为抛物线方程）；

（3）∵2

01()2

r v t i h g t j =+-，∴0d r v i g t j d t =-， 即：0v v i g t j =-，d v

g j d t

=- 在落地瞬时，有：2h

t g

=，∴02d r v i gh j d t =

-

又∵ v =

=，∴212220

[()]g g t dv

dt v gt ==

+ 。 1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为2

242t t x -+=(m)，在 t 从0秒到3秒的时间间

隔内，则质点走过的路程为多少？

解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在0~3s 的时间间隔内，质点速度为0的位置：

t dt

dx

v 44-==

若0=v 解得 s t 1=， m x x x 1021=∆+∆=∆。

1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为2

s /cm 4.3，设赤道上

重力加速度为2

m/s 80.9。

解：由向心力公式：2

F m R

ω=向， 赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：

F mg =向，而现在赤道上物体的向心力为：'

F ma =向

∴

016.9817ωω====≈ 1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为0v ，并且0v 与水平面的夹角为θ。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。

解：（1）抛物线顶点处子弹的速度0cos x v v θ=，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g 。 因此有：2

2

01

1

(cos )v

v g θρρ=

=

，