精品课件-数字信号处理(第四版)(高西全)-第4章
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数字信号处理(第四版)第四章ppt
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems Outline Discrete-time system examples Classification of DT systems Impulse and step responses Time-domain characteristics of LTI Simple interconnection schemes
Process a given sequence, called the input system, to generate another sequence, called the output sequence, with more desirable properties or to extract certain information about the input signal. DT system is usually also called the digital filter
12
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.2 Classification of DT systems Stable system
A system is stable if and only if for every bounded input, the output is also bounded, called BIBO stable.
Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples (4) Linear Interpolator Linear factor-2 interpolator
数字信号处理
nk N nk N
所以
X (k ) [Rex(n) j Imx(n)]
nk nk [Re WN j Im WN )] N 1 n 0
{Rex(n)ReW Imx(n)ImW j (Rex(n)ImW Imx(n)ReW )}, k 0,1,2,..., N 1
…
N r 0,1,..., 1 4
X 2 k f 3 ( X 5 (k ), X 6 (k ))
蝶形运算
数字信号处理－第四章 快速傅立叶变换
x1 (0)
. .
x1 ( N 1)
.
N/2点 DFT
N x1 n x1 2r x1 2r 1, r 0,1,2,..., 1 4 X 1 (k ) x1 2r x3 r , x1 2r 1 x4 (r )
.
数字信号处理－第四章 快速傅立叶变换
x(n) X (k ),
令
x1 (n) X 1 (k ), x2 (n) X 2 (k ),
n, k 0,1,2,..., N 1 N n, k 0,1,2,..., 1 2 N n, k 0,1,2,..., 1 2
N 1 n 0 nk N
x2 0 x5 (0)
N/4点 N x5 ( N 1) . DFT x2 2 4 2
.
.
X 5 (k )
x2 1 x6 (0)
蝶形 运算
X 6 (k )
X 2 (k )
N/4点 . N N x2 1 x6 ( 1) . DFT 4 2
数字信号处理－第四章 快速傅立叶变换
4.2 直接计算DFT的问题及改进的途径
所以
X (k ) [Rex(n) j Imx(n)]
nk nk [Re WN j Im WN )] N 1 n 0
{Rex(n)ReW Imx(n)ImW j (Rex(n)ImW Imx(n)ReW )}, k 0,1,2,..., N 1
…
N r 0,1,..., 1 4
X 2 k f 3 ( X 5 (k ), X 6 (k ))
蝶形运算
数字信号处理－第四章 快速傅立叶变换
x1 (0)
. .
x1 ( N 1)
.
N/2点 DFT
N x1 n x1 2r x1 2r 1, r 0,1,2,..., 1 4 X 1 (k ) x1 2r x3 r , x1 2r 1 x4 (r )
.
数字信号处理－第四章 快速傅立叶变换
x(n) X (k ),
令
x1 (n) X 1 (k ), x2 (n) X 2 (k ),
n, k 0,1,2,..., N 1 N n, k 0,1,2,..., 1 2 N n, k 0,1,2,..., 1 2
N 1 n 0 nk N
x2 0 x5 (0)
N/4点 N x5 ( N 1) . DFT x2 2 4 2
.
.
X 5 (k )
x2 1 x6 (0)
蝶形 运算
X 6 (k )
X 2 (k )
N/4点 . N N x2 1 x6 ( 1) . DFT 4 2
数字信号处理－第四章 快速傅立叶变换
4.2 直接计算DFT的问题及改进的途径
数字信号处理-丁玉美 高西全 编著-第4章
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
流图中的两个环路均与所有的前向通路相接触， 因此对 应于三条前向通路的Δ1=1， Δ2=1，Δ3=1。 这样可以直接写出 该流图的系统函数为
H (z) T11 T22 T33
b0 b1z 1 b2 z 2 1 a1z 1 a2 z 2
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
第4章 时域离散系统的网络结构及 数字信号处理的实现
4.1 教材第5章学习要点 4.2 按照系统流图求系统函数或者差分方程 4.3 按照系统函数或者差分方程画系统流图 4.4 例题 4.5 教材第 9 章学习要点 4.6 教材第 5 章习题与上机题解答
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
4.4 例 题
［例4.4.1］ 设FIR滤波器的系统函数为 H (z) 1 (1 0.9z 1 2.1z 2 0.9z 3 z 4 ) 10
求出其单位脉冲响应， 判断是否具有线性相位， 画出直 接型结构和线性相位结构（如果存在）。
位结构， 因此并不是所有FIR系统都能形成线性相位结构。
线性相位结构的优点是能节约近一半的乘法器。
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
4.3.2 FIR
由频率采样定理得到公式：
H (z) 1 z N N
N1 H (k) k0 1 WNk z 1
式中, H(k)是在0~2π区间对传数函数等间隔采样N点的采样值， 可以对单位脉冲响应h(n)进行DFT得到。 这里要注意采样点 数必须大于等于h(n)的长度， 否则会发生时域混叠现象。 因 为IIR系统的单位脉冲响应是无限长的， 因此不能用频率采 样结构实现。
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第4章 模拟信号数字处理 学习要点及习题答案
·78· 第4章 模拟信号数字处理4.1 引 言模拟信号数字处理是采用数字信号处理的方法完成模拟信号要处理的问题，这样可以充分利用数字信号处理的优点，本章也是数字信号处理的重要内容。
4.2 本章学习要点(1) 模拟信号数字处理原理框图包括预滤波、模数转换、数字信号处理、数模转换以及平滑滤波；预滤波是为了防止频率混叠，模数转换和数模转换起信号类型匹配转换作用，数字信号处理则完成对信号的处理，平滑滤波完成对数模转换后的模拟信号的进一步平滑作用。
(2) 时域采样定理是模拟信号转换成数字信号的重要定理，它确定了对模拟信号进行采样的最低采样频率应是信号最高频率的两倍，否则会产生频谱混叠现象。
由采样得到的采样信号的频谱和原模拟信号频谱之间的关系式是模拟信号数字处理重要的公式。
对带通模拟信号进行采样，在一定条件下可以按照带宽两倍以上的频率进行采样。
(3) 数字信号转换成模拟信号有两种方法，一种是用理想滤波器进行的理想恢复，虽不能实现，但没有失真，可作为实际恢复的逼近方向。
另一种是用D/A 变换器，一般用的是零阶保持器，虽有误差，但简单实用。
(4) 如果一个时域离散信号是由模拟信号采样得来的，且采样满足采样定理，该时域离 散信号的数字频率和模拟信号的模拟频率之间的关系为T ωΩ=，或者s /F ωΩ=。
(5) 用数字网络从外部对连续系统进行模拟，数字网络的系统函数和连续系统传输函数 之间的关系为j a /(e )(j )T H H ωΩωΩ==，≤ωπ。
数字系统的单位脉冲响应和模拟系统的单位冲激响应关系应为 a a ()()()t nTh n h t h nT === (6) 用DFT （FFT ）对模拟信号进行频谱分析（包括周期信号），应根据时域采样定理选择采样频率，按照要求的分辨率选择观测时间和采样点数。
要注意一般模拟信号（非周期）的频谱是连续谱，周期信号是离散谱。
用DFT （FFT ）对模拟信号进行频谱分析是一种近似频谱分析，但在允许的误差范围内，仍是很重要也是常用的一种分析方法。
数字信号处理课件-高西全
3 3 答案： x(n) * h(n) {0, ,4,7,4， } 2 2
1.3 时域离散系统
y(n) T x(n)
一、线性系统
系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系
统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的 输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即
y1 (n) T x1 (n)
RN (n) (n) (n 1) (n 2) [n ( N 1)] (n k )
k 0 N 1
4． 实指数序列
x(n) a u(n)， a为实数
5． 正弦序列
x(n) A sin(n )
6． 复指数序列
1.4 时域离散系统的输入输出描述 法——线性常系数差分方程
N阶线性常系数差分方程表示：
a y ( n i ) b x( n j )
i 0 i j 0 j
N
M
a0 1
式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序 列和输出序列，ai和bj均为常数.
线性常系数差分方程的求解
1.1 引
言
信号的定义： 载有信息的，随时间变化的物理量或 物理现象。 信号的分类：
时域连续信号 模拟信号 时域离散信号 数字信号
系统定义： 系统分类： 时域连续系统 模拟系统 时域离散系统 数字系统
一．单位阶跃信号
单位阶跃信号的定义为
u (t )
1
0
二、时不变系统
如果系统对输入信号的运算关系T［· ］在整个运 算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号 的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称 为时不变系统，用公式表示如下：
数字信号处理-原理、实现及应用(第4版) 第四章 模拟信号的数字处理
（3）当未知时，由 x(n) 无法恢复原正弦信号。
结论：
正弦信号采样（2）
三点结论： （1）对正弦信号，若 Fs 2 f0 时，不能保证从采样信号恢
复原正弦信号； （2）正弦信号在恢复时有三个未知参数，分别是振幅A、
频率f和初相位，所以，只要保证在一个周期内均匀采样 三点，即可由采样信号准确恢复原正弦信号。所以，只要 采样频率 Fs 3 f0 ，就不会丢失信息。 （3）对采样后的正弦序列做截断处理时，截断长度必须 是此正弦序列周期的整数倍，才不会产生频谱泄漏。（见 第四章4.5.3节进行详细分析）。
D/A
D/A为理想恢复，相当于理想的低通滤波器，ya (t) 的傅里叶变换为：
Ya ( j) Y (e jT )G( j) H (e jT ) X (e jT )G( j)
保真系统中的应用。
在 |Ω|>π/T ，引入了原模拟信号没有的高频分量，时域上表现
为台阶。
ideal filter
•
-fs
-fs/2 o
• fs/2 fs
f •
2fs
•
•
-fs
-fs/2 o
fs/2
•
fs
•
f
2fs
措施
D/A之前，增加数字滤波器，幅度特性为 Sa(x) 的倒数。
在零阶保持器后，增加一个低通滤波器，滤除高频分量， 对信号进行平滑，也称平滑滤波器。
c
如何恢复原信号的频谱？
P (j)
加低通滤波器，传输函数为
G(
j)
T
0
s 2 s 2
s
0
s
X a ( j)
s 2
s c c
s
理想采样的恢复
结论：
正弦信号采样（2）
三点结论： （1）对正弦信号，若 Fs 2 f0 时，不能保证从采样信号恢
复原正弦信号； （2）正弦信号在恢复时有三个未知参数，分别是振幅A、
频率f和初相位，所以，只要保证在一个周期内均匀采样 三点，即可由采样信号准确恢复原正弦信号。所以，只要 采样频率 Fs 3 f0 ，就不会丢失信息。 （3）对采样后的正弦序列做截断处理时，截断长度必须 是此正弦序列周期的整数倍，才不会产生频谱泄漏。（见 第四章4.5.3节进行详细分析）。
D/A
D/A为理想恢复，相当于理想的低通滤波器，ya (t) 的傅里叶变换为：
Ya ( j) Y (e jT )G( j) H (e jT ) X (e jT )G( j)
保真系统中的应用。
在 |Ω|>π/T ，引入了原模拟信号没有的高频分量，时域上表现
为台阶。
ideal filter
•
-fs
-fs/2 o
• fs/2 fs
f •
2fs
•
•
-fs
-fs/2 o
fs/2
•
fs
•
f
2fs
措施
D/A之前，增加数字滤波器，幅度特性为 Sa(x) 的倒数。
在零阶保持器后，增加一个低通滤波器，滤除高频分量， 对信号进行平滑，也称平滑滤波器。
c
如何恢复原信号的频谱？
P (j)
加低通滤波器，传输函数为
G(
j)
T
0
s 2 s 2
s
0
s
X a ( j)
s 2
s c c
s
理想采样的恢复
数字信号处理4
平均值等于它的真值卷积三角谱窗函数，因此周期图是有偏估 计，但当N→∞时，wB(m)→1，三角谱窗函数趋近于δ 函数，周
期图的统计平均值趋于它的真值，因此周期图属于渐近无偏估
计。
第四章 功 率 谱 估 计 2) 周期图的方差 由于周期图的方差的精确表示式很繁冗，为分析简单起见，
通常假设x(n)是实的零均值的正态白噪声信号，方差是σ
ˆ (e j ) PBT
式中
m ( M 1)
ˆ rxx (m)e
- jωω
（4.2.3）
w(m) -(M-1)≤m≤(M-1) w(m) , M≤N 其它 0
（4.2.4）
第四章 功 率 谱 估 计 有时称(4.2.3)式为加权协方差谱估计。它要求加窗后的 功率谱仍是非负的，这样窗函数w(m)的选择必须满足一个原 则，即它的傅里叶变换必须是非负的， 例如巴特利特窗就满 足这一条件。 为了采用FFT计算（4.2.3）式，设FFT的变换域为(0~L-1)，
(4.2.7) 按照（4.2.1）式估计自相关函数，我们已经证明这是渐近一 致估计，但经过傅里叶变换得到功率谱的估计，功率谱估计却 不一定仍是渐近一致估计，可以证明它是非一致估计，是一种 不好的估计方法。下面我们将证明：BT法中用有偏自相关函数 进行估计时，它和用周期图法估计功率谱是等价的，因此BT 法估计质量和周期图法的估计质量是一样的。
第四章 功 率 谱 估 计 现代谱估计以信号模型为基础，图4.1.1表示的是x(n)的 信号模型，输入白噪声w(n)均值为0，方差为σ 谱由下式计算：
2 Pxx (e j ) w | H (e j ) |2
2
w，x(n)的功率
（4.1.7）
如果由观测数据能够估计出信号模型的参数，信号的功率谱可 以按照（4.1.7）式计算出来，这样,估计功率谱的问题变成了 由观测数据估计信号模型参数的问题。模型有很多种类，例如 AR模型、 MA模型等等，针对不同的情况，合适地选择模型，
期图的统计平均值趋于它的真值，因此周期图属于渐近无偏估
计。
第四章 功 率 谱 估 计 2) 周期图的方差 由于周期图的方差的精确表示式很繁冗，为分析简单起见，
通常假设x(n)是实的零均值的正态白噪声信号，方差是σ
ˆ (e j ) PBT
式中
m ( M 1)
ˆ rxx (m)e
- jωω
（4.2.3）
w(m) -(M-1)≤m≤(M-1) w(m) , M≤N 其它 0
（4.2.4）
第四章 功 率 谱 估 计 有时称(4.2.3)式为加权协方差谱估计。它要求加窗后的 功率谱仍是非负的，这样窗函数w(m)的选择必须满足一个原 则，即它的傅里叶变换必须是非负的， 例如巴特利特窗就满 足这一条件。 为了采用FFT计算（4.2.3）式，设FFT的变换域为(0~L-1)，
(4.2.7) 按照（4.2.1）式估计自相关函数，我们已经证明这是渐近一 致估计，但经过傅里叶变换得到功率谱的估计，功率谱估计却 不一定仍是渐近一致估计，可以证明它是非一致估计，是一种 不好的估计方法。下面我们将证明：BT法中用有偏自相关函数 进行估计时，它和用周期图法估计功率谱是等价的，因此BT 法估计质量和周期图法的估计质量是一样的。
第四章 功 率 谱 估 计 现代谱估计以信号模型为基础，图4.1.1表示的是x(n)的 信号模型，输入白噪声w(n)均值为0，方差为σ 谱由下式计算：
2 Pxx (e j ) w | H (e j ) |2
2
w，x(n)的功率
（4.1.7）
如果由观测数据能够估计出信号模型的参数，信号的功率谱可 以按照（4.1.7）式计算出来，这样,估计功率谱的问题变成了 由观测数据估计信号模型参数的问题。模型有很多种类，例如 AR模型、 MA模型等等，针对不同的情况，合适地选择模型，
数字信号处理及应用精品课件第4章
如图4.6所示。
13
图4.6 级联型结构
14
4.2.3 并联型
将传递函数展开成部分分式就可以用并联方式构成
滤波器。 N
H
z
bn z n
n0
N
an z n
A0
N
An
n1 1 dnz 1
（4.7）
n0
对于其中的共轭复根部分，将其合并为二阶实系数
分式
H
z
A0
L n1
1
An pn z n
图4.16 直接型单位脉冲响应和阶跃响应输出 (a) FIR滤波器直接型h(n) (b) FIR滤波器直接型y(n)
34
【例4.5】 FIR滤波器的级联型系数函数为
H z 2 1 0.536z1 1 0.0057z1 0.6219z2
的FIR数字滤波器，求单位脉冲相应和单位阶跃信号的输出。 【解】 程序如下
10
图4.4 直接Ⅰ型结构图
11
4.5 直接Ⅱ型结构
4.2.2 级联型
一个N阶的传递函数也可以用它的零、极点来表示
N
bnzn
N
1 cnz1
H
z
n0 N
A
n1 N
an z n
1 dnz1
n0
n1
（4.3）
∵ an 、bn 为实数，∴cn 、dn 均以共轭成对出现，
故可将共轭成对的零、极点配成二次有理分式形式：
function y=parallel_filter(A0,B,A,x)
[K,L]=size(B);
N=length(x);
w=zeros(K+1,N);
w(1,:)=filter(A0,1,x);
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点DFT和(4.2.10)式或(4.2.11)式所示的N/4个蝶形运算，
如图4.2.3所示。依次类推，经过M次分解，最后将N点DFT
分解成N个1点DFT和M级蝶形运算，而1点DFT就是时域序列
本身。一个完整的8点DIT－FFT运算流图如图4.2.4所示。
图中用到关系式
。W图N中k / m输入W序Nmk列不是顺序排
In Time FFT，简称DIT－FFT )； 频域抽取法FFT (Decimation In Frequency FFT，简称DIF－FFT)。本节介 绍DIT－FFT
设序列x(n)的长度为N，且满足N=2M，M为自然数。按n 的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
x1(r) x(2r)， x2 (r) x(2r 1)，
x1
(2l
1)WNk
( /
2l 2
1)
l 0
l 0
N / 41
N / 41
x3 (l)WNkl/ 4 WNk / 2
x4
(l
)WNk
l /
4
l 0
l 0
X 3 (k ) WNk/ 2 X 4 (k )
k 0， 1， ， N 1 2
(4.2.9)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
式中
N / 41
r0
2
(4.2.6)
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，
kN
WN 2
WNk
且
，因此X(k)又可表示为
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)，
X
(k
N 2
)
X1(k)
WNk
X
2
(k )，
k 0， 1， ， N 1 2
(4.2.7)
k 0， 1， ， N 1 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT) 4.2 基2FFT
4.2.1 直接计算DFT 有限长序列x(n)的N点DFT为
N 1
X(4(.k2).1) x(n)WNkn k 0， 1， ， N 1 n0
考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，直 接按(4.2.1)式计算X(k)的1个值需要N次复数乘法和 (N－1)次复数加法。因此，计算X(k)的所有N个值，共需 N2次复数乘法和N(N－1)次复数加法运算。
4.2.3 DIT-FFT算法与直接计算DFT运算量的比较 由DIT-FFT算法的分解过程及图4.2.4可见，N=2M 时，其
运算流图应有M级蝶形，每一级都由N/2个蝶形运算构成。因 此，每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加(每个蝶形需 要两次复数加法)。所以，M级运算总共需要的复数乘次数为
复数加次数为
X 4 (k) WNk / 2
X
4
，k (k)
0，
1，
，
N叶变换(FFT)
用同样的方法可计算出
X X
2 2
(k) X5(k k N 4
) WNk/2 X 6 (k) X 5 (k) WNk/2 X
6
(k
)
k 0， 1， ， N 1 4
(4.2.11)
m N
WN 2
WNm
(4.2.3b)
FFT算法就是不断地把长序列的DFT分解成几个短序列的 DFT，并利用 的周WNk期n 性和对称性来减少DFT的运算次 数。算法最简单最常用的是基2FFT。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 基2FFT算法分为两类：时域抽取法FFT(Decimation
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
X3(k)
x3 (l)WNkl/ 4 DFT[x3 (l)]N
l0
4
N / 41
X 4 (k)
x4 (l)WNkl/ 4 DFT[x4 (l)]N
l0
4
同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和
Wm N /2
的对称性
W kN / 4 N /2
WNk / 2
最后得到：
X1(k) X 3 (k) WNk/ 2 X1(k N / 4) X 3 (k)
x2 (r)WN2kr
r0
r0
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
因为 所以
W 2kr N
j2π 2kr
e N
j 2π kr
e N2
W kr N/
2
N / 21
N / 21
X (k)
x1(r)WNkr/ 2 WNr
x2 (r)WNkr/ 2
r0
r0
X1(k) WNk X 2 (k) k 0,1, 2, , N -1
(4.2.8)
这样，就将N点DFT分解为两个N/2点DFT和(4.2.7)式以及 (4.2.8)式的运算。(4.2.7)和(4.2.8)式的运算可用图4.2.1 所示的流图符号表示，称为蝶形运算符号。采用这种图示法， 经过一次奇偶抽取分解后，N点DFT运算图可以用图4.2.2表示。 图中，N=23=8， X(0)~X(3)由(4.2.7)式给出，而X(4)~ X(7) 则由(4.2.8)式给出。
r 0， 1， r 0， 1，
， N 1 2
， N 1 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
则x(n)的DFT为
X (k)
x(n)WNkn
x(n)WNkn
n偶数
n奇数
N / 21
N / 21
x(2r)WN2kr
x(2r 1)WNk (2r1)
r0
r0
N / 21
N / 21
x1(r)WN2kr WNk
2
N 2
2
N 2
N (N 1) 2
N 1
N2 2
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
复数加法次数为
N N 1 2N N 2 2 2 2
由此可见，仅仅经过一次分解，就使运算量减少近一半。 既然这样分解对减少DFT的运算量是有效的，且N=2M, N/2 仍然是偶数，故可以对N/2点DFT再作进一步分解。
如前所述，N点DFT的复乘次数等于N2。显然，把N点 DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大减少。另 外，旋转因子具有明显的周期性和对称性。其周期性表 现为
（4.2.W2）NmlN
j2π (mlN )
e N
j2πm
e N
WNm
第4章 快速傅里叶变换(FFT) 其对称性表现为
WNm WNN m 或者 [WNN m ]* WNm (4.2.3a)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
自从1965年库利(T. W. Cooley)和图基(J. W. Tuky) 在《计算数学》(Math. Computation, Vol. 19, 1965) 杂志上发表了著名的《机器计算傅里叶级数的一种算法》 论文后，桑德(G. Sand)—图基等快速算法相继出现，又 经人们进行改进，很快形成一套高效计算方法，这就是 现在的快速傅里叶变换（FFT）。
列，但后面会看到，其排列是有规律的。图中的数组A用于
存放输入序列和每级运算结果，在后面讨论编程方法和倒
序时要用到。
第4章 快速傅里叶变换(FFT) 图4.2.3 8点DFT二次时域抽取分解运算流图
第4章 快速傅里叶变换(FFT) 图4.2.4 8点DIT-FFT运算流图
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.4 DIT-FFT 1． 由图4.2.4可以看出，DIT-FFT的运算过程很有规律。
N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运算组成。 同一级中，每个蝶形的两个输入数据只对计算本蝶形有用， 而且每个蝶形的输入、输出数据结点又同在一条水平线上， 这就意味着计算完一个蝶形后，所得输出数据可立即存入原 输入数据所占用的存储单元(数组元素)。这样，经过M级运 算后，原来存放输入序列数据的N个存储单元(数组A)中便依 次存放X(k)的N个值。这种利用同一存储单元存储蝶形计算 输入、输出数据的方法称为原位(址)计算。原位计算可节省
其中
N / 41
X5 (k)
x5 (l)WNkl/4 DFT[x5 (l)]N
l0
4
N / 41
X6 (k)
x6 (l)WNkl/4 DFT[x6 (l)]N
l0
4
x5 (l) x6 (l)
x2 x2
((22ll)1)，l
0，
1，
， N / 4 1
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
这样，经过第二次分解，又将N/2点DFT分解为2个N/4
(4.2.4)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
其中Ｘ1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT, 即
N / 21
X1(k)
x1(r)WNkr/ 2 DFT[x1(r)]N
r0
2
(4.2.5)
N / 21
X 2 (k)
x2 (r)WNkr/ 2 DFT[x2 (r)]N
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
当 N 1时，N(N－1)≈N2。由上述可见，N点DFT的
乘法和加法运算次数均为N2。当N较大时，运算量相当可 观。例如N=1024时，N2=1 048 576。这对于实时信号处 理来说，必将对处理设备的计算速度提出难以实现的要 求。所以，必须减少其运算量，才能使DFT在各种科学和
这种算法使DFT的运算效率提高了1 ~ 2个数量级， 为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了 条件，大大推动了数字信号处理技术的发展。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
人类的求知欲和科学的发展是永无止境的。多年来， 人们继续寻求更快、更灵活的好算法。1984年，法国的杜 哈梅尔(P. Dohamel)和霍尔曼(H. Hollmann)提出的分裂 基快速算法，使运算效率进一步提高。本章主要讨论基 2FFT