第九章根树
第九章生物类群3_506007893
六、 植物界
苔藓植物 Phylum Hepaticophyta （苔门） Phylum Bryophyta （藓门） Phylum Anthocerotophyta （角苔门）
蕨类植物 Phylum Pterophyta （ 羽叶植物门） Phylum Lycophyta （石松门） Phylum Arthrophyta （楔叶门） Phylum Psilophyta （松叶蕨门）
满江红（Azolla imbricata）
种子植物的特征：
形成种子，依靠种子实现繁殖。种子的作用： 保护并且帮助植物胚的传播 抵抗干旱，传播能力增强了。 休眠阶段，可以使胚保持存活。
两种配子体——雌配子体和雄配子体， 受精作用脱离水。 花粉粒通过风或者传粉者运输到雌配子体的卵中。
裸子植物 (Gymnosperm)： 主要特征： 1、孢子体特别发达，占绝对优势，配子体已显著退化，寄生
供了充分的养分。 5. 胚的形成和保护
科达目
苏铁类 前裸子植物
维
本内苏铁类
管
植
种子蕨
物
的
演
化
孢子体较发达，细长呈长针状，或角状， 无蒴柄，借基足埋于叶状体内。
多数角苔的孢子体能够进行光合作用
维管植物 Vascular Plants
主要特征： 1、有维管系统（组织），孢子体具有根、茎、叶的分化； 2、有明显的世代交替，但孢子体发达，配子体很小，寿命也很短。
（与苔藓不同）
分类： 1. 无种子维管植物——蕨类植物 Pteridophyta: 2. 种子植物 Spermatophyta：
买麻藤门（Gnetophyta ）
具异形孢子的维管种子植物。
精子不可动，通过花粉管到达卵子处。
离散数学
(注)以上算法需假定图中每条边的权都不 相同.但事实上对图中有若干条边的权相同的情 形,只要将它们的权作微小的变动,使之各不相同, 即可使用这个算法.
例：见书本图9.4
又有计算最小生成树的实例:
1 11
6
3 2
9
7 8
10
4 5
红绿粉红紫黄
另有“破圈法”：删除边破坏回路，同时保持图的连 通性，直到没有回路为止。 a
注意，具有 n 个结点和恰有 n-1 条边的图未 必是树，但连通或无回路的是。 连通无圈完全刻划了树，这是树的一个特
性；树还有另外一个重要性质是：它以最少的
边使结点连通。
定理9.2 给定树T=<V，E>，若|V|≥2，则T中至 少存在两个悬挂结点（树叶）。
证明: 1)设T=<V,E>是树,|V|=v.因为T是连通图,viT 有deg(vi)≥1且由定理5-1.1有∑deg(vi)=2(|V|-1)=2v-2.
例：下图为根树，右边是左图省掉方向的代替图。
v1
v2 v3 v4 v2
v1
v3 v4
v5
v6
v7
v8 v9
v5
v6
v7
v8 v9
v10 v11 v12
v10
v11 v12
为表示结点间的关系，有时借用家族中的
术语。一棵根树可以看成一棵家族树。令u是有
根树中的分枝结点，若从u到v有一条边或，则 结点v称为结点u的“儿子”，或称u是v的“父 亲”；若从u到w有一条路，称u是w的“祖先”， 或称w是u的“子孙”或“后代”，同一个分枝
第九章 树
9.1 无向树及生成树
9.2 根树及其应用
勾股定理之“风吹树折”模型(解析版)--初中数学
勾股定理之“风吹树折”模型【知识梳理】风吹树折类题就数学知识本身其实很简单，考查的就是句股定理，最多设个未知数列方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点在于语言文字如何转化成数学模型.【考点剖析】一．选择题(共2小题)1一旗杆在其13的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为()A.5米B.25米C.10米D.53米【分析】可设AB=x，则BC=2x，进而在△ABC中，利用勾股定理求解x的值即可．【解答】解：由题意可得，AC2=BC2-AB2，即(2x)2-x2=52，解得x=53 3，所以旗杆原来的高度为3x=53，故选：D．【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形．2如图，一根旗杆折断之前的高度是24米，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆在离地面多少米处断裂()A.15B.12C.9D.21【分析】利用勾股定理，用一边表示另一边，代入数据即可得出结果．【解答】解：由图形及题意可知，设旗杆在离地面x米处断裂，有(24-x)2-x2=144，得x=9，故选：C．【点评】本题主要是考查学生对勾股定理的熟练掌握．二．填空题(共3小题)3如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面9米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12米处，那么这根旗杆被吹断前至少有24m高．【分析】根据旗杆未断部分与折断部分及地面正好组成直角三角形，利用勾股定理解答即可．【解答】解：由勾股定理得斜边为：92+122=15米，则原来的高度为9+15=24米．故答案为：24m．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．4如图，今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区最大的一次台风，一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米，则这棵大树折断前有13.6米(保留到0.1米)．【分析】首先根据勾股定理求得折断的树高是25+49=74，所以折断前树的高度是5+74≈13.6米．【解答】解：在Rt△ABC中，AC=52+72=74≈8.6米，5+8.6=13.6米．故答案为：13.6．【点评】考查了勾股定理的应用，比较简单．5有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断(未完全折断)，则小孩至少离开大树4米之外才是安全的．【分析】根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．【解答】解：如图，BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC=4-1=3m，AB=9-4=5m，在Rt△ABC中，AC=AB2-BC2=52-32=4．【点评】此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答．三．解答题(共6小题)6如图，受台风影响，一棵大树在高于地面5米处折断，大树顶部落在距离大树底部10米处的地面上，问这棵大树原来有多高？【分析】该大树折断后，折断部分与地面、原来的树干恰好构成一直角三角形，设大树高为x，则折断部分为x-5，由勾股定理可得出方程：52+102=(x-5)2，解该方程可得出大树原来的高．【解答】解：设大树断掉的部分长为x米，利用勾股定理：52+102=(x-5)2，解得x=5+55，答：大树原来的高为(5+55)米．【点评】利用勾股定理解应用题，关键在于把折断部分、大树原来部分和地面看作一个直角三角形，利用勾股定理列出方程求解．7某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为7m的电线杆AC，被台风从离地面2m的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C′是否会落在距离它的底部4m的快车道上？说说你的道理．【分析】电线杆折断后构成一个直角三角形，利用勾股定理求出AC′的长，即可得出正确结论．【解答】解：根据题意，AB=2m，则BC=7-2=5m，于是AC′=52-22=21，又因为21>4，∴电线杆顶部C′会落在距它的底部4m的快车道上．【点评】此题是勾股定理在生活中应用的典型例子，只要善于观察，便可用数学知识解决生活中的诸多问题．8如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面9米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12米处，那么这根旗杆被吹断前至少有多高？【分析】根据旗杆未断部分与折断部分及地面正好组成直角三角形，利用勾股定理解答即可．【解答】解：由勾股定理得斜边为92+122=15米，则原来的高度为9+15=24米．【点评】此题主要考查学生对勾股定理的运用，比较简单．9台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，求旗杆在什么位置断裂的？【分析】旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的未知求出．【解答】解：设旗杆未折断部分长为x米，则折断部分的长为(16-x)m，根据勾股定理得：x2+82=(16-x)2，可得：x=6m，即距离地面6米处断裂．【点评】本题的关键是建立数学模型，将实际问题运用数学思想进行求解．10如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从高地面5米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由旗杆高度=AB+BC解答即可．【解答】解：∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形，∴BC=AB2+AC2=13m，∴旗杆的高=AB+BC=13+5=18m．答：这根旗杆被吹断裂前有18米高．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，解答此题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，再根据勾股定理进行解答．11学校的一棵大树被风吹断了，如图，距地面6m处折断，折断的树梢顶部落在距树干底部8m处，求此树原高是多少米？(图1)有两棵大树，一棵高8m，另一棵高2m，BC=6，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢，至少飞多少米？(图2)一架长10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面8m，现将梯子顶端沿墙面下滑2m，则梯子底端与墙面距离是否也增长2m？请说明理由(图3)【分析】解决本题的关键是找出合适的直角三角形，并且运用勾股定理求解．(1)△ABC为直角三角形，可以运用勾股定理；(2)将BC向上平移2m，可以得到直角三角形，在三角形中已知2边，求第3边．(3)在直角三角形ABC中求AB，在直角三角形中求BE．【解答】(1)在直角三角形ABC中，AC2=AB2+BC2，所以AC=62+82=10m；∴此树原高=10+6=16m．(2)两点之间，直线最短，所以最短距离为直接从D点飞到A点，所以最短距离为：AD=8-22+62=62m；(3)在直角三角形ABC中，AB=8m，AC=10m，则BC=102-82=6m，现将梯子顶端下移至D点，则BD=6m，DE=10m，所以在直角三角形BDE中，BE=102-8-22=8m，8m-6m=2m，因此梯子底端与墙面的距离增加了2m．【点评】本题考查的是在直角三角形中勾股定理的应用，找出题目中的隐藏信息是解决本题的关键．【过关检测】一．选择题(共2小题)1(2021秋•长沙期中)一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为()A.10米B.15米C.25米D.30米【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，由此即可得到AB=2AC，而根据题意找到CA=5米，由此即可求出AB，也就求出了大树在折断前的高度．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，∴AB=2AC，∵CA=5米，∴AB=10米，∴AB+AC=15米．所以这棵大树在折断前的高度为15米．故选：B．【点评】本题主要利用定理--在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．2(2021秋•常宁市期末)如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处，则大树断裂之前的高度为()A.9米B.15米C.21米D.24米【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．【解答】解：由题意得BC=9，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=92+122=15米．所以大树的高度是15+9=24米．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理．熟记9，12，15这组勾股数，计算的时候较快．二．填空题(共7小题)3(2021秋•郓城县校级月考)如图所示，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是18米．【分析】该大树折断后，AB，BC，AC构成直角三角形，且AB，AC已知，则根据勾股定理可以求得BC，大树折断前的高度为AB+BC．【解答】解：大树折断后形成直角△ABC，且BC为斜边，∴AB2+AC2=BC2，∵AB=5米，AC=12米，∴BC=AB2+AC2=13米，大树折断前的高度为AB+BC=5米+13米=18米．故答案为：18米．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中明白题目的意思求AB+BC，并根据勾股定理求BC是解题的关键．4(2022秋•东方期末)如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，旗杆折断之前的高度是16m．【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为8m，旗杆离地面6m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为62+82=10m，所以旗杆折断之前高度为10m+6m=16m．故此题答案为16m．【点评】本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．5(2021春•鄯善县期末)如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为8m．【分析】根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．【解答】解：由勾股定理得，断下的部分为32+42=5米，折断前为5+3=8米．【点评】此题主要考查学生运用勾股定理解决实际问题的能力，比较简单．6(2023春•云阳县期中)如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有24米．【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．【解答】解：因为AB=9米，AC=12米，根据勾股定理得BC=92+122=15米，于是折断前树的高度是15+9=24米．故答案为：24．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．7(2021秋•靖江市校级期中)《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为 4.55尺．【分析】设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为(10-x)尺，根据勾股定理列方程解方程即可．【解答】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为(10-x)尺，由勾股定理得x2+32=(10-x)2，解得x=4.55，∴折断处离地面的高度为4.55尺，故答案为：4.55．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练利用勾股定理列出方程是解题的关键．8(2021秋•邓州市期末)我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一个题目“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索AC 的长为736尺．【分析】设绳索AC 的长为x 尺，则木柱AB 的长为(x -3)尺，在Rt △ABC 中，根据勾股定理即可列出方程解答即可．【解答】解：设绳索AC 的长为x 尺，则木柱AB 的长为(x -3)尺，在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AC 2-AB 2=BC 2，x 2-(x -3)2=82，解得：x =736，答：绳索长为736尺．故答案为：736．【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9(2022•灞桥区校级模拟)折竹抵地(源自《九章算术》)：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子处3尺远．则原处还有 4.55尺竹子．(1丈=10尺)【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10-x )尺．利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10-x )尺，根据勾股定理得：x 2+32=(10-x )2．解得：x =4.55．答：原处还有4.55尺高的竹子．故答案为：4.55．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．三．解答题(共1小题)10(2021秋•广南县期末)如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处与根部的距离CB是x米，则斜边为(8-x)米．利用勾股定理解题即可．【解答】解：由题意知BC+AC=8，∠CBA=90°，∴设BC长为x米，则AC长为(8-x)米，∴在Rt△CBA中，有BC2+AB2=AC2，即：x2+16=(8-x)2，解得x=3，∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．。
离散数学课件_9 树与平面图
1.概念:有向树,根树,树叶,内点,分支
点,层数,树高,祖先,后代,父亲,儿子,
兄弟,有序树,m叉树,完全m叉树,根子树,
左子树,右子树,带权二叉树,最优二叉
树,前缀,前缀码,二元前缀码,二叉树遍
历等;
4
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2019/12/4
第三节 有向树与根树(2)
2.定理: 设T是一棵根树，r是T的树根,则 对于T的任一顶点v,存在唯一的有向路 从r到v；
3.算法:最优二叉树的Huffman算法;
4.前缀码问题:前缀码与二叉树的对应关 系；
5.二叉树的遍历:三种遍历方法,即先根遍 历,中根遍历,后根遍历法.
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5 2019/12/4
第四节 平面图
平面图是很多实际问题的模型. 例如在 集成电路的布线设计中就遇到了平面图 的问题.
1.基本概念:平面图,平面嵌入,面,无限 面(外部面),内部面,边界,次数等;
第九章 树与平面图
树是一类结构较为简单的图，是用途极 为广泛的离散数学模型，特别是二叉树， 它在计算机科学中用得最多.因此在学习 时应很好地掌握好诸如树的充要条件、 生成树、最优生成树、根树、树的各种 算法、及二叉树的访问次序等内容.平面 图是实际背景很强的一类图，能用本章 介绍的方法判断一个图是否为平面图.
2.基本非平面图:K3,3与K5； 3.平面图的欧拉公式； 4.平面图的判定:库拉图斯基定理.
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6 2019/12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4
本章小结
本章我们介绍树与平面图，但以介绍树 为主.给出树的定义及树的充要条件， 生成树、最优生成树及最优生成树的克 鲁斯卡尔算法，特别是二叉树，我们讨 论 了 二 叉 树 的 Huffman 算 法 、 前 缀 码 、 二叉树的遍历等问题.最后介绍了一类 实际背景很强的一类图——平面图.
第九章土壤与植物的中微量元素营养与中微量元素肥料PPT课件
7. 硫肥的施用方法与技术
1）以提供硫素营养为目的石膏施用技术
石膏可作基肥、追肥和种肥。
旱地作基肥， 一般每亩用量为15-26kg，将石膏粉碎后撒于地面，结 合耕作施入土中。花生是需钙和硫均较多的作物，可在果针入土后1530天施用石膏，通常每亩用量为15-25kg。
主要内容
第一节 土壤与植物的中量元素营养与中量元素肥料
一、土壤中的硫钙镁素营养 二、植物体内硫钙镁元素的主要功能 三、硫钙镁肥的性质及其施用
第二节 土壤与植物的微量元素营养与微量元素肥料
一、土壤中的微量元素 二、植物的微量元素营养 微量元素肥料及其施用
2024/8/2
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第一节 土壤与植物的中量元素营养 与中量元素肥料
2024/8/2
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第二节 土壤与植物的微量元素营养 与微量元素肥料
一、土壤中的微量元素 二、植物的微量元素营养 三、微量元素肥料及其施用
2024/8/2
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植物必需微量元素养分确认时间:
Fe Mn B Zn Cu Mo Cl
1844 1922 1923 1926 1931 1939 1954
转化：
矿物态镁↔非交换性镁↔交换性镁↔溶液镁
2024/8/2
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（三）土壤中S的含量、形态和转化
含量：
土壤中全硫的含量主要受成土条件、粘土矿物和有机质的含量影响。 温暖多湿地区，在强风化、强淋溶条件下，含硫矿物大部分分解淋失，可
溶性硫酸盐很少集聚，硫主要存在于有机质中。 干旱地区土壤中Ca、Mg、K、Na的硫酸盐则大量沉积在土层中，1：1型
3）硫参与作物体内的氧化还原过程 4）许多生理活性物质的成分：
数据结构课件--第九章
{
int n=length;
r[0].next=n; r[n].next=0;
for ( i=n-1 ; i>= 1; --i)
{ p= r[0].next； q=0;
while( p>0 && r[p].key< r[i].key ) /* 寻找插入位置 */
{q=p;p= r[p].next; }
2021/8/5
22
堆排序的过程主要需要解决两个问题：(1) 按堆定义 建初堆（2）去掉最大元之后重建堆，得到次大元。
问题1:当堆顶元素改变时，如何重建堆?
首先将完全二叉树根结点中的记录移出，该记录称为待 调整记录。此时根结点相当于空结点。从空结点的左、右子 中选出一个关键字较小的记录，如果该记录的关键字小于待 调整记录的关键字，则将该记录上移至空结点中。此时，原 来那个关键字较小的子结点相当于空结点。重复上述移动过 程，直到空结点左、右子的关键字均不小于待调整记录的关 键字。此时，将待调整记录放入空结点即可。上述调整方法 相当于把待调整记录逐步向下“筛”的过程，所以一般称为 “筛选”法。
字的领先关系在排序过程中发生变化者，则称所用
的排序方法是不稳定的。
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2021/8/5
3
在排序过程中，一般进行两种基本操作： （1）比较两个关键字的大小； （2）将记录从一个位置移动到另一个位置。 对于第二种操作，需要采用适当地存储方式，即向 量结构、链表结构以及记录向量与地址向量结合的 表示方法。
r[i].key≥r[2i].key并且
r[i].key≥r[2i+1].key(i=1,2, ... n/2 )，满
足这个条件的完全二叉树为堆。
第九章 分子进化与系统发育
UPGMA法
距离最短，代表亲 缘关系最近
d=e=10/2=5
c=19/2=9.5
g=c-d=9.5-5=4.5
d(DE)A=(AE+AD)/2=(41+39)/2=40
A B (CDE)
A -
B 22 -
(CDE) 39.5 41.5 -
a=b=22/2=11
d(CDE)A=(AE+AD+AC)/3=(41+39+39)/3=39.5
• 自20 世纪中叶，随着分子生物学的不断发 展，进化研究也进入了分子进化(molecular evolution)研究水平，并建立了一套依赖于 核酸、蛋白质序列信息的理论和方法。 • 分子进化(molecular evolution): 研究较长时 间内生物遗传信息改变的原因和结果的学 科领域。
直系同源与旁系同源
• 直系同源(orthologs): 同源的基因是由于 共同的祖先基因进化而产生的。 • 旁系同源(paralogs): 同源的基因是由于基 因复制产生的。
paralogs
orthologs
paralogs
orthologs
以上两个概念代表了两个不同的进化事件
用于分子进化分析中的序列必须是直系同源 的，才能真实反映进化过程。
• 用于构建系统树的数据有二种类型： • 特征数据(character-based data): 它提供了基因、 个体、群体或物种的信息。 • 距离数据(distance-based data): 它涉及的则是 成对基因、个体、群体或物种的信息。距离数 据可由特征数据计算获得，但反过来则不行。 这些数据可以矩阵的形式表达。距离或相似性 的计算总体上是要依据一定的遗传模型，并能 够表示出两个分类单位间的变化量。
《离散数学》考试大纲
《离散数学》考试大纲教学用书：《离散数学》左孝凌李为儖刘永才编著上海科学技术出版社一课程的性质、目的和任务离散数学课程是介绍离散数学各分支的基本概念、基本理论和基本研究方法、研究工具的基础课程，已成为计算机科学与技术的核心基础课程。
通过对离散数学课程的系统学习，学生应具备离散数学的基本概念和基本理论，掌握主要的研究方法和研究工具，训练学生的概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力。
除此以外，还要培养学生严谨、完整、规范的科学态度。
二考核知识点与考核要求第一章命题逻辑1.命题概念掌握(1) 命题与真值的概念(2) 复合命题与联结词关系(3) 命题公式与联结词的简化2.命题公式化简掌握，会应用（重点）(1) 命题等价式与蕴涵式的定义(2) 构造真值表证明等价式(3) 不构造真值表证明蕴涵式与等价式3.命题公式的形式化描述掌握(1) 命题符号化与翻译4.范式与主范式掌握，会应用（重点）(1) 合取范式与析取范式概念(2) 主合取范式与主析取范式求法。
5.推理理论了解(1) P规则、T规则的推理证明(2) 应用CP规则等间接推理证第二章谓词逻辑1.谓词概念掌握(1) 客体与谓词(2) 谓词与命题函数(3) n元谓词2．量词以及合式公式掌握(1)个体域与全总个体域(2) 全称量词与存在量词(3) 谓词的合式公式(4) 量词的辖域(5) 约束变元与自由变元(6) 谓词公式的简单翻译3．谓词演算的等价式与蕴涵式了解(1) 谓词公式的赋值(2) 谓词演算的等价式与蕴涵式(3) 前束范式4．谓词演算的推理理论了解，不做要求(1) 谓词演算的US，UG，ES，EG规则第三章集合与关系和第四章函数1．集合概念与运算。
掌握，会应用(1) 集合概念与表示法(2) 集合运算的图示法(3) 集合运算的证明2．关系概念与性质掌握，会应用（重点）(1) 序偶与笛卡儿乘积(2) 关系的定义与表示法(3) 关系的性质及复合关系，逆关系3．关系的闭包求法掌握，会应用(1) 关系图表示法(2) 关系闭包运算4．关系分类掌握，会应用（重点）(1) 相容关系与覆盖（不做要求）(2) 等价关系与划分(3) 偏序关系与特殊元5.函数的定义与性质掌握(1) 函数的定义与图示(2) 复合函数与逆函数的定义与运算第五章代数系统和第六章格和布尔代数1．代数系统及运算掌握，会判断（重点）(1) 运算概念与性质(2) 代数系统的封闭性、幺元、零元，逆元2．半群与独异点掌握定义(1) 广群与半群定义(2) 独异点的定义与举例(3) 子半群与子独异点定义3．群与子群掌握，会应用（重点）(1) 群的定义(2) 群的性质(3) 子群的定义与判别(4) 循环群和ABEL群的定义及生成元。
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应用实例
例题 设有28盏灯，拟公用一个电源插座，问需用多少 块具有四插座的接线板。
解 将每个四插座的接线板看作分枝结点，每盏灯看 作是树叶，可以构成完全4叉树，那么t=28，m=4
由(m-1)i=t-1，可得i=9.
应用实例
例题 假设一台计算机有一条加法指令，可计算3个数 的和，如果要计算9个数的和，至少要执行几次加 法指令。 解：把9个数看成完全3叉树的树叶，加法指令则是分 枝点，所以
实例
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下： 0：25% 1：20% 2：15% 3：10%
4：10%
5：10%
6：5%
7：5%
采用二元前缀码, 求传输数字最少的二元前缀码, 并求传输10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需 要多少个二进制数字？若用等长的 (长为3) 的码字 传输需要多少个二进制数字?
(3-1)i=9-1
i=4 故需要执行4次加法指令。
根子树
根子树Tv:设v是根树的一个结点且不是树根, 称v及 其所有后代的导出子图为以v为根的根子树。 根树中除树根v外,其它所有结点被分成有限个子根 树. 左(右)子树:2叉正则有序树的每个分支点的左右两 个儿子导出的根子树.
举例
根树由分别以v2,v3,v4为根的 3个子根树组成。
求最优二叉树的算法: Huffman算法
Huffman算法
输入: 实数w1,w2,…,wt, 输出: 树叶权为w1,w2,…,wt的最优二叉树
算法: 1. 选择最小的2个权w1,w2, 连接对应的树叶得 到权为w1+w2的分支点
2. 选择w1+w2 ,w3,w4, …,wt中最小的2个权, 连接对应 顶点得到新的分支点和权 3. 同上重复进行, 直到只剩1个权为止
解 用Huffman算法求以频率(乘以100)为权的最优2元 树. 这里 w1=5, w2=பைடு நூலகம், w3=10, w4=10, w5=10, w6=15, w7=20, w8=25. 最优2元树如图所示.
实例（续）
编码: 0---01，1---11，2---001，3---100
4---101，5---0001，6---00000
Shannon, Hamming, Sudan 有噪声信道的可靠通信: 编码
信息就是不确定性的消除: 熵(entropy)
比特(bit): binary information unit 例: {0,1,2,…,7}, log28=3, 编码为000,001,010,…,111 000111010101译为0725
= L(wx) (w1- wx)- L(w1)(w1 -wx) =(L(wx) -L(w1)) (w1- wx)<0
定理14.11的证明
那么w(T’)<w(T)，这与T是最优树矛盾， 故L(wx) =L(w1)。
同理可证 L(wx) =L(w2)。
因此L(wx) = L(w1) =L(wy)=L(w2)
以v4为根的子树由分别以v8,v9
为根的两个根子树构成。
v2 v5 v6 v1 v3 v7 v8 v10 v4 v9 v11 v12
根树的周游(travesal)
根树的周游: 列出根树的所有顶点, 每个顶点恰好出 现一次 中序行遍: 左子树, 根, 右子树 前序行遍: 根, 左子树, 右子树 后序行遍: 左子树, 右子树, 根 例: 中序: dbigjehacf 前序: abdegijhcf
习题讲解
7---00001 传100个按比例出现的八进制数 字所需二进制数 字的个数为 w(T)=285.
传10n(n2)个所用二进制
数字的个数为2.8510n, 而用等长码(长为3)需要用 310n个数字.
总结
根树 根树的周游
最优树, Huffman算法
最佳前缀码 作业:p256, 习题九, 18, 21 p370, 习题十四, 12
Huffman算法(举例)
例14.9: 2,3,5,7,8 解: 2,3,5,7,8 // 5,5,7,8 // 10,7,8 // 10,15 // 25 //
25 25 15 10 7 25 10 15 5 7 10 15 8 25 15 5 3 7
25
10
5
8
2
5
8
W(T)=55. #
不等长编码
若{0,1,2,…,7}出现频率不一样,则出现频率高的用短 码字 例: 频率递减: 0,1,2,3,4,5,6,7, 编码为 0,1,00,01,10,11,000,001. 若收到000111, 不能唯一解码:
651, 235, 075,…等.
原因: 码字互为前缀,如00是001的前缀
层数与树高
画法: 树根在最上方, 省略边的方向(从上到下) 顶点v的层数(level): L(v)=从树根到v路径长度
树高(height): h(T)=顶点的最大层数
举例
v1 v2 v5 v6 v3 v7 v8 v10 v4 v9 v11 v12
有向树 不是根树
根树 根：v1 分支结点： v1, v2,v4,v8,v9 叶：v5,v6,v7,v10,v11,v12 树高：3
前缀码(prefix code)
前缀码: 码字互相不为前缀的不等长编码 前缀码与二叉树对应
例:{0,1,2,3}编码为{00,010,011,1}
收到000111,译为023
0 0 00 1 1 1 1
0 010
011
前缀码的得到
定理7-8.5 任意一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码. 证明 给定一棵二叉树，对每个分支点, 若关联2条边, 则给左边标0, 右边标1; 若只关联1条边, 则可以 给它标0(看作左边), 也可以标1(看作右边). 将从 树根到每一片树叶的通路上标的数字组成的字 符串标定在树叶处。 因为没有一片树叶的标定字符串是另一片树叶 标定字符串的前缀，因此任何一棵二叉树的树 叶对应一个前缀码.
实例
如下图所示。
前缀码对应二叉树
定理7-8.6 任何一个前缀码都对应一棵二叉树。
证明 设给定一个前缀码，前缀码中最长序列的长度为 h.画出一棵高度为h的完全正则二叉树,给每个分枝点 射出的两条边分别标以0和1,这样树中的每个结点可 以标定一个长度不超过h的二进制序列,它是从树根到 该结点通路上各边的标号所确定,因此长度不超过h的 每一个二进制序列必对应一个结点. 对应于前缀码中的每一序列的结点给予一个标记,并将 标记结点的所有后裔和射出的边全部删掉,再删掉其 中未加标记的树叶,得到一棵新的二叉树,它的树叶就 对应给定的前缀码.
1×40%+2×30%+3×20%+3×10%=1.9
最优二叉树
带权二叉树: 每个树叶vi都指定实数权wi 带权二叉树的权: W(T)=Σti=1wiL(vi), 树叶是v1, v2,…, vt, 对应的层数是L(v1),L(v2),…,L(vt) 最优二叉树: 树叶权为w1,w2,…,wt的所有二叉树中权 最小的一个(不唯一)
1 1 1 1 1 2 2 2 3
2
r叉树(t-ary tree)
r叉树: ∀v∈V(T), d+(v)≤r 正则(regular)r叉树: ∀v∈V(T), d+(v)=r
完全(complete)正则r叉树: ∀树叶v,L(v)=h(T)
有序r叉树,有序正则r叉树,有序完全正则r叉树
定理14.13
第9讲 根树
1. 根树 2. 根树的周游
3. 最优树, Huffman算法
4. 最佳前缀码
图论之平面图
1
根树(rooted tree)
有向树: 基图是树的有向图 根树(rooted tree): 顶点分3类的有向树
名称 分 支 点 树根 内点 树叶 入度 0 1 1 出度 个数 >0 >0 0 1 ? ?
ˆ ˆ 得到新树 T , 则w( T )=w(T’’)+ w1+w2
(2)
定理14.12的证明
因为T’’是带权w1+w2, w3, …, wt的最优树， 故w(T’’) ≤w(T’).
ˆ 如果w(T’’) <w(T’)，由(7-8.3)(7-8.4)式得 w(T)<w(T)
这与T是带权 w1, w2, …, wt的最优树相矛盾， 所以w(T’’) =w(T’)， T’是带权w1+w2, w3, …, wt的最优树。
定理14.13: 设正则r(≥2)叉树T有i个分支点和t个树叶 , 则(r-1)i=t-1. 证明:完全r叉树的每个分枝结点的出度均是r,树叶 的出度为零,除了根结点,其余每个结点的入度都 为1,根据有向图的握手原理得 m=t+i-1=ri 即有 (r-1)i=t-1.# 证法2: 数学归纳法
后缀记法(逆波兰记法):
* *
f
d
g
i
j
a
b
+ c
举例
中缀:
((a∗(b+c))∗d-e)÷(f+g)÷(h∗(i+j))
*
+ h +
前缀(波兰):
后缀(逆波兰):
* *
e
÷÷-∗∗a+bcde+fg∗h+ij
f
d
g
i
j
abc+∗d∗e-fg+÷ hij+∗÷