推荐-多元函数极值的判定
多元函数的极值
对 x ，y 求偏导数， 有
l x 6x 2 ,
l y 6 y 2 ,
l x 0, 令 y 0, l
即
6 x 2 0 , 6 y 2 0 ,
1 1 解方程组得驻点 , . 3 3
则称 f (x0 , y0) 为函数 f (x , y ) 的极大值(或极小值).
极大值和极小值统称为极值.
使函数取得极大值的点(或极小值的点)(x0 , y0)，
称为极大值点(或极小值点)，极大值点和极小值 点统称为极值点. 定理 1 (极值存在的必要条件) 设函数 z = f (x , y ) ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 在点 P0( x0 , y0 ) 的偏导数 f x
A B C B 2 AC的符号
8 2 2
结 论
极大
2 2
f(2, 2) 不是极值
二、多元函数的最大值与最小值
使它到三 例 6 在 x y 坐标面上找出一点 P ， 点 P1(0, 0) 、P2(1, 0) 、P3(0, 1) 距离的平方和为最 小.
1 1 1 1. a b c
又设所求平面与三个坐标面在第一卦限所围 立体的体积为 V ，所以 1 V abc . 6
z c
O
b y
a x
1 1 1 1 现在求函数 V abc 在条件 1 6 a b c
(a 0, b 0, c 0)下的最小值. 构造辅助函数 1 1 1 1 F (a , b, c ) abc ( 1) , 6 a b c
解 设水槽的长、宽、高分别为 x、y、z ，则容 积为 V = xyz ( x > 0 , y > 0 , z > 0 )，
多元函数取得极值的条件
序列可行方向的性质 性 质 1 处可微， 设ci(x)在x处可微，则 ∀d ∈SFD(x, X )有 在 处可微
∇cj (x)T d ≥ 0, (∀j ∈I (x)) T ∇cj (x) d = 0, (∀j ∈E)
证明
∀d ∈SFD(x, X ), dk (k =1,2,L 和δk X, 且有dk →d和δk →0，则
由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关， 由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，所以该方程组有解
∀d ∈S*,则d ≠ 0,且d与∇ci (x*)(i ∈E)正交。
{∇c1(x*),L, ∇cme (x*), d} 成 e +1 空 ， 法 间 n − me −1 空 ， 生 m 维 间 其 空 是 为 间 在 空 中 取 组 准 交 di (i =1,2,L, n − me −1), 考 函 方 组 法 间 任 一 标 正 基 虑 数 程
∇f (x*) = 0
设 元 数 (x)存 二 连 偏 数 x*是 小 n 函 f 在 阶 续 导 ， 极
值点，则
∇f (x*) = 0,且∇2 f (x*)半正定
证明： f (x*) = 0显然。 ∇ ∀d ∈Rn , 令x = x *+αd，由Taylor公式有 1 2 T 2 0 ≤ f (x) − f (x*) = α d ∇ f (x *+θαd)d 2
若函数z= 在点P(x 若函数 f(x,y) 在点 0,y0)的某邻域内连续且存在一 的某邻域内连续且存在一
f x′(x0 , y0 ) = 0
′′ ′′ ′′ A = f xx (x0 , y0 ), B = f xy (x0 , y0 ), C = f yy (x0 , y0 )
多元函数极值
提示: 当(x, y)=(0, 0)时, z=0, 而当(x, y)≠(0, 0) 时, z>0. 因此z=0是函数的极小值.
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一,多元函数的极值及最大值,最小值
极值的定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义, 如果对 于该邻域内任何异于(x0, y0)的点(x, y), 都有 f(x, y)<f(x0, y0)(或f(x, y)>f(x0, y0)), 则称函数在点(x0, y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0). 例2 函数z = x2 + y2 在 (0, 0)处有极大值 点 .
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如, 求V=xyz在条件2(xy+yz+xz)=a2下的最大值.
a2 2xy 由条件2(xy+ yz + xz)=a2 , 解得z = 得 , 于是 2(x+ y) xy a2 2xy V= ( ). 2 (x+ y) 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题.
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二,条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值 (2)用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值, 需要 用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法. 下面导出函数z=f(x, y)在条件(x, y)=0下取得的极值的必 要条件. 假定f(x, y)及(x, y)有各种所需要的条件.
多元函数的极值问题
多元函数的极值问题多元函数极值问题是数学中常见的一类问题，一般来说，我们希望在给定的变量限制条件下找到使得多元函数取得最大值或者最小值的变量值，这样的问题被称为多元函数的极值问题。
由于多元函数在不同的情况下可能存在很多局部最大值和局部最小值，因此我们需要在一定条件下，确保找到的最优解是全局最优解。
一阶必要条件根据微积分的一阶必要条件，我们可以求解多元函数的偏导数，寻找使偏导数等于零的点。
对于一个二元函数$f(x,y)$，偏导数为：$$\frac{\partial f}{\partial x}=0,\frac{\partial f}{\partial y}=0$$这些方程的解，就是函数的极值点。
而对于一个多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们需要找到使得所有偏导数为零的点，即：$$\frac{\partial f}{\partial x_1}=0,\frac{\partial f}{\partialx_2}=0,...,\frac{\partial f}{\partial x_n}=0$$这些方程的解，就是函数的极值点。
需要注意的是，这些点仅仅是可能的极值点，并不能确定是否为极大值或极小值点。
二阶必要条件在一阶必要条件得到的极值点处，我们希望进一步判断是极大值还是极小值。
此时，就需要使用微积分的二阶必要条件来判定。
对于二元函数$f(x,y)$，我们可以得到一个Hessian矩阵：$$H=\begin{bmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial x^2} &\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\\ \frac{\partial^2f}{\partialy\partial x} & \frac{\partial^2f}{\partial y^2}\\ \end{bmatrix}$$对于任意一个方向$\vec{v}=[x_1,y_1]$，我们可以得到一个二次型：$$Q(x_1,y_1)=\begin{bmatrix} x_1&y_1\\ \end{bmatrix} H\begin{bmatrix} x_1\\y_1\\ \end{bmatrix}$$二阶必要条件就是，如果Hessian矩阵在极值点处是正定的，则这个点是极小值点；如果是负定的，则是极大值点；如果是奇异的，则是鞍点；如果是不定的，则无法确定。
多元函数极值点的判别
多元函数极值点的判别
多元函数极值点是指多元函数在一定范围内的局部极大值或极小值的点，其判别方法根据
函数是凸函数还是凹函数确定。
1. 如果函数是凸函数，则函数极值点为函数的局部极小值点，此时在该函数的极值点处
函数的一阶导数存在，并且永远大于或等于0；
2. 如果函数是凹函数，则函数极值点为函数的局部极大值点，此时在该函数的极值点处
函数的一阶导数存在，并且永远小于或等于0。
在判别多元函数极值点之前，需要求解该函数的一阶偏导数，并将一阶偏导数的值代入函数，如果函数的一阶偏导数的值为0，则代入函数得到的值即为多元函数极值点。
若不满足上述函数一阶偏导数等于零条件，则在该多元函数极值点处函数一阶导数不存在，此时只能采用函数的导数性质进行判别：
当多元函数的局部极大值点处，其一阶偏导数小于0；
当多元函数的局部极小值点处，其一阶偏导数大于0。
以上就是多元函数极值点的判断方法，要确定一个函数的极值点，需要先求出一阶偏导数，如果函数的一阶偏导数值等于0，则即为极值点。
若一阶偏导数值不等于0，则需要根据
其正负性判断多元函数极值点，大于零则为极小值，小于零则为极大值。
多元函数的极值与最值
（2） B AC
2
B C 0 时没有极值；
正定
B 2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值， （3）
还需另作讨论．
13
例4 求函数 f ( x, y) x 3 y 3 3 x2 3 y2 9 x 的极值.
f x 3 x 2 6 x 9 0 x 3, 1 解 令 f y 3 y 2 6 y 0 y 0, 2 求得驻点： (3,0), (1,0), (3,2), (1,2) ,
其中 为参数， Fx f x ( x , y ) ( x , y ) 0 x 令 F y f y ( x , y ) ( x , y ) 0 , y F ( x , y ) 0 解出 x , y , ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.
在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区 域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往
可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若
函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就 是最大值点或最小值点.
26
例9 在周长为2 p 的一切三角形中,求出面积最大的三角形. 解 设三角形的三条边长分别为 x , y, z ,
注意到 x 0, sin 0 ,化简后解得 x 8, , 3
由实际问题可知,S 必有最大值,且内部唯一驻点,故当
x 8,
3
时,槽的截面积最大, S最大 48 3 .
18
例7
已知某产品的需求函数为 Q 200000 1.5 x 0.1 y 0.3 ， p
解出 x , y , z ，就是可能的极值点的坐标 .
多元函数极值、最值、条件极值
三、条件极值
极值问题
无条件极值: 对自变量只有定义域限制
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 条件极值的求法: 方法1 代入法. 例如 ,
在条件 ( x, y ) 0 下, 求函数 z f ( x, y) 的极值
转 化
从条件 ( x, y ) 0中解出 y ( x)
求一元函数 z f ( x, ( x)) 的无条件极值问题
方法2 拉格朗日乘数法.
例如,
在条件 ( x, y ) 0 下, 求函数 z f ( x, y) 的极值 .
如方法 1 所述 , 设 ( x, y ) 0 可确定隐函数 y ( x) , 则问题等价于一元函数 z f ( x, ( x)) 的极值问题, 故 极值点必满足 dz dy fx f y 0 dx dx x dy x 因 , 故有 f x f y 0 dx y y 记
在(0,0)点取得极小值.
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来求函数的最大值和最小值.
Байду номын сангаас
求最值的一般方法：
将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值.
二、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值
一、多元函数的极值和最值 二、条件极值 拉格朗日乘数法
三、小结
一、多元函数的极值和最值
1、二元函数极值的定义
设函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义， 若对于该邻域内异于 ( x0 , y0 ) 的所有点 ( x , y ) ，都有 不等式
多元函数极值判定及应用
多元函数极值判定及应用多元函数的极值判定是求解多元函数在给定约束条件下的最大值或最小值的问题。
在数学分析中，通常利用求导和二阶导数的方法来判定多元函数的极值。
下面将详细介绍多元函数极值判定以及其应用。
一、多元函数的极值判定方法：1. 首先，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，我们需要找到其取得极值的条件。
由于计算多元函数的极值需要对每个自变量求偏导，所以要求多元函数在定义域内函数有定义并且可偏导。
2. 其次，求取多元函数的一阶偏导数并令其等于零，得到方程组。
设f 的极值点为(x1*, x2*, ..., xn*)，则方程组为：∂f/∂x1 = 0, ∂f/∂x2 = 0, ..., ∂f/∂xn = 0。
3. 解方程组，求得极值点(x1*, x2*, ..., xn*)。
4. 接下来，根据二阶求导的结果来判定极值类型：（1）若二阶偏导数的行列式大于零且二阶偏导数主对角线元素大于零，则多元函数在极值点(x1*, x2*, ..., xn*) 处取得极小值；（2）若二阶偏导数的行列式大于零且二阶偏导数主对角线元素小于零，则多元函数在极值点(x1*, x2*, ..., xn*) 处取得极大值；（3）若二阶偏导数的行列式小于零，则多元函数在该点处不存在极值。
二、多元函数极值的应用：多元函数的极值判定在经济学、物理学、工程学等各个领域都有重要的应用。
下面以几个具体例子来介绍多元函数极值的应用。
1. 最小二乘法：在统计学中，我们常用最小二乘法来拟合数据，即通过拟合直线或曲线来描述数据的趋势。
最小二乘法的基本思想是选择一个合适的函数模型，使得模型与实际数据之间的残差平方和最小。
这就可以看作是一个多元函数极值的问题，利用极值点来确定最佳拟合曲线。
2. 生产优化问题：在工程学中，我们常遇到生产优化的问题，即如何在有限的资源条件下获得最大的产出。
这个问题可以用多元函数的极值来解决。
我们设生产函数为f(x1, x2, ..., xn)，表示产出与各个生产因素之间的关系，然后根据生产约束条件求函数的最大值或最小值，得到生产过程中的最优方案。
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目录摘要.................................................................... .. (1)关键词.................................................................... .. (1)Abstract............................................................. .. (1)Keywords............................................................. .. (1)引言.................................................................... . (1)1定理中用到的定义................................................................ .. (2)2函数极值的判定定理.............................................................. . . (5)3多元函数极值判定定理的应用...................................................................7参考文献.................................................................... (8)多元函数极值的判定摘要：通过引入多元函数的导数，给出了多种方法来判定多元函数的极值.关键词：极值；条件极值；偏导数；判定The judgement of the extremum of the function ofmany variablesAbstract：This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, and give several methods to judge the extremum of the function of many variables and the conditional extremum of the function of manyvariables .Keywords : extremum; conditional ;partial derivative引言在现行的数学分析教材中，关于多元函数的极值判定，一般只讲到二元函数的极值判定，在参考文献[1]和[3]中有关多元函数极值的判定是都是在实际情况中一定有极值的问题，本文将引入多元函数的偏导数把二元函数的极值判定推广到多元函数极值问题中去.1 定理中用到的定义定义 1.1[]1 函数f 在点000(,)P x y 的某领域0()U P 内有定义.若对于任何点0(,)()P x y U P ∈，成立不等式0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥），则称函数f 在点0P 取得极大值（或极小值），点0P 称为f 的极大值（或极小值）点.定义1.2[]1 设函数(,)z f x y =， (,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且0(,)f x y 在0x 的某一领域内有定义，则当极限0000000(,)(,)(,)limx xf x y f x x y f x y x x→+-= 存在时，称这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数，记作00(,)x y f x∂∂.定义1.3[]3 设n D R ⊂为开集，12(,,,)n P x x x D ∈，0000122(,,,)P x x x D ∈:f D R →，若在某个矩阵A ，使当0()P U P ∈时，有000()()()limP P f P f P A P P P P →----,则称n 元函数12(,,,)n f x x x 在点0P 可导.称A 为在点0P 处的导数，记为0()f P '.注1：01122(,,,)T n n P P x x x x x x '''-=---为n 维列向量.注2：0P P -=注3：在导数存在的条件下，可求得：012()(,,,)nf f f f P A x x x ∂∂∂'==∂∂∂,它是一个n 维向量函数.定义 1.4[]3 （二阶导数）若n 元函数f 的一阶导数f '在D （或D 内某一点）上可微，则称f 在D （或D 内某一点）上二阶可微，并定义n 维向量函数()T f '的导数为f 的二阶导数，记作()f P ''，并可求得2222121122222122222212()n n nnn f f f x x x x x f f f f P x x x x x f f f x x x x x ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎪''=∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎪∂∂∂∂∂⎝⎭此矩阵为f 在P 点的Hesse 矩阵.在二阶混合偏导数连续的条件下，它是一个对称矩阵. n 元函数f 在点0P 的二阶Taylor 公式可简单地写成：00000001()()()()()()()()2T n f P f P f P P P P P f P P P O P P '=+-+--+-.2 函数极值的判定定理对于二元函数的无条件极值的判定，先给出数学分析教材中有的相应的判定定理.定理2.1[]1（必要条件）若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某领域内偏导数存在，切点00(,)x y 是是其极值点，则0000(,)(,)0f x y f x y x y∂∂==∂∂. 定理2.2[]1（充分条件）设点00(,)x y 是函数(,)z f x y =的驻点，且在点00(,)x y 的某领域内有二阶连续偏导数存在.记222200000022(,)(,)(,),,,,f x y f x y f x y A B C AC B x x y y∂∂∂====-∂∂∂∂ 则1）当0<时，点00(,)x y 不是函数的极值点;2）当0>是，若0A >,则点00(,)x y 是函数的极小值点，若0A <,则点00(,)x y 是函数的极大指点；3)当0=时，该方法不能判断其是不是极值点.注3：对于二阶导数存在的二元函数的极值，这两个定理能解决绝大多数的我们碰到的问题（除了0=的情形）.利用定义1.3和定义1.4，我们可以将这定理2.1和定理2.2推广到二元以上的函数中去.定理2.3 （必要条件）设n D R ⊂为开集，n 元实值函数12(,,,)n y f x x x =在点0P D ⊂可微，且在该点取得极值，则0()0f P '=（此0表示n 维向量(0,0,,0)）.证明 由费马定理知当f 在0P 点取得极值时，012()(,,,)0nf fff P x x x ∂∂∂'==∂∂∂. 定理2.4（充分条件）设n D R ⊂为开集，n 元实函数12(,,,)n y f x x x =在0()U P D ⊂上存在二阶连续偏导数，且0()0f P '=，则当0()n f P 为正定或半正定时，f 在0P 点取得极小值，当0()n f P 为负定或半负定时，f 在0P 点取得极大值.证明 0P ，P 点坐标分别满足0012(,,,)n x x x 与12(,,,)n x x x ，且0()P U P ⊂,0i i i x x x =-，当0()0f P '=时，由Taylor 公式，有000000212012121211()()()()()()21(,,,)()(,,,)(())2(,,,)()T n nT nn n i i i nn i i f f P f P P P f P P P O P P x x x f P x x x o x x g x x x o x ===-=--+-=+-=+∑∑当0()U P 充分小时,只要0()P U P ⊂，则该式子的符号由12(,,,)n g x x x 确定.当0()n f P 为正定时，二次型12(,,,)0n g x x x >，当0()n f P 为半正定时，二次型12(,,,)0n g x x x ≥.故当0()n f P 为正定或半正定时，0()()0f f P f P =-≥，所以0()()f P f P ≥，故0P 点是f 的极小值点.同理可证，当0()n f P 为负定或半负定时，0P 点是f 的极大值点.定理 2.5[]1 设在条件12(,,,)0,1,2,,()k n x x x k m m n ϕ==<的限制下，求函数12(,,,)n y f x x x =的极值问题，其中f 与(1,2,,)k k m ϕ=在区域D 内有连续的一阶偏导数.若D 的内点00012(,,,)n P x x x 是上述问题的极值点，且雅可比矩阵01111n m m n P x x x x ϕϕϕϕ∂∂⎛⎫⎪∂∂ ⎪⎪ ⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭的秩为m ，则存在m 个常数(0)(0)(0)12,,,m λλλ，使得00(0)(0)(0)1212(,,,,,,,)n m x x x λλλ为拉格朗日函数121212121(,,,,,,)(,,,)(,,,)mn m n k k n k L x x x f x x x x x x λλλλϕ==+∑的稳定点，即00(0)(0)(0)1212(,,,,,,,)n m x x x λλλ为下述n m +个方程：111111112120(,,,)0(,,,)0n mmx k k mx k k n nn m n f L x x f L x xL x x x L x x x λλϕλϕλϕϕ==∂∂⎧=+=⎪∂∂⎪⎪⎪∂∂⎪=+=⎨∂∂⎪⎪==⎪⎪⎪==⎩∑∑ 的解.此定理的证明可参阅文献[1]第二十三章的定理23.19的证明. 由定理5可见条件极值的问题都可以通过拉格朗日数乘法转化为无条件极值的形式来求解，即上述判定无条件极值的定理都可以用来判定条件极值.除此之外，我们用二阶全微分的符号来判定其是极大值还是极小值.定理 2.6[]2 设n D R ⊂为开集，n 元实值函数12(,,,)n y L x x x =在0()U P D ⊂存在二阶连续偏导数，且0()0L P '=,则当20()0d L P >时，12(,,,)n y L x x x =在0P 点取得极小值；20()0d L P <时，12(,,,)n y L x x x =在0P 点取得极大值.证明 11n nLLdL dx dx x x ∂∂=++∂∂， 2121222212121211()()n nn n L L Ld L d dL ddx d dx ddx x x x L LLdx dx dx dx x x x x x ∂∂∂==+++∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂22212221222222122212()()n n n n nnL L Ldx dx dx dx x x x x x L L Ldx dx dx dx x x x x x ∂∂∂++++++∂∂∂∂∂∂∂∂+++∂∂∂∂∂22211112221(,,)n n n n nL L x x x dx dx dx dx L L x x x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂∂⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪∂∂ ⎪⎝⎭ ⎪∂∂∂⎝⎭11(,,)()n n dx dx dx f P dx ⎛⎫ ⎪''= ⎪ ⎪⎝⎭.又因为0()0L P '=，固由定理4知当0()f P ''正定，即20()0d L P >时，0P 为L 的极小值点，当0()f P ''负定，即20()0d L P <时，0P 为L 的极小值点 .3 多元函数极值判定定理的应用由于函数的条件极值都可以通过定理5转化成无条件极值，也就是说在条件极值的判定中能充分体现无条件极值的判定.例 3.1[]2求三元函数(,,)22f x y z x y z =-+在受约束条件2221x y z ++=限制下的极值.解 设222(,,,)22(1)L x y z x y z x y z λλ=-++++-，由0L L L L x y z λ∂∂∂∂====∂∂∂∂有：当32λ=-时，122(,,)(,,)333x y z =-，当32λ=时，122(,,)(,,)333x y z =--，现判断是极大值还是极小值 .方法1：对函数(,,)22f x y z x y z =-+用定理2，其中z 视为,x y 的函数，即(,)z z x y =，它由2221x y z ++=决定。