Levy过程及其在金融领域中的应用
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• E. Eberlein, J. Jacod (1997). On the range of options prices. Finance Stoch. 1, 131140.
• Frittelli, M. (2000), The Minimal Entropy Martingale Measures and the Valuation
18
在金融领域的应用
定价中的几何Levy过程模型：
资产价格：St满足： Zt是Levy过程。
在几何Levy过程模型下，市场一般是一不完备 的市场，等价鞅测度不唯一，如何选择一合 适的Levy过程和相应的等价鞅测度是要研究的 主要问题。
19
具体的Levy过程
(1)Stable process (Mandelbrot, Fama(1963)) (2)Jump diffusion process (Merton(1973)) (3) Variance Gamma process (Madan(1990)) (4) Generalized Hyperbolic process (Eberlein(1995) (5) CGMY process (Carr-Geman-Madam-Yor(2000)) (6) Normal inverse Gaussian process (Barndorff-Nielsen) (7) Finite moment log stable process(Carr-Wu(2003))
The Deutsche Bundesbank’s 2005 Annual Fall Conference (Eltville, 10-12 November 2005):
4
概要
• Levy过程简介 • Levy过程在数理金融中的应用 • Levy过程的统计分析 • Levy过程的进一步推广
5
Levy过程的定义：
(Miyahara(1996), Frittelli(2000))
22
参考文献
• R. Cont, P. Tankov (2003). Financial modelling with jump processes. Chapman and Hall/CRC Press.
• J. M. Corcuera, D. Nualart, W. Schoutens (2005). Completion of a Levy market by power-jump assets. Finance Stoch. 9, 109-127.
20
MortoFra Baidu bibliotek模型
其中：Wt标准布朗运动， Nt为Poisson过程 Yi独立同分布，服从正态分布，且 Wt,Nt,Yi相互独立
21
可供选择的等价鞅测度
(1) Minimal Martingale Measure (MMM) (FollmerSchweizer(1991))
(2) Variance Optimal Martingale Measure (VOMM)(Schweizer(1995))
Problem in Incomplete Markets,Mathematical Finance 10, 39-52.
• Bellini, F. and Frittelli, M. (2002), On the existence of minimax martingale
measures, Mathematical Finance 12, 1-21.
设{X(t), t≥0}是一随机过程：如果 （1）X(t)具有平稳独立增量 （2）P(X(0)=0)=1 （3）X(t)具有右连左极的轨道 （4）X(t) 是随机连续的, 即, 对任意a>0 , s≥0,
当t→s有 P (|X(t)-X(s)|>a)→0
6
Levy Processes: 1930s-1940s
23
Ornstein-Uhlenbeck 型过程
其中Z(t)为一Levy过程，X(t)称为Ornstein-Uhlenbeck 型过程
(3) Mean Correcting Martingale Measure (MCMM) (4) Esscher Martingale Measure (ESMM) (Gerber-
Shiu(1994), B-D-E-S(1996)) (5) Minimal Entropy Martingale Measure (MEMM)
Paul Levy (France)
Alexander Khintchine (Russia)
Kiyosi Ito (Japan)
7
Levy过程的三种刻画
• Levy-Khintchine公式：
称为Levy三元组，ν称为Levy测度
8
Levy过程的三种刻画
• Levy-Ito分解：
是一Poisson随机测度，且与布朗运动Bt相互独立
Levy过程及其在金融领域中的 应用
复旦大学管理学院 张新生
1
二个例子
2
Monika Piazzesi Bond Yields and the Federal Reserve
Journal of Political Economy, 2005, vol. 113, no. 2
3
Rafal Weron Heavy tails and electricity prices
X(t)=布朗运动+常数漂移+复合Poisson过程+纯跳鞅
9
Levy过程的三种刻画
• Levy 过程是Markov过程： 转移半群：T(t)f=Ef(x(t)) 无穷小算子：
10
Levy过程的例子
Subordinator：关于时间t单调递增的Levy过程，
此时Levy三元组应满足：
Levy-Ito分解变为：
11
12
Levy过程的例子
稳定过程：
Levy三元组：
13
14
Levy过程的例子
Gamma 过程
Levy三元组： 过程的一维分布：
15
16
Levy过程的例子
正态逆Gauss过程：
Levy三元组： 过程的一维分布：
17
Levy过程的例子
双曲线的Levy运动 Levy 三元组
J1 第一类Bessel函数, Y1第二类Bessel函数 t=1时，过程的一维分布：
• Frittelli, M. (2000), The Minimal Entropy Martingale Measures and the Valuation
18
在金融领域的应用
定价中的几何Levy过程模型：
资产价格：St满足： Zt是Levy过程。
在几何Levy过程模型下，市场一般是一不完备 的市场，等价鞅测度不唯一，如何选择一合 适的Levy过程和相应的等价鞅测度是要研究的 主要问题。
19
具体的Levy过程
(1)Stable process (Mandelbrot, Fama(1963)) (2)Jump diffusion process (Merton(1973)) (3) Variance Gamma process (Madan(1990)) (4) Generalized Hyperbolic process (Eberlein(1995) (5) CGMY process (Carr-Geman-Madam-Yor(2000)) (6) Normal inverse Gaussian process (Barndorff-Nielsen) (7) Finite moment log stable process(Carr-Wu(2003))
The Deutsche Bundesbank’s 2005 Annual Fall Conference (Eltville, 10-12 November 2005):
4
概要
• Levy过程简介 • Levy过程在数理金融中的应用 • Levy过程的统计分析 • Levy过程的进一步推广
5
Levy过程的定义：
(Miyahara(1996), Frittelli(2000))
22
参考文献
• R. Cont, P. Tankov (2003). Financial modelling with jump processes. Chapman and Hall/CRC Press.
• J. M. Corcuera, D. Nualart, W. Schoutens (2005). Completion of a Levy market by power-jump assets. Finance Stoch. 9, 109-127.
20
MortoFra Baidu bibliotek模型
其中：Wt标准布朗运动， Nt为Poisson过程 Yi独立同分布，服从正态分布，且 Wt,Nt,Yi相互独立
21
可供选择的等价鞅测度
(1) Minimal Martingale Measure (MMM) (FollmerSchweizer(1991))
(2) Variance Optimal Martingale Measure (VOMM)(Schweizer(1995))
Problem in Incomplete Markets,Mathematical Finance 10, 39-52.
• Bellini, F. and Frittelli, M. (2002), On the existence of minimax martingale
measures, Mathematical Finance 12, 1-21.
设{X(t), t≥0}是一随机过程：如果 （1）X(t)具有平稳独立增量 （2）P(X(0)=0)=1 （3）X(t)具有右连左极的轨道 （4）X(t) 是随机连续的, 即, 对任意a>0 , s≥0,
当t→s有 P (|X(t)-X(s)|>a)→0
6
Levy Processes: 1930s-1940s
23
Ornstein-Uhlenbeck 型过程
其中Z(t)为一Levy过程，X(t)称为Ornstein-Uhlenbeck 型过程
(3) Mean Correcting Martingale Measure (MCMM) (4) Esscher Martingale Measure (ESMM) (Gerber-
Shiu(1994), B-D-E-S(1996)) (5) Minimal Entropy Martingale Measure (MEMM)
Paul Levy (France)
Alexander Khintchine (Russia)
Kiyosi Ito (Japan)
7
Levy过程的三种刻画
• Levy-Khintchine公式：
称为Levy三元组，ν称为Levy测度
8
Levy过程的三种刻画
• Levy-Ito分解：
是一Poisson随机测度，且与布朗运动Bt相互独立
Levy过程及其在金融领域中的 应用
复旦大学管理学院 张新生
1
二个例子
2
Monika Piazzesi Bond Yields and the Federal Reserve
Journal of Political Economy, 2005, vol. 113, no. 2
3
Rafal Weron Heavy tails and electricity prices
X(t)=布朗运动+常数漂移+复合Poisson过程+纯跳鞅
9
Levy过程的三种刻画
• Levy 过程是Markov过程： 转移半群：T(t)f=Ef(x(t)) 无穷小算子：
10
Levy过程的例子
Subordinator：关于时间t单调递增的Levy过程，
此时Levy三元组应满足：
Levy-Ito分解变为：
11
12
Levy过程的例子
稳定过程：
Levy三元组：
13
14
Levy过程的例子
Gamma 过程
Levy三元组： 过程的一维分布：
15
16
Levy过程的例子
正态逆Gauss过程：
Levy三元组： 过程的一维分布：
17
Levy过程的例子
双曲线的Levy运动 Levy 三元组
J1 第一类Bessel函数, Y1第二类Bessel函数 t=1时，过程的一维分布：