复数代数形式的乘除运算
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复数代数形式的乘除运算
如：|z+(1+2i)|表示：_________________
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
（
2
）
( )
[
]
( )
i
1
1
i
(
1
i
)
(
1
i
)
2
1
1 (
3
2
i
)(
32
i
)4
i
（
3
）
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
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(
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i
)
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（
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）
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(
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) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
复数的乘法
有两种方法考虑: 法一:直接代入计算. 2 法二:由 x 1 2i 得 x 2 x 5 0
整体代入妙!
那么复数的除法又应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类 比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
i
a,b. 2i 3 3i 3 i ( 3 i )(2 i ) 6 2i 3i 1 解: z 1 i. 2 i 2 i ( 2 i )(2 i ) 5 所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,从而有: (a+b)+(-a-2)i=1+i. ab1 a 3 . a 2 1 b 4
复数的乘法满足交换律, 结合律以及 分配律, 即有 : z1 z 2 z 2 z1 (z1 z 2 ) z 3 z1 (z 2 z 3 ) z1 (z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3
例1、 计算:
• (1) (1+2i)(3+4i)(-2+i) • (2) (1+i)2 • (3) (a+bi)(a-bi)
由刚
a bi (a bi )(c di ) (a bi ) (c di ) c di (c di )(c di ) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
复数的乘除法
ac bd bc ad (a+bi) c+di = 2 2 i 2 2 c d c d
这种方法叫做公式法
复数相除的另一种解法.
②利用分母实数化：
a bi (a bi)(c di) [ac bi (di)] (bc ad )i c di (c di)(c di) c2 d 2
三、复数的除法运算规则：
①设复数a+bi (a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商 为x+yi (x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有
(ac bd ) (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
这种方法叫做分母实数化法 给分子分母同乘以分母的共轭复数
例2计算
(1 2iBiblioteka (3 4i)1 2i 解： (1 2i ) (3 4i) 3 4i
(1 2i)(3 4i) 3 8 6i 4i 5 10i 1 2 i 2 2 (3 4i)(3 4i) 3 4 25 5 5
除法：先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子 与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最 后再化简，这种方法叫做分母实数化法 。
5.求1 i i i .... i
2 3
2008
______
注意: i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i
复数的代数形式的乘除运算(含答案)
复数的代数形式的乘除运算
一、单选题（共 50 题；共 100 分）
1.已知复数 z=2+i，则
（）
A.
B.
C. 3
D. 5
2.已知复数
， 为虚数单位，则 的实部为（ ）
A. 1
B.
C.
D.
3.若 为虚数单位，则复数
在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4.已知复数
耀 ，则 ⺂䁕 耀 等于（ ）
A.
B.
C.
D.
14.若复数 满足
，则 （ ）
A.
或
B.
或
C.
或
15.已知复数 ⺂ ⺂
（ 是虚数单位），则 的共轭复数 （ ）
A.
B.
C.
D.
D. ±
16.已知
，则 z （ ）
A.
B.
17.已知复数 z 满足
，且
A. 2
B. 2i
18.设复数 满足 ⺂
，则
A.
B. 2
19. ⺂
2.已知复数
， 为虚数单位，则 的实部为（ ）
A. 1
B.
C.
【答案】 D 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为
故答案为：D
【分析】根据完全平方和公式和复数的乘方运算法则进行运算化简复数
义求解即可.
3.若 为虚数单位，则复数
在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
h ⺂cos
sin ，已知 ⺂
，则
（）
A.
B. 4
一、单选题（共 50 题；共 100 分）
1.已知复数 z=2+i，则
（）
A.
B.
C. 3
D. 5
2.已知复数
， 为虚数单位，则 的实部为（ ）
A. 1
B.
C.
D.
3.若 为虚数单位，则复数
在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4.已知复数
耀 ，则 ⺂䁕 耀 等于（ ）
A.
B.
C.
D.
14.若复数 满足
，则 （ ）
A.
或
B.
或
C.
或
15.已知复数 ⺂ ⺂
（ 是虚数单位），则 的共轭复数 （ ）
A.
B.
C.
D.
D. ±
16.已知
，则 z （ ）
A.
B.
17.已知复数 z 满足
，且
A. 2
B. 2i
18.设复数 满足 ⺂
，则
A.
B. 2
19. ⺂
2.已知复数
， 为虚数单位，则 的实部为（ ）
A. 1
B.
C.
【答案】 D 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为
故答案为：D
【分析】根据完全平方和公式和复数的乘方运算法则进行运算化简复数
义求解即可.
3.若 为虚数单位，则复数
在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
h ⺂cos
sin ，已知 ⺂
，则
（）
A.
B. 4
复数代数形式的乘除运算
把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
(c di)( x yi) (cx dy) (dx cy)i ac bd x cx dy a 2 2 c d 解得 dx cy b bc ad y i 2 2 c d
4、一些常用的计算结果
①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到n∈Z.）
__ 1 3 3 2 2 ②设 i,则有: 1; ;1 0. 2 2
事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于,也 有类似于上面的三个等式.
2
= (8 i )(1 3i )
= 8 24i i 3i
2
= 5 25 i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
分母实数化
复数代数形式的除法实质： 分母实数化
例5.计算 (1 2i ) (3 4i )
1 2i (1 2i)(3 4i) 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (3 4i)(3 4i)
3 8 6 i 4 i 5 10 i 1 2 i 2 2 3 4 25 5 5
2
称为关于x的实系数一元二次方程
b b xx (实根) 2a 2a 2a
复数代数形式的乘除运算
课本P112： A组4、5、6；B组1。
下节复习结合
3.2.2
X
阅读课本P109页至P111页，回答问题：
【说明】
1.复数的乘法 (1)乘法法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似 的，但要注意结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分
别合并．
(2)运算律：复数乘法仍满足乘法交换律、结合律 和分配律． 注意：乘法公式：正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立．
?
2 2 2 2 A = 2 a c + 2 b d ； B = a + b + c + d 。 易 BA 。
练 2
(2008· 山东高考)设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋
z z ＝4，z· z ＝8，则 z 等于( A．i B．－i
D
) C．± 1 D．± i
例3 求1＋i＋i2＋…＋i2011的值． 拓 展 ： G P 求 和 公 式 。 答： 0.
例1.计算: （） 1 1 2i 3 4i 2 i ;
2 3 4i 3 4i ; 2 31 i ; 4 1 2i 3的复数相乘可按从左到右
的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一
2．复数的除法 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷ (c＋di)写 a＋bi 成 的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 c＋di c－di，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化，这 与根式除法的分母“有理化”很类似．注意最后结果一 般写成实部与虚部分开的形式．
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. (2)z· z ＝|z|2＝| z |2.
复数代数形式的乘除运算
复数代数形式的乘除运算说课稿说课教师：张晶晶一教材分析1、教材的地位和作用《§3.2.2 复数代数形式的乘除运算》是高中数学选修2-2（人教A版）第三章的第二小节，其主要内容是复数代数形式的乘除运算。
前面已学习了《§3.1.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义》, 在此基础上，继续学习复数的乘除运算，让学生认识到实数集中的许多性质在复数集中仍然适用，同时也是对学习复数知识的加深和巩固。
它进一步揭示了虚数与实数辩证统一的关系，对培养学生类比学习的观点和转化的思想起到了一定的帮助作用，为提高学生的推理论证能力和解决问题的能力也起到了十分重要的作用。
2．教学重点与难点教学重点：复数代数形式的乘法与除法运算法则.教学难点：对复数除法运算法则的运用(分母实数化的问题)。
3. 教学目标（1）知识与技能：通过类比学习熟练掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，深刻体会复数的除法运算实质是分母实数化的问题。
（2）过程与方法：通过学生自学、兵教兵、探究等教学形式提高学生分析问题和解决问题的能力。
（3）情感与价值观：在教学中要注重培养学生思维的灵活性，辩证性和创新性，活跃课堂气氛，激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心。
二教法分析1、要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化，注意知识前后的联系，形成知识框架；其次要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。
2、根据上述教材分析和目标分析，在教学中采用“洋思模式”，以学生为主体，学生自学为核心构建课堂教学，培养问题意识，孕育创新精神，提出恰当的对学生的数学思维有适度启发的问题，引导学生自学，培养学生良好的学习方法。
3、“先学后教，当堂训练”：通过展示“自学指导”让学生阅读课本，小组内讨论，结合前面学习的知识来解决提出的问题，强化类比转化的思想。
复数的乘、除运算
A.－3＋2i
B.3＋2i
C.－2＋3i
D.2＋3i
解析：∵Δ＝36－4×13＝－16，
∴x＝－6±2 －16＝－3±2i. 答案：A
2.已知 a，b∈R，且 2＋ai，b＋i(i 是虚数单位)是实系数一元 二次方程 x2＋px＋q＝0 的两个根，求 p，q 的值. 解：由根与系数的关系可得22＋＋aaii·＋b＋b＋i＝i＝q，－p， 即pq＝ ＝－2b－2＋a＋b－2＋aa＋b1i，i， 因为 p，q 均为实数，所以－ 2＋aa＋b＝10＝，0， 解得ba＝＝2－，1， 从而有pq＝ ＝－ 5. 4，
答案：6
4.复数 z＝i(1－2i)(i 是虚数单位)的实部为________. 解析：因为 z＝i(1－2i)＝2＋i，所以复数 z 的实部为 2. 答案：2
A.3＋5i
B.3－5i
()
C.－3＋5i
D.－3－5i
[解析] (1)31＋ ＋ii＝31＋ ＋ii11－ －ii＝4－2 2i＝2－i. (2)∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝112＋－7i i＝112＋－7ii22＋＋ii＝15＋5 25i＝3＋5i. [答案] (1)D (2)A
[对点练清]
2.复数乘法的运算律
对于任意 z1，z2，z3∈C，有 交换律
z1z2＝___z_2_z_1 ___
结合律 乘法对加法的分配律
(z1z2)z3＝___z1_(_z2_z_3_) _ z1(z2＋z3)＝_z_1z_2_＋__z_1z_3
3.复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di) ＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(a，b，c，d∈R， 且 c＋di≠0).
2.若复数 z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在第四象 限，则实数 a，b 应满足什么条件？
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变式训练3 ．
计算：1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010的值
解：设 S＝1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010， 则 iS＝i＋2i2＋…＋2010i2010＋2011i2011， ∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2010－2011i2011 1－i2011 ＝ －2011i2011 1－i 1－i4502i3 2 1005 ＝ －2011(i ) i 1－ i ＝2012i. 2012i 2012i1＋i ∴S＝ ＝ ＝－1006＋1006i. 2 1－i
2x＝3x－1， x＝1， 所以 解得 5－y＝y＋1， y＝2.
所以 z＝1＋2i， z ＝1－2i.
i的运算性质及应用 虚数单位i的周期性： (1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝ 1(n∈N)． (2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)． n也可以推广到整数集．
问题探究
1．z· z 与|z|2 和| z |2 有什么关系？
提示：z· z ＝|z|2＝| z |2.
2．z2 与|z|2 有什么关系？
提示： 当 z∈R 时， z2＝|z|2， 当 z 为虚数时， z2≠|z|2，但|z|2＝|z2|.
3．对于复数z，z· 0＝0成立吗？ 提示：仍然成立．
考点突破 复数的乘除法
法二：(技巧解法) 1＋i2 6 2＋ 3ii 原 式 ＝ [ ] ＋ ＝ i6 ＋ 2 3－ 2ii 2＋ 3ii ＝－1＋i. 2＋ 3i
【思维总结】 对于复数的混合运算，仍可按照 先乘方、再乘除、后加减的顺序，有括号先计算 括号． 1 2 3 变式训练 1 计算(1－i) ＋2i＋(3＋i )＋ 的 i
例3 计算：i＋i2＋i3＋…＋i2010.
【思路点拨】 解答本题可利用等比数列求和 公式化简或者利用in的周期性化简． i1－i2010 i[1－i21005] 【解】 法一： 原式＝ ＝ 1－i 1－ i i· 1＋1 2i1＋i ＝ ＝ 2 1－i
＝－1＋i.
法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0， ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)， ∴原式＝i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋ …＋(i2007＋i2008＋i2009＋i2010) ＝i－1＋0＝－1＋i. 【思维总结】 等差、等比数列的求和公式在复 数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋ in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
【思维总结】 本题充分利用了共轭复数的有关 性质，使问题直接化简为2x＋1＝0而不是直接把z ＝x＋yi代入等式．
变式训练 2 已知 x、y∈R，若 2x＋(5－y)i 和 3x－1－(y＋1)i 是共轭复数， 求复数 z＝x ＋yi 和 z .
解：因为 2x＋(5－y)i 和 3x－1－(y＋1)i 是
复数代数形式的乘除运算
温故夯基 1．设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c， d∈R，则z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i，类似于把i 看成未知数的多项式的加减运算． 2．对于两个非零复数z1和z2，|z1±z2|___| ≤ z1|＋ |z2|.
知新益能 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， ac－bd＋(ad＋bc)i 则 z 1· z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_________________. 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有
a－ bi 即 z＝a＋bi，则 z ＝______.
4．复数的除法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， a＋bi ac＋bd bc－ad ＝ 2 2＋ 2 2 i(c＋di≠0) z1 c＋di c ＋d c ＋d 则 ＝________________________________ ． z2
3．实数的共轭复数是它本身，即 z∈R⇔z ＝z， 利用此性质可以证明一个复数是实数． 4．若 z≠0 且 z＋ z ＝0，则 z 为纯虚数，利 用此性质可证明一个复数是纯虚数． 5.记住以下结果，可提高运算速度． 2 2 ①(1＋i) ＝2i，(1－i) ＝－2i. 1－i 1＋ i ② ＝－i， ＝i. 1＋i 1－ i 1 ③ ＝－i. i 失误防范 1．z1＋z2＝0只是z1与z2共轭的必要条件． 2．在复数的乘除法中，注意要把i2化为－1后再 化简．
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
z 2· z1 z1· z2＝_____ z 1· ( z 2· z3) (z1· z2)· z3＝_______ z1z2＋z1z3 z1(z2＋z3)＝________
3.共轭复数 如 果 两 个 复 数 满 足 实部相等，虚部互为相反数 __________________________时， 称这两个 复数为共轭复数．z 的共轭复数用 z 表示，
值． 解：原式＝－2i＋2i＋3－i－i＝3－2i.
共轭复数
z· z ＝|z|2，体现了复数与实数的转化． z∈R⇔z＝ z ；若 z≠0，z＋ z ＝0，则 z 为纯 虚数．
1 例2 已知 z＝x＋yi(x、y∈R)且 z＝ ， z (z＋1)( z ＋1)＝x2＋y2，求复数 z.
【思路点拨】
【解】 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－ 1)＝5； 2 2 2 (2)(1＋2i) ＝1＋4i＋(2i) ＝1＋4i＋4i ＝ －3＋4i； 1＋i2 6 (3) 法 一 ： 原 式 ＝ [ ] ＋ 2 2＋ 3i 3＋ 2i 32＋ 22 6＋2i＋3i－ 6 6 ＝i ＋ 5 ＝－1＋i.
方法感悟 方法技巧 1．复数的乘法运算法则的记忆 复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的 乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的 化简． 2．复数的除法运算法则的记忆 复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化 ，即分子分母同乘以分母的共轭复数，若分母为 纯虚数，则只需同乘以i.如例1(3)
1 z＝ ⇒z z ＝1⇒|z|＝1，从 z
而展开(z＋1)· ( z ＋1)可求．
1 【解】 ∵z＝ ，∴z z ＝1，∴|z|＝1， z 即 x2＋y2＝1. 又∵(z＋1)( z ＋1)＝x2＋y2， ∴z· z ＋z＋ z ＋1＝1， 1 ∴2x＋1＝0，∴x＝－ . 2 3 3 2 2 2 由 x ＋y ＝1，得 y ＝ ，∴y＝± . 4 2 1 3 ∴z＝－ ± i. 2 2
例1
计算：(1)(2＋i)(2－i)；
(2)(1＋2i)2； 1＋ i 6 2＋ 3i (3)( )＋ . 1－ i 3－ 2i (1)复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够 使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公 式更简便，例如平方差公式，完全平方公式等． (2)复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复 数．