矩阵特征值计算

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第章矩阵特征值的计算

第章矩阵特征值的计算

的特征向量的近似值。
规范化乘幂法
令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0,使
xi0
max
1 i n
xi

max (x) = xi
对任取初始向量x(0),记
y(0) x(0) max( x(0) )

x(1) Ay(0)
一般地,若已知x(k),称公式
y(k ) x(k ) max( x(k ) )
2
S sin sin 2
2C
(4)
aip aiq
aipC aiq S a pi aip s aiqC aqi
a pp a ppC 2 2a pqC S aqq S 2 aqq a pp S 2 2a pqC S aqqC 2 a pq (a pp aqq )C S a pq (C 2 S 2 ) aqp
它们之间有如下的关系:
ai(pk )
a(k ip
1)
cos
a(k iq
1)
sin
a(k) pi
ai(qk )
ai(pk1) sin
a(k iq
1)
cos
a(k qi
)
i p,q
aaq((pqkkp))源自a(k 1) ppa(k 1) pp
cos2 sin2
2a
(k 1) pq
sin
cos
2a
然后对j = 1, 2, …, n 解方程
x (k2) j
px j (k 1)
qx j(k )
0
求出p 、q 后,由公式
1
p 2
i
q
p
2
2
2
p 2
i

第8章矩阵特征值计算

第8章矩阵特征值计算

(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向 量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵,则 (1) A 的特征值均为实数; (2) A 有 n 个线性无关的特征向量; (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘 是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析:利用幂法求下列矩阵A 的模 第82章 矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解:Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章 矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中,
11
数值分析
第8章 矩阵特征值计算

矩阵特征值的计算

矩阵特征值的计算

矩阵特征值的计算一、特征值的定义和性质矩阵A的特征值是指满足下列条件的数λ:存在一个非零向量x,使得Ax=λx,即为矩阵A作用在向量x上的结果是该向量的数量倍,其中λ为特征值。

定义特征值之后,可以证明如下性质:1.相似矩阵具有相同的特征值;2.矩阵的特征值个数等于矩阵的阶数;3.特征值可以是实数也可以是复数;4.如果一个矩阵的特征向量独立,则该矩阵可对角化。

二、特征值的计算方法特征值的计算方法有多种,包括直接计算、特征向量迭代法等。

以下介绍两种常用的方法,分别是雅可比法和幂法。

1.雅可比法雅可比法是最基本和最直接的求解特征值和特征向量的方法。

首先,构造一个对称阵J,使其主对角线元素等于矩阵A的主对角线元素,非对角线元素等于矩阵A的非对角线元素的平方和的负数。

然后,对J进行迭代计算,直到满足迭代终止条件。

最终得到的J的对角线元素就是矩阵A 的特征值。

雅可比法的优点是计算量相对较小,算法比较简单,可以直接计算特征值和特征向量。

但是,雅可比法的收敛速度较慢,对于大规模矩阵的计算效率较低。

2.幂法幂法是一种迭代算法,用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。

首先,随机选择一个非零向量b作为初值。

然后,迭代计算序列b,A*b,A^2*b,...,直到序列趋向于收敛。

最终,特征值是序列收敛时的特征向量的模长,特征向量是序列收敛时的向量。

幂法的优点是可以计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。

此外,幂法对于大规模矩阵的计算效率较高。

然而,幂法只能计算最大特征值,对于其他特征值的计算不适用。

三、特征值的应用1.特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量构成的对角矩阵的乘积。

特征值分解是一种重要的矩阵分解方法,它在信号处理、图像压缩、最优化等领域有广泛应用。

通过特征值分解,可以对矩阵进行降维处理、数据压缩和特征提取等操作。

2.矩阵的谱半径矩阵的谱半径是指矩阵的所有特征值的模的最大值。

谱半径在控制系统、网络分析和量子力学等领域有广泛的应用。

第8章-矩阵特征值计算

第8章-矩阵特征值计算

min P1 P I ,
( A)
p
pp
(1.5)
其中||·||p为矩阵的p范数,p=1,2,.
证明 由于σ(A)时显然成立,故只考虑̄σ(A).这
时D-I非奇异,设x是A+I对应于的特征向量,由
(A+I-I)x=0左乘P-1可得 (D I )(P1 x) (P1IP)(P1 x), P1 x (D I )1 (P1 IP)(P1 x),
上页 下页
定理7 设A∈Rn×n有n个线性无关的特征向量,
主特征值1满足 |1|>|2||n|,
则对任何非零向量v0(a10),(2.4)式和(2.7)式成立.
如果A的主特征值为实的重根, 即1=2==r, 且 |r|>|r+1||n|,
又设A有n个线性无关的特征向量,1对应的r个线性
无关的特征向量为x1,x2,,xr,则由(2.2)式有
3 1 5.
A的其它两个特征值2, 3包含在D2, D3的并集中.
上页 下页
现在取对角阵
1 0 0
D1 0 1 0 ,
0 0 0.9
做相似变换
4 1 0
A A1 D1 AD 1
0
10 9
.
0.9 0.9 4
矩阵A1的3个圆盘为
E1 : 4 1,
E2 :
19 , 9
矩阵,则
(1) A的特征值均为实数;
(2) A有n个线性无关的特征向量;
(3) 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且1, 2,, n为A的特征值,而P=(u1,u2,,un)的列
向量uj为A的对应于j 的单位特征向量.

矩阵特征值的求法举例

矩阵特征值的求法举例

矩阵特征值的求法举例
矩阵的特征值是线性代数中一个非常重要的概念,它对于矩阵的性质和求解问题具有
重要意义。

特征值是一个数,它可以通过解一个特征方程来求得,特征方程是一个关于特
征值的多项式方程。

下面我们将通过几个具体的例子来介绍矩阵特征值的求法。

假设我们有一个2×2矩阵A,其元素如下所示:
A = |a b|
|c d|
我们希望求解矩阵A的特征值。

我们将矩阵A减去一个单位矩阵的倍数,得到新的矩阵B:
B = A - λI
λ是一个未知的数,I是单位矩阵。

具体地,我们有:
接下来,我们需要求解特征方程,即求解方程|B| = 0。

|a-λ b | = (a-λ)(d-λ) - bc = 0
|c d-λ|
展开计算得到:
这个二次方程就是特征方程。

根据一元二次方程的求解公式,我们有:
λ = [(a+d) ± √((a+d)^2 - 4(ad-bc)) ] / 2
这里,√表示开方。

通过求解该二次方程,我们就能够求得矩阵A的特征值。

具体的计算过程比较复杂,可以使用数值方法(如牛顿法)来求解,或者使用专门的
软件工具进行计算。

总结:
通过以上两个例子,我们可以看到求解矩阵特征值的过程其实就是求解一个代数方程
的过程。

对于小规模的矩阵,我们可以通过手工计算来得到特征值,但对于大规模的矩阵,
通常需要借助计算机来进行计算。

矩阵特征值的求法对于理解和应用线性代数有着重要的意义,它在很多领域(如数学、物理、金融等)中都有广泛的应用。

矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)

矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)

矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)以下是矩阵特征值求法的十种经典求法:1. 幂法(Power Method)幂法(Power Method)幂法是求解特征值的常用方法之一。

它基于一个重要的数学原理:对于一个非零向量$x$,当它连续乘以矩阵$A$的$k$次幂后,$Ax$的方向将趋于特征向量相应的特征值。

这种方法通常需要进行归一化,以防止向量过度增长。

2. 反幂法(Inverse Power Method)反幂法(Inverse Power Method)反幂法是幂法的一种变体。

它通过计算矩阵$A$的逆来求解最小的特征值。

使用反幂法时,我们需要对矩阵$A$进行LU分解,以便更高效地求解线性方程组。

3. QR方法QR方法QR方法是一种迭代方法,可以通过将矩阵$A$分解为$QR$形式来逐步逼近特征值。

这种方法是通过多次应用正交变换来实现的,直到收敛为止。

QR方法不仅可以求解特征值,还可以求解特征向量。

4. Jacobi方法Jacobi方法Jacobi方法是一种迭代方法,通过施加正交相似变换将矩阵逐步变为对角矩阵。

在每个迭代步骤中,Jacobi方法通过旋转矩阵的特定元素来逼近特征值。

这种方法适用于对称矩阵。

5. Givens旋转法Givens旋转法Givens旋转法是一种用于特征值求解的直接方法。

它通过施加Givens旋转矩阵将矩阵逐步变为对角矩阵。

这种方法是通过旋转矩阵的特定元素来实现的。

6. Householder变换法Householder变换法Householder变换法是一种用于特征值求解的直接方法。

它通过施加Householder变换将矩阵逐步变为Hessenberg形式,然后再进一步将其变为上三角形式。

这种方法是通过对矩阵的列向量进行反射来实现的。

7. Lanczos方法Lanczos方法Lanczos方法是一种迭代方法,用于对称矩阵的特征值求解。

该方法创建一个Krylov子空间,并使用正交投影找到最接近特征值的Krylov子空间中的特征值。

矩阵特征值计算矩阵的特征值和特征向量

矩阵特征值计算矩阵的特征值和特征向量

矩阵特征值计算矩阵的特征值和特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一,它在众多学科领域中都有广泛的应用。

而矩阵的特征值和特征向量则是矩阵分析与应用中的核心内容之一。

本文将详细介绍矩阵特征值的计算方法,以及如何求解矩阵的特征向量。

1. 特征值和特征向量的定义首先,我们来了解一下什么是矩阵的特征值和特征向量。

给定一个n阶方阵A,如果存在一个数λ以及一个非零n维列向量X,使得满足下述条件:AX = λX那么,λ就是矩阵A的一个特征值,而X则是对应于特征值λ的特征向量。

特征值和特征向量的求解在很多应用中都具有重要的意义。

2. 特征值的计算方法接下来,我们介绍几种常见的特征值计算方法。

2.1 特征多项式法特征多项式法是求解特征值的一种常用方法。

它利用方阵A减去λ乘以单位矩阵I之后的行列式为零的性质,构造出特征多项式,并求解多项式的根即可得到特征值。

举个例子,对于二阶方阵A = [a, b; c, d],其特征多项式为:| A - λI | = | a-λ, b; c, d-λ | = (a-λ)(d-λ) - bc = 0解这个方程可以得到A的特征值。

2.2 幂迭代法幂迭代法也是一种常见的特征值计算方法。

它利用特征向量的性质,通过迭代计算来逼近矩阵的特征值。

其基本思想是,给定一个初始向量X0,不断迭代计算:Xk+1 = AXk然后对得到的向量序列进行归一化处理,直到收敛为止。

最后得到的向量X就是对应的特征向量,而特征值可以通过如下公式计算:λ = X^TAX / X^TX2.3 QR方法QR方法是一种数值稳定性较好的特征值计算方法。

它利用矩阵的QR分解的性质来逐步逼近矩阵的特征值。

首先,对矩阵A进行QR分解,得到一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R。

然后,将分解后的矩阵R与矩阵Q逆序相乘,得到一个新的矩阵A'。

重复进行QR分解和相乘的操作,直到收敛为止。

最后,得到的矩阵A'的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。

矩阵特征值的计算

矩阵特征值的计算
矩阵特征值的计算
物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩 阵的特征值和特征向量问题。
� 计算方阵 A 的特征值,就是求特征多项式方程:
| A − λI |= 0 即 λn + p1λn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn−1λ + pn = 0
的根。求出特征值 λ 后,再求相应的齐次线性方程组:
(13)
为了防止溢出,计算公式为
⎧ Ay k = xk −1
⎪ ⎨
m
k
=
max(
yk )
( k = 1, 2, ⋅ ⋅⋅)
⎪ ⎩
x
k
=
yk
/ mk
(14)
相应地取
⎧ ⎪
λ
n


1 mk
⎪⎩ v n ≈ y k ( 或 x k )
(15)
9
(13)式中方程组有相同的系数矩阵 A ,为了节省工作量,可先对
11
11
≤ ≤ ⋅⋅⋅ ≤
<
λ1 λ2
λn −1
λn
对应的特征向量仍然为 v1, v2 ,⋅⋅⋅, vn 。因此,计算矩阵 A 的按模
最小的特征值,就是计算 A−1 的按模最大的特征值。
� 反幂法的基本思想:把幂法用到 A−1 上。
任取一个非零的初始向量 x0 ,由矩阵 A−1 构造向量序列:
xk = A−1xk−1 , k = 1, 2, ⋅⋅⋅
如果 p 是矩阵 A 的特征值 λi 的一个近似值,且
| λi − p |<| λ j − p | , i ≠ j
1 则 λ i − p 是矩阵 ( A − pI )−1 的按模最大的特征值。因此,当给
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其 中 每个 对角 块 ������������������ 均 为方阵 , 则矩 阵 ������ 的 特征 值为各 对 角块 矩阵 特征 值的合 并 ,即 ������(������) = ⋃������ ������=1 ������(������������������ ). 定理 5.5: 矩阵的相似变换(similarity transformation)不改变特征值. 设矩阵������和������为相似矩阵, 即存在非奇异矩阵������使得������ = ������−1 ������������,则 (1) 矩阵������和������的特征值相等,即 ������(������) = ������(������) ; (2) 若������为������的特征向量,则相应地,������������为������的特征向量. 通过相似变换并不总能把矩阵转化为对角阵,或者说矩阵 ������ 并不总是 可对角化 的 (diagonalizable). 下面给出特征值的代数重数、几何重数,和亏损矩阵的概念,以及几个定 理.. ̃1 , ⋯ , ������ ̃������ ,若������ ̃������ 是特征方程的������������ 重 定义 5.2: 设矩阵������ ∈ ℝ������×������ 有 m 个(mn)不同的特征值������ ̃������ 的代数重数(algebraic multiplicity),并称������ ̃������ 的特征子空间(ℂ������ 的子空间)的维数 根,则称������������ 为������ ̃������ 的几何重数(geometric multiplicity). 为������ ̃1 , ⋯ , ������ ̃������ ,特征值������ ̃������ , (������ = 1, ⋯ , ������)的代数 定理 5.6:设矩阵������ ∈ ℝ������×������ 的 m 个不同的特征值为������ 重数为������������ ,几何重数为������������ ,则 (1) ∑������ ������=1 ������������ = ������,且任一个特征值的几何重数不大于代数重数,即∀������,������������ ≥ ������������ . (2) 不同特征值的特征向量线性无关,并且将所有特征子空间的∑������ ������=1 ������������ 个基(特征向量)放在 一起,它们构成一组线性无关向量. (3) 若每个特征值的代数重数等于几何重数,则总共可得������个线性无关的特征向量,它们是 全空间ℂ������ 的基. 定义 5.3:若矩阵������ ∈ ℝ������×������ 的某个代数重数为 k 的特征值对应的线性无关特征向量数目少于 k(即几何重数小于代数重数) ,则称 ������为亏损阵(defective matrix) ,否则称其为非亏损阵 (nondefective matrix). 定理 5.7:设矩阵������ ∈ ℝ������×������ 可对角化,即存在非奇异矩阵������ ∈ ℂ������×������ 使得 ������−1������������ = ������, 其中������ ∈ ℂ������×������ 为对角阵, 的充要条件是������为非亏损矩阵. 此时,������的对角线元素为矩阵������的特 征值,而矩阵������的列向量为 n 个线性无关的特征向量. 定理 5.7 中方程的等价形式为������ = ������������������−1, 它被称为特征值分解,也叫谱分解(spectrum decomposition). 特征值分解存在的充要条件是������为非亏损矩阵. 但现实中还有很多矩阵是亏 损矩阵,例如例 5.2 中的矩阵,它的特征值 2 的代数重数为 2,而几何重数仅为 1. 这种矩阵
5.1 基本概念与特征值分布
本节先介绍矩阵围的简 单估计方法.
5.1.1 基本概念与性质
定义 5.1:矩阵������ = (������������������ ) ∈ ℂ������×������ , (1) 称 ������(������) = det(������������ − ������) = ������������ + ������1 ������������−1 + ⋯ + ������������−1 ������ + ������������ 为������的特征多项式(characteristic polynomial);n 次代数方程 ������(������) = 0 为 ������ 的 特 征 方 程 (characteristic equation) , 它 的 n 个 根 : ������1 , ⋯ , ������������ , 被 称 为 ������ 的 特 征 值 (eigenvalue). 此外,常用������(������)表示������的全体特征值的集合,也称为特征值谱(spectrum of eigenvalue). (2) 对于矩阵������的一个给定特征值������,相应的齐次线性方程组 (������������ − ������)������ = ������ , (5.1) 有非零解(因为系数矩阵奇异) ,其解向量������称为矩阵������对应于������的特征向量(eigenvector). 根据方程(5.1),我们得出矩阵特征值与特征向量的关系,即 (5.2) ������������ = ������������ . 第三章的定义 3.5 就利用公式(5.2)对矩阵特征值和特征向量进行了定义,它与定义 5.1 是等 价的. 另外,同一个特征值对应的特征向量一定不唯一,它们构成线性子空间,称为特征子 空间(eigenspace). 我们一般讨论实矩阵的特征值问题. 应注意, 实矩阵的特征值和特征向量不一定是实数 和实向量,但实特征值一定对应于实特征向量(方程(5.1)的解) ,而一般的复特征值对应的 特征向量一定不是实向量. 此外,若特征值不是实数, 则其复共轭也一定是特征值(由于特 征方程为实系数方程). 定理 3.3 表明,实对称矩阵������ ∈ ℝ������×������ 的特征值均为实数,存在 n 个 线性无关、且正交的实特征向量,即存在由特征值组成的对角阵������和特征向量组成的正交阵 ������,使得: (5.3) ������ = ������������������������ . 例 5.1 (弹簧-质点系统) : 考虑图 5-1 的弹簧-质点系统, 其中包括三个质量分别为������1、 ������2、 ������3的物体,由三个弹性系数分别为������1 , ������2 , ������3的弹簧相连,三个物体的位置均为时间的函数,
−1 2
5 −1 −1 ������ = [3 1 −1] 4 −2 1 的特征值和特征向量. [解]: 矩阵������的特征方程为: ������ − 5 1 1 det(������������ − ������) = | −3 ������ − 1 1 | = (������ − 3)(������ − 2)2 = 0 −4 2 ������ − 1 故������的特征值为������1 = 3,������2 = 2(二重特征值). 当������ = ������1 = 3时,由(������������ − ������)������ = ������,得到方程 −2 1 1 ������1 0 [−3 2 1] [������2 ] = [0] −4 2 2 ������3 0 它有无穷多个解,若假设������1 = 1, 则求出解为������ = [1,1,1]������ ,记为������1,则������1是������1对应的一个特 征向量. 当������ = ������2 = 2时,由(������������ − ������)������ = ������,得到方程 −3 1 1 ������1 0 [−3 1 1] [������2 ] = [0] −4 2 1 ������3 0 它有无穷多个解,若假设������1 = 1, 则求出解为������ = [1,1,2]������ ,记为������2,则������2是������2对应的一个特

本书第八章将介绍这种常微分方程组的数值求解方法. –3–
征向量. 下面概括地介绍有关矩阵特征值、特征向量的一些性质,它们可根据定义 5.1,以及公 式(5.2)加以证明. 定理 5.1:设������������ (������ = 1,2, … , ������)为 n 阶矩阵������的特征值,则 ������ (1) ∑������ ������=1 ������������ = ∑������=1 ������������������ = tr(������) ; (2) ∏������ ������=1 ������������ = det(������) . 这里tr(������)表示矩阵对角线上元素之和,称为矩阵的迹(trace). 从上述结论(2)也可以看出, 非奇异矩阵特征值均不为 0, 而 0 一定是奇异矩阵的特征值. 定理 5.2:矩阵转置不改变特征值,即������(������) = ������(������������ ). 定理 5.3:若矩阵������为对角阵或上(下)三角阵,则其对角线元素即为矩阵的特征值. 定理 5.4:若矩阵������为分块对角阵,或分块上(下)三角阵,例如 ������11 ������ = [ ������12 ������22 ⋯ ⋯ ⋱ ������1������ ������2������ ], ⋮ ������������������
其中������ = √−1,根据它可求解出振动的频率������及振幅������������ . 由这个式子可得出: ������������′′ (������) = −������2������������ ������ ������������������ , (������ = 1, 2, 3) 代入微分方程,可得代数方程: −������2 ������������ + ������������ = ������, 或 ������������ = ������������ , 其中������ = ������ ������, ������ = ������ . 通过求解矩阵������的特征值便可求出这个弹簧-质点系统的自然频率 (有多个). 再结合初始条件可确定这三个位移函数,它们可能按某个自然频率振动(简正 振动) ,也可能是若干个简正振动的线性叠加. 例 5.2(根据定义计算特征值、特征向量) :求矩阵
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