幂级数在近似计算中的应用
幂级数的科学意义
幂级数的科学意义概述幂级数是数学中的一种重要的函数表示方法，被广泛应用于各个领域，包括物理、工程、计算机科学等。
本文将深入探讨幂级数的科学意义及其在不同领域中的应用。
幂级数的定义幂级数是指形如 ∑a n ∞n=0(x −c )n 的数学表达式，其中 a n 是常数系数，c 是常数，x 是变量。
在幂级数中，指数 n 从0开始，每次递增1。
幂级数的收敛性与变量 x 的取值相关，当 |x −c | 的值小于一定阈值时，幂级数收敛。
幂级数的科学意义幂级数在科学中具有重要的意义，主要体现在以下几个方面：1. 函数的近似表示幂级数可以用来近似表示各种复杂的函数，这在科学计算中具有重要意义。
通过幂级数展开，可以将复杂的函数转化为简单的多项式形式，从而便于计算和分析。
例如，在物理学中，通过泰勒展开可以将非线性方程近似为一个无穷级数，从而得到数值解或者进行数值模拟。
2. 解析函数的表示与求解幂级数可以用来表示解析函数，也可以通过幂级数来求解解析函数的性质和行为。
通过对解析函数进行幂级数展开，可以得到函数的各阶导数和数值解。
这在微积分和微分方程的求解中具有重要应用，尤其是对于无法直接求解的特殊函数，幂级数展开是求解的一种有效方法。
3. 物理现象的描述与预测物理学中的许多现象可以通过幂级数来描述和解释。
例如，速度随时间变化的函数可以使用泰勒级数展开来近似描述，从而得到运动的规律。
另外，波动和场的描述中，幂级数也是一种重要的表达方式。
通过幂级数展开，可以研究波动的传播规律和场的叠加效应，进而预测物理现象的发展和结果。
4. 计算机科学中的应用在计算机科学中，幂级数的应用也非常广泛。
例如，在图像处理中，幂级数可以用来描述图像的纹理和边缘特征，从而实现图像的分析和识别。
另外，幂级数还可以用于数据压缩和信号处理等领域，通过将复杂的数据序列转化为幂级数的形式，可以简化计算和存储，提高计算机系统的效率。
幂级数在工科和科研中的应用实例幂级数作为一种基本的数学工具，在工科和科研中有许多具体的应用实例。
函数的幂级数展开式的应用一近似计算
。
拓展幂级数展开式在物 理、工程、金融等领域 的应用，提高近似计算
的精度和效率。
探索新的近似计算方法和技术
研究新的近似计算方法，如泰勒级数、傅里叶级 数等，以适应不同问题的需求。
结合人工智能和机器学习技术，开发自适应近似 计算算法，提高计算效率和精度。
探索混合精度计算方法，结合不同精度的数值计 算，以实现更高效的近似计算。
01
幂级数展开式的收敛性是指级数在某个区间内是收敛的，即其 和是有限的。
02
收敛性的判断对于幂级数展开式的应用至关重要，因为只有在
收敛的条件下，级数的近似值才具有意义。
收敛性的判断依据包括柯西收敛准则、阿贝尔定理等，这些准
03
则可以帮助我们确定幂级数的收敛域。
近似计算的精度控制
1
近似计算的精度控制是指在近似计算过程中，如 何控制近似值的误差范围，以确保结果的准确性。
收敛速度快
幂级数展开式的收敛速度通常比其他级数展开式更快，这意味着在 相同的精度要求下，幂级数展开式需要的项数更少。
适用范围广
幂级数展开式适用于多种类型的函数，包括初等函数和某些复杂函 数。
幂级数展开式的局限性
收敛范围有限
幂级数展开式的收敛范围通常较小，这意味着在某些情况下，需要非常接近展开点才能 得到有意义的结果。
幂级数展开式的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$
幂级数展开式的性质
01
幂级数展开式具有唯一性，即一个函数只有一个幂 级数展开式。
02
幂级数展开式具有收敛性，即当$x$取值在一定范围 内时，级数收敛，否则发散。
10-5幂级数在近似计算中的应用
x
令 x = 1,
1 1 得 e ≈ 1+ 1+ +⋯+ , 2! n!
余和: 余和
1 1 1 1 rn ≈ + +⋯ = (1 + + ⋯) ( n + 1)! ( n + 2)! ( n + 1)! n+ 2 1 1 1 1 (1 + ≤ + + ⋯) = ( n + 1)! n + 1 ( n + 1) 2 n ⋅ n!
练习题答案
1.0986； 一 、 1 、 1.0986 ； 二 、 0.487.
∞
2、 2 、 0.9994.
π
nπ x n 三 、 e x cos x = ∑ 2 2 cos ⋅ 4 n! n= 0
( −∞ ,+∞ ) .
2 (cos + i sin ) x 4 4
提示: ( 提示 : e x cos x = Re e (1+ i ) x = Re e
一、近似计算
∵ A = a1 + a2 + ⋯ + an + ⋯, ∴ A ≈ a1 + a2 + ⋯ + an ,
误差 rn = an+1 + an+ 2 + ⋯.
两类问题: 两类问题: 1.给定项数 求近似值并估计精度 给定项数,求近似值并估计精度 给定项数 求近似值并估计精度; 2.给出精度 确定项数 给出精度,确定项数 给出精度 确定项数. 关健:通过估计余项,确定精度或项数 关健: 通过估计余项 确定精度或项数 确定精度或项数.
函数的幂级数展开式的应用
余和:
1 1 rn 1 (1 1 ) ( n 1)! ( n 2)! ( n 1)! n 2 1 1 1 1 (1 ) 2 ( n 1)! n 1 ( n 1) n n!
欲使 rn 10 ,
-5
1 只要 10-5 , n n!
2n x2 x4 x cos x 1 - - ( -1)n , 2! 4! ( 2n)!
( - x )
由e x的幂级数展开式
e ix 1 ix 1 1 ( ix )2 ( ix )n 2! n!
2n 1 2 x (1 - x ( -1)n ) 2! ( 2n)! 2 n 1
而 8 8! 322560 10 5 ,
即 n n! 10 ,
5
1 1 1 e 1 1 2.71828 2! 3! 8!
例2 计算 解 因为
5
240 的近似值，要求误差不超过0.0001。
1 15 240 243- 3 3(1 - 4 ) , 3
常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比 级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 例1 计算的 解
x
e 近似值,使其误差不超过10 .
-5
1 2 1 n e 1 x x x , 2! n!
1 1 令 x 1, 得 e 1 1 , 2! n!
1 1 10-4 , 7 7! 3000
x ( -, )
收敛的交错级数
取前三项作为积分的近似值,得
sin x 1 1 0 x dx 1 - 3 3! 5 5! 0.9461
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式是一种用无穷多个幂次项来表示函数的展开式。
它是一种非常重要的数学工具，可以用来近似计算各种函数和解决各种数学问题。
在本文中，我们将介绍函数的幂级数展开式的定义、性质和应用，并通过一些实例来加深理解。
一、函数的幂级数展开式的定义给定一个实函数f(x)，如果它在一些区间[a, b]上无穷次可导，并且对每一个x∈[a, b]，都存在常数an（n=0,1,2,3,...）使得f(x) = ∑(n=0 to ∞) an(x-a)n，其中an是常数，这个展开式就称为函数f(x)在点a处的幂级数展开式。
其中(x-a)n表示x-a的n次幂。
二、函数的幂级数展开式的性质1.函数的幂级数展开式在其收敛半径内是收敛的，即对于任意x∈[a,b]，幂级数展开式都收敛。
收敛半径的计算可以使用柯西-阿达玛公式进行推导。
2.函数的幂级数展开式可以实现函数的逐项求导和逐项求积分操作，即对幂级数展开式的每一项进行求导或求积分操作后，得到的仍然是原函数在该点的幂级数展开式。
3.函数的幂级数展开式的和函数在展开区间内连续，但在展开区间端点处是否连续需要根据情况来确定。
如果和函数在展开区间端点处连续，那么展开式的收敛性在展开区间端点处也成立。
三、函数的幂级数展开式的应用1.函数逼近：幂级数展开式可以用来逼近各种函数，将一个函数表示为幂级数的形式，可以利用幂级数的性质对其进行计算和分析，从而更好地理解函数的性质。
2.函数求和：使用函数的幂级数展开式可以求解一些无穷级数的和，如调和级数、指数级数、三角级数等。
3.微分方程求解：幂级数展开式可以用来求解一些微分方程，通过将未知函数表示成幂级数的形式，将微分方程转化为幂级数方程，通过比较幂级数展开式的系数来求解未知函数。
4.概率统计：幂级数展开式在概率统计领域有广泛应用，如泰勒级数在正态分布、伽玛分布等概率分布的研究中的应用。
最后，我们通过两个实例来进一步了解函数的幂级数展开式的应用。
微分方程的数值解法与近似求解技巧
微分方程的数值解法与近似求解技巧微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
在实际问题中，我们常常遇到无法直接求解的微分方程，这时候就需要借助数值解法和近似求解技巧来解决。
本文将介绍微分方程的数值解法和近似求解技巧，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、数值解法1. 欧拉法欧拉法是最基础的数值解法之一，通过离散化微分方程，将其转化为差分方程，从而得到近似解。
欧拉法的基本思想是将微分方程中的导数用差商代替，然后通过迭代逼近真实解。
以一阶常微分方程为例，欧拉法的迭代公式如下：\[y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)\]其中，\(y_n\)表示第n个点的近似解，\(x_n\)表示对应的自变量的取值，h为步长，\(f(x_n, y_n)\)表示微分方程中的导数。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进，通过使用两个近似解的平均值来计算下一个点的近似解，从而提高了数值解的精度。
改进的欧拉法的迭代公式如下：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_n + hf(x_n, y_n)))\]3. 二阶龙格-库塔法龙格-库塔法是一种常用的数值解法，通过计算多个近似解的加权平均值来提高数值解的精度。
其中，二阶龙格-库塔法是最简单的一种。
二阶龙格-库塔法的迭代公式如下：\[k_1 = hf(x_n, y_n)\]\[k_2 = hf(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2})\]\[y_{n+1} = y_n + k_2\]二、近似求解技巧1. 线性化方法线性化方法是一种常用的近似求解技巧，通过将非线性微分方程线性化，然后使用线性方程的求解方法来得到近似解。
以二阶线性微分方程为例，线性化方法的基本思想是将非线性项进行线性化处理，然后使用线性微分方程的求解方法来得到近似解。
函数的泰勒展开与幂级数的理论与应用
函数的泰勒展开与幂级数的理论与应用函数的泰勒展开和幂级数是数学中重要的概念和工具，被广泛应用于各个领域的数学和物理问题的求解中。
本文将简要介绍泰勒展开和幂级数的理论，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、泰勒展开的理论基础泰勒展开是一种近似表示函数的方法，它利用函数在某一点处的导数信息，将函数表示为一组多项式的和。
对于一个充分光滑的函数，可以将其泰勒展开为如下形式的级数：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)$$式中，$f'(a)$代表函数在点$a$处的一阶导数，$f''(a)$代表函数在点$a$处的二阶导数，依此类推，$R_n(x)$是剩余项。
二、幂级数的理论基础幂级数是一种形如$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$的级数，其中$a_n$是常数，$a$是常数点。
幂级数具有在收敛区间内收敛的性质，当$x$取常数点$a$时，级数只有第一项$a_0$，所以在该点处幂级数就等于函数本身。
在幂级数的收敛区间内，我们可以对其进行求和、求导、求积分等操作。
三、泰勒展开与幂级数的关系实际上，泰勒展开是幂级数的一种特殊形式。
当我们将函数$f(x)$在常数点$a$处进行泰勒展开时，将会得到一个幂级数形式。
而幂级数则是泰勒展开的一般形式，它的常数点可以是任意值。
四、泰勒展开与幂级数在实际问题中的应用1. 近似计算泰勒展开和幂级数在科学计算中广泛应用于函数的近似计算。
由于幂级数具有在收敛区间内收敛的性质，我们可以通过截取幂级数的有限项来近似表示一个函数。
特别是在某些函数的计算非常复杂的情况下，使用幂级数的近似计算方法可以大大简化问题。
2. 解析函数拓展使用泰勒展开和幂级数可以对某些有限定义域内的函数进行扩展，得到更为广泛的定义域。
泰勒展开与幂级数
泰勒展开与幂级数在数学领域中，泰勒展开与幂级数是一种重要的概念和方法。
它们可以用来近似计算函数的值，并在各个学科领域中被广泛应用。
本文将介绍泰勒展开和幂级数的概念、性质和应用。
一、泰勒展开泰勒展开是一种将函数表达为无穷级数形式的近似方法。
它可以将复杂的函数表示为一系列简单的项的和。
泰勒展开的基本思想是，将函数在某一点处展开成幂函数的形式，并通过不同次数的幂函数逼近原函数。
设函数f(x)在x=a处有n阶导数，则函数f(x)在x=a处的泰勒展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)其中，f(a)、f'(a)、f''(a)、...、f^n(a)分别表示函数f(x)在点x=a处的第0阶到第n阶导数的值，(x-a)^k表示(x-a)的k次幂，n!表示n的阶乘，Rn(x)表示余项。
泰勒展开的精确性与展开阶数有关，阶数越高，展开结果越精确。
当展开到无穷阶时，泰勒展开可以精确地表示原函数。
二、幂级数幂级数是指以自变量的幂次作为系数的级数。
一般地，幂级数可以表示为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...其中，a0、a1、a2、a3等为常数，称为幂级数的系数。
根据幂级数的收敛性判别法，幂级数的收敛域可以是一个点、一个区间或整个实数轴。
对于收敛于某个区间上的幂级数，我们可以将其看作是函数在该区间上的泰勒展开。
幂级数的计算和求和需要注意收敛性，即幂级数是否能收敛于特定的值。
常用的幂级数有指数级数、三角函数级数和对数级数等，它们在数学和物理领域中有着广泛的应用。
三、泰勒展开与幂级数的应用泰勒展开与幂级数在科学和工程领域中有着重要的应用。
以下列举其中几个典型的应用场景：1. 近似计算函数的值通过用泰勒展开的前几项逼近原函数，我们可以方便地计算出一些复杂函数在某个点附近的近似值。
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幂级数在近似计算中的应用摘要：形如200102000()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑的函数项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个“无限次多项式”，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数,,ln 2e π等，利用计算机相关软件，进行近似计算.关键词：幂级数、近似计算1. 理论依据以某个幂级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成无数级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项()n r x 估计。
我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项230121351211=11 !2!3!!!(1)(1) 213!5!21(2n 1)!!=+(2)!!n n nx n n n n n n n n x x x x x e x r n n n x x x x x n n n ∞=----∞=∞==++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=--==-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅---∑∑①②arctanx ③arcsinx x 211231121(1)(1)23n n n n nn x n x x x x x n n ---∞=⋅+--=-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑∑④ln(1+x)= 2.π的近似计算⑴由函数arctan y x =的幂级数展开式知1211(1)21n n n x n --∞=-=-∑arctanx ①1x =若取时1111(1)43521n n π=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅- （1）1114(1+(-1))3521n n π⇒=-++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅- 等式的右端是一个交错级数且是收敛的，实际计算时，我们只能使用有限项。
如果取级数前n 项之和作为π的近似值 即1114(1+(-1))3521n n π≈-++⋅⋅⋅+，其误差为 42+1n r n ≤， 为了保证误差不超过410-，就要取级数（1）的前20000项进行计算，计算量之大可以想象.它的收敛速度很慢.对于arctan x 展开式而言，当x 越小收敛越快，恰恰在端点1x =收敛最慢. 以下取的求和的级数相应它的收敛速度要稍快些.②现若取3x =带入展开式得 35121111(1)63521n n n π--=-⋅+⋅+-+⋅⋅⋅- （2）123111111111(1))335373213n n n π--=-⋅+⋅-⋅+-⋅+⋅⋅⋅- 若取级数的前n 项和作为π的近似值，其误差为(2+1)3n nr n ≤⋅ 下面实现(2)式的计算，若要求误差小于410-，计算π的程序见附录1当n=8时，48910193r -=<⋅23711111111) 3.14167335373153π=-⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅= ③现取12x =，1arctan 2α=，显见04πα<<，记4πβα=-，而 1tan tan()43πβα=-=，所以1tan 3arc β=，就是 11tan tan 423arc arc π=+3513135131111114(...23252132111111...(1)) 3.1415633353133n π-=-⋅+⋅++⋅+⋅-⋅+⋅++-⋅=⋅ (3) 下面实现(3)的计算，若要求误差小于410-，计算π的程序见附录2当n=7时，1351335131111111111114(......(1)) 3.141562325213233353133n π-=-⋅+⋅++⋅+-⋅+⋅++-⋅=⋅⋅ ⑵对于sin arc x 的展开式而言，取12x = 11(21)!!162(2)!!21n n n n π∞=-=+∑+ (4) 下面实现(4)的计算，若要求误差小于410-，计算π的程序见附录3当n=4时，4497!!108!!92r -=<⋅⋅ 35711!!3!!5!! 3.14115622!!324!!526!!72π=+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅综上，知当误差确定时，对相同的幂级数展开式，x 的取值不同，近似计算π的精确程度也不同，对不同的幂级数展开式结果亦然.3.数e 的近似计算x e 以的幂级数展开式为基础进行讨论2301!2!3!!n nx n x x x x e x n n ∞===++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ 当x =1时，1112!!n x e n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅21111(11)2!!(1)!(2)!(3)!1111111(1)(1)(1)!(2)(2)(3)(1)!1(1)!n x e n n n n n n n n n n n n n⇒-+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+++=+++⋅⋅⋅<+++⋅⋅⋅=+++++++ 所以取作为近似值，则误差例如:精确到7110，则需要71110!10n r n n n <<⇒=(见附录4) 11111 2.71828182!3!10!e ∴=++++⋅⋅⋅= 扩广:利用幂级数推导e 是无理数1110(11)0!(11)12!!!2!!n n x x e n n e n n n n ⎡⎤<-+++⋅⋅⋅+<⇒<-+++⋅⋅⋅+<⎢⎥⎣⎦ 1!(11)2!!n x k n n e n ⎡⎤=-+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦令 01k ∴<<1!(11)112!!11!2!!11112!!!n x n n e n e n n n k n n n⎡⎤-+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦=+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++ 反证法:假设e 是有理数，则,,(,)1,p q N p q p q ∃∈=>11!1111!(11)2!!!2!!p k pn n e n n k q n n n q n ==+++⋅⋅⋅++⇒=+++⋅⋅⋅++ 等式左边是一个整数，右端第一项是整数，而k 是小数；即右端不是整数，矛盾. 故e 是无理数.3.对数的计算利用对数的幂级数展开式，作对数的近似计算。
根据对数的特征，只要计算出正整数的特征，那么由对数的运算，其它有理数的对数也就知道了. 以ln(1+x)的麦克劳林级数作为出发点12311(1)(1)23n n n nn x x x x x x n n --∞=--=-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ln(1+)= 11111=1ln 21(1)234n x n-=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅①当时， 当取前n 项作为其近似值，其误差1111(1)1)2341n n n x R n n --+-+⋅⋅⋅<+=ln2-(1- 如要精确到410-就要截取一万项来计算，另外上面的展开式的收敛域为11x -≤<,这就不能直接用它来计算其它整数的对数.下面用一个收敛较快的幂级数来计算ln21ln 1x x+-②利用的幂级数展开式 233521352135ln(1)231ln ln(1)ln(1)2()13521111112111111ln(1)2()213(21)53(21)311111,ln 22(33353(21)nn n x x x x x nx x x x x x x x n x x x n n n n n n n n ---=----⋅⋅⋅--⋅⋅⋅+∴=+--=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅--+=+⇒=-+⇒+=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅-⋅==+++⋅⋅⋅+⋅⋅-令令2142+12+32+1222-1)31011=2(+)(2+1)3(2+3)32111<(1+++)=(2+1)3234(2+1)3n n n n n n r n n n n --+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅如要精确到，443571010,=4()1111ln 22()0.301033335373n r n --<∴≈+++=⋅⋅⋅如要精确到，即使只要见附录535213511111ln(1)2()213(21)53(21)3111ln(1)ln ()213(21)5(21)n n n n n n n n n n -+=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅+⋅-⋅⇒+=++++⋅⋅⋅+⋅+⋅+拓展：这是一个递推公式，所以据此可求任何正整数的对数，相应的也可求有理数的对数.3535111ln 3ln 22()0.98653553111ln 52ln 22() 1.609453553=++++⋅⋅⋅=⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⋅⋅如： 如此进行下去，可得ln6,ln7,…的值利用上述计算方法，通过换底公式，我们可以计算得到了lg x 的一些近似计算结果并与数学用表中lg x 值进行比较（见表）表 lg x 的幂级数近似计算结果与数学用表中数值的比较通过此表，知幂级数作为近似计算的工具，结果与真实值很相近.参考文献[1] 董延闿.级数[M].上海:上海科学技术出版社,1982.[2]华东师范大学数学系.数学分析.[M].北京:高等教育出版社,1999[3]周晓阳.数学实验与Matlab.武汉:华中科技大学出版社,2002附录ps=pi;while abs(s-ps)>1e-4s=(-1)^(n-1)*2*3^(1/2)/[(2*n-1)*3^(n-1)]+s;n=n+1;ends,n程序所得结果为s=3.14167431n = 8即为使计算结果精确到小数后第四位，只需求对应级数前7项的和 利用Matlab 软件算得17(1)12131n n n n --⋅∑--= syms ksymsum((-1)^(k-1)*x^(2*k-1)/(2*k-1),k,1,8)ans =x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+1/9*x^9-1/11*x^11+1/13*x^13-1/15*x^15 x 当 syms kf=6*(-1)^(k-1)*(1/sqrt(3))^(2*k-1)/(2*k-1)symsum(f,k,1,7)结果为ans =3.14167431ps=pi;while abs(s-ps)>1e-4s=4*(-1)^(n-1)/(2*n-1)*[1/2^(2*n-1)+1/3^(2*n-1)]+s; n=n+1;ends,n计算结果为s =3.14156158n = 73. s=3;n=1;ps=pi;while abs(s-ps)>1e-4s=(2*n-1)!!/[(2*n)!!*(2*n+1)*2^(2*n+1)]+s;n=n+1;ends,n计算结果为s=3.14115n=44.s=1;n=1;while abs(s)<1e7s=1/[n*syms('n!')]+s;n=n+1;ends,n运行结果为s=2.7182818n=10ps=ln2;while abs(s-ps)>1e-4s=1/[4* (2*n-1)*3^(2*n-1)] +s; n=n+1;ends,n计算结果为s =0.30103n = 4。