2015高中数学必修4第三章经典习题含答案

第三章经典习题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150

分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．sin 2

π12－cos 2

π12的值为( )

A ．－1

2 B.1

2 C ．－3

2 D.32

[答案] C

[解析] 原式＝－(cos 2

π12－sin 2

π12)＝－cos π6＝－32.

2．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π23 B ．π C ．2π D ．4π

[答案] B

[解析] f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)，故T ＝2π

2＝π. 3．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π

2＋2θ)＝( ) A ．－429 B ．－79 C.429 D.79 [答案] C

[解析] cos(3π2＋2θ)＝sin2θ＝2sin θcos θ＝2×223×13＝42

9. 4．若tan α＝3，tan β＝4

3，则tan(α－β)等于( ) A ．－3 B ．－13 C ．3 D.13

[答案] D

[解析] tan(α－β)＝tan α－tan β

1＋tan αtan β

＝

3－431＋3×43＝13. 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( ) A.54 B.6

2 C.32 D ．1＋2

3

[答案] A

[解析] 原式＝sin 2

15°＋cos 2

15°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝5

4.

6．y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x 的最小值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．2 D ．－2

[答案] B

[解析] y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π

4)，∴y max ＝－ 2. 7．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝( ) A ．－1

B ．－15

C.57

D.17

[答案] D

[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝3－2

1＋6＝

17.

8．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →

|的最大值是( ) A. 2 B ．2 C ．4 D.22

[答案] B

[解析] PQ →＝(cos β－cos α，sin β－sin α)，则|PQ →

|＝(cos β－cos α)2＋(sin β－sin α)2＝2－2cos (α－β)，故|PQ →

|的最大值为2.

9．函数y ＝cos2x ＋sin2x

cos2x －sin2x 的最小正周期为( )

A ．2π

B ．π C.π2 D.π4 [答案] C

[解析] y ＝1＋tan2x 1－tan2x ＝tan(2x ＋π4)，∴T ＝π

2.

10．若函数f (x )＝sin 2x －1

2(x ∈R )，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π

2的奇函数

B ．最小正周期为π的奇函数

C ．最小正周期为2π的偶函数

D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] D

[解析] f (x )＝sin 2

x －12＝－12(1－2sin 2

x )＝－12cos2x ，∴f (x )的周期

为π的偶函数．

11．y ＝sin(2x －π

3)－sin2x 的一个单调递增区间是( ) A ．[－π6，π

3] B ．[π12，7

12π] C ．[512π，13

12π] D ．[π3，5π6]

[答案] B

[解析] y ＝sin(2x －π3)－sin2x ＝sin2x cos π3－cos2x sin π

3－sin2x ＝－(sin2x cos π3＋cos2x sin π3)＝－sin(2x ＋π3)，其增区间是函数y ＝sin(2x ＋π

3)的减区间，即2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，∴k π＋π12≤x ≤k π＋7π

12，当k ＝0时，x ∈[π12，7π

12]．

12．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝1

3，则log 5(tan αtan β)2等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

[答案] C [解析]

由

sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝1

3得

⎩⎪⎨⎪⎧

sin αcos β＋cos αsin β＝12

sin αcos β－cos αsin β＝13

，∴⎩⎪⎨⎪⎧

sin αcos β＝512

cos αsin β＝1

12

，

∴tan α

tan β＝5， ∴log

5

(tan αtan β)2

＝log

55

2

＝4.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________. [答案] 2

[解析] 原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17°＋28°)＝tan17°＋tan28°1－tan17°·tan28°＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－

tan17°·tan28°，代入原式可得结果为2.

14．(2012·全国高考江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2α＋π12的值为______． [答案]

172

50

[解析] ∵α为锐角，∴π6<α＋π6<2π

3，∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪

⎫α＋π6＝3

5；

∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α＋π6＝2425，