一种针对错误隐藏的牛顿插值算法

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牛顿插值法原理及应用

牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。

为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。

插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。

若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。

定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

基于Newton-Thiele有理插值的误码隐藏

基于Newton-Thiele有理插值的误码隐藏
周巍;史浩山;周欣
【期刊名称】《计算机仿真》
【年(卷),期】2007(024)002
【摘要】低速率的视频传输必然要求对视频信号进行高效压缩,而高效压缩后的视频码流对传输中产生的误码非常敏感.一旦传输中出现了误码,不仅影响该误码数据的恢复,还会影响与之相关的其他数据的恢复,造成误码扩散,误码隐藏是解决这个问题的一种有效方法.在对最新视频压缩标准H.264研究的基础上,针对H.264中相邻运动矢量具有高度相关性的特性,提出了一种基于Newton-Thiele型有理插值的误码隐藏算法,仿真结果显示,提出的误码隐藏算法可以有效地改善解码图像的视觉质量,并且能够满足实时视频传输的要求.
【总页数】4页(P93-95,144)
【作者】周巍;史浩山;周欣
【作者单位】西北工业大学电子信息学院,陕西,西安,710072;西北工业大学电子信息学院,陕西,西安,710072;西北工业大学计算机学院,陕西,西安,710072
【正文语种】中文
【中图分类】TP919.81
【相关文献】
1.基于数据隐藏的H.264视频传输抗误码方法研究 [J], 陈海波;董育宁
2.基于可伸缩视频编码的自适应误码隐藏方案 [J], 杨仝;唐昆;赵锴
3.一种基于Newton-Thiele型有理插值曲面的图像缩放方法 [J], 胡敏;檀结庆
4.一种三元Newton-Thiele型有理插值方法 [J], 崔蓉蓉;顾传青
5.关于Newton-Thiele型二元有理插值的存在性问题 [J], 赵春霞;顾传青
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数值分析2-3(牛顿插值法)

二阶差商
f [ xi , x j , xk ]
一般的k阶差商定义为
f [ x0 , x1 ,..., x k ] f [ x0 ,..., x k 2 , x k ] f [ x0 , x1 ,..., x k 1 ] x k x k 1
特别地，f(x)关于一个点xi的零阶差商定义为函数值本身，即
§3
差商与牛顿插值
一、差商及其性质二、差商的计算
三、牛顿插值公式四、牛顿插值法举例
一、差商及其性质
1. 差商的定义函数关于 xi, xj 一阶差商
f [ xi , x j ] fห้องสมุดไป่ตู้( x j ) f ( xi ) x j xi
f [ x j , xk ] f [ xi , x j ] xk xi
∶ ∶ ∶
f[x0,x1,x2] f[x1,x2,x3]
∶ ∶ ∶
f[x0,x1,x2,x3]
∶ ∶ ∶
例已知函数y= f (x)的观测数据如下，试构造差商表，并求 f [2,4,5,6]的值
x 0 2 f(x) 1 5
4 5 6 9 -4 13
解构造差商表如下
xi f(xi) 一阶二阶三阶 0 1 2 5 2 4 9 2 0 5 -4 -13 -5 -1 6 13 17 15 5 四阶
4 3 2
用二次插值求f (3)时，取
x0=2, x1=4, x2=5, 得 f ( 3) f ( 2) f [2,4]( 3 2)
f [2,4,5]( 3 2)( 3 4) 7 5( 3 2)( 3 4) 12 思考：若本题只给出前三个点，结果如何？请你总结牛顿插值法何时停止？

牛顿插值法介绍

牛顿插值法介绍本文将介绍牛顿插值法的基本原理、计算过程、优缺点以及在实际问题中的应用。

首先，我们将简要介绍插值法的基本概念和牛顿插值法的由来，然后详细讨论牛顿插值法的计算步骤和算法，接着分析其优缺点以及适用范围，最后通过几个实际问题的例子展示牛顿插值法的应用场景。

一、插值法基本概念在数学和计算机领域，插值是指根据已知的离散数据点构造满足这些数据点的曲线或函数的过程。

假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们想要通过这些数据点构建一个函数f(x)，使得f(xi) = yi，其中i = 1, 2, ..., n。

这样的函数就是经过插值的函数，它代表了这些数据点的趋势和变化规律。

插值法通常用于寻找这样的函数，它能够通过已知的数据点来估计函数在其他位置的值。

常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。

在这些方法中，牛顿插值法是最为广泛使用的一种，因为它的计算效率高、精度较高，并且易于编程实现。

二、牛顿插值法的由来牛顿插值法由艾萨克·牛顿在17世纪提出，他是一位英国著名的数学家、物理学家和天文学家，在微积分、物理学和光学等领域都做出了重大贡献。

牛顿发展了牛顿插值法的理论基础和计算方法，并将其应用于数据分析和天体运动等问题中。

牛顿插值法基于牛顿插值多项式的概念，该多项式利用差商（divided differences）来表示，并具有易于计算和分析的优势。

牛顿插值多项式能够在已知的数据点上进行插值，并且还可以通过添加新的数据点来动态地更新插值结果。

因此，牛顿插值法成为了一种非常有用的数值计算工具，被广泛应用于工程、科学和金融等领域。

三、牛顿插值法的计算步骤1. 确定数据点首先，我们需要确定一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，这些数据点是我们已知的数据，我们要通过它们来构建插值函数。

牛顿法代数插值ndash差商表的求法

牛顿法代数插值ndash 差商表的求法原文地址：牛顿法代数插值–差商表的求法作者：大关牛顿法代数插值–差商表的求法下面的求插商的方法并不是好的求插商的方式，因为他的效率并不是很高，不论是从空间效率还是时间效率，但是下面主要探讨的是一种将塔形的数据转换成一位数组的方式。

实际上求插商仅通过一个n个元素的一位数组就能解决，但本文强调的是一种思路，希望对大家有所借鉴。

牛顿插商公式：f[xi,xj]=(f(xj)– f(xi))/(xj– xi)f[xi,xj,xk]=(f[xj,xk]– f[xi,xj])/(xk– xi)….f[x0,x1,x2…,xn]=(f[x1,x2,…,xn]– f[x0,x1,…,xn-1])/(xn– x0)转换成均插表(或称差商表)形式如下：定义1：f[xi,xi+1,…xj]简记为f(i,j)其中i=0&&i=n&&j=0&&j=n&&i j；记f(xi)为f[xi,xi]即f(i,i)根据定义1可以推出：f[x0,x1]=f(0,1),f[x0,x1…xn]=f(0,n)….根据定义1：可以将插商表转换为如下形式。

根据上图，可以给出实际一维数组存储时的序列关系，如下图所示：此时f(0,0)位置是数组下标0，f(1,1)是数组下标为1….这样，我们从中找出相应的规律。

推论1：已知f(i,j)，n为变量的数目，令k=j– i。

当k不等于0时，f(i,j)在数组中的下标通过计算得：Index=k*n–((k-1)*k)/2+i当k等于0时Index=i。

推论1很容易证明(实际就是一个等差数列求和问题)这里证明略。

推论2：n为变量的数目，则一维数组的长度可以计算得((1+n)*n)/2推论2可以通过等差数列求和得以证明。

证明略。

推论3：各阶插商就是f(0,k)k=1,2….n.推论3：根据插商的定义和定义1可以直接推出。

牛顿插值法的原理和推导过程

牛顿插值法的原理和推导过程一、引言在科学计算和数值分析中，插值法是一种重要的数学工具，它可以通过已知的离散数据点来估计未知点的值。

在众多插值法中，牛顿插值法以其形式简洁、计算方便而广受欢迎。

本文将对牛顿插值法的原理和推导过程进行详细阐述。

二、牛顿插值法的基本原理牛顿插值法是一种多项式插值方法，它的基本思想是通过构造一个n次多项式Pn(x)，使得该多项式在给定的n+1个插值节点上与被插值函数f(x)具有相同的函数值。

这样，在插值节点之间，我们可以用Pn(x)来近似代替f(x)。

三、牛顿插值法的推导过程差商与差分为了构造插值多项式，首先需要引入差商的概念。

设f[xi,xj]表示函数f(x)在点xi 和xj上的一阶差商，其计算公式为：f[xi,xj] = (f(xj) - f(xi)) / (xj - xi)类似地，可以定义二阶、三阶乃至n阶差商。

n阶差商f[x0,x1,...,xn]表示函数f(x)在点x0,x1,...,xn上的差商，可以通过低一阶的差商递归计算得到。

差分是差商的另一种表现形式，它与差商之间有一一对应的关系。

在实际计算中，差分往往比差商更方便。

牛顿插值多项式的构造有了差商的概念，我们就可以构造牛顿插值多项式了。

设n次牛顿插值多项式为：Pn(x) = f(x0) + fx0,x1 + fx0,x1,x2(x-x1) + ... + fx0,x1,...,xn(x-x1)...(x-xn-1)其中，f[x0,x1,...,xk]表示k阶差商。

可以看出，Pn(x)是一个形式简洁的多项式，其各项系数即为各阶差商。

为了证明Pn(x)满足插值条件，即Pn(xi) = f(xi) (i=0,1,...,n)，我们可以将xi代入Pn(x)中，逐项验证。

由于差商的性质，当x取xi时，高于i阶的差商项都将为0，因此Pn(xi) = f(xi)。

牛顿插值法的计算步骤（1）根据给定的插值节点，计算各阶差商；（2）根据牛顿插值多项式的公式，构造插值多项式Pn(x)；（3）将需要插值的点代入Pn(x)，得到插值结果。

数值分析4.2 牛顿插值法

Rn ( x ) f [ x, x0 ,, xn ]( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
Rn(x)称为牛顿型插值余项。
可见, Nn(x)为次数不超过n 的多项式,且易知
Rn(xi)= 0 即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, …,n)
满足插值条件, 故其为插值问题的解, Nn(x)称为牛顿插值多项式。
f ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x , x0 , x1 ]( x x0 )( x x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x , x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )( x x2 )
差分有如下基本性质
性质1 各阶差分均可用函数值表示. 即
f i f n i c f n i 1 (1) c f i (1) c f n i j
n 1 n n n n n n j
n
f i f i c f i 1 (1) c f i n (1) c f i j
Rn ( x ) f [ x , x0 , , xn ]( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) f [ x , x0 , , xn ] n1 ( x )
k 1 n
f ( x ) N n ( x ) Rn ( x )
N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , , xn ]( x x0 ) ( x xn1 )

牛顿插值法原理及应用

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。

为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...x n](x-x0 )...(x-x n-1)+R n(x)。

插值函数插值函数的概念及相关性质乩定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn (设a< x1 <x2 < xn w b)。

若在函数类中存在以简单函数P(x)，使得P(xi)=yi,则称P(x)为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn为插值节点，称[a,b]为插值区间。

定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序1,-Mt Cll. nilI frT-r-1■■』zJr1程序框图#include<stdio.h> void mai n(){float x[11],y[11][11],xx,temp, newto n;int i,j, n;printf("Newton 插值:\n请输入要运算的值:x=");sca nf("%f", &xx);printf(" 请输入插值的次数(n<11):n=");sca nf("%d",&n);printf("请输入％d组值:\n",n+1);for(i=0;i< n+1;i++){ prin tf("x%d=",i);sca nf("%f", &x[i]);prin tf("y%d=",i);sca nf("%f", &y[0][i]);XO=OMHUOW ①匚LHdlu9a巨A-」WL-qx-mxgD-mL'M-nKL'MHmuM①(LAW7 (++rL+uvrHD 」04 (+土=+u v ~ud 」04a -=x① s a)O O H(匚L o_(x )l l o)u ①-H u((A)£6U2H H(X )£6U①一)七】siuAs(oxsx)uoweN H 4 u o l o u a性胆 qewlAIw迴B犀<eo w① u-xx-=u\J6&Ha寸& )M灭<撫旨e ^=)匕 £」d宀CL l u ①&=二A +uo g ① u H u og ① u二 L.'vxxhdlu 晋 dlu2 〉(+土=+u v ~U_)」O 4disp('x 和y 的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); % 将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x) 在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(X)的近似值。

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０引言
网络传输技术在不断的发展，但是丢包现象仍
然不可避免，为了减少和弥补丢包错误，在网络中
重传（Ｒ、错误弹性编码、交叉打包和错误隐ＡＱ）藏技术。本文重点研究错误隐藏技术，并在传统的
错误隐藏方法的基础上提出一种针对错误隐藏技术
ｃｎｃａｍｅｏｅｌｎｔ
ＬＹｉａｅｇＨａｉｊ，Ｚｎｉｏ
（ｈｎｑｎｉｒｔｏｐｓ＆ｔｌｏｍｕｉｔｎＣｏｇｉ，００５，．ＣｉａＣｏｇｉｇＵｎｖｓｙｆｏｔｅｉｓｅｃｍｎｃｉ，ｈｎｑｎ４０６ＰＲ．ｈｎ）ｅａｏｇ
ｔｍｐａｅｄ，ｐｒｐｏｅｎｉｐｒｖｅｌｏｒｔｍ．ｍｕｌｔｏｒｓｌｓｓｗｈａｈｓｓｈｍｅｃｎｈｉｈｌｍｐｒｖｅｈｅｅｏｒｌｆｌｉｏｓｄａｍｏｄａｇｉｈＳｉａｉｎｅｕｔｈｏｔｔｔｉｃｅａｇｙｉｏｄｔｑｕｉｙｏｆｒｃｎｓｕｔｖｄｏ．ｌａｔｅｏｔｃｉｅｒＫｅｗ０ｄｓＥｒｏｏｅｍｅ；Ｎｅｔｎｔｒｏａｉｎ；Ｍｏｏｎｖｃｏｒｙｒ：ｒｒｃｎｃａｌｎｔｗｏｎｉｅｐｌｔｏｉｔｅｔ
针对传统的空域和时域的牛顿插值算法，出了一种改进算法，提经模拟实验证明，这种改进的算法能较好地
改善图像的质量。
关键词：错误隐藏；牛顿插值；运动矢量
中图分类号：Ｔ１．４文献标示码：ＡＮ９５０
Ｎｅｔｎｎｔｒｌｔｏｎｌｏｒｔｗｏｉｅｐｏａｉａｇｉｈｍｏｒｏｒｆｒｅｒ
定了受损块的范围之后，利用受损块周围正确接收
的块信息做平均插值计算得到的。帧内错误隐藏流程如图１所示。
１针对错误隐藏的牛顿插值算法
针对错误隐藏的牛顿插值算法的大致原理如图
３所示。
图１帧内错误隐藏流程
扫描当前帧的时候，先从左至右定列，然后
的牛顿插值算法。
有效、高质量的传输视频流，我们通常采用的容错
技术有以下几种：前向纠错编码（Ｅ、自动请求ＦＣ）
错误隐藏技术（ｒｒｏｃａｎ，ＥＥｒｎｅｌｔＣ）就是ｏＣｍｅ
在解码端利用已经正确接收的信息将丢失的图像信
巴
２１ｏｏ年２旯第２期
电子漏试
ＥＬＥｃＴＲＯＮＩＴＥｓＴＣ
Ｆｂ．ｏ１ｅ２ｏ
Ｎｏ．２
一
种针对错误隐藏的牛顿插值算法
李宜佳，曾浩（重庆邮电大学，重庆４０６）００５
摘要：网络传输技术在不断的发展，但是丢包现象仍然不可避免，为了减少和弥补丢包错误，在网络中有效、高质量地传输视频流，我们通常采用的容错技术有以下几种：前向纠错编码、自动请求重传隐藏技术中的牛顿插值算法进行了详尽的分析，并且
ａａｓｆｔｅＮｅｏｎｅｐｌｔｎａｏｉｍｎｅｒｒｃｎｅｌｎｅｈｉｕｓｂｔｎｔｅｓａｉｌｅｄａｄｉｈｎｙｉｏｗｔｎｉｔｒｏａｉｌｒｈｉｒｏｏｃａｍｅｔｃｎｑｅ，ｏｈｉｈｐｔｌｎｎｔｅｌｓｈｏｇｔｔａｆｉ
设计与研发
息一定程度的恢复出来，从而起到保证图像质量的
目的。
３。确定受损范围之后可以简单将前一帧相同位种置的块信息拷贝当前块中，或者通过遍历受损块周
围的块，搜索出最合适的运动矢量，来代替受损块
的运动矢量。
传统的错误隐藏技术分为帧内错误隐藏和帧问错误隐藏２类。对于帧内的错误隐藏算法，简单的来说是当确
ｈｈｑａｔ．ｓａｙｕｅｖｒｃｎｌｇ，ｓｃｓＥ，ｉ — ｕｌｗｅｕｕｌｓｄｓｅｔｈｏｏｇｉｙｌｅａｅｌｙｕｈａＦＣＡＲＱ，ｒｓＰｃａｅＥｒｒｃｎｅｌｎ．ｔｌＣｏｓａｋｇ，ｒｏｃａｏｍｅｔＤｅｉｄａｅ
ＡｂｓｒｔＷｉｈｔｖｅｏｔａｃ：ｔｈｅｄｅｌｐｍｅｈｅｎｅｗｏｒｒｎｍｉｓｏｎｔｃｏｌｙ，ｔｎｔｏｆｔｔｋｔａｓｓｉｅｈｎｏｇｈｅｐｈｅｍｅｎｆｐａｋｔｌｔｉｔｌｎｏｎｏｏｃｅｏｓｓｓｉｌｉｖｉａｅｎｏｒｅｏｒｄｅｎｄｃｐｅｓｔｏｒｐａｋｅｏｓｒｎｓｔｄｖｄｏｓｒａｓｉｅｗｏｋｅｅｔｖｌｎｄｎｅｔｂｌ，ｉｄｒｔｅｕｃａｏｍｎａｅｆｃｔｌｓ，ｔａｐｏｒｅｉｅｔｅｍｎｎｔｒｆｃｉｅｙａ
在该列中进行逐行扫描，确定受损块的范围，这里分为从顶部开始受损，至底部受损和中间受损三种。然后检测并收集当前块周围块的信息，最后通过计算平均插值得到受损块的信息。