稳恒电流的磁场
稳恒电流的磁场复习
复习： P88-P89：11-7、8、10
一、两个基本量
1. B 2.磁通量
B
d m
dS
Φm
s
B dS
S
二.两个基本定律 1.毕--萨定律 μ0 I dl r dB 4π r 3 2.安培定律
dB
Idl
dB
r
Idl
I
Φ dΦ
R2
I
l
R2 ln 2π R1
Il
R1
2π r
ldr
P
R2
S
dr
12. 半径 R的无限长半圆形金属薄片中，自上而下 有电流 I 均匀通过，如图所示。求半圆片轴线上 O 点的磁感强度。
解： dI I d 0 I 0 dI d dB 2R 2R
B dl 0 I
l
2 π rB 0 I
0
I
r
R2
0 I B 2πr
I
R1
R1 r R2
I
r
0 I B 2πr
0
r R2 B dl 0 (I I ) 0
l
I
R1
B
同理可求
R2
r R1 , B 0
10. 两个长直螺线管半径不同，但它们通过的 电流和线圈密度相同，问这两个螺线管内部的 磁感应强度是否相同？
R
b
L
f BI ( 2R ) 2BIR
方向竖直向上
F=BI(2R)=2RBI R I
I
方向向右
b
a
L
c
d
F=BI(L+2R) 方向竖直向上
《稳恒电流的磁场》选择题解答与分析
由毕奥-萨伐尔定律 d B 0 I d l r /(4r 3 ) ，知答案(B)正确。
a d
b I dl
c
选择(A)给出下面的分析：
dq ˆ r 4 0 r 2 0 I d l r 电流元磁场公式： d B 4r 3
点电荷电场公式： d E
比较 d B d B x iˆ d B y ˆ j, d B x
0 I d ly 4r 3
0 I d l
4 ( x y
2 2 3 z2 ) 2
y.
对于所有错误选择，给出下面的资料：
0 I d l r 毕奥-萨伐尔定律： d B ，涉及矢量的叉乘，其基本运算公式： 4r 3 ˆ ˆ ˆa ˆ ˆ ˆ 设： a a1i 2 j a 3 k , b b1i b2 j b3k
对所有错误的选择，进入下一题： 1.1 在阴极射线管的上方放置一根载流直导线，导线平行于射 线管轴线，电流方向如图所示，阴极射线向什么方向偏转？当 电流 I 反向后，结果又将如何？
I
参考解答： 电流产生的磁场在射线管内是指向纸面内的，由 F ev B 知，阴极射线(即电 子束)将向下偏转．当电流反方向时，阴极射线将向上偏转． 进入下一题：
3. 关于磁感应强度方向的定义，以下说法，正确的是 (A) 能把磁场作用于运动电荷的力的方向，定义为磁感应强度的方向. (B) 不能把磁场作用于运动电荷的力的方向，定义为磁感应强度的方向. 答案：(B) 参考解答： 因为磁力的方向还随电荷运动速度方向而不同，因而在磁场中同一点运动电荷受 力的方向是不确定的．
6
B
3. 如图，一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，试证明 导线 a 到 b 之间的一段上所受的安培力等于载同一电流的直 导线 ab 所受的安培力． 参考解答： 证：由安培定律
稳恒电流的磁场的散度和旋度
从而得到
−
d dt
∫ ρdV
V
=
0
表示全空间的总电荷守恒。
毕奥-萨伐尔定律
∫ K
B
=
μ0
4π
V
′
K J(
x′) r3
×
rK
dV
′
K dB
K K r dB 垂直于JdV ′与
所形成的平面 rK
μ0是真空中的磁导率。
K JdV ′
μ0
=
4π
×107
N A2
磁场的矢势
( ) K
∇
×
⎛ ⎜
⎝
A g
⎞ ⎟ ⎠
),
求电荷分布为ρ(rK)=ρ0e−αr的电势和电场强度， 其中α为常数
=
g
KK
∇× A + A×(∇g )
g2
∇
×
K J(
xK′)
=
r(∇
×
K J(
xK′))
+
JK ( xK′)
×
(∇r
)
r
r2
K J(
xK′)
×
(∇r
)
=
r2
=
K J(
xK′)
×
K r
r3
磁场的矢势
∫ K
B
=
μ0
4π
V
′
K J (x′)
Kr 3
×
K r
dV
′
∫ = μ0 ∇ × J (x′) dV ′
∫V
∇⋅
G JdV
=
−∫V
∂ρ
dV ∂t
∇⋅
K J
+
∂ρ
稳恒电流的磁场
运动点电荷的磁场 r ) r µ 0 qv × r0 可证为： 可证为： B= 2 4πr
求运动点电荷的磁场公式。 例3 求运动点电荷的磁场公式。 r
r
r B
S
r θ qv
r I r µ 0 I d l × r0 r d 由： B = 2 qv 4π r d l = vd t ← dl → d Q nq ⋅ sv d t I= = = nqsv 线元中载流子数 : d N = ns d l dt dt
大学物理
第十五章稳恒电流的 稳恒电流的磁场 稳恒电流的
静磁场（或稳恒磁场） 静磁场（或稳恒磁场）——分布不随时间变化的磁场 分布不随时间变化的磁场 一 真空中的稳恒磁场及其规律 r 拉定律； 萨 拉定律 磁感应强度矢量 B 。 毕—萨—拉定律；磁场的高斯 定理；真空中的安培环路定理。 定理；真空中的安培环路定理。 已知稳恒电流分布 求稳恒磁场的分布的两种方法。 求稳恒磁场的分布的两种方法。 二 磁场对运动电荷及载流导体的作用 洛仑兹力公式； 安培定律。 洛仑兹力公式； 安培定律。 三 介质中的磁场及其规律 r 有介质存在时的安培环路定理。 磁场强度矢量 H 。 有介质存在时的安培环路定理。
r 的方向。 （1）磁感应线上任一点的切线方向∥该点的B 的方向。 ）磁感应线上任一点的切线方向∥ r 的大小。 （2）⊥通过单位面积的磁感应线数数值上等于该处B 的大小。 ）
作法（同电力线） 作法（同电力线） 磁感应线的性质（ 的反映） 磁感应线的性质（实为磁场性质 的反映） （1）磁感应线总是连续的。 ）磁感应线总是连续的。 （2）磁感应线为环绕电流的闭合曲线。 ）磁感应线为环绕电流的闭合曲线。
大小：当带电粒子的速 大小： Fm ,max 度垂直于该方位时， 度垂直于该方位时，受 B= 定义磁 力最大 Fm,max ，定义磁 q ⋅ V⊥ 感应强度的大小为 感应强度的大小为： r r 指向： 指向：定义 Fm ,max 与 q V ⊥ 的矢v r 量积方向（右手螺旋关系） 量积方向（右手螺旋关系）为 B q V⊥ 的指向 。
第十三章 稳恒电流的磁场
v Idl
L
r
ˆ r
v r v v µ Idl ×r B = ∫ dB= ∫ 3 L L4 π r
四、毕—萨定律应用 萨定律应用 r 1.载流直导线产生的B r r Idl 在P点产生dB,
X I
⊗ B 统一变量： x, α , r三个变量 统一变量： sinα = cos β
2 v Idl α v 方向：垂直版面向里 L r µ Idl sin α dB = 2 x Z 4π r β1 β µ Idxsinα B= ∫ o 2 a L 4 π r
I
θ
R
•
µ0I θ B= 2R 2 π
例：如图，电流I经过半无限长导线Ⅰ，半圆导线(半径为 R)Ⅱ，半无限长导线Ⅲ,求圆心O点的磁感应强度 B 。
微观本质： 微观本质：
1) 电流是电荷运动的结果；
2) 磁铁是环形电流的定向排列——安培分子 电流假说。
s
应用程序
N
v 二、磁感应强度 (B)
与描述电场类似， 与描述电场类似，运动电荷在磁场中受力的性质引入一 个磁感应强度。 个磁感应强度。
r r 运动电荷在磁场中受力最大： 运动电荷在磁场中受力最大：v ⊥ B
ZnCl2 NH3Cl
依靠某种与静电力完全不 同的力——非静电力。提 非静电力。 同的力 非静电力 供非静电力的装置称为电 源。
四、欧姆定律的微分形式
v j
n λ e γ 令： = v 2m v
2
v E
∆ s u∆ t
v u
γ 称为电导率
令：
v v j =γE
1
γ
= ρ称为电阻率
欧姆定律的微分形式
r n
dSn
v j
电磁学赵凯华第三第四章稳恒磁场
问题：磁作用不满足牛顿第三定律？本节思考题3
现在是19页\一共有66页\编辑于星期四
4.磁感应强度矢量（磁场强度？） B
(1) 通过与电场强度的对比引入磁感应强度矢量
点电荷电场强度的引入
电流元磁感应强度的引入
两点电荷之间的库仑力
两电流元之间的安培力
F12
1
4 0
q1q2 r122
rˆ12
dF12
正确的安培定理数学表达式
dF12
k
I1 I 2dl2
(dl1 r122
rˆ12 )
该公式与安培实验结果相符（自行验证）
现在是14页\一共有66页\编辑于星期四
安培定理数学表达式说明见下页
安培定理数学 表达式的说明
I1 dl1
r12 F12
dF12
k
I1 I 2dl2
(dl1 r122
F
B
(6) B 的广义定义（电流元受力）
B大小： B dFmax / Idl
再由 dF Idl dB
唯一确定(见图)
B方向： 在dF=0时的电流元方向上。两个:θ=0,π
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(7) B 的量纲、单位
dF
IdlB sin
B
dF
Idl sin
∴ 量纲：
第四章 (真空中)稳恒电流的磁场 magnetic field
§1. 磁的基本现象和规律
作业：p255思考题2
磁现象研究发展概要
习题6,10,20,25,30
1820年之前（库仑实验：1784--1785 ），人们认为磁和电是没有关系 的物理问题。 1820年丹麦人奥斯特的电流的磁效应揭示：运动的电产生磁 。发现的意义：电磁之间有相互联系。
稳恒电流的磁场
将线圈置于磁场中，当磁场发生变化时，线圈中产生感应电流，并 受到磁场的作用力而发生旋转，实现电磁驱动。
霍尔效应实验
将导体置于磁场中，当电流通过导体时，在导体两侧产生电势差， 这种现象称为霍尔效应，可用于测量磁场强度。
电磁感应现象实验
法拉第实验
通过在导线线圈中切割磁感线，发现导线中产生 感应电流，即电磁感应现象。
稳恒电流的磁场
https://
REPORTING
• 磁场和电流的关系 • 稳恒电流产生的磁场 • 磁场对稳恒电流的作用 • 稳恒电流的磁场应用 • 实验与观察
目录
PART 01
磁场和电流的关系
REPORTING
WENKU DESIGN
安培环路定律
安培环路定律是描述磁场和电流之间关系的物理定律，它指出磁场和电流之间的 关系是线性的，即磁场是由电流产生的，并且电流的存在会导致周围空间中磁场 的形成。
电流在磁场中的受力分析
02
根据左手定则，可以判断电流在磁场中受到的力的方向。
电磁感应
03
当导线在磁场中做切割磁感线运动时，导线中会产生感应电动
势，从而产生感应电流。
PART 03
磁场对稳恒电流的作用
REPORTING
WENKU DESIGN
洛伦兹力
定义
洛伦兹力是指带电粒子在磁场中 所受到的力，其大小与带电粒子 的电荷量、速度和磁感应强度有
磁场对电流的作用力
磁场对电流的作用力是指电流在磁场中受到的力，这个力的 大小和方向取决于电流和磁场的相互位置和方向。
磁场对电流的作用力遵循安培定律，其数学表达式为： F=IBLsinθ，其中F表示作用力，I表示电流，B表示磁场强度，L 表示导线长度，θ表示电流和磁场方向的夹角。
大学物理下稳恒电流的磁场
r
0
dB
I
P
*r
Idl
真空磁导率 叠加原理
0 4π 10 7 N A2
B
dB
0I
dl
r 0
4 r2
dB
0 4π
Idl
r2
r 0
毕奥—萨伐尔定律
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
8
2
+
7
Idl + 3
R
6
+4
5
1、5 点 ：dB 0
3、7点
：dB
0 Idl
4π R2
2
B
0 2
R
dr
0
0R 2
定向运动的带电体的等效电流：
I ——单位时间内通过某个截面的电量
I' q q ( 2)
T 2
T
圆心的磁感应强度：
B0
0I' 2R
0 4R
q
q、T
方向 垂直纸面向外
带电体的磁矩：
Pm
I'S
qR 2 2
1 qR 2 2
解：圆电流的磁场 dI 2rdr rdr 2
2、4、6、8 点 ：
dB
0 Idl
4π R2
sin
450
例1 载流长直导线的磁场.
解: dB方向均沿 z 轴的负方向
y
dB
0 4
Idy sin r2
D
2
r a sec
y a tg
dy r
I y oa
0
P*
0I cosd sin cos
4a
dy a sec2
dB
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第 28 次课 日期 周次 星期 学时：2内容提要：第八章 稳恒电流的磁场§8.1 毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律 一． 磁的基本现象 二． 磁场三． 磁感应强度矢量 四． 毕—萨定律五． 毕——萨定律的应用 目的要求：1．理解电流产生磁场的规律：毕奥——萨伐尔定律，了解低速匀速运动点电荷产生磁场的规律。
2．掌握描述磁场的场参量：磁感应强度。
3．掌握场量叠加原理，能计算一些简单问题中的场量。
重点与难点:1.毕——萨定律的理解；2.能用毕—萨定律求一些简单问题的B教学思路及实施方案： 本次课应强调：1． 毕奥——萨伐尔定律是电流产生磁场的基本规律，是矢量积分。
2． 直线电流的磁场和圆电流在轴线上的磁场是用毕奥——萨伐尔定律计算电流产生磁场的典型例题。
其结论不仅可以计算折线电流和圆电流在圆心处的磁场，还可以计算以此结论为基础的电流的磁场，例如例题1的计算。
3． 低速运动电荷的磁场是以电流的磁场计算公式为基础的。
应重点介绍其电流强度为：qnvs I教学内容：§8.1 毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律 一．磁的基本现象1． 两个永久磁铁的磁极间的相互作用 2． 电流和电流间的相互作用磁现象的本质都是由运动的带电粒子所产生的，例如，根据安培的分子电流假设，磁铁的磁现象来源于分子电流。
二．磁场1。
磁的相互作用是通过场来实现的， 磁铁 磁场 磁铁 电流 磁场 电流 磁场的物质性：磁场对磁场中的其它运动电荷或载流导体有磁力的作用，说明磁场具有动量； 磁场对磁场中的其它运动电荷或载流导体能做做功，说明磁场具有能量。
三． 磁感应强度矢量1.B 的引入磁场的存在是通过对运动电荷或电流的作用显示的。
为了定量地描述磁场，如同电场，类似地引入磁感应强度作为磁场的描述参量，它可以通过磁场对作探测用的运动正点电荷0q (试验电荷)或载流小线圈(试验线圈)的力作用来确定。
磁感应强度常用字母B 表示，不难理解，它是一个矢量，是位置坐标的函数。
2.以下通过磁场对试验电荷的作用来定义磁感应强度B 。
实验表明：以速度v 相对磁场运动的试验电荷0q (0q ＞0)，在磁场中某位置处的受力不仅与电荷的电量0q 有关，还与它在该处相对磁场运动的方向和大小有关。
若仅改变0q 在此处的运动方向，发现存在两个特定方向，在其中一个方向上受力最大，记为m F ；在另一个方向上不受力，且这两个特定方向相互垂直。
洛伦兹力的一般表达式： B v q FqvB F m 因此定义磁场中该位置处的磁感应强度B 的大小为 qvF B m在实验室中，常采用磁场对试验线圈产生的力矩作用来测定磁场，相应也可以用类似方法来定义磁感应强度。
3.在国际单位制(SI)中，磁感应强度的单位称为特斯拉，用字母T 表示。
有时也用高斯 (G)作单位，G T 4101 四．毕—萨定律 运动电荷激发磁场，最通常和有实际意义的是稳恒电流所激发的磁场，叫做稳恒电流的磁场，简称稳恒磁场。
稳恒电流总是闭合的，又是多种多样的。
为求任意电流的磁场，先将电流分成许多小元段，称为电流元Id l。
毕—萨定律是关于电流元Id l与其所产生的磁场d B 间关系的实验定律。
其数学表达式如下：304r r l Id B d304r rl Id B （矢量积分），式中积分范围是线电流的分布区域。
五．毕——萨定律的应用方法:（1）.304r r l Id B d20sin 4r Idl dB（2）．建立坐标系，求x dB ，y dB ，z dB（3）．利用几何关系统一积分变量，积分求出zy x B B B ,,（4）．求大小：222z y x B B B B ，并判断其方向。
1．直线电流的磁场。
如图，设直线电流长为L ，在它周围任一场点P 到直线电流的距离为r ，P 的位置由r 和角度1 和2 确定。
在线电流上不同位置处的电流元在P 点产生的d B 是不相同的，故求解时首先必须取微元(电流元)，再求关于d B 的矢量积分。
这在思路上与静电场中运用点电荷的电场和场叠加原理求解带电体的电场是一致的。
20sin 4r Idl dB利用几何关系统一积分变量:cos sin ， cos a r ， atg l2cos ad dl d a I a Iad dB cos 4cos cos cos 402220)sin (sin 4cos 4120021aId a I dB B或者：)cos (cos 4210a IB特例：无限长载流直导线：)2(1，22得：a I B 20上述结论的意义：(1)可直接计算载流直导线、无限长载流直导线及折线电流的磁场； (2)可计算以长直电流为基础的其它电流的磁场。
例1 已知电流强度为I ，宽度为a 的无限长面电流，求与之共面且相距为a 的一点的B。
解：由无限长载流直导线的B ： )2(2200x a dI dB a IB因为dxa I dI ， 所以2ln 2)2(2000a I dx a x a I B a圆电流轴线上的磁场设圆半径为R ，所载电流为I 。
在圆电流上任取一电流元Id l ，它在轴上任一场点P 的d B (教材图6.4)：20),sin(4r r l d Idl dB分解dB ： dB 和pxdB 。
由于 dB 互相抵消，所以 ： sin 4sin 20r IdldB dB px2322203030)(2244x R IR R r IR dl r IR B B px 特例：圆心处，0 x ，R I B 20 ； N 匝，R I N B 20例题2.一塑料圆盘半径为R ，均匀带电q ，以角速度 转动，求圆心处的B解：dI x dB 20 ， 2)2(2xdx R q dIR q B dx R q dB 22020 三． 载流直螺线管轴线上的磁场。
导线均匀地密绕在圆柱面上形成的螺形线圈(如图)称为螺线管。
设螺线管长为L ，半径为R ，电流强度为I ，沿轴线单位长度线圈匝数为n 。
因为线圈是密绕的，所以可把它看成是由许多匝圆形线圈紧挨密排组成，载流后则视为密挨的一组圆电流。
)cos (cos 2120nI B由上式结果知，在载流螺线管轴线上 任一点的B 值与该点的位置及螺线管的 长度有关。
图6.6给出了B 沿轴线的值 分布以及磁感线的分布示意图。
对于无限长螺线管：由于＝0，2＝π，得nI B 0 。
4．低速运动电荷的磁场 电流实质上是由相对观察者有宏观定向运动的电荷形成，因此电流产生磁场，实质是运动电荷产生磁场。
以下从电流元与其磁场关系的毕——萨定律出发，导出运动电荷与其所激发的磁场的关系，严格说应是低速运动电荷的磁场，因为载流导体中自由电子的定向漂移速度仅为410 米／秒的数量级。
定义：n ----单位体积内的带电粒子数， q ----每个粒子的电量， s ----截面积， v ----粒子的速度电流强度：qnvs I ，电流元与其所激发的磁场关系为20),sin()(4r r v dl qnvs dB因为在电流元l Id内，有带电粒子数为：nsdl dN ，所以每个带电粒子的20),sin(4r r v qv dN dB B矢量表达式：304r rv q B第 29 次课 日期 周次 星期 学时：2内容提要：§8.2 磁场定理 一．磁通量二．磁场的高斯定理 三．安培环路定理 四．安培环路定理的应用 目的要求：理解磁场定理：磁场的高斯定理和安培环路定理，掌握用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。
重点与难点:1.m的计算：dsB ds B s d B sn ss m cos2.安培环路定理的理解3.求B的第二种方法（iiI l d B 0 ）教学思路及实施方案： 本次课应强调：1． 1． 磁场的高斯定理说明磁场是无源场。
用磁力线的术语来说，就是磁力线是无头无尾的闭合曲线。
2． 2． 环路上的磁感应强度B 是环路内、外所有电流所产生的磁场，但B 的环流由式 iiI l d B 0知仅与环路所包围的电流的代数和有关。
即没有穿过回路的电流对总场有贡献，但对环流没有贡献。
3． 3． 利用安培环路定理也可以方便地计算出某些具有对称性的载流体的磁场分布。
与利用高斯定理求解电场一样，利用安培环路定理求磁场分布一般也包含两步：首先依据电流的对称性分析磁场分布的对称性，然后选取合适的闭合路径(又称安培环路)，再利用安培环路定理计算B 。
4． 4． 无限长直均匀载流圆柱体外、无限长直均匀载流圆柱面外任一点的B等于把这些电流全部集中在轴线上无限长直均匀载流直导线所产生的B。
教学内容： §8.2 磁场定理 一.磁通量同于电场中电通量的定义，在磁场中若面元S 处的磁感应强度为B ，则定义ds B s d B d m cos为面元的磁感应通量，简称磁通量。
对任意有限曲面S ，其磁通量为dsB ds B s d B sn ss m cos积分遍及整个曲面。
在国际单位制(SI)中，磁通的单位为特斯拉·米，又称为韦伯(b W )。
例1如图所示，两根平行长直线电流1、2，相距为h ，分别载电流为1I 和2I ， 求：(a) 两线电流所在平面内与它们等距的点A 处的磁感应强度； (b) 通过图斜线所示面积的磁通量。
解：(a) 无限长载流直导线的磁感应强度：h I B 101，h IB 202 )(2102121I I h B B B B B B(b) ldrr h Ir I s d B d m )(2210))(ln ln (2)(2211212110210211r r h r h I r r r I l dr r h I r I l d r r r s m m二．磁场的高斯定理在电场中，由于有独立的电荷存在，因此电力线是从正电荷出发，到负电荷终止，因此电场中有高斯定理s e qs d E 0由毕—萨定律，已经知道电流元激发的磁场的磁感应线是自行封闭的曲线，那么对于任何闭合的空间曲面(高斯面)，无论它是否包含电流元在内，都将得到通过高斯面的磁通量恒等于零。
由叠加原理不难理解由电流元所组成的任意电流，在它们激发的磁场中，通过任意高斯面的磁通量也恒等于零，用数学式表示为s m s d B上式的含义是：在任何磁场中通过任意封闭曲面的磁通量总等于零。
这就是磁场的高斯定理，又叫磁通连续原理。
与电场的高斯定理比较，可知磁通连续反映了自然界中没有与电荷相对应的磁荷(或叫单独的磁极，简称磁单极)存在。
近代关于基本粒子的理论研究预言有“磁单极”存在，如：1931年英国物理学家狄拉克把量子力学和宏观电磁理论结合起来研究时提出：电荷的量子化是与磁单极子存在有关。
在八十年代，又有人根据大统一理论提出磁单极子应当存在。
但事到如今，除了个别事件可作例证外，还没有实验可以证明它的存在，因此磁单极是否存在还是有待探索的，尚不能给出定论。