习题答案(第六章)

1、R n 中分量满足下列条件的全体向量1(,,)n x x 的集合，是否构成R n的子空间？①10n x x ++= ；②120n x x x ⋅⋅⋅= ；③2211n x x ++= 。

解：①是，设(){}111,,|0nnV x x x x=++= ，显然V 1≠∅，1,,,a b F V ξη∀∈∀∈，设1212(,,),(,,)x x y y ξη== ，则()()()1111,,,,,,n n n n a b a x x b y y ax by ax by ξη+=+=++ ，而 1111()()()()000n n n n ax by ax by a x x b y y a b ++++=+++++=+=所以1a b V ξη+∈，所以V 1是R n 的子空间；②不是，取(1,0,,0),(0,1,,1)αβ== ，则(){}11,,,|0nnV x x x xαβ∈=⋅⋅= ，但(1,1,,1)V αβ+=∉ ，所以V 不是R n 的子空间；③不是，取(1,0,,0),(0,1,0,,0)αβ== ，则(){}2211,,,|1nn V x x xx αβ∈=++= ，但(1,1,0,,0)V αβ+=∉ ，所以V 不是R n 的子空间。

2、子集{}1|,,V X AX XB A B n ==为已知的阶矩阵是否是()n M F 的子集？解：是()n M F 的子集；证：显然1V ≠∅，1,,,X Y V a b F ∀∈∈，有()()A aX bY aAX bAY aXB bYB aX bY B +=+=+=+，所以1aX bY V +∈，所以1V 是()n M F 的子集。

3、设12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==-，求含12,αα的R 4的一组基。

解：因为101010101010112001100010⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 取34(0,0,1,0),(0,0,0,1)αα==，所以{}1234,,,αααα为R 4的一组基。

4、求R n 的下列子空间的维数和一组基：111{(,,)|0,,,}n n n W x x x x x x R =++=∈解：W 生成元分量满足方程10n x x ++= 的其基解系，其基础解系为121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n ααα-=-=-=- ，即{}121,,,n ααα- 为W 的一组基，所以dimW=n-1 .5、设1234(1,3,2,1),(2,1,5,3),(4,3,7,1),(1,11,8,3)αααα=--=-=-=---，求由向量1234,,,αααα所生成的F n 子空间的维数和一组基。

解：132113211321132121530591059105914371091509150038171118301410400000000--------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1234123(,,,)(,,)L L ααααααα=，所以，1234dim (,,,)3L αααα=，其一组基为{}123,,ααα。

6、设12,αα线性相关,12,ββ也线性相关,问1122,αβαβ++是否线性相关?解：1122,αβαβ++不一定线性相关，取1212(1,0),(2,0),(0,3),(0,4)ααββ====，则有12,αα线性相关,12,ββ线性相关，但1122(1,3),(2,4)αβαβ+=+=线性无关；取1212(1,0),(2,0),(0,1),(0,2)ααββ====，则有12,αα线性相关,12,ββ线性相关，但1122(1,1),(2,2)αβαβ+=+=线性相关。

7、设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===,问: ①t 为何值时, 123,,ααα线性相关? ②t 为何值时, 123,,ααα线性无关?③当线性相关时,将3α表示为1α和2α线性组合?解：因为12311111111112301201213021005t t t ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以 ①当5t =时，123,,ααα线性相关；②当5t ≠时，123,,ααα线性无关；③当123,,ααα线性相关,即当5t =时，则312(1,3,5)2ααα==-+。

8、设123(1,1,1),(,0,),(1,3,2)a b ααα===，若123,,ααα线性相关，求a,b 满足的关系式。

解：因为13211111111113202102100002a b a b a b a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若123,,ααα线性相关，则2a b =。

9、已知)4,,4(),2,1,(),1,,1(),1,1,1(2321-==-=-t t t βααα＝，若β可由321ααα，，线性表出且表示法不唯一，求t 及β的表达式。

解：设112233x x x βααα=++，即1232123123424x x tx x tx x t x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩，其增广矩阵222211411241124112411110134022811241140228013411240228100(1)(4)(4)2t A t t t t t t t t t t t t t t t t ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪-- ⎪→- ⎪ ⎪-+-- ⎪⎝⎭（1）当1t =-时，秩23A =≠=秩A ，方程组无解，β不能由321ααα，，线性表出； （2）当1t ≠-且4t ≠时，秩3A ==秩A ，方程组有唯一解，β可由321ααα，，唯一线性表出；（3）当4t =时，秩2A ==秩3A <，方程组有无数解，β可由321ααα，，线性表出且表示法不唯一，此时，有112410300228011400000000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以其通解为12334x cx c x c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ （c R ∈）， 即：1233(4),()c c c c R βααα=-+-+∈。

10、已知向量组321ααα，，线性相关，432ααα，，线性无关，问： （1）1α能否由32αα，线性表出？证明你的结论。

（2）4α能否由321ααα，，线性表出？证明你的结论。

解：（1）能，因为432ααα，，线性无关，所以23αα，线性无关，因为321ααα，，线性相关，所以存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα+= +，若10k =，则22330k k αα+= ，这与23αα，线性无关矛盾，所以10k ≠。

所以3212311k k k k ααα=--，即1α能由32αα，线性表出。

（2）不能，设4112233k k k αααα=++，由（1）可知，1α可由32αα，线性表出，设12233l l ααα=+，所以412233223312221333(()()k l l k k k l k k l k ααααααα=++=++)++，这与432ααα，，线性无关矛盾，所以4α不能由321ααα，，线性表出。

11、已知向量组)9,4,1,1(),1,2,1,1(),53,1,1(),32,0,1(4321+=+==t t αααα－，，＝线性相关，试求t 的值。

解：若1234,αααα，，线性相关，则102310231023113501120112(1)(4)11210120010114901260114t t t t t t t t ===++-+--++++所以1t =-或 4.t =-12、对作任意实数a,b,c ，线性无关的向量组是（ C ）A ．(a ,1,2),(2,b ,3),(0,0,0)B ．(b,1,1),(1,a ,3),(2,3,c ),(a ,0,c )C ．(1,a ,1,1),(1,b ,1,0),(1,c ,0,0)D ．(1,1,1a ),(2,2,2,b ),(0,0,0,c ) 13、向量组4321αααα，，，线性无关，则下列线性无关的向量组是（B ） A ．14433221,,αααααααα++++， B ．14433221,,αααααααα-+++， C ．14433221,,αααααααα----， D ．14433221,,αααααααα--++，14、设向量组321ααα，，线性无关，向量1β可由321ααα，，线性表示，而向量2β不能由321ααα，，线性表示，则对任意常数k ，必有（A ） A ．21321,ββααα+k ，，线性无关 B ．21321,ββααα+k ，，线性相关C ．21321,ββαααk +，，线性无关 D ．21321,ββαααk +，，线性相关 15、设有向量组），，，＝（，－，，－＝6512)0,2,1,1(),14,7,0,3(),21,3,0(),42,1,1(54321ααααα=== 求极大线性无关组。

解：因为1124112411240312031203123071403120000112000040001215603120000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪→→⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以{}124ααα，，是{}1245,,ααααα3，，的极大无关组。

16、向量），，－＝（），，，＝（－313112γβ能否由向量组），，，－＝（1121α ），，＝（－1112α，），＝（－），，＝（－31420343αα线性表示，若可以，试写出其表示式。

解：因为211111111111111211013013320320013000431431013000-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以{}12αα，是{}1245,,ααααα3，，的极大无关组。

而()12213,,11220110βαα---==≠，所以12,,βαα线性无关，所以β不能由12,αα线性表示，所以β不能由1234,,,αααα线性表示。

因为()12313,,112031γαα--=-=，所以12,,γαα线性相关，所以γ可能由12,αα线性表示，所以γ不能由1234,,,αααα线性表示。