湖北省天门、仙桃、潜江2018届高三上学期期末联考数学(理)试题(含答案)

绝密★启用前2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为 A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -= A ．7B ．－4C ．－7D ．4试卷类型：A天门 仙桃 潜江6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++ 的值等于ABC2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24这24个整数中等可能随机产生。

则按程序框图正确编程运行时输 出y 的值为3的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．1810．从抛物线24y x =在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||9PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为 ABCD11．已知三点(12)(1)(0)A B a C b ---，，，，，共线，则122(0,0)a b a b a b+++>>的最小值为 A ．11B ．10C ．6D ．412．已知正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．设这10条线段的长度之和是S 10，则10(2S =A ．3164aB ．6164aC ．3132aD ．61128a第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题 共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知向量a ，b 的夹角为60︒，||2,||5==a b ，则2-a b 在a 方向上的投影为．14．若实数x ，y 满足202080y x y x y -⎧⎪-⎨⎪--⎩≥≥≥，则目标函数321z x y =-+的最小值为．15．如图12F F ，是椭圆22:1x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是12C C ，在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2 为矩形，则2C 的虚轴长为．16．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC的中点，点P 在线段D 1E 上，点Q 在线段CC 1上 ，则线 段PQ 长的最小值为．三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～23为选做题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填在答题卡上对应题号指定框内． 17．（本题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知cos cos cos cos C A B A B +． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若1a c +=，求b 的取值范围．18.（本题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中， P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA =EB =AB =1，3PA =，连接CE 并延长交AD 于F ．（Ⅰ）求证：AD ⊥CG ；（Ⅱ）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．19.（本题满分12分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）20.（本题满分12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A '两点||4AA '=．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外． 若PQ P Q '⊥，求圆Q 的标准方程．21.（本题满分12分）设函数2()(1)()x f x x e kx k =--∈R ． （Ⅰ）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1(1]2k ∈，时，求函数()f x 在[0]k ，上的最大值M ．请考生在22，23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑． 22．（本题满分10分）【选修4—4 坐标系与参数方程】已知动点P 、Q 都在曲线2cos :(2sin x t C t y t =⎧⎨=⎩为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（02απ<<），M 为PQ 的中点．(Ⅰ) 求M 的轨迹的参数方程；(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．23．（本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】(Ⅰ)当2a =时，求不等式()4|4|f x x --≥的解集；(Ⅱ)已知关于x 的不等式|(2)2()|2f x a f x +-≤的解集为{|12}x x ≤≤，求a 的值．天门、仙桃、潜江2017－2018学年度第一学期期末联考高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：1—5 BDCAB 6—10 DACCC 11—12 AC二、填空题：13．3214．53-15．216三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～24为选做题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

17．解：（Ⅰ）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=，即有sin sin cos 0A B A B =………………………………………3分因为sin 0A ≠，∴sin 0B B =．又cos 0B ≠，∴tan B =又0B π<<，∴3B π=，∴1cos 2B =………………………………6分（Ⅱ）由余弦定理，有2222cos b a c a B =+-． 因为11cos 2a c B +==，，有22113()24b a =-+………………………9分又01a <<，于是有2114b <≤，即有112b <≤………………………12分 18．解：（Ⅰ）在△ABD 中，因为点E 是BD 的中点，∴EA =EB =ED =AB =1，故23BAD ABE AEB ππ∠=∠=∠=，…………………………………1分因为△DAB ≌△DCB ，∴△EAB ≌△ECB ，从而有3FED BEC AEB π∠=∠=∠=…………………………………2分∴FED FEA ∠=∠，故EF ⊥AD ，AF =FD ． 又PG =GD ，∴FG//P A ．又P A ⊥平面ABCD ，∴GF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG …………………………………………5分又CG ⊂平面CFG ，∴AD ⊥CF …………………………………………6分（Ⅱ）以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则33(000)(100)(0)(00)(00)22A B C D P ，，，，，，，，，，…………7分故1(02BC = ），33(22CP =- ，，），3(02CD =-）． 设平面BCP 的法向量111(1)y z =，，n ，则11110233022y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得1123y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 即12(1)3=，n …………………………………………………………9分 设平面DCP 的法向量222(1)y z =，，n ，则222302330y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，，解得222y z ⎧⎪⎨=⎪⎩，即2(12)=n ．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为12124||3cos ||||θ===n n n n 12分 19．解：设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”（i =1，2，…，13）． 根据题意，1()13i P A =，且()i j A A i j =∅≠ …………………………2分（Ⅰ）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则58B A A = ．∴58582()()()()13P B P A A P A P A ==+= …………………………4分）（Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，且36711367114(1)()()()()()13P X P A A A A P A P A P A P A ===+++= ，1212131212134(2)()()()()()13P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=5(0)1(1)(2)13P X P X P X ==-=-==∴X 的分布列为：故X 的数学期望5441201213131313EX =⨯+⨯+⨯=……………………8分（Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大……………………12分20．解：（Ⅰ）由题意知，(2)A c -，在椭圆上， 则2222()21c a b -+=，从而22221c b+=………………………………………1分 由e ，得22481b e ==-，从而222161b a e ==-．故该椭圆的标准方程为221168y x +=…………………………………………4分（Ⅱ）由椭圆的对称性，可设0(0)Q x ，． 又设()M x y ，是椭圆上任意一点，则 222222000||()28(1)16x QM x x y x x x x =-+=-++- 22001(2)8([4,4])2x x x x =--+∈-…………………………………………6分 设11()P x y ，，由题意知，点P 是椭圆上到点Q 的距离最小的点，因此，上式当1x x =时取最小值．又因为1(44)x ∈-，，∴上式当02x x =时取最小值，从而102x x =，且20||8QP x =-．因为PQ P Q '⊥，且11()P x y '-，，∴101101()()0QP QP x x y x x y =--=，，-，即22101()0x x y -=-…………8分由椭圆方程及102x x=，得221118(1)0416x x --=，解得1102x xx ==22016||83PQ x =-=．………10分故这样的圆有两个，其标准方程分别为22221616((33x y x y +=+=，…………………………12分21．解：（Ⅰ）当1k =时，2()(1)x f x x e x =--， ()(1)2(2)x x x f x e x e x x e '=+--=-……………………………………2分由()0f x '=，解得120ln 20x x ==>，． 由()0f x '>，解得0ln 2x x <>或．由()0f x '<，解得0ln 2x <<．∴函数()f x 的单调增区间为(0)(ln 2)-∞+∞，和，，6分单调减区间为(0ln 2)，…………………………………………………………6分 （2）因为2()(1)x f x x e kx =--，∴()2(2)x x f x xe kx x e k '=-=-． 令()0f x '=，解得120ln(2)x x k ==，……………………………………8分因为1(1]2k ∈，，∴2(12]k ∈，，∴0ln(2)ln 2k <≤． 设()ln(2)g k k k =-，1(1]2k ∈，，11()10k g k k k -'=-=≤，∴()g k 在1(1]2，上是减函数，∴()(1)1ln 20g k g =->≥，即0ln(2)k k <<．∴()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：∴函数 3(0)1()(1)k f f k k e k =-=--，，33()(0)(1)1(1)(1)k k f k f k e k k e k -=--+=---22(1)(1)(1)(1)[(1)]k k k e k k k k e k k =---++=--++因为1(1]2k ∈，，∴10k -≤． 令2()(1)k h k e k k =-++，则()(21)k h k e k '=-+．对任意的1(1]2k ∈，，k y e =的图象恒在21y k =+的图象的下方，∴(21)0k e k -+<，即()0h k '<…………………………………………10分∴函数()h k 在1(1]2，上为减函数，故127111(1)()()(1)02424h h k h e <<=-++<，∴()(0)0f k f -≥，即()(0)f k f ≥．∴函数()f x 在[0]k ，的最大值3()(1)k M f k k e k ==--………………12分22．解：(Ⅰ) 依题意有(2cos ,2sin ),(2cos2,2sin 2)P Q αααα…………………………2分 因此(cos cos2,sin sin 2)M αααα++ ……………………………………3分M 的轨迹的参数方程为cos cos2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数，02απ<<）……5分当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点………………………………10分23．解：(Ⅰ)当2a =时，26,2()|4|2,2426,4x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-=<<⎨⎪-≥⎩………………………………1分当2x ≤时，由()4|4|f x x ≥--得264x -+≥，解得1x ≤…………2分 当24x <<时，()4|4|f x x ≥--无解……………………………………3分 当4x ≥时，由()4|4|f x x ≥--得264x -≥，解得5x ≥…………4分∴()4|4|f x x ≥--的解集为{|15}x x x ≤≥或…………………………5分(Ⅱ)记()(2)2()h x f x a f x =+-，则2,0()42,02,a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩………………………………………………7分又已知|()|2h x ≤的解集为{|12}x x ≤≤，。