刚体力学

第七章刚体力学刚体：在任何情况下，形状大小都不变的力学研究对象。

运动物体可视为刚体的条件：物体的大小形状必须考虑，但形变可以不计。

刚体的简化模型：各质点间距离始终保持不变的质点系。

一、课时安排：10学时二、教学目的与要求：1、了解刚体运动的描述，掌握角速度、角加速度的概念及定轴转动的运动学基本公式；2、会计算刚体的质心、掌握刚体的动量和刚体的质心运动定理；3、熟练掌握刚体定轴转动的转动定律、动能定理和转动惯量的概念及计算方法；4、了解刚体平面平行运动问题的研究方法；5、掌握刚体的平衡。

了解刚体的自转与旋进。

三、教学重点与难点：重点：刚体运动的描述方法；刚体定轴转动的运动学与动力学；刚体的平衡。

难点：转动惯量的理解和计算；学生学习思维方式的转变；刚体转动的角动量，应用刚体力学有关规律解决实际问题。

教材分析：（分为6个单元）1、刚体运动学（§7—1）；2、刚体平动的动力学（§7—2）；3、刚体定轴转动动力学（§7—3、§7—4）是全章的重点；4、刚体的平面平行动力学（§7—5）；5、刚体的平衡（静力学）（§7—6）;6、刚体的自转与旋进（7—7）第七章刚体力学§7.1刚体运动的描述一、刚体的平动(动画)1． 定义：在运动过程中，如果刚体上任一条直线在各个时刻的位置都相互平行.ij i j r r r +=2． 平动的特点：刚体中各个质元的速度和加速度都相同. 证明：如图在刚体上任取两个质元ij 以o 为参考点ij r为恒矢量，dt r d dt r d dt r d dt r d i ij i j =+=∴ 同理：2222dt r d dt r d i j = 所以：i j a a=3． 刚体作平动的描述据平动的特点，只要知道刚体上任一点的运动，就可掌握整个刚体的运动情况.∴平动刚体→质点，需三个坐标（x,y,z ）描述.二、刚体绕固定轴的转动（定轴转动）（动画）1、定义：刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动.且圆心在该直线上，该直线---转轴，在选定的参考系中固定不动.2、 定轴转动的特点：刚体上所有质元都以相同的角速度绕转轴转动（或在相同的时间内，所有质元都转过相同的角度）3、刚体定轴转动的描述，只要用角坐标：θ 1） 角坐标：θ=θ(t) 单位：rad角位移： θ∆的正负：面对z 轴看 逆时针方向θ↑ 取“+” 逆时针方向θ↓ 取“-” 2） 角速度：ω=ω(t) 方向沿转轴 定义：dtd θω=沿z 轴看：职逆时针转，ω取“+”； 顺时针转 ，ω取“-”。

单位：rad/s 量纲式：dim[ω]=1-T 3） 角加速度β(t) 定义：dtt d t )()(ωβ=β与ω 同号： 加速转动；异号： 减速转动。

4、定轴转动运动学1）由ω→θ ()dt t d ωθ= 积分限为 ： tt 0θθθ⎰⎰=θθωθ0)(tdt t d积分得: ()⎰=-tdt t 00ωθθ即：()⎰+=tdt t 00ωθθ若ω= 恒量 则： t .0ωθθ+= 2）由β(t) →ω(t)⎰+=tdt t 00)(βωω若β=恒量 ，则： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++=+=)(2.21.02022000θθβωωβωθθβωωt t t5、 定轴转动刚体上各点的线速度，加速度与ω、β的关系. （1）速度：ωθr dtd r dt ds v ===，ωr v =即 （2）角加速度22)(ωυωωυτττr ra dt d r r dt d dt d a n =====法向切向即⎩⎨⎧==2ωβτr a r a n三、角速度矢量（动画）定轴转动中用ω的正负即可表示转动方向，实际中的转轴方位也常改变，仅用“+”“-”不足以表示转动方向，所以需用角速度矢量：ω1、定义：ω的方向沿转轴且和刚体的旋转运动组成右手螺旋系统.ω是矢量，具有大小和方向，相加服从平行四边形法则.设刚体绕OA 转动的同时又绕OA ＇转动，则刚体的合成转动⇔绕//OA 转动21ωωω+=2、线速度v与角速度ω 的关系：ω 、r v ⊥所决定的平面r ⊥ωr v ⨯=ω3、角加速度:定义: dtd ωβ =在直角坐标系中的矢量式k j i z y xωωωω++=k j i z y xββββ++=dt d x x ωβ=dtd y y ωβ=dt d zz ωβ=对定轴转动,取z 轴为转动轴，则0==y x ωω0==y x ββ k zωω=k z ββ=∴定轴转动中的ω、β，即这里的z ω、z β，是ω、β 分别在z 轴上的投影.四、刚体的平面运动（动画）1、定义：刚体上各点均在与一固定平面平行的各平面内平行.2、平面平行运动的特点：刚体内垂直于固定平面的直线上的各点运动情况都相同.3、刚体作平面平行运动的描述：(1)根据刚体平面运动的特点：可利用与固定平面平行的平面在刚体内截出一平面图形.此平面图形位置确定了→确定了刚体的位置描述平面运动需用三个独立变量.确定基点B(x B ，y B )和绕过基点轴的转动θ 自由度为3j t y i t x t r rB B B B)()()(+==)(t θθ=或 )(t x x B B =)(t y y B B =)(t θθ=(2)平面运动⇔刚体随基点平动+绕过基点轴的转动(3)平面运动刚体上任一点的速度：/rr r B +=dtr d dt r d dt r d B /+=//r dt r d v ⨯='=ω 即 /r v v B ⨯+=ω(4) 圆柱体的无滑滚动无滑滚动：滚动圆柱体边缘上各点与支承面接触的瞬间，与支承面无相对滑动.选择圆柱体中心轴上的c 点为基点:ω为转动角速度，r 为半径，柱体边缘上任一点的速度 /r v v C ⨯+=ω与支承面接触点：0=v0=⨯+r v CωP 点（接触点）的v向y 轴上投影：r v z cy ω= 此即圆柱体作无滑滚动的条件柱（轮）缘上任一点的空间运动轨迹为摆线旋轮线（或圆滚线）例题:[教材P198(例题1)]五、刚体的定点转动刚体在动动过程中,其上有一点始终保持不动.描述它的运动需要3个独立坐标。

自由度为3六、刚体的自由运动：需6个独立坐标来确定其位置，自由度为6。

例题：已知电机飞轮半径为r=20cm,在t 时间内的角位移为：4322t t t -+=θ （θ：rad ；t ： s ）。

求t=2S 时：（1）飞轮的角速度和角加速度；（2）飞轮边缘上任一点的线速度和加速度的大小。

解 :（1） )/(4883232s rad t t t dtd -=-+==θω )/(82246222s rad t t dtd =-+==ωβ （3） ==ωr v ()s m r t t t /6.9)832(32=-+()22/4.16)2462(s m r t t a =-+=τ ()s m r a n /8.4602==ω()222/0.461s m a a a n =+=τ§7.2 刚体的动量和质心运动定理一、刚体的质心1、质量不连续分布： 作为一种特殊的质点组∑∑=i ii cmx m x ∑∑=iii cmy m y ∑∑=iii cmz m z刚体的质心相对于刚体有一固定的位置 2、质量连续分布⎰⎰=dm xdmxc ⎰⎰=dm ydm yc⎰⎰=dm zdm zcdv z y x dm ),,(ρ=⎰⎰=∴dvdv x x cρρ⎰⎰=dvdv y y cρρ⎰⎰=dvdv z z cρρ 对匀质刚体 c =ρ⎰⎰=dvxdv x c⎰⎰=dvydv y c⎰⎰=dvzdv z c3、计算质心的三种方法 （1）根据对称性求质心的坐标对匀质刚体且有对称轴，质心必定在此对称轴上.对非匀质刚体 ：若质量分布和几何形状具有相同的对称轴，则质心也在该轴上，若有几条这样的轴则质心在对称轴的的交点上.例：匀质长方体，质心在其对称中心，密度随r 变化的球形刚体质心在球心上。

（2）根据刚体质心与各组成部分的质心之间的关系求质心∑∑=iici cmx m x ∑∑=iici cmy m y ∑∑=iici cmz m z（3） 据公式直接计算质心例题1：求半径为R 的均质球体的质心。

解：以球心为坐标原点建立坐标系，由对称性知，质心必定在对称轴（z 轴）上。

将半球划分为半径为r 、厚为dz 的薄圆片。

dz r dV 2.π= 积分限为：θc os R r = z=0 0=θ z=R 2/πθ=θsin R z =θθd R dz cos =θθππd R dz r dV .cos .332==R d R d R R z c 83cos cos sin 233233==⎰⎰ππθθπθθθπ 例题2：已知图中物体由均匀等厚的两个半径不同的圆板和刚性细杆组成,三个部分的质量均为M,尺寸如图所示.试求质心的位置. 解:因为物体均匀等厚,且具有对称性,,所以质心在其几何对称轴上,建立图示的坐标系: 0=c yR M M M R R M R R R M x c 321)2/()2/2(=++++++=。

二、刚体的动量与质心运动定理1、刚体的动量： 特殊的质点组c v m p=2、动量守恒定律若刚体所受外力矢量和为零，即0=∑外i F ,则c v m p==恒量 3、刚体的质心运动定理c c i a m dtv d m F==∑外例题1:教材P201[例1] 解:d a c 2ω=)/(9.41min /.2s rad rad n ==πω )(78.89.41001.00.522N md F =⨯⨯==ω例题2:如图所示:长为L 的匀质杆在力F 和光滑地面支持力的作用下保持平衡,当外力撤消后,杆子倒下.试求杆子A 端的运动方程。

解：建立图示的坐标系：y 轴过杆子的质心。

外力撤去后。

杆子受力为：∑+=iiyNmg F∑=iixF0所以0=cx a ；因为00=c v 所以0=c xθcos 2lx A =θsin l y A = 消去θ得：()2222l y x =+§7.3刚体定轴转动的角动量 转动惯量一、刚体定轴转动对轴上一点的角动量仅讨论最简单的刚体：由两个质量相等的质点用一根轻质刚性杆连接。

1.刚体绕过轻杆中心且垂直于轻杆的轴转动/11/11v m r L⨯=11/11v m r L = /22/22v m r L ⨯=22/22v m r L = 21L L L +=沿z 轴正向 1L .2L不沿z 轴大小：ααααcos cos cos cos 2/221/1121v r m v r m L L L +=+=/2/1r r = ααcos cos /2/121r r r r r ==== ωr v v ==21ω22mr L =∴2.刚体绕杆中心但不垂直于杆的轴转动21L L L+= 不沿z 轴方向1/111v r m L =2/222v r m L =αωsin 11r v =αωsin 22r v =3.讨论：动量总沿速度方向.而刚体绕定轴转动时对轴上的一点L的方向不一定沿角速度方向.即ω与L 不一定同向，可以成一定角度.二、刚体对一定转轴的转动惯量1.刚体对一定转轴的角动量质点组：τi i i i i i i z v r m r v r m L ∑∑==sin对刚体，其上各质元绕转轴以相同的ω作圆周运动 z i i r v ωτ= z i i i i i z r m v r m L ωω)(2∑∑==即 z i i z r m L ω)(2∑=2.刚体对一定转轴的转动惯量z I （描述刚体转动惯性的量） (1)定义： 2i i z r m I ∑=z z z L I ω=单位：2kgm 量纲：2ML(2)z I 的大小与下列因素有关：①．刚体的质量ｍ；②．刚体的质量分布（ｍ一定时） ；③．转轴的位置。