(易错题)高中数学必修一第二单元《函数》测试卷(答案解析)(1)
(典型题)高中数学必修一第二单元《函数》测试(答案解析)
一、选择题1．令[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=，若函数()[][]32f x x x =-，则函数()f x 在区间[]0,2上所有可能取值的和为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．下列命题中正确的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为(1,4)，则函数()2f x 的定义域为(2,1)(1,2)--⋃B ．1y x =+和2(1)y x =+表示同一函数C ．定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞和(,0)-∞上具有相反的单调性D ．若不等式220ax bx ++>恒成立，则280b a -<且0a >3．已知函数()31,03,0x x x f x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则()()232f x f x ->的解集为（ ）A ．()(),31,-∞-⋃+∞B ．()3,1-C ．()(),13,-∞-+∞D ．()1,3- 4．如果函数()()()2121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则32a b +的最大值为（ ）A ．4B ．1-C ．23D ．6 5．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：()()()1f xy f x f y =++，当1x >时，()1f x <-，且128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()(3)3f x f x +->-的解集为（ ）A ．(0,3)B ．(1,2)C ．(1,3)D ．(0,1)(2,3)6．方程2x y +=所表示的曲线大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：（ ） ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞. ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞. ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M . ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞. ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞. A ．4B ．3C ．2D ．18．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：()()1122120x f x x f x x x -<-且()24f =，则不等式()80f x x->的解集为（ ） A ．(2,)+∞ B ． ()0,2C ．(0,4)D ．(,2)-∞9．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数0(2)1y x x =--的定义域是（ ） A ．[1,5]B ．((1,2)(2,5) C ．(1,2)(2,3]⋃D ．[1,2)(2,3]⋃10．设f (x )､g (x )､h (x )是定义域为R 的三个函数，对于以下两个结论:①若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均为增函数，则f (x )､g (x )､h (x )中至少有一个增函数; ②若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均是奇函数，则f (x )､g (x )､h (x )均是奇函数， 下列判断正确的是（ ） A ．①正确②正确B ．①错误②错误C ．①正确②错误D ．①错误②正确11．已知函数log ,0(),0a xx x f x a x >⎧=⎨≤⎩（0a >，且1a ≠），则((1))f f -=（ ） A ．1B ．0C ．-1D ．a12．函数f (x )=x 2+2ln||2x x 的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知()13=f x x ，则不等式(21)f x -() 230f x ++>的解集为_________. 14．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()1g x x =-的定义域是______． 15．若函数()()21,f x ax bx a b =++∈R 满足:()()123f x f x x +-=+.设()f x 在[](),2t t t R +∈上的最小值为()g t ，则()g t =____.16．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i N ∈，定义()1,,0,i i A A i Aϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0i AB ϕ=且()1A B ⋃=；②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋃=+； ③设{}*2,A x x n n N==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，对任意*i N∈，都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=其中正确结论的序号为______.17．函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式()cos f x x<0的解集为________．18．若关于x 的不等式2222x x a +-<在(),0-∞上有解，则实数a 的取值范围是______.19．已知函数()4f x x a a x=-++，若当[]1,4x ∈时，()5f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______．20．函数的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数，例如，函数()21f x x =+()R x ∈是单函数，下列命题： ①函数4()f x x =()R x ∈是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；③若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，在A 中至多有一个数与它对应； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 在其定义域上一定是单函数． 期中正确命题的序号是___________．三、解答题21．已知函数()2112f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠. （1）设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；（2）设0m n <<且0a > 时，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值； （3）若1≥x 时不等式()22a f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数2()f x x bx c =++的图象经过坐标原点，且()1y f x =+为偶函数． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求证：对于任意的[0,4]x ∈，总有24()2x f x x -≤≤；（3）记函数|()2|y f x x m =--在区间[]0,4的最大值为()G m ，直接写出()G m 的最小值．23．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x =+．（1）求函数()f x 的解析式；（2）指出函数()f x 在R 上的单调性（不需要证明）；（3）若对任意实数m ，()()20f m f m t +->恒成立，求实数t 的取值范围．24．已知2()4xf x x =+，(2,2)x ∈-. （1）用定义判断并证明函数()f x 在(2,2)-上的单调性； （2）若(2)(21)f a f a +>-，求实数a 的取值范围. 25．已知函数()2342()log log 16a f x x x=⋅⋅.（1）若1a =，求方程()1f x =-的解集；（2）当[]2,4x ∈时，求函数()f x 的最小值. 26．已知函数()()90f x x x x=+≠. （1）当()3,x ∈+∞时，判断并证明()f x 的单调性； （2）求不等式()()2330f xf x +≤的解集.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大整数，分5种情况讨论，分别求出[]x 和[2]x 的值，即可以计算()3[][2]f x x x =-的函数值，相加即可得答案． 【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以： 当102x <时，有021x <，则[]0x =，则3[]0x =，[2]0x =，此时()0f x =， 当112x <时，有122x <，则[]0x =，则3[]0x =，[2]1x =，此时()1f x =-， 当312x <时，有223x <，则[]1x =，则3[]3x =，[2]2x =，此时()1f x =， 当322x <时，有324x <，则[]1x =，则3[]3x =，[2]3x =，此时()0f x =， 当2x =时，24=x ，则[]2x =，则3[]6x =，[2]4x =，此时()2f x =， 函数()f x 在区间[0，2]上所有可能取值的和为011022-+++=； 故选：B ． 【点睛】结论点睛：分类讨论思想的常见类型（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； （2）问题中的条件是分类给出的；（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.2．A解析：A利用抽象函数的定义域列不等式判断A ；利用特例法判断BCD. 【详解】因为函数()f x 的定义域为(1,4)，由21412x x <<⇒<<或21x -<<-，所以函数()2f x 的定义域为(2,1)(1,2)--⋃，A 正确；1y x =+和1,11,1x x y x x +≥-⎧==⎨--<-⎩，对应法则不同，不表示同一函数，B 错；偶函数()1f x =在(0,)+∞和(,0)-∞上不具有相反的单调性，C 错；0a b 时，不等式220ax bx ++>恒成立，但280b a -<且0a >不成立，D 错；故选：A. 【点睛】方法点睛：若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出，若已知函数()()f g x 的定义域为[],a b ，则()f x 的定义域为()g x 在[],x a b ∈时的值域.3．B解析：B 【分析】先分析分段函数的单调性，然后根据单调性将关于函数值的不等式转化为关于自变量的不等式，从而求解出解集. 【详解】 因为313y x =在R 上单调递增，所以313y x =在(),0-∞上单调递增， 又因为xy e =在R 上单调递增，所以xy e =在[)0,+∞上单调递增，且0311003e =>=⋅，所以()f x 在R 上单调递增， 又因为()()232f x f x ->，所以232xx ->，解得()3,1x ∈-，故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解求解关于函数值的不等式的思路： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.4．C解析：C分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得32a b +的最大值. 【详解】分以下几种情况讨论：（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得20b +<，解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意； （2）当10a -<时，即当1a <时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2121b a +-≤-，可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-， 所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，则2423232333a b ⎛⎫+≤⨯-+⨯= ⎪⎝⎭； （3）当10a ->时，即当1a >时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2221b a +-≥-，可得42a b +≤，即24b a ≤-，2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.综上所述，32a b +的最大值为23. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解.5．D解析：D 【分析】任设120x x <<，则211x x >，21()1x f x <-，根据定义可得()f x 在(0,)+∞上为递减函数，令1x y ==得(1)1f =-，令18,8x y ==可得(8)4f =-，可得(2)2f =-，将不等式化为[(3)](2)f x x f ->，利用单调性和定义域可解得结果. 【详解】任设120x x <<，则211x x >，21()1x f x <-，所以()()()()222111111111x x f x f x f x ff x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=++<-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在(0,)+∞上为递减函数，在()()()1f xy f x f y =++中，令1x y ==得(1)2(1)1f f =+，得(1)1f =-，令18,8x y ==得11(1)(8)(8)()188f f f f =⨯=++，所以(8)1124f =---=-， 又(8)(2)(4)1f f f =++(2)(2)(2)113(2)2f f f f =++++=+4=-，所以(2)2f =-，()(3)3f x f x +->-可化为()(3)12(2)f x f x f +-+>-=，所以[(3)](2)f x x f ->，所以030(3)2x x x x >⎧⎪->⎨⎪-<⎩，解得01x <<或23x <<.故选：D 【点睛】关键点点睛：利用定义判断函数的单调性以及求出(2)f 是解题关键.6．D解析：D 【分析】先利用方程得到图像的对称性，再作0y ≥，0x ≥时的图像，利用对称性即得结果. 【详解】由方程2x =可知图像关于原点中心对称，也关于坐标轴对称.20,44x y =-≤≤，20,22x x =-≥-≤≤.当0y ≥，0x ≥时，方程2x =转化成()22y x =-，作图如下：再利用对称性即得图像为 D. 故选：D. 【点睛】本题解题关键是利用绝对值的性质得到图像的对称性，就只需要画0y ≥，0x ≥部分图像，即突破问题.7．B解析：B 【分析】这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案. 【详解】对任何x ∈[a ，b]都有()p f x ≤，说明p 小于等于()f x 的最小值，①是正确的; 由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;关于x 的方程p =f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 应属于函数f (x ）在[a ，b ]上的值域[m ，M ]内，故③是正确的;关于x 的不等式p ≤f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的 正确的选项应该为①③⑤ 故选： B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．8．B解析：B 【分析】构造新函数()()g x xf x =，得出函数()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，把()80f x x->，转化为()()220f xf x -<，得到()()2g x g >，结合单调性和定义域，即可求解. 【详解】由题意，定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()1122120x f x x f x x x -<-，设()()g x xf x =，可得()()12120g x g x x x -<-，所以函数()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，因为()24f =，则()228f =， 不等式()80f x x ->，可化为()80xf x x-<，即()80xf x -<，即()()220f xf x -<，即()()2g x g >，可得20x x <⎧⎨>⎩，解得02x <<，所以不等式()80f x x->的解集为()0,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，其中解答中根据已知条件，构造新函数，利用新函数的单调性和特殊点的函数值，得出不等式关系式是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.9．C解析：C 【分析】由函数定义域的定义，结合函数0(2)y x =-有意义，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()y f x =的定义域为[]0,4，即[]0,4x ∈，则函数0(2)y x =-满足0141020x x x ≤+≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得13x <≤且2x ≠，所以函数0(2)y x =+-的定义域是(1,2)(2,3]⋃. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据题设条件和函数的解析式有意义，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10．D解析：D【分析】可举出反例判断①错误；根据奇偶性的性质可判断②正确，结合选项可得答案． 【详解】①错误，可举反例：21()31xx f x x x ⎧=⎨-+>⎩， 230()30121x x g x x x x x +⎧⎪=-+<⎨⎪>⎩，0()20x x h x x x -⎧=⎨>⎩，均不是增函数；但()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数； 故①错误； ②()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是奇函数；()()()()[()()]2()f x g x f x h x g x h x f x ∴+++-+=为奇函数；()f x ∴为奇函数；同理，()g x ，()h x 均是奇函数； 故②正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义与性质，知道()f x 和()g x 均是奇函数时，()()f x g x ±也是奇函数．11．C解析：C 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可. 【详解】因为log ,0(),0a xx x f x a x >⎧=⎨≤⎩， 所以11(1)f aa --==， 所以11((1))()log 1a f f f a a--===-，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用分段函数的解析式，求函数值，涉及指数函数与对数函数的运算，属于中档题.12．B解析：B 【分析】利用奇偶性排除选项C 、D ；利用x →+∞时，()f x →+∞,排除A,从而可得结论. 【详解】 ∵f (-x )=( -x )2+2ln||2()x x --=x 2+2ln||2x x =f (x ),∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ； 又x →+∞时，()f x →+∞,排除A, 故选B . 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.二、填空题13．【分析】先利用幂函数性质和奇函数定义判断是R 上单调递增的奇函数再结合奇偶性和单调性解不等式即可【详解】由幂函数性质知时在是增函数故函数在是增函数又定义域是R 而故是R 上的奇函数根据奇函数对称性知在R 上解析：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】先利用幂函数性质和奇函数定义判断()f x 是R 上单调递增的奇函数，再结合奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】由幂函数性质知，01α<<时y x α=在[)0,+∞是增函数，故函数()13=f x x 在[)0,+∞是增函数，又()f x 定义域是R ，而()()()1133=f x x x f x =-=---，故()f x 是R 上的奇函数，根据奇函数对称性知，()f x 在R 上单调递增.故不等式(21)f x -() 230f x ++>即(21)f x -()() 2323f x f x >-+=--，故2123x x ->--，即12x >-，故解集为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】 思路点睛：利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：（1）()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可；（2）()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，利用偶函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可.14．【分析】根据抽象函数的定义域的求法结合函数列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数满足解得即函数的定义域是故答案为：【点睛】求抽象函数定义域的方法：已知函数的定义域为求复合函数的定义解析：31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据抽象函数的定义域的求法，结合函数()g x =. 【详解】由题意，函数()y f x =的定义域是[0,2]，即02x ≤≤， 则函数()g x =021210x x ≤-≤⎧⎨->⎩，解得312x <≤， 即函数()g x =31,2⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】求抽象函数定义域的方法：已知函数()f x 的定义域为[],a b ，求复合函数()[]f g x 的定义域时：可根据不等式()a g x b ≤≤解得x ，则x 的取值范围即为所求定义域；已知复合函数()[]f g x 的定义域为[],a b ，求函数()f x 的定义域，求出函数()y g x =([,])x a b ∈的值域，即为()y f x =的定义域.15．【分析】根据题意求得ab 的值可得的解析式分别讨论三种情况结合二次函数图像与性质即可求得结果【详解】由题意得：所以所以解得所以为开口向上对称轴为的抛物线当即时在上单调递减所以当即时在上单调递减在上单调解析：22(3),30,31(1),1t t t t t ⎧+<-⎪-≤≤-⎨⎪+>-⎩【分析】根据题意，求得a ，b 的值，可得()f x 的解析式，分别讨论3t <-，31t -≤≤-，1t >-三种情况，结合二次函数图像与性质，即可求得结果. 【详解】由题意得：22(1)(1)(1)121f x a x b x ax a ax bx b +=++++=+++++，所以()()222111223ax a ax bx b ax bx ax a f b x x x f +++++---=++=-=++，所以223ax x a b =⎧⎨+=⎩，解得1,2a b ==，所以22()21(1)f x x x x =++=+，为开口向上，对称轴为1x =-的抛物线， 当21t +<-，即3t <-时，()f x 在[],2t t +上单调递减，所以2()(2)(3)g t f t t =+=+，当12t t ≤-≤+，即31t -≤≤-时，()f x 在[,1)t -上单调递减，在[1,2]t -+上单调递增，所以()(1)0g t f =-=；当1t >-时，()f x 在[],2t t +上单调递增，所以2()()(1)g t f t t ==+，综上：22(3),3()0,31(1),1t t g t t t t ⎧+<-⎪=-≤≤-⎨⎪+>-⎩故答案为：22(3),30,31(1),1t t t t t ⎧+<-⎪-≤≤-⎨⎪+>-⎩【点睛】求二次函数在区间[,]a b 上最值时，一般用分类讨论的方法求解，讨论对称轴位于区间的左右两侧，位于区间内，再根据二次函数图像与性质，求解即可，考查分析求解的能力，属中档题.16．①③【分析】根据题目中给的新定义对于或可逐一对命题进行判断举实例证明存在性命题是真命题举反例可证明全称命题是假命题【详解】∵对于定义∴对于①例如集合是正奇数集合是正偶数集合①正确；对于②例如：当时；解析：①③ 【分析】根据题目中给的新定义，对于()*,0i i N A ϕ∈=或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*AB A B N ∴=∅=，()()01i i A B A B ϕϕ∴==;，①正确；对于②， 例如：{}{}{}1232341234A B AB ===,,,,,,,,,，当2i =时，()1i A B ϕ⋃=；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+； ②错误；对于③， {}*2,A x x n n N ==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，明显地，,A B 均为偶数集，A B ∴≠∅，()1i AB ϕ=，若i 为偶数，则()i A B ∈，则i A ∈且i B ∈；()()1i i A B ϕϕ∴⋅=，则有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=；若i 为奇数，此时，()0i A B ϕ=，则i A ∉且i B ∉，()()0,0i i A B ϕϕ==，()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=∴也成立；③正确∴所有正确结论的序号是：①③； 故答案为：①③ 【点睛】关键点睛：解题关键在于对题目中新定义的理解和应用，结合特殊值法和反证法进行证明，难度属于中档题.17．【解析】在区间上不等式不成立在区间上要使不等式成立则所以所以在区间上不等式的解集为再由偶函数的对称性知在区间上不等式的解集为所以不等式的解集为点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想属于中档题 解析：(,1)(1,)22ππ--⋃【解析】在区间[]0,1 上，()0,cos 0f x x ≥>，不等式不成立，在区间[]1,4 上，()0f x ≤，要使不等式()0cos f x x <成立，则cos 0x >，所以(1,)2x π∈，所以在区间[]0,4上，不等式的解集为(1,)2π，再由偶函数的对称性知，在区间[)4,0-上，不等式的解集为(,1)2π--，所以不等式的解集为(,1)(1,)22ππ--⋃． 点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想，属于中档题．18．【分析】由题意可知关于的不等式在上有解作出函数和函数的图象考虑直线与函数的图象相切以及直线过点数形结合可求得实数的取值范围【详解】关于的不等式在上有解即关于的不等式在上有解作出两函数图象当由与相切时解析：5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题意可知关于x 的不等式2222x a x -<-在(),0-∞上有解，作出函数2y x a =-和函数222y x =-的图象，考虑直线2y x a =-与函数222y x =-的图象相切，以及直线()2y x a =--过点()0,2，数形结合可求得实数a 的取值范围.【详解】关于x 的不等式2222x x a +-<在(),0-∞上有解，即关于x 的不等式2222x a x -<-在(),0-∞上有解，作出两函数2y x a =-，222y x =-图象，当由2y x a =-与222y x =-相切时，则2222x a x -=-，即22220x x a +--=，()4828200a a ∆=++=+=，解得52a =-.由()2y x a =--过点()0,2得2a =.由图可知5142a -<<，因此，522a -<<，即实数a 的取值范围为5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：5,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用含绝对值的不等式在区间上有解求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.19．【分析】对分段讨论去绝对值计算求解【详解】当时可得当时符合题意；当时则不符合题意；当时此时不符合题意综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题解题的关键是对分段讨论求解 解析：(],1-∞【分析】对a 分段讨论去绝对值计算求解. 【详解】当1a ≤时，()44f x x a a x x x=-++=+，可得当[]1,4x ∈时，()45f x ≤≤，符合题意；当14a <<时，()42,14,4a x x a xf x x a x x ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，则()1325f a =+>，不符合题意；当4a ≥时，()42f x a x x=-+，此时()13211f a =+≥，不符合题意， 综上，a 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是对a 分段讨论求解.20．②③【分析】结合单函数的定义对四个命题逐个分析可选出答案【详解】命题①：对于函数设则由与可能相等也可能互为相反数即不是单函数故①错误；命题②：假设因为函数为单函数所以与已知矛盾故即命题②正确；命题③解析：②③ 【分析】结合单函数的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】命题①：对于函数4()f x x =()R x ∈，设()4400f x x a ==，则0x a =±，由a 与a -可能相等，也可能互为相反数，即4()f x x =不是单函数，故①错误；命题②：假设12()()f x f x =，因为函数()f x 为单函数，所以12x x =，与已知12x x ≠矛盾，故12()()f x f x ≠，即命题②正确；命题③：若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，()b f a =，假设不只有一个原象与其对应，设为12,,a a ，则()()12f a f a ==，根据单函数定义，可得12a a ==，又因为原象中元素不重复，故函数:f A B →至多有一个原象，即命题③正确； 命题④：函数()f x 在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，则可能存在不同的12,x x ，使得12()()f x f x =，不符合单函数的定义，故命题④错误. 综上可知，真命题为②③. 故答案为②③． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是根据新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.三、解答题21．（1）单调递增，理由见解析；（2；（3）312a -≤≤且0a ≠.【分析】（1）根据函数单调性的定义先设120<m x x n ≤<≤，然后化简判断()()12f x f x -的正负，即可判断单调性；（2）由函数单调性可得,m n 是方程()222210a x a a x -++=的不相等的两个正数根，利用韦达定理可求出a 的范围，进而求出n m -的最大值； （3）不等式等价于211222x a a x x x-≤+≤+对1≥x 恒成立，求出1()2h x x x =+最小值和1()2g x x x=-的最大值即可解出. 【详解】 （1）设120<m x x n ≤<≤， 则()()1212222121211x x f x f x a x a x a x x --=-+=， 120<m x x n ≤<≤，12120,0x x x x ∴>-<，()()12f x f x ∴<，故()f x 在[],m n 上单调递增；（2）由（1）可得0m n <<时，()f x 在[],m n 上单调递增，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，则,m n 是方程2112x a a x+-=的不相等的两个正数根， 即()222210a x a a x -++=有两个不相等的正数根，则()2222122122Δ2402010a a a a a x x a x x a ⎧=+->⎪⎪+⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得12a >，n m ∴-=== 1,2a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，32a ∴=时，n m -（3）221()2a f x a a x=+-，则不等式()22a f x x ≤对1≥x 恒成立， 即21222x a a x x -≤+-≤，即211222x a a x x x-≤+≤+对1≥x 恒成立， 令1()2h x x x=+，则()h x 在[1,)+∞单调递增，min ()(1)3h x h ∴==，令1()2g x x x=-，则()g x 在[1,)+∞单调递减，max ()(1)1g x g ∴==-， 222321a a a a ⎧+≤∴⎨+≥-⎩，解得312a -≤≤且0a ≠.【点睛】关键点睛：由函数单调性得出,m n 是方程()222210a x a a x -++=的不相等的两个正数根，利用韦达定理可求出a 的范围是解决第二问的关键，第三问不等式的恒成立问题需要分离参数求最值.22．（1）2()2f x x x =-；（2）证明见解析；（3）,2()4,2m m G m m m -<-⎧=⎨--≥-⎩，()G m 的最小值为2． 【分析】（1）由题意得，(0)0f =，再由偶函数的图象关于y 轴对称，求得,b c ，可得出函数的解析式；（2）原问题等价于对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，令222()224(2)4g x x x x x x x =--=-=--，求得()2f x x -的范围，即可得证；（3）2|(2)4||()2|y f x x x m m =----=-，讨论m 的大小并结合二次函数的图象进行分析； 【详解】（1）由题意得，(0)0f =，即0c，所以2()f x x bx =+，()22+2+++(+1)(+1)(1+1)f x x b x x b x b =+=，因为()1y f x =+为偶函数，所以202b+-=，即2b =-， 所以2()2f x x x =-；（2）对于任意的[0,4]x ∈，总有24()2x f x x -≤≤等价于对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，令222()224(2)4g x x x x x x x =--=-=--，则当[][]0,4,()4,0x g x ∈∈-，即对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，故得证；（3）2|(2)4||()2|y f x x x m m =----=-，当4m ≤-时，由（2），因为对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，则此时2(2)40x m ---≥，即有2(2)4,y x m =---，故0x =或4时，y 有最大值，即()G m m =-；当42m -<<-时，如图，由图，可得此时在0x =或4时，y 有最大值，即()G m m =-； 当2m ≥-时，如图或，由图，可得此时在2x =时，y 有最大值，即()4G m m =--， 综上,2()4,2m m G m m m -<-⎧=⎨--≥-⎩；当2m <-时，()2G m >，当2m ≥-时，()2G m ≥， 故()G m 的最小值为2． 【点睛】方法点睛：解决关于二次函数在某区间上的值域时，注意讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，再根据二次函数的单调性得出最值.23．（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩；（2）增函数；（3）14t <-.【分析】（1）当0x <时，0x ->，求出()f x -，根据奇函数得到()f x ； （2）由解析式可直接写出；（3）先根据奇函数的性质化不等式为()()2f m f t m>-，利用单调性脱去“f ”,转化为2t m m <+恒成立，求出2m m +的最小值即可.【详解】（1）当0x <时，0x ->，又()f x 是奇函数， ∴()()()22f x x x f x -=--=-∴()()220f x x x x =-+<，∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩（2）由()f x 的解析式以及二次函数、分段函数的性质可知()f x 为R 上的增函数： （3）由()()210f m f m +->和()f x 是奇函数得()()()22f m f m t f t m>--=-，因为()f x 为R 上的增函数， ∴2m t m >-，221124t m m m ⎛⎫<+=+- ⎪⎝⎭，∴14t <-． 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．24．（1）增函数，证明见解析；（2）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）()f x 在(2,2)-上为增函数，任取1x ，2(2,2)x ∈-，且12x x <，化简()()12f x f x -并判断与零的大小关系，得出结论；（2）利用函数的定义域和单调性，列出不等式组，解出实数a 的取值范围． 【详解】（1）()f x 在(2,2)-上为增函数. 证明：任取1x ，2(2,2)x ∈-，且12x x <， 所以()()1212221244x x f x f x x x -=-++()()()()21122212444x x x x x x --=++.因为1222x x -<<<， 所以210x x ->，1240x x -<则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数.（2）解：由（1）知，()f x 在(2,2)-上单调递增，又(2)(21)f a f a +>-，所以222,2212,221,a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩解得40,13,223,a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩即102a -<<， 所以a 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查定义法判断函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，考查学生计算能力，定义法证明单调性的步骤：取值，在定义域或者给定区间上任意取任取12,x x ，不妨设12x x <；作差，变形，对()()21f x f x -化简，通过因式分解或者配方法等，判断出差值的符号； 定号，确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论； 判断，根据定义得出结论．25．（1）122⎫⎪⎬⎪⎪⎩⎭；（2）2343,243,332812,3a a a a a a ⎧+≥-⎪⎪⎪--<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩. 【分析】（1）根据对数的运算化简方程即可得出解集；（2）根据二次函数的对称轴，分类讨论，即可求出函数的最小值. 【详解】()()234342222()log log 16log log 2log a a f x x x x x =⋅⋅=⋅+()22log 43log (0)x a x x =+>（1）若1a =，则()22()log 43log 1f x x x =+=-，令2log t x =，则方程为(43)1t t +=-， 解得：13t =-或1t =-， 则21log 3x =-或2log 1x =-，∴1322x -==或12x =，∴方程的解集为122⎫⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭. （2）∵[2,4]x ∈， ∴2log [1,2]x ∈， 令2log [1,2]t x =∈，则[]()(34),1,2f t t t a t =+∈，对称轴为23t a =-. ①当213a -≤，即32a ≥-时，min ()(1)43f t f a ==+； ②当2123a <-<，即332a -<<-时，2min 24()33f t f a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；③当223a -≥，即3a ≤-时，min ()(2)812f t f a ==+. 综上，2min 343,243(),332812,3a a f x a a a a ⎧+≥-⎪⎪⎪=--<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩.【点睛】关键点点睛：二次函数求最值问题，需要根据开口方向及对称轴研究函数的最值，对称轴与定义域[1,2]的关系，分3种情况讨论即可，属于中档题. 26．（1）单调递增，证明见解析；（2）{}1-. 【分析】（1）根据函数单调性定义，判断当123x x <<时，()()120,0?f x f x -><即可； （2）法一：根据函数()()90f x x x x=+≠得到()()233f x f x +解析式，解关于x 的二次型不等式即可.法二：根据函数为奇函数，和定义域内的单调性，将()()2330f xf x +≤转化为解()()233f x f x ≤-，分0x >，1x =-，1x <-，10x -<<讨论使得()()233f x f x ≤-成立x 时的范围为其解集. 【详解】解：（1）设123x x <<， 则()()()()121212121212999x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭ 因为12120,90x x x x -<->， 所以()()120f x f x -<， 所以()f x 在(3,)+∞上单调递增. （2）法一：原不等式可化为2233330x x x x+++， 即21120x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121x x -+， 当0x >时，12x x+，不合题意，舍去； 当0x <时，只需解12x x-+，可化为2(1)0x +，所以1x =-. 综上所述，不等式的解集为{}1-.法二：由（1）的解答过程知()f x 在(0,3)上单调递减，在()3,+∞上单调递增， 又()f x 为奇函数，()()2330f x f x +≤，所以()()()2333f xf x f x ≤-=-，当0x >时，2(3)0,(3)0f x f x >-<，与上式矛盾，故舍去； 当1x =-时，上式成立；当1x <-时，2333x x >->，则()()233f x f x >-，与上式矛盾，故舍去；当10x -<<时，20333x x <<-<，则()()233f x f x >-，与上式矛盾，故舍去；综上所述，不等式的解集为{}1-. 【点睛】确定函数单调性的四种方法： （1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；（4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.。
(压轴题)高中数学必修一第二单元《函数》测试(有答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数()1,0112,12x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，若0a b >≥，()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是（ ）A ．3,24⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2D ．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．若函数()22(3)8,1,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A．4,⎡-⎣B．4⎤⎦C ．[]3,4-D．⎡⎣3．以下说法正确的有（ ）（1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}3,1AB =；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =； （3）函数1y x=的单调区间是()(),00,-∞⋃+∞； （4）在映射:f A B →的作用下，A 中元素(),x y 与B 中元素()1,3x y --对应，则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是()1,2 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3x y =具有性质M ； ②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =. 其中正确的个数是（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知2()25x f x +=-，()()20g x ax a =+>，若对任意的[]11,2x ∈-，存在[]00,1x ∈，使()()10g x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]2B ．1[,3]2C ．[)3,+∞D ．(]0,36．对x R ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中较大者，记为()()()max{,}M x f x g x =，若()()2{3,1}M x x x =-+-，则()M x 的最小值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．47．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且()112f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ）A ．(][),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(],1-∞8．已知函数的定义域为R ，且对任意的12,x x ，且12x x ≠都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，若()()2211f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)- B ．[1,2]-C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(,1][2,)-∞-+∞9．若函数()28,12,1ax x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()4,+∞B ．[)4,+∞C ．[]4,6D ．()0,∞+10．已知函数()1,0,21,0,x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩若()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．[)(]2,00,2-C ．(](),22,-∞-+∞D ．()()2,00,2-11．已知函数()f x 是奇函数，()f x 在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间[,]b a --上（ ） A ．有最大值4B ．有最小值-4C ．有最大值-3D ．有最小值-312．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式()0f x >的解集为( )A ．()()2,02,∞-⋃+B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()(),20,2∞--⋃D ．()()2,00,2-⋃二、填空题13．若函数()y f x =的定义域是[]0,4，则函数()2f x f x =的定义域是__________.14．若函数()12423xx f x m m +=-⋅+-，在其定义域R 内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则整数m 的取值集合是________.15．已知函数(3)5,1 ()2,1a x xf x axx--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩是R上的增函数，则a的取值范围是________. 16．关于函数21()11xf xx-=+-的性质描述，正确的是_________.①()f x的定义域为[-1，0)∪(0，1]；②()f x的值域为R；③在定义域上是减函数；④()f x的图象关于原点对称.17．自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()x xf ae ex b-=+（其中a，b是非零常数，无理数 2.71828e=…）（1）如果()f x为单调函数.写出满足条件的一-组值：a=______，b=______.（2）如果()f x的最小值为2，则+a b的最小值为______.18．已知集合{1,A B==2，3}，f：A B→为从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种.19．定义域为R的函数()f x满足(2)2()f x f x+=，当[0,2)x∈时，21.5,[0,1)()0.5,[1,2)xx x xf xx-⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若[4,2)x∈--时，1()42tf xt≥-恒成立，则实数t的取值范围是______．20．函数y=a x(a>0且a≠1)在［1,2］上的最大值比最小值大2a，则a=______.三、解答题21．已知函数()2112f xa a x=+-，实数a R∈且0a≠.（1）设0m n<<，判断函数()f x在[],m n上的单调性，并说明理由；（2）设0m n<<且0a>时，()f x的定义域和值域都是[],m n，求n m-的最大值；（3）若1≥x时不等式()22a f x x≤恒成立，求实数a的取值范围.22．已知函数()f x为二次函数，满足()()139f f-==，且()03f=．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()()g x f x mx =-在[]1,3上是单调函数，求实数m 的取值范围． 23．已知函数()222f x x ax =++，[]5,5x ∈-．（1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数． （3）求函数()f x 的最小值()g a 的表达式，并求()g a 的最大值． 24．已知函数()2h x x bx c =++是偶函数，且()20h -=，()()h x f x x=． （1）当[]1,2x ∈时，求函数()f x 的值域； （2）设()221642F x x a x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，[]1,2x ∈，a ∈R ，求函数()F x 的最小值()g a ；（3）对（2）中的()g a ，若不等式()224g a a at >-++对于任意的()3,0a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围．25．已知函数21.2()2,2221,2x x f x x x x x x +≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，（1）求(5)f -，(f ，5(())2f f -的值； （2）若()3f a =，求实数a 的值. 26．已知定义在()1,1-上的奇函数2()1ax bf x x +=+，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：()f x 在0,1上是增函数； （3）解不等式()2(120)f t f t -+<.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由()f x 在每一段上单调递增可知01b a ≤<≤，由()f x 每一段上的值域可知()3,22f b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进一步确定112b ≤<，由()()()1bf a bf b b b ==+，根据二次函数的值域得到结果. 【详解】()f x 在[)0,1和[)1,+∞上单调递增，∴由()()f a f b =得：01b a ≤<≤，当[)0,1x ∈时，()[)1,2f x ∈；当[)1,x ∈+∞时，()3,2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 若()()f a f b =，则()3,22f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即()31,22f b b ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，解得：112b ≤<， ()()()2211124bf a bf b b b b b b ⎛⎫==+=+=+- ⎪⎝⎭，∴当112b ≤<时，()3,24bf a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：本题解题关键是能够将()bf a 转化为关于b 的函数，易错点是没有对b 的范围进行细化，造成函数值域求解错误.2．B解析：B 【分析】函数()f x 在R 上是增函数，则在两段上分别要单调递增，且在分界点处要满足2138a a -+--≤，从而得到答案.【详解】函数()22(3)8,1,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩在R 上是增函数，则满足下列条件：（1）()2238y x a x =-+--在(],1-∞递增，2312a -≥，即a ≥a ≤（2）y ax =在()1,+∞递增，则0a >（3）当1x =时满足2138a a -+--≤，解得34a -≤≤综上可得函数()f x 在R 上是增函数，实数a 4a ≤≤ 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数的范围，解答本题的关键是分段函数要在定义域内单调递增，则在两段上要分别单调递增，且在分界点出满足2138a a -+--≤，这也时容易出错的地方，属于中档题.3．B解析：B 【分析】 根据AB 为点集，可判断（1）的正误；根据奇函数的性质，可判断（2）的正误；分解反比例函数的单调性，可判断（3）的正误；根据映射的概念，可判断（4）的正误. 【详解】 （1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}(3,1)AB =，所以（1）错误；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，所以（2）正确； （3）函数1y x=的单调区间是(),0-∞和()0,∞+，所以（3）错误； （4）设A 中元素为(,)x y ，由题意可知1031x y -=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以A 中元素是()1,2，所以（4）正确；所以正确命题的个数是2个， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，在解题的过程中，关键点是要熟练掌握基础知识，此类题目综合性较强，属于中档题目.4．C解析：C 【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断. 【详解】解：对于①：3xy =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=， 所以函数3xy =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =， 故③正确； 故选：C. 【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.5．A解析：A 【分析】根据指数函数的性质求出()f x 在[0,1]上的值域A ，利用一次函数的单调性求出()g x 在[1,2]-上的值域B ，由题得B A ⊆，再根据集合的包含关系即可求解.【详解】2()25x f x +=-，[]00,1x ∈，()()min 01f x f ∴==-，()()max 13f x f ==， ∴()f x 在[0,1]上的值域为[]1,3A =-，又()2(0)g x ax a =+>在[1,2]-上单调递增，∴()g x 在[1,2]-上的值域为[]2,22B a a =-++，由题意可得B A ⊆，021223a a a >⎧⎪∴-+≥-⎨⎪+≤⎩，解得102a <≤.故选：A 【点睛】本题考查函数的单调性求值域、集合的包含关系求参数的取值范围.探讨方程()()0f x g m -=解的存在性，通常可将方程转化为()()f x g m =，通过确认函数()f x 或()g m 的值域，从而确定参数或变量的范围6．C解析：C 【分析】根据定义求出()M x 的表达式，然后根据单调性确定最小值． 【详解】由23(1)x x -+=-解得：1x =-或2x =，2(1)3x x -≥-+的解集为1x ≤-或2x ≥，2(1)3x x -<-+的解为12x -<<，∴2(1),12()3,12x x x M x x x ⎧-≤-≥=⎨-+-<<⎩或，∴2x ≤时，()M x 是减函数，2x >时，()M x 是增函数，∴min ()(2)1M x M ==． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是确定新定义函数的解析式，根据新定义通过求最大值得出新函数的解析式，然后根据分段函数研究新函数的性质．7．B解析：B 【分析】计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()234f x f x-⋅≥，可得出()()232f xx f -≥-，再由函数()y f x =在R 上的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=，()()1121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()234f x f x-⋅≥，可得()()232f x x f -≥-.所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.故选B. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】由函数的单调性列x 的不等式求解即可.由()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 在R 上为增函数， 由()()2211f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，故22min 1(1)m m x --<+，即211m m --<解得12m -<<.故选：A. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，是基础题9．C解析：C 【分析】由题意可知二次函数282a y x x =-+在区间(],1-∞上为减函数，函数ay x =在区间()1,+∞上为减函数，且有92aa -≥，可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由于函数()28,12,1ax x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为R 上的减函数，则二次函数282ay x x =-+在区间(],1-∞上为减函数，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线4ax =，所以，14a ≥；函数ay x =在区间()1,+∞上为减函数，则0a >，且有92a a -≥.所以，14092a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪⎪-≥⎩，解得46a ≤≤.因此，实数a 的取值范围是[]4,6. 故选：C. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，要注意分析每支函数的单调性以及分界点处函数值的大小关系，考查计算能力，属于中等题.10．D【分析】按0a >和0a <分类解不等式即可得． 【详解】[()()]0a f a f a -->，若0a >，则()()0f a f a -->，即1[2()1]0a a +--⨯-->，解得2a <，所以02a <<，若0a <，则()()0f a f a --<，即21(1)0a a ----+<，解得2a >-，所以20a -<<，综上，不等式的解为(2,0)(0,2)-．故选：D ． 【点睛】本题考查解不等式，解题方法是分类讨论．掌握分类讨论的思想方法是解题关键．11．B解析：B 【分析】根据奇函数的性质,分析()f x 在对称的区间上单调性相同,即可找出最大值与最小值. 【详解】∵()f x 是奇函数,在(0,)+∞上是减函数,∴()f x 在(,0)-∞上也是减函数,即在区间[,](0)a b a b <<上递减. 又∵()f x 在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-, ∴()()4,3,f a f b ==-根据奇函数的性质可知()()4,3,f a f b -=--=且在区间[,]b a --上单调递减, ∴()f x 在区间[,]b a --上有最大值3,有最小值-4. 故选：B. 【点睛】本题考查了奇函数的单调性和值域特点,如果性质记不熟,可以将大致图像画出.本题属于中等题.12．A解析：A 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案． 【详解】根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0， 则f （﹣2）=﹣f （2）=0，又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0， 又由函数y=f （x ）为奇函数，则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0， 综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）； 故选A ． 【点睛】本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．二、填空题13．【分析】求出抽象函数定义域与联立求解答可得【详解】因为函数的定义域是所以又所以故答案为：【点睛】对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数的定义域为则复合函数的定义域由不等式求出；(2)若已知函数的定 解析：](1,2【分析】求出抽象函数()2f x 定义域与10x ->联立求解答可得 【详解】因为函数()y f x =的定义域是[]0,4，所以02402x x ≤≤⇒≤≤，又10x -> 所以12x <≤ 故答案为：](1,2 【点睛】对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出；(2)若已知函数(())f g x 的定义域为[]a b ，，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．14．【分析】将已知等式转化为方程有解问题利用换元法和二次函数的性质列出不等式组解出整数m 的取值集合【详解】根据题意函数其定义域为R 则有若在其定义域R 内存在实数x 满足即方程在R 上有解该方程变形可得令原问题解析：{|1m m -≤≤【分析】将已知等式转化为方程有解问题，利用换元法和二次函数的性质列出不等式组，解出整数m 的取值集合． 【详解】根据题意，函数()1224234223xx x x f x m m m m +=-⋅+-=-⋅+-，其定义域为R ，则有()24223xx f x m m ---=-⋅+-，若在其定义域R 内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，即方程()2242234223x x x x m m m m ---⋅+-=--⋅+-在R 上有解，该方程变形可得()244222260xxx x m m --+-++-=，令222x x t -+=≥，原问题转化为()222280F t t mt m =-+-=在[)2,+∞有解，则必有()20F ≤或()22(2)0244280F m m m ⎧>⎪⎪>⎨⎪∆=--≥⎪⎩，解得：1m ≤m的取值集合为{|1m m -≤≤，故答案为：{|1m m -≤≤. 【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解问题，考查二次函数的性质，考查换元法的应用，解决本题的关键点是将定义域R 内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，转化为方程有解问题，化简并利用换元法，结合二次函数图象和性质，列出不等式组求出参数范围，考查学生计算能力，属于中档题．15．【分析】函数是增函数可得且即可求解【详解】因为函数为上的增函数所以当时递增即当时递增即且解得∴综上可知实数的取值范围是故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围需满足分段函数 解析：(]0,2【分析】函数是增函数可得30a ->，0a >且2(3)151aa -⨯-≤-，即可求解. 【详解】因为函数()f x 为R 上的增函数，所以当1x ≤时，()f x 递增，即30a ->，当1x >时，()f x 递增，即0a >， 且2(3)151aa -⨯-≤-，解得2a ≤，∴02a <≤， 综上可知实数a 的取值范围是(]0,2. 故答案为：(]0,2. 【点睛】易错点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数范围，需满足分段函数每部分分别单调，还应注意在分段处的函数值大小问题，这是容易漏掉的地方.16．①②④【分析】求出函数的定义域值域判断①②根据单调性的定义判断③根据奇偶性的定义与性质判断④【详解】函数满足解得或故函数的定义域为故①正确当时当时所以函数值域为故②正确③虽然时函数单调递减当时函数单解析：①②④ 【分析】求出函数的定义域，值域判断①②，根据单调性的定义判断③，根据奇偶性的定义与性质判断④． 【详解】函数()f x =21011x x ⎧-⎪⎨+≠⎪⎩，解得10x -<或01x <，故函数的定义域为[1-，0)(0⋃，1]．故①正确．当[1x ∈-，0)时(][)(]2211,(),00,1x f x x ∈+∞⇒===-∞∈⇒，当(0x ∈，1]时，(][)220,,111x x ∈∈⇒+∞⇒()[0f x ===，)+∞，所以函数值域为R ，故②正确．③虽然[1x ∈-，0)时，函数单调递减，当(0x ∈，1]时，函数单调递减，但在定义域上不是减函数，故③错误．④由于定义域为[1-，0)(0⋃，1]，()11f x x x==+-，则()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故④正确．故答案为：①②④． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、值域、函数的定义域与对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.17．2【分析】（1）取结合函数是单调函数利用复合函数的单调性求解的值即可；（2）根据的最小值为2分类讨论确定结合基本不等式进行求解即可【详解】（1）令则是增函数是减函数要使是单调函数只需综上当时时为增函解析：1- 2 【分析】（1）取1a =，结合函数是单调函数，利用复合函数的单调性求解b 的值即可；（2）根据()f x 的最小值为2，分类讨论确定0a >，0b >，结合基本不等式进行求解即可． 【详解】（1）令1a =，则()x x f x e be -=+，x y e =是增函数，x y e -=是减函数，要使()x x f x e be -=+是单调函数， 只需1b =-．综上，当1a =时，1b =-时，()xxf x e e -=-为增函数． （2）当0ab 时，()f x 为单调函数，此时函数没有最小值， 当0a <，0b <，()f x 有最大值，无最小值， 所以，若()f x 有最小值为2，则必有0a >，0b >，此时()22x x x f x ae be ae be -=+⨯，1=，即1ab =，则22a b ab +=，当1a b ==时等号成立， 即+a b 的最小值为2． 故答案为：1,1,2- 【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.18．7【分析】根据函数的定义来研究由于函数是一对一或者多对一的对应且在B 中的元素可能没有原像故可以按函数对应的方式分类讨论可分为一对一二对一三对一三类进行讨论得答案【详解】由函数的定义知此函数可以分为三解析：7 【分析】根据函数的定义来研究，由于函数是一对一或者多对一的对应，且在B 中的元素可能没有原像，故可以按函数对应的方式分类讨论.可分为一对一，二对一，三对一三类进行讨论得答案． 【详解】由函数的定义知，此函数可以分为三类来进行研究：若函数的是三对一的对应，则值域为{}1、{}2、{}3三种情况； 若函数是二对一的对应，{}1,2、{}2,3、{}1,3三种情况； 若函数是一对一的对应，则值域为{1,2，3}共一种情况． 综上知，函数的值域的不同情况有7种．故答案为7． 【点睛】本题考查函数的概念，函数的定义，考查数学的基本思想方法，是中档题．19．【分析】由分段函数根据单调性求得在的最小值根据求出的最小值将问题转化为解不等式即可得出结果【详解】根据已知当时则当时在处取到最小值当时在处取到最小值所以在时在处取到最小值又因为可知当时在时取到最小值 解析：(,2](0,1]-∞-⋃【分析】由分段函数根据单调性求得()f x 在[0,2)x ∈的最小值，根据(2)2()f x f x +=求出[4,2)x ∈--，()f x 的最小值，将问题转化为min 1()42t f x t≥-解不等式即可得出结果． 【详解】 根据已知，当[0,2)x ∈时，2 1.5,[0,1)()0.5,[1,2)x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩， 则当[0,1)x ∈时，()f x 在0.5x =处取到最小值(0.5)0.25f =-， 当[1,2)x ∈时，()f x 在 1.5x =处取到最小值(1.5)1f =-， 所以()f x 在[0,2)x ∈时在 1.5x =处取到最小值(1.5)1f =-， 又因为(2)2()f x f x +=， 可知当[4,2)x ∈--时， ()f x 在 2.5x =-时取到最小值，且(1.5)2(0.5)4( 2.5)f f f =-=-， 则1( 2.5)(1.5)0.254f f -=⨯=-． 为使[4,2)x ∈--，1()42t f x t≥-恒成立， 需11424t t -≤-， 当0t >时，可整理为220t t +-≤， 解得(0,1)t ∈； 当0t <时，可整理为220t t +-≥， 解得(,2]t ∈-∞-． 故答案为(,2](0,1]-∞-⋃. 【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键，属于中档题．20．或【分析】由题意按照分类结合指数函数的性质可得方程即可得解【详解】当时是增函数则解得或（舍去）；当时是减函数则解得或（舍去）；综上或故答案为：或【点睛】关键点点睛：涉及指数函数单调性问题底数为参数时解析：12或32【分析】由题意按照1a >、01a <<分类，结合指数函数的性质可得方程，即可得解. 【详解】当1a >时，x y a =是增函数，则22a a a -=，解得32a =或0a =（舍去）； 当01a <<时，xy a =是减函数，则22a a a -=，解得12a =或0a =（舍去）； 综上，12或32故答案为：12或32【点睛】关键点点睛：涉及指数函数单调性问题，底数为参数时，一般都要分类讨论，分底数大于1与底数大于0小于1两种情况解决.本题考查了指数函数单调性的应用，考查了运算求解能力及分类讨论思想.三、解答题21．（1）单调递增，理由见解析；（2；（3）312a -≤≤且0a ≠.【分析】（1）根据函数单调性的定义先设120<m x x n ≤<≤，然后化简判断()()12f x f x -的正负，即可判断单调性；（2）由函数单调性可得,m n 是方程()222210a x a a x -++=的不相等的两个正数根，利用韦达定理可求出a 的范围，进而求出n m -的最大值； （3）不等式等价于211222x a a x x x-≤+≤+对1≥x 恒成立，求出1()2h x x x =+最小值和1()2g x x x=-的最大值即可解出. 【详解】 （1）设120<m x x n ≤<≤，则()()1212222121211x x f x f x a x a x a x x --=-+=， 120<m x x n ≤<≤，12120,0x x x x ∴>-<，()()12f x f x ∴<，故()f x 在[],m n 上单调递增；（2）由（1）可得0m n <<时，()f x 在[],m n 上单调递增，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，(),()f m m f n n ∴==，则,m n 是方程2112x a a x+-=的不相等的两个正数根， 即()222210a x a a x -++=有两个不相等的正数根，则()2222122122Δ2402010a a a a a x x a x x a ⎧=+->⎪⎪+⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得12a >，n m ∴-=== 1,2a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，32a ∴=时，n m -（3）221()2a f x a a x=+-，则不等式()22a f x x ≤对1≥x 恒成立， 即21222x a a x x -≤+-≤，即211222x a a x x x-≤+≤+对1≥x 恒成立， 令1()2h x x x=+，则()h x 在[1,)+∞单调递增，min ()(1)3h x h ∴==，令1()2g x x x=-，则()g x 在[1,)+∞单调递减，max ()(1)1g x g ∴==-， 222321a a a a ⎧+≤∴⎨+≥-⎩，解得312a -≤≤且0a ≠.【点睛】关键点睛：由函数单调性得出,m n 是方程()222210a x a a x -++=的不相等的两个正数根，利用韦达定理可求出a 的范围是解决第二问的关键，第三问不等式的恒成立问题需要分离参数求最值.22．（1）()2243f x x x =-+；（2）8m ≥或0m ≤．【分析】（1）设函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），代入已知条件解得,,a b c ，得解析式；（2）由对称轴不在区间内可得． 【详解】（1）设函数()2f x ax bx c =++（0a ≠）∵()()139f f -==，且()03f = ∴99313a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得243a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴()2243f x x x =-+．（2）由（1）()()2243g x x m x =-++，其对称轴为4144m mx +==+ ∵()()g x f x mx =-在[]1,3上单调函数，∴134m +≥，或114m+≤，解得：8m ≥或0m ≤． 【点睛】方法点睛：本题考查求二次函数的解析式，二次函数的单调性．二次函数解析式有三种形式：（1）一般式：2()f x ax bx c =++；（2）顶点式：2()()f x a x h m =-+；（3）交点式（两根式）：12()()()f x a x x x x =--． 23．（1）最大值为37，最小值为1；（2）(][),55,-∞-+∞；（3）()22710,52,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，()max 2g a =.【分析】（1）利用二次函数的基本性质可求得函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值和最小值； （2）分析二次函数()y f x =图象的开口方向和对称轴，然后对函数()y f x =在区间上为增函数或减函数两种情况分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；（3）对实数a 的取值进行分类讨论，分析二次函数()f x 在区间[]5,5-上的单调性，进而可求得()g a 关于a 的表达式，并求出a 在不同取值下()g a 的取值范围，由此可得出()g a 的最大值.【详解】（1）当1a =-时，()()222211f x x x x =-+=-+.所以，函数()f x 在区间[]5,1-上为减函数，在区间[]1,5上为减函数， 当[]5,5x ∈-时，()()min 11f x f ==，()517f =，()537f -=，所以，()()max 537f x f =-=；（2）二次函数()222f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-.①若函数()y f x =在区间[]5,5-上是增函数，则5a -≤-，解得5a ≥； ②若函数()y f x =在区间[]5,5-上是减函数，则5a -≥，解得5a ≤-. 综上所述，实数a 的取值范围是(][),55,-∞-+∞；（3）二次函数()222f x x ax =++的图象开口向上，对称轴为直线x a =-. ①当5a -≤-时，即当5a ≥时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为增函数， 则()()52710g a f a =-=-，此时()23g a ≤-； ②当55a -<-<时，即当55a -<<时，函数()y f x =在区间[)5,a --上为减函数，在区间(],5a -上为增函数， 则()()22g a f a a =-=-，此时()(]2223,2g a a =-∈-；③当5a -≥时，即当5a ≤-时，函数()y f x =在区间[]5,5-上为减函数，则()()52710g a f a ==+，此时()271023g a a =+≤-.综上所述，()22710,52,552710,5a a g a a a a a +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，()max 2g a =.【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.24．（1）[]3,0-；（2）()()2617,(3)8,308,(0)a a g a a a a +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩；（3）(4,)-+∞.【分析】（1）函数()2h x x bx c =++是偶函数，则0b = ，由()20h -=得出答案.（2）()24428F x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设4t x x =-，当[]1,2x ∈时，由(1)可知，3,0t ,即求228y t at =-+ ，在3,0t上的最小值，由对称轴和区间的位置关系进行分类讨论得出答案.（3）当()3,0a ∈-时，()28g a a =-，则22824a a at ->-++对于任意的()3,0a ∈-恒成立,即24a at +>对于任意的()3,0a ∈-恒成立,所以4a t a+<对于任意的()3,0a ∈-恒成立,从而可得出答案. 【详解】（1）函数()2h x x bx c =++是偶函数，则0b =()240h c -=+=，4c =- ，所以()24h x x =-则()244x f x x x x-==-当[]1,2x ∈时，()4f x x x=-单调递增. 所以()()()3120f f x f -==≤≤=所以当[]1,2x ∈时，函数()f x 的值域为[]3,0-（2）()22216444228F x x a x x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 设4t x x=-，当[]1,2x ∈时，由(1)可知，3,0t228y t at =-+ ，3,0t，其对称轴方程为t a =当3a <-时，228y t at =-+在3,0t 上单调递增，则其最小值为176a + 当0a >时，228y t at =-+在3,0t上单调递减，则其最小值为8当30a -≤≤时，228y t at =-+在[]3,a -上单减，在[],0a 上单增， 所以当x a =时，则其函数的最小值为28a -+所以2617(3)()8,(30)8(0)a a g a a a a +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩，，（3）若不等式()224g a a at >-++对于任意的()3,0a ∈-恒成立当()3,0a ∈-时，()28g a a =-，则22824a a at ->-++对于任意的()3,0a ∈-恒成立即24a at +>对于任意的()3,0a ∈-恒成立 所以4a t a+<对于任意的()3,0a ∈-恒成立，由函数4y a a =+在()3,2--上单调递增，在()2,0-上单调递减. 所以当2x =-时，4y a a=+有最大值4- ，所以4t >- 不等式()224g a a at >-++对于任意的()3,0a ∈-恒成立，实数t 的取值范围是()4+-∞，【点睛】关键点睛：本题考查求二次函数的解析式和分类讨论求二次函数的最小值以及分离参数求差参数的范围，解答本题的关键是由二次函数的对称轴方程与区间的相对位置关系讨论求函数的最小值，和分离参数法求参数的范围，即24a at +>对于任意的()3,0a ∈-恒成立 所以4a t a+<对于任意的()3,0a ∈-恒成立，属于中档题. 25．（1）(5)4f -=-，(3f =-53(())24f f -=-；（2）1a =或2a =. 【分析】 （1）本题首先可以根据题意明确函数()f x 在各段的解析式，然后代入值进行计算即可； （2）本题可分为2a ≤-、22a -<<、2a ≥三种情况进行讨论，依次求解()3f a =，即可得出结果.【详解】（1）因为函数21,2()2,2221,2x x f x x x x x x +≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩，所以()5514f -=-+=-，(((223f =+⨯=- 5531222f ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，253339323222244f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. （2）当2a ≤-时，(13)f a a +==，解得2a =，不合题意，舍去；当22a -<<时，2(3)2f a a a ，即()()130a a -+=，解得1a =或3a =-（舍去），故此时1a =；当2a ≥时，()213f a a =-=，即2a =，综上所述，1a =或2a =.【点睛】本题考查分段函数值的求法以及根据分段函数值求自变量，能否明确分段函数在各段的解析式是解决本题的关键，根据分段函数值求自变量时要注意求出的自变量是否在取值范围内，考查分类讨论思想，是中档题.26．（1）2()1x f x x =+；（2）证明见解析；（3）102t <<. 【分析】（1）由题意可得(0)0f =，可求出b 的值，再由1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭可求出a 的值，从而可求出函数()f x 的解析式；（2）利用增函数的定义证明即可；（3）由于函数是奇函数，所以()2(120)f t f t -+<可化为()2()12f t t f <-，再利用单调性可求解不等式【详解】（1）解：因为()f x 是()1,1-上的奇函数，所以(0)0f =，即01b =，得0b =， 因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1221514a =+，解得1a =， 所以2()1x f x x =+ （2）证明：1x ∀，2(0,1)x ∈，且12x x <，则()()()()()()122112122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， 因为1201x x ，所以2212211210,0,(1)(1)0x x x x x x -<->++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <所以()f x 在(0,1)上是增函数.（3）解：因为()f x 在(0,1)上是增函数，且()f x 是()1,1-上的奇函数，所以()f x 是(1,1)-上的奇函数且是增函数，所以()2(120)f t f t -+<可化为()2()12f t t f <-， 所以2211112121t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪<-⎩，解得102t <<. 【点睛】关键点点睛：此题函数的奇偶性和单调性的应用，第（3）问解题的关键是利用奇函数的性质将不等式()2(120)f t f t -+<转化为()2()12f t t f <-，进而利用单调性解不等式，考查转化思想和计算能力，属于中档题。
鹤壁市高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式易错题集锦
鹤壁市高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式易错题集锦单选题1、已知函数y=x−4+9x+1(x>−1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（）A．−3B．2C．3D．8答案：C分析：通过题意可得x+1>0，然后由基本不等式即可求得答案解：因为x>−1，所以9x+1>0,x+1>0，所以y=x−4+9x+1=x+1+9x+1−5≥2√(x+1)⋅9x+1−5=1,当且仅当x+1=9x+1即x=2时，取等号，所以y的最小值为1，所以a=2,b=1，所以a+b=3，故选：C2、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D错误，故选：A3、若正数x ，y 满足3x+1y =5，则3x +4y 的最小值是（ ）A ．245B ．285C ．5D ．25答案：C分析：由3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果. ∵3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )=15(13+3x y+12y x)≥15(13+2√3x y ⋅12y x)=5（当且仅当3x y=12y x，即x =2y =1时取等号），∴3x +4y 的最小值为5. 故选：C.4、若a >0,b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当a >0,b >0时，a +b ≥2√ab ，则当a +b ≤4时，有2√ab ≤a +b ≤4，解得ab ≤4，充分性成立；当a =1,b =4时，满足ab ≤4，但此时a +b =5>4，必要性不成立，综上所述，“a +b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件.小提示：易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.5、已知a >0,b >0,a +b =1，则y =1a+3b 的最小值是（ ）A ．7B ．2+√3C ．4D ．4+2√3 答案：D分析：由“1”的妙用和基本不等式可求得结果. 因为a >0,b >0,a +b =1，所以y =1a +3b =(a +b )(1a +3b )=4+ba +3a b≥4+2√b a ⋅3a b=4+2√3，当且仅当b a =3a b即b =√3a 时，等号成立.结合a +b =1可知，当a =√3−12,b =3−√32时，y 有最小值4+2√3.故选：D. 填空题6、已知方程x 2+px +q =0的两根为−3和5，则不等式x 2+px +q >0的解集是______． 答案：(−∞,−3)∪(5,+∞)分析：根据根与系数的关系以及一元二次不等式的解法即可解出．由题意可知， {−3+5=−p −3×5=q，解得p =−2,q =−15，所以x 2+px +q >0即为x 2−2x −15>0，解得x >5或x <−3，所以不等式x 2+px +q >0的解集是(−∞,−3)∪(5,+∞)． 所以答案是：(−∞,−3)∪(5,+∞)．7、已知关于x 的不等式−x 2+6ax −3a 2≥0(a >0)的解集为[x 1,x 2]，则x 1+x 2+3a x 1x 2的最小值是___________.答案：2√6分析：由题知x 1+x 2=6a,x 1x 2=3a 2，进而根据基本不等式求解即可. 解：因为关于x 的不等式−x 2+6ax −3a 2≥0(a >0)的解集为[x 1,x 2]， 所以x 1,x 2是方程−x 2+6ax −3a 2=0(a >0)的实数根， 所以x 1+x 2=6a,x 1x 2=3a 2， 因为a >0， 所以x 1+x 2+3a x 1x 2=6a +1a ≥2√6，当且仅当6a =1a ，即a =√66时等号成立， 所以x 1+x 2+3a x 1x 2的最小值是2√6所以答案是：2√68、已知实数x ，y ，满足{−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3,则z =2x −3y 的取值范围是________．（用区间表示）答案：[3,8]分析：直接用x +y,x −y 表示出2x −3y ，然后由不等式性质得出结论． 2x −3y =m(x +y)+n(x −y)=(m +n )x +(m −n )y ,则{m +n =2m −n =−3 解得{m =−12n =52，则2x −3y =−12(x +y)+52(x −y)， 又−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3， −2≤−12(x +y )≤12, 5≤52(x −y )≤152∴5−2≤2x −3y ≤12+152，即3≤2x −3y ≤8， 所以答案是：[3,8]．9、《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则x =(9×12)×(7×12)15．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）________ 里.答案：8√10分析：根据题意得出AG =EF⋅GF BE，进而可得出EF ⋅GF =AG ⋅BE =4×52=10，结合基本不等式求4(EF +GF )的最小值即可.因为1里=300步，由图可知，BE =1200步=4里，AG =750步=52里， ∵FG //OB ，则∠AFG =∠FBE ，且∠AGF =∠FEB =90∘，所以，△AFG ∼△FBE ，所以，AGEF =FGBE ，则EF ⋅GF =AG ⋅BE =4×52=10， 所以，该小城的周长为4(EF +GF )≥8√EF ⋅GF =8√10（里）. 所以答案是：8√10.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10、已知∀a∈[0,2]时，不等式ax2+(a+1)x+1−32a<0恒成立，则x的取值范围为__________．答案：(−2,−1)分析：由题意构造函数关于a的函数f(a)=(x2+x−32)a+x+1，则可得{f(0)<0f(2)<0，从而可求出x的取值范围.由题意，因为当a∈[0,2]，不等式ax2+(a+1)x+1−32a<0恒成立，可转化为关于a的函数f(a)=(x2+x−32)a+x+1，则f(a)<0对任意a∈[0,2]恒成立，则满足{f(0)=x+1<0f(2)=2x2+2x−3+x+1<0，解得−2<x<−1，即x的取值范围为(−2,−1)．所以答案是：(−2,−1)解答题11、已知正数a、b满足1a +1b=1．（1）求a+b的最小值；（2）求4aa−1+9bb−1的最小值．答案：（1）4；（2）25．分析：（1）利用乘1法a+b＝（a+b）（1a +1b），展开后结合基本不等式即可求解；（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a﹣1）（b﹣1）＝1，利用基本不等式可求．（1）因为a、b是正数，所以a+b=(a+b)(1a +1b)=2+ab+ba≥2+2√ab×ba=4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故a+b的最小值为4．（2）由1a+1b =1⇒ab =a +b ⇒(a −1)(b −1)=1因为a ＞1，b ＞1，所以a ﹣1＞0，b ﹣1＞0， 则4a a−1+9b b−1=4+4a−1+9+9b−1≥13+2√4a−1⋅9b−1=25，当且仅当a =53、b =52时等号成立，故4aa−1+9bb−1的最小值为25．12、一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区．已知两地公路线长400km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于v 2800km ，那么这批物资全部到达灾区最少需要多长时间？答案：最少需要10小时．分析：计算出全程所需时间，利用基本不等式可求得结果.当最后一辆车子出发时，第一辆车子走了50⋅v 2800v=v16小时，最后一辆车走完全程共需要400v小时，所以一共需要v16+400v小时， 由基本不等式v16+400v≥2√v16⋅400v=10，当且仅当v16=400v，即v =80时等号成立，故最少需要10小时．13、解关于x 的不等式ax 2+(a -1)x -1≤0． 答案：答案见解析分析：解含参的一元二次不等式，对参数进行分类讨论、借助一元二次函数进行求解. 因为ax 2+(a -1)x -1≤0，即(ax -1)(x +1)≤0， 当a =0时，则-x -1≤0，即x ≥-1； 当a >0时，则-1≤x ≤1a ；当a <0时，①当-1<a <0时，则x ≤1a 或x ≥-1； ②当a =-1时，则(x +1)2≥0，即x ∈R ； ③当a <-1时，则x ≤-1或x ≥1a ；综上，当a =0时，不等式的解集为{x |x ≥-1}；当a >0时，不等式的解集为{x |-1≤x ≤1a }； 当-1<a <0时，不等式的解集为{x |x ≤1a 或x ≥-1}；当a =-1时，不等式的解集为R ；当a <-1时，不等式的解集为{x |x ≥1a 或x ≤-1}.14、设关于x 的二次函数f(x)=2mx 2−mx −1． (1)若m =1，解不等式f(x)<0；(2)若不等式f(x)>m −10在[0,2]上恒成立，求实数m 的取值范围． 答案：(1)(−12,1)；(2)m ∈(−95,0)∪(0,8).分析：（1）由题设有2x 2−x −1<0，解一元二次不等式求解集即可.（2）由题意2mx 2−mx −m +9>0在x ∈[0,2]上恒成立，令g(x)=2mx 2−mx −m +9并讨论m 范围，结合二次函数的性质求参数范围. （1）由题设，f(x)<0等价于2x 2−x −1<0，即(x −1)(2x +1)<0，解得−12<x <1， 所以该不等式解集为(−12,1). （2）由题设，2mx 2−mx −m +9>0在x ∈[0,2]上恒成立．令g(x)=2mx 2−mx −m +9，则对称轴x =14 ∈[0,2]且Δ=9m 2−72m =9m(m −8)， ①当m <0时，g(x)开口向下且Δ>0，要使g(x)>0对x ∈[0,2]恒成立， 所以{g (0)=−m +9>0g (2)=5m +9>0 ，解得−95<m <9，则−95<m <0．②当m >0时，g(x)开口向上，只需Δ<0，即0<m <8. 综上，m ∈(−95,0)∪(0,8)．15、设p ：实数x 满足x 2−2ax −3a 2<0(a >0)，q:2<x <4． (1)若a =1，且p ，q 都为真命题，求x 的取值范围；(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．答案：(1)2<x<3；(2)a≥43．分析：（1）解不等式确定命题p，然后求出p,q中x范围的交集可得；（2）求出不等式的解，根据充分不必要条件的定义列不等式组求解．（1）a=1时，x2−2x−3<0，−1<x<3，即p:−1<x<3，又q:2<x<4，而p，q都为真命题，所以2<x<3；（2）a>0，x2−2ax−3a2<0⇔−a<x<3a，q是p的充分不必要条件，则{−a≤23a≥4且等号不能同时取得，所以a≥43．。
深圳博文学校必修一第二单元《函数》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数()1,0112,12x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，若0a b >≥，()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是（ ）A ．3,24⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2D ．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．1()()2xf x =B ．()lg f x x =C ．()f x x =-D ．1()f x x=3．已知函数()y f x =是定义在R 上的单调函数，()0,2A ，()2,2B -是其函数图像上的两点，则不等式()12f x ->的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()(),31,-∞-⋃+∞ C ．()1,1-D ．()(),13,-∞+∞4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．1y x=B．y =C ．2x y =D ．||y x x =-5．已知函数f (x )满足f (x -1)=2f (x )，且x R ∈，当x ∈[-1，0)时，f (x )=-2x -2x +3，则当x ∈[1,2)时，f (x )的最大值为（ ） A ．52B ．1C ．0D ．-16．设0a >且1a ≠，函数221x x y a a =+-在区间[]1,1-上的最大值是14，则实数a 的值为（ ） A ．13或2 B ．2或3C ．12或2 D ．13或3 7．已知函数224()3f x x x =-+，()2g x kx =+，若对任意的1[1,2]x ∈-，总存在2[1x ∈，使得12()()g x f x >，则实数k 的取值范围是（ ）．A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．以上都不对8．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ） A ．5-B ．7-C ．5D ．79．已知函数22|1|,7,()ln ,.x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[-1，+∞)B ．(-∞，-1]∪[3，+∞)C ．[-1，3]D ．(-∞，3]10．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当0x >时()f x 单调递减，若()()()1.360.5log 3,0.5,0.7,a f b f c f -===则,,a b c 的大小关系（ ）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>11．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2-x ），且对任意的x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0．则（ ） A ．()()()211f f f <-< B ．()()()121f f f <<- C ．()()()112f f f <-<D ．()()()211f f f <<-12．已知偶函数()f x 在 [0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式 (1)0f x +<的解集是（ ） A ．[0,2)B ．[]3,1-C ．(1,3)-D ．(2,2)-二、填空题13．函数()2f x x a =- 在区间[]1,1-上的最大值()M a 的最小值是__________．14．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()g x =______． 15．函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 取值范围为________.16．已知函数y ＝f (n)，满足f (1)＝2，且f (n+1)＝3f (n),n ∈N + .则f (3)＝____________. 17．已知(2)1(1)()(1)xa x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩满足对任意121212()(),0f x f x x x x x -≠>-都有成立，那么a 的取值范围是_______18．已知函数22, 1()+1, 1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨>⎩，若()f x 在定义域上不是单调函数，则实数a 的取值范围是_______．19．设函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =-，若函数()y g x =在区间[0,)+∞上是严格增函数，则不等式2(1)(1)2f x f x x +->+的解集为___________.20．若y =y 的取值范围是________三、解答题21．已知函数()()12f x x x =+-. （1）作出函数()f x 的图象.（2）判断直线y a =与()()12f x x x =+-的交点的个数； （3）已知方程()1221x x m +-=-有三个实数解.求m 的取值范围. 22．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.（1）若()f x 在区间[2,4]上单调递增，求m 的取值范围； （2）求()f x 在区间[1,1]-上的最小值()g m ；23．已知定义在R 上的函数()f x 的单调递增函数，且对∀x ，y ∈R ，都有()()()1f x y f x f y +=++，f (2)=5.（1）求f (0)，f (1)的值；（2）若对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀，都有2()(21)1f kx f x +-<成立，求实数k 的取值范围.24．已知函数()0ky x k x=+>在区间(单调递减，在区间)+∞单调递增．（1）求函数2y x x=+在区间(),0-∞的单调性；（只写出结果，不需要证明） （2）已知函数()()2131x ax f x a x ++=∈+R ，若对于任意的x N *∈，有()5f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．25．已知函数()()20f x ax x c a =++>满足：①函数14f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数；②关于x 的不等式()0f x <的解集是()(),11m m <. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()()()43g x f x k x k R =++∈在[]1,3上的最小值()h k .26．设函数()()2288f x x x ax a R x x=++-+∈. （1）若函数()f x 为偶函数，求实数a 的值； （2）若关于x 的不等式()16f x x ≤-在区间0,上有解，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由()f x 在每一段上单调递增可知01b a ≤<≤，由()f x 每一段上的值域可知()3,22f b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进一步确定112b ≤<，由()()()1bf a bf b b b ==+，根据二次函数的值域得到结果. 【详解】()f x 在[)0,1和[)1,+∞上单调递增，∴由()()f a f b =得：01b a ≤<≤，当[)0,1x ∈时，()[)1,2f x ∈；当[)1,x ∈+∞时，()3,2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 若()()f a f b =，则()3,22f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即()31,22f b b ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，解得：112b ≤<， ()()()2211124bf a bf b b b b b b ⎛⎫==+=+=+- ⎪⎝⎭，∴当112b ≤<时，()3,24bf a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：本题解题关键是能够将()bf a 转化为关于b 的函数，易错点是没有对b 的范围进行细化，造成函数值域求解错误.2．C解析：C 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，排除选项得到答案. 【详解】A. 1()()2xf x =，非奇非偶函数，排除；B. ()lg ||lg ||()f x x x f x -=-==，函数为偶函数，排除；C. ()()f x x f x -==-，函数为奇函数，且单调递减，正确；D. 1()()f x f x x-=-=-，函数为奇函数，在[1,0)-和(0,1] 单调递减，排除. 故选：C 【点睛】熟悉函数的单调性和奇偶性是解题关键.3．D解析：D 【分析】根据题意可得出(0)2,(2)2f f ==-，从而得出()f x 在R 上为减函数，从而根据不等式()12f x ->得，(1)(2)f x f -<或(1)(0)f x f ->，从而得出12x ->或10x -<，解出x 的范围 【详解】解：由题意得(0)2,(2)2f f ==-， 因为函数()y f x =是定义在R 上的单调函数， 所以()f x 在R 上为减函数，由()12f x ->，得(1)2f x ->或(1)2f x -<-， 所以(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<， 所以10x -<或12x ->， 解得1x <或3x >，所以不等式()12f x ->的解集为()(),13,-∞+∞，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查绝对值不等式的解法，解题的关键是把()12f x ->转化为(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<，再利用()f x 在R 上为减函数，得10x -<或12x ->，考查数学转化思想，属于中档题 4．D解析：D 【分析】利用奇函数的定义和常见基本初等函数的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】 选项A 中，函数1y x =，由幂函数性质知1y x=是奇函数，且其在()(),0,0,-∞+∞两个区间上递减，不能说在定义域内是减函数，故错误；选项B 中，函数y =[)0,+∞，不对称，故不具有奇偶性，，且在定义域内是增函数，故错误；选项C 中，指数函数2xy =，22x x -≠，且22x x -≠-，故不是奇函数，故错误；选项D 中，函数22,0,0x x y x x x x ⎧-≥=-=⎨<⎩，记()y f x =，当0x >时，0x -<，故22(),()f x x f x x =--=，故()()f x f x -=-，当0x =时，(0)0f =，故()()f x f x -=-，当0x <时，0x ->，故22(),()f x x f x x =-=-，故()()f x f x -=-，综上，()y f x =是奇函数，又0x ≥时，2()f x x =-是开口向下的抛物线的一部分，是减函数，由奇函数性质知()y f x =在定义域R 上是减函数，故正确. 故选：D.【点睛】本题解题关键是熟练掌握常见的基本初等函数的性质，易错点是分段函数奇偶性的判断，分段函数必须判断定义域内的每一段均满足()()f x f x -=-（或()()f x f x -=）才能判定其是奇函数（或偶函数）.5．B解析：B 【分析】 首先设[)1,2x ∈，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.【详解】 设[)1,2x ∈，[)21,0x -∈-，()()()222222323f x x x x x ∴-=----+=-++， ()()()()211214f x f x f x f x -=--=-=⎡⎤⎣⎦， ()()()()2211122311444f x f x x x x ∴=-=-++=--+， [)1,2x ∈，()f x ∴在区间[)1,2单调递减，函数的最大值是()11f =.故选：B 【点睛】思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量x 设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数()f x 的解析式. 6．D解析：D 【分析】本题首先可以令x t a =，将函数转化为()212y t =+-并判断出函数的单调性，然后分为01a <<、1a >两种情况进行讨论，根据最大值是14进行计算，即可得出结果.【详解】令x t a =（0a >、1a ≠），则()222112y t t t =+-=+-， 因为0a >，所以0x t a =>，函数()212y t =+-是增函数， 当01a <<、[]1,1x ∈-时，1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时2max11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得13a =或15-（舍去）；当1a >、[]1,1x ∈-时，1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时()2max 1214y a =+-=，解得3a =或5-（舍去）， 综上所述，实数a 的值为13或3， 故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的最值求参数，能否通过换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键，考查二次函数单调性的判断和应用，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.7．C解析：C 【分析】根据题意得1min 2min ()()g x f x >，再分别求函数的最小值即可得答案. 【详解】解：∵x ∈，∴2[1,3]x ∈， ∴224()3[1,2]f x x x =-∈+． 当0k >时，()[2,22]g x k k ∈-++，所以只需满足：12k <-+，解得01k <<； 当0k =时，()2g x =．满足题意．当0k <时，()[22,2]g x k k ∈-++，所以只需满足：122k <+，解得102k >>-． ∴1,12k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故选：C ． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．8．A解析：A 【解析】()()53531,1f x ax bx f x ax bx =++∴-=--+，()()()()2,552f x f x f f +-=∴+-=，()5275f -=-=-，故选A.9．C解析：C 【分析】根据函数()f x 的图象，得出值域为[2-，6]，利用存在实数m ，使2()24f m a a =-成立，可得22246a a --，求解得答案． 【详解】作出函数22|1|,7()ln ,x x e f x x e x e--⎧+-<=⎨⎩的图象如图： (7)6f -=，2()2f e -=-，∴值域为[2-，6]，若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立， 22246a a ∴--，解得13a -，∴实数a 的取值范围是[1-，3]．故选：C【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数值域的求解方法，同时考查了数形结合思想的应用，属于中档题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．10．A解析：A 【分析】函数()f x 是偶函数，判断出自变量的大小，利用函数的单调性比较大小得出答案． 【详解】函数()f x 的图像关于y 轴对称， ∴函数()f x 为偶函数， ∵0.50.5log 3log 10<=，∴()()120.52log 3log 3log 3f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴2221log 2log 3log 42=<<=， 1.3 1.30.522-=>，600.71<<． ∵当0x >时，()f x 单调递减，∴c a b >>， 故选：A 【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查函数的单调性和奇偶性，考查指数和对数的单调性，属于中档题．11．B解析：B 【分析】由已知得函数f （x ）图象关于x=1对称且在（-∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而可判断出大小关系. 【详解】解：∵当x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）时有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0， ∴f （x ）在（-∞，1]上单调递减， ∵f （x ）=f （2-x ），∴函数f （x ）的图象关于x=1对称，则f （x ）在∈（1，+∞）上单调递增， ∴f （-1）=f （3）>f （2）＞f （1） 即f （-1）＞f （2）＞f （1） 故选B ． 【点睛】本题考查函数的对称性及单调性的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用．12．B解析：B 【详解】由()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(2)0f = 当0x >时，()0f x <的解集[0,2]； 当时()f x 为减函数，(2)0f -=，()0f x <的解集[2,0]-．综上()0f x <的解集[2,2]-，所以(1)0f x +<满足212,31x x -≤+≤∴-≤≤． 故选：B ．二、填空题13．【分析】由题意函数为偶函数分和去掉绝对值然后根据单调性求出最大值再根据单调性求出的最小值【详解】解：由题意函数为偶函数①当时在上单调递增则；②当时当即时在上单调递减则；当即时在上单调递减在上单调递增解析：12【分析】由题意，函数()2f x x a =-为偶函数，分0a ≤和0a >去掉绝对值，然后根据单调性求出最大值()M a ，再根据单调性求出()M a 的最小值． 【详解】解：由题意，函数()2f x x a =-为偶函数，①当0a ≤时，()2f x x a =-，()f x 在[]0,1上单调递增，则()()()111M a f f a ==-=-；②当0a >时，()22,,x a x x f x a x x ⎧-≤≥⎪=⎨-<<⎪⎩或1即1a ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减，则()()0M a f a ==；1<即01a <<时，()f x在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∵()0f a =，()11f a =-， 由1a a 得112a <<，此时()M a a =； 由1a a ≤-得102a <≤，此时()1M a a =-； ∴()11,21,2a a M a a a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，∴()min 1122M a M ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故答案为：12． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值，本题的关键在于分类讨论去掉绝对值，然后再根据单调性求出最值，属于中档题．14．【分析】根据抽象函数的定义域的求法结合函数列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数满足解得即函数的定义域是故答案为：【点睛】求抽象函数定义域的方法：已知函数的定义域为求复合函数的定义解析：31,2⎛⎤⎥⎝⎦根据抽象函数的定义域的求法，结合函数()g x =. 【详解】由题意，函数()y f x =的定义域是[0,2]，即02x ≤≤，则函数()g x =021210x x ≤-≤⎧⎨->⎩，解得312x <≤，即函数()g x =31,2⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】求抽象函数定义域的方法：已知函数()f x 的定义域为[],a b ，求复合函数()[]f g x 的定义域时：可根据不等式()a g x b ≤≤解得x ，则x 的取值范围即为所求定义域；已知复合函数()[]f g x 的定义域为[],a b ，求函数()f x 的定义域，求出函数()y g x =([,])x a b ∈的值域，即为()y f x =的定义域.15．【分析】根据指数函数和一次函数的性质得出关于的不等式组即可求解【详解】由题意函数是上的单调递增函数可得解得即实数取值范围故答案为：【点睛】利用函数的单调性求解参数的取值范围：根据函数的单调性将题设条解析：8[,6)3【分析】根据指数函数和一次函数的性质，得出关于a 的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 可得13021322a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪+≥-+⎪⎩，解得863a ≤<，即实数a 取值范围8[,6)3.故答案为：8[,6)3.利用函数的单调性求解参数的取值范围：根据函数的单调性，将题设条件转化为函数的不等式（组），即可求出参数的值或范围； 若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的.16．18【分析】根据递推关系式依次求f(2)f(3)【详解】因为f(n+1)＝3f(n)所以【点睛】本题考查根据递推关系求函数值考查基本求解能力解析：18 【分析】根据递推关系式依次求f (2) ，f (3). 【详解】因为f (n+1)＝3f (n)，所以(2)3(1)6,(3)3(2)18.f f f f ==== 【点睛】本题考查根据递推关系求函数值，考查基本求解能力.17．【解析】由对任意成立可知函数在定义域上为增函数所以：解得答案为：解析：3[,2)2【解析】由对任意()()121212,0f x f x x x x x -≠>-都有成立可知，函数()y f x =在定义域上为增函数，所以：20121a a a a ->⎧⎪>⎨⎪≥-+⎩，解得322a ≤< 答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18．【分析】结合二次函数的图象与性质按照分类再由分段函数的单调性即可得解【详解】因为函数的图象开口朝下对称轴为且所以当时函数在上不单调符合题意；当时函数在上均单调递增若要使在定义域上不是单调函数则解得故 解析：(),1(2,)-∞+∞【分析】结合二次函数的图象与性质，按照1a <、1a ≥分类，再由分段函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数22y x ax =-+的图象开口朝下，对称轴为x a =，且22,?1()+1,?1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨>⎩，所以当1a <时，函数()f x 在(],1-∞上不单调，符合题意； 当1a ≥时，函数()f x 在(],1-∞，()1,+∞上均单调递增， 若要使()f x 在定义域上不是单调函数，则2121a a -+>+，解得2a >，故2a >符合题意； 综上，实数a 的取值范围是(),1(,)2-∞⋃+∞. 故答案为：(),1(,)2-∞⋃+∞. 【点睛】解决本题的关键是将分段函数不单调转化为两种情况，分类求解.19．【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围即可得答案【详解】解：根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为偶函数且在区间上是严格增函数则解可 解析：(,2)(0,)-∞-+∞【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得|1|1x +>，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，2()()g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则22()()()()()g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数， ()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，又由()g x 为偶函数且在区间[0,)+∞上是严格增函数，则|1|1x +>， 解可得：2x <-或0x >， 即x 的取值范围为：(,2)(0,)-∞-+∞；故答案为：(,2)(0,)-∞-+∞．【点睛】关键点睛：解题关键在于，把题目通过转化化归思想，转化为：()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，进而分析，难度属于中档题20．【分析】首先求出的取值范围令将函数转化为三角函数再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得；【详解】解：因为所以解得令则所以因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查函数的值域的计算换元法的应用三角解析：【分析】首先求出x 的取值范围，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦将函数转化为三角函数，再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得； 【详解】解：因为y =所以401830x x -≥⎧⎨-≥⎩解得46x ≤≤，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则y t t ==3t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以3y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336t πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1sin ,132t π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以y ∈故答案为：【点睛】本题考查函数的值域的计算，换元法的应用，三角函数及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）图象见解析；（2）答案见详解；（3）5182m -<<. 【分析】（1）先去绝对值，化简函数成分段函数形式()()()()()12,112,1x x x f x x x x ⎧+-≥-⎪=⎨-+-<-⎪⎩，把握关键点分段画出函数图象即可；（2）结合（1）中图象，数形结合即得结果； （3）由额（2）中结果即得92104m -<-<，即求得参数范围. 【详解】解：（1）函数()()12f x x x =+-，去绝对值可得()()()()()12,112,1x x x f x x x x ⎧+-≥-⎪=⎨-+-<-⎪⎩，即1x ≥-时，()f x 是开口向上、对称轴为12x =、零点为-1和2的抛物线的一部分；1x <-时，()f x 是开口向下、对称轴为12x =、零点为-1和2的抛物线的一部分，作图如下：（2）由（1）中图象，数形结合知， 当0a >或94a <-时，直线y a =与()()12f x x x =+-有1个交点； 当0a =或94a =-时，直线y a =与()()12f x x x =+-有2个交点； 当904a -<<时，直线y a =与()()12f x x x =+-有3个交点； （3）方程()1221x x m +-=-有三个实数解，即21y m =-与()()12f x x x =+-有三个交点，由（2）可知92104m -<-<，即5182m -<<， 所以m 的取值范围为5182m -<<. 【点睛】本题解题关键在于去绝对值写出分段函数，根据二次函数关键点（零点、对称轴、顶点）正确作图，再数形结合，依次突破.22．（1）[4,)-+∞；（2）226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. 【分析】（1）计算二次函数的对称轴，然后根据单调性可得122m -≤，计算即可. （2）分类讨论112m -≤-，1112m -<-<，112m -≥，分别计算即可. 【详解】（1）由题可知，函数2()7f x x mx m =++-()m R ∈开口向上，对称轴的方程为2mx =-，若使得函数()f x 在[2,4]上单调递增， 则满足122m -≤，解得4m ≥-，即实数m 的取值范围[4,)-+∞. （2）①当112m -≤-即2m ≥时， 函数()y f x =在区间[1,1]-单调递增，所以函数()y f x =的最小值为()(1)6g m f =-=-； ②当1112m -<-<，即22m -<<时， 函数()y f x =在区间11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,12m ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭； ③当112m -≥即2m ≤-时， 函数()y f x =在区间[1,1]-单调递减，所以函数()y f x =的最小值为()(1)26g m g m ==-，综上可得，函数的最小值为226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. 【点睛】结论点睛：二次函数在区间上的最值问题：（1）动轴定区间；（2）定轴动区间；（3）动轴动区间；对本题属于动轴动区间问题需要讨论对称轴与所给区间位置关系. 23．（1）(0)1f =-；()12f =；（2）4k <. 【分析】（1）令0x y ==可得(0)f ，令1x y ==可得()1f ； （2）转化条件为222k x x <-对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀恒成立，换元后求得222x x -的最小值即可得解. 【详解】（1）令0x y ==，则(0)(0)(0)1f f f =++，所以(0)1f =-； 令1x y ==，则(2)(1)(1)15f f f =++=，所以()12f =；（2）由题意，不等式2()(21)1f kx f x +-<可转化为2()(21)12f kx f x +-+<，所以()()2211f kx x f +-<，因为函数()f x 单调递增，所以2211kx x +-<， 所以222k x x <-对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀恒成立， 令[]12,3t x =∈，则221122222t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以当2t =即12x =时，222t t -取最小值4， 所以4k <. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的单调性转化不等式为222k x x<-对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀恒成立，再转化为求222x x -的最小值即可得解.24．（1）在区间(,-∞的单调递增，在区间()的单调递减；（2）2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 【分析】（1）利用对勾函数的性质，直接写出结论即可；（2）利用不等式恒成立的关系，把问题从()5f x ≥恒成立，转化为对于任意的x N *∈，21351x ax x ++≥+恒成立，利用参变分离的方法，等价于()85a x x x *⎛⎫≥-+∈ ⎪⎝⎭N ，然后，根据对勾函数的性质进行求解即可【详解】解：（1）因为函数ky x x=+()0k >在(单调递减，在)+∞单调递增，所以，当2k =时函数2y x x=+在(单调递减，在)+∞单调递增．易知函数2y x x=+为奇函数，所以函数y x x=+在区间(,-∞的单调递增；在区间()的单调递减．（2）由题意，对任意的x N *∈，有()5f x ≥恒成立，即对于任意的x N *∈，21351x ax x ++≥+恒成立，等价于()85a x x x *⎛⎫≥-+∈ ⎪⎝⎭N ． 设()()8g x x x x*=+∈N ， 易知，当且仅当8x x=，即x =()g x 取得最小值，由题设知，函数()g x在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增． 又因为x N *∈，且()26g =，()1733g =，而()()23g g >， 所以当3x =时，()min 173g x =． 所以81725533x x ⎛⎫-+≤-=- ⎪⎝⎭，即23a ≥-， 故所求实数a 的取值范围是2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用参变分离法，把问题转化为证明()85a x x x *⎛⎫≥-+∈ ⎪⎝⎭N 恒成立，进而利用对勾函数性质求解，属于中档题25．（1）()223f x x x =+-；（2）()21227,4245,4243,2k k h k k k k k k +≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪+≥-⎩.【分析】（1）由①可知函数()f x 的图象关于直线14x =-对称，由②可知()10f =，可得出关于a 、c 的方程组，进而可得出函数()f x 的解析式；（2）求得()()22413g x x k x =++-，求得该函数的对称轴为直线()1x k =-+，对实数k 的取值进行分类讨论，分析函数()g x 在区间[]1,3上的单调性，进而可求得()h k 关于k的表达式. 【详解】（1）由①可得，函数14f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数， 将函数14f x ⎛⎫-⎪⎝⎭的图象向左平移14个单位长度可得到函数()f x 的图象， 所以，函数()f x 的图象关于直线14x =-对称，则有1124a -=-，可得2a =.由②可得：1x =是方程20ax x c ++=的一个解，则有10a c ++=，得3c =-. 于是：()223f x x x =+-；（2）依题意有：()()22413g x x k x =++-，对称轴为()1x k =-+.当()13k -+≥时，即4k ≤-时，()g x 在[]1,3单调递减，于是()()min 31227g x g k ==+；当()113k <-+<时，即4-<<-2k 时，()g x 在()1,1k -+⎡⎤⎣⎦单调递减，在()1,3k -+⎡⎤⎣⎦单调递增，于是()()2min 1245g x g k k k =--=---；当()11k -+≤时，即2k ≥-时，()g x 在[]1,3单调递增， 于是()()min 143g x g k ==+.综上：()21227,4245,4243,2k k h k k k k k k +≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪+≥-⎩.【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 26．（1）0；（2）1a ≤-. 【分析】（1）由()f x 为偶函数有()(11)f f -=即可求a 的值；（2）由绝对值不等式及函数不等式在区间有解，讨论2,02x x ><≤，应用参变分离将问题转化为不等式能成立问题即可求a 的取值范围. 【详解】（1）因为()f x 为偶函数，则有()(11)f f -=，即1616a a -=+，解得0a =. （2）①当2x >时，()16f x x ≤-有解，即2216x ax x +≤-有解，1621a x x≤--+，所以max 16211a x x ⎛⎫≤--+=- ⎪⎝⎭当且仅当x =②当02x <≤时，()16f x x ≤-有解，即1616ax x x+≤-有解， 216161a x x≤--+，所以2max 1616111a x x ⎛⎫≤--+=- ⎪⎝⎭当2x =时等号成立；综上，实数a 的取值范围是1a ≤-. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的有解问题，可按如下规则转化：一般地，将函数不等式转化为()a f x ≤或()a f x ≥在区间能成立.（1）()a f x ≤即在相应区间内仅需()max a f x ≤即可. （2）()a f x ≥即在相应区间内仅需()min a f x ≥即可.。
深圳名星学校中学部必修一第二单元《函数》测试(有答案解析)
一、选择题1．我们把定义域为[)0,+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：①对任意的[)0,x ∈+∞，总有()0f x ≥；②若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，给出下列四个结论：（1）若()f x 为“Ω函数”，则()00f =；（2）若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[)0,+∞上为增函数；（3）函数()0,1,x Qg x x Q∈⎧=⎨∉⎩在[)0,+∞上是“Ω函数”（Q 为有理数集）；（4）函数()2g x x x =+在[)0,+∞上是“Ω函数”；其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则12017f ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ） A ．116B ．132 C ．164D ．11283．已知函数()32f x x =-，2()2g x x x =-，(),()()()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，则（ ）A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x 的最大值为2C ．()F x 的最大值为7-，无最小值D ．()F x 的最大值为3，最小值为-14．已知2()25x f x +=-，()()20g x ax a =+>，若对任意的[]11,2x ∈-，存在[]00,1x ∈，使()()10g x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]2B ．1[,3]2C ．[)3,+∞D ．(]0,35．已知函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则函数(13)f x -的定义域是（ ） A ．21(,)33-B ．11(,)63-C ．(0,3)D ．7(,1)2-6．如果函数()()()2121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则32a b +的最大值为（ ）A ．4B ．1-C ．23D ．67．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,9) B ．(3,+)∞C ．(,9)-∞D ．(0,9)8．函数()21xf x x =-的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．9．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：（ ） ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞. ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞. ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M . ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞. ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞. A ．4B ．3C ．2D ．110．已知函数()()220f x x mx m =-+>满足：①[]()0,2,9x f x ∀∈≤；②[]()000,2,9x f x ∃∈=，则m 的值为（ ） A ．1或3 B ．3或134C ．3D ．13411．函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．若函数()()12311ax f x x a x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题13．设函数()42x f x e x =-()g x mx =，若对于[]10,1x ∀∈，总[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是_________.14．设函数()y f x =的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有3()4f x >-，则m 的取值范围是_____.15．已知函数y ＝f (n)，满足f (1)＝2，且f (n+1)＝3f (n),n ∈N + .则f (3)＝____________.16．已知函数2123y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________．17．已知对于任意实数x ，函数f （x ）都满足f （x ）+2f （2-x ）=x ，则f （x ）的解析式为______．18．已知定义在R 上的函数()f x 满足：①(1)0f =；②对任意x ∈R 的都有()()f x f x -=-；③对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-.记2()3()()1f x f xg x x --=-，则不等式()0g x ≤的解集______.19．函数的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数，例如，函数()21f x x =+()R x ∈是单函数，下列命题： ①函数4()f x x =()R x ∈是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；③若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，在A 中至多有一个数与它对应； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 在其定义域上一定是单函数． 期中正确命题的序号是___________． 20．函数()f x =的单调递增区间为__________．三、解答题21．对于区间[,]a b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数(),[,]y f x x a b =∈的值域还是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.（1）求函数2(0)y x x =≥的所有“不变”区间；（2）函数2(0)y x m x =+≥是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 22．已知函数()21ax bf x x +=+（其中a >0）为奇函数． （1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，上是减函数； （3）若存在实数m ，n （0<m <n ），使得m ≤()f x ≤n 的解集为[]m n ，，求a 的取值范围． 23．已知11012x f x x x ⎛⎫⎛⎫=<≤⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的表达式；（2）判断()f x 在其定义域内的单调性，并证明. 24．已知函数()2342()log log 16a f x x x=⋅⋅.（1）若1a =，求方程()1f x =-的解集； （2）当[]2,4x ∈时，求函数()f x 的最小值. 25．已知函数1()1f x x =-，()1g x x x =+-.（1）判断当()1,x ∈+∞时函数()f x 的单调性，并用定义证明； （2）用分段函数的形式表示()g x 函数，并画出函数()g x 的图像. 26．已知函数2()3f x x ax =+-．（1）若不等式()4f x >-的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()26f x ax ≥-对任意[]1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用“Ω函数”的定义依次判断即可，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”. 【详解】解：对（1），由①得()00f ≥， 在②中令0x y ==， 即()()020f f =， 解得：()00f ≤，()00f ∴=，故（1）正确；对（2），当()0f x =时，满足①②，但在[)0,+∞不是增函数，故（2）错误； 对（3），当x ，y 都为正无理数时，不满足②，故（3）错误； 对（4），()2g x x x =+，当[)0,x ∈+∞时，min ()(0)00g x g ==≥， 即满足条件①，222()()()()20g x y g x g y x y x y x x y y xy +--=+++----=≥，即满足条件②，∴函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数”，故（4）正确.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解“Ω函数”的定义，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”.2．D解析：D 【分析】由③可得()11f =，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后由②可得111113232n n n f f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111232n n f -⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭，然后结合()f x 在[0,1]上非减函数可得答案. 【详解】由③得(10)1(0)1f f -=-=，111122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()11f =，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 由②得()12201111111111323232322n n n n n n f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12231011111111232232232232n n n n nf f f f ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵761113201723<<⨯且61123128f ⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭，7113128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 又()f x 在[0,1]上非减函数，∴112017128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由条件得到111113232n n n f f -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111232n n f -⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭. 3．C解析：C 【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，如图然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值， 所以由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-．结合函数图象可知当27x =-时，函数()F x 有最大值727-，无最小值． 故选：C ．【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数的图象，以及利用函数求最值，解答本题的关键是在同一坐标系中画出()f x 与()g x 的图象，根据图象得出函数的最值，由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-.4．A解析：A 【分析】根据指数函数的性质求出()f x 在[0,1]上的值域A ，利用一次函数的单调性求出()g x 在[1,2]-上的值域B ，由题得B A ⊆，再根据集合的包含关系即可求解.【详解】2()25x f x +=-，[]00,1x ∈，()()min 01f x f ∴==-，()()max 13f x f ==， ∴()f x 在[0,1]上的值域为[]1,3A =-，又()2(0)g x ax a =+>在[1,2]-上单调递增，∴()g x 在[1,2]-上的值域为[]2,22B a a =-++，由题意可得B A ⊆，021223a a a >⎧⎪∴-+≥-⎨⎪+≤⎩，解得102a <≤.故选：A【点睛】本题考查函数的单调性求值域、集合的包含关系求参数的取值范围.探讨方程()()0f x g m -=解的存在性，通常可将方程转化为()()f x g m =，通过确认函数()f x 或()g m 的值域，从而确定参数或变量的范围5．A解析：A 【分析】先求出函数()f x 的定义域(0,3)，再求出函数(13)f x -的定义域. 【详解】函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则302x <<，所以023x << 所以函数()f x 的定义域为(0,3)，则0133x <-<解得2133x -<< 函数(13)f x -的定义域为21(,)33- 故选:A 【点睛】对于抽象函数定义域的求解方法：(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出；(2)若已知函数()()f g x 的定义域为[]a b ，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．6．C解析：C 【分析】分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得32a b +的最大值. 【详解】分以下几种情况讨论：（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得20b +<，解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意； （2）当10a -<时，即当1a <时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2121b a +-≤-，可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-，所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，则2423232333a b ⎛⎫+≤⨯-+⨯= ⎪⎝⎭； （3）当10a ->时，即当1a >时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2221b a +-≥-，可得42a b +≤，即24b a ≤-，2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.综上所述，32a b +的最大值为23. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解.7．D解析：D 【分析】根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解. 【详解】当0m <时，二次函数2()(3)1f x mx m x =--+的图像开口向下，()g x mx =单调递减，故存在x 使得()f x 与()g x 同时为负，不符题意； 当0m =时，()31f x x =-+，()0g x =显然不成立； 当0m >时，2109m m ∆=-+， 若∆<0，即19m <<时，显然成立，0∆=，1m =或9m =，则1m =时成立，9m =时，13x =-时不成立，若0∆>，即01m <<或9m >，由(0)1f =可得： 若要()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，如图，则必须有302mm->，解得01m <<， 综上可得：09m <<， 故答案为：D. 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.解决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有： （1）如果平方项有参数，则先讨论； （2）再讨论根的判别式； （3）最后讨论根的分布.8．C解析：C 【分析】由1x >时，()0f x <，排除B 、D ；由函数()f x 在区间(0,1)上的单调性，排除A ，即可求解. 【详解】由题意，函数()21xf x x =-有意义，满足210x -≠，解得1x ≠±， 又由当1x >时，()0f x <，排除B ，D ； 当01x <<时，()21xf x x =-， 设1201x x ，则2112212122222121(1)()()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x +--=-=----， 因为2221122110,10,10,0x x x x x x ->->+>->，所以21()()0f x f x ->，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，所以A 不符合，C 符合. 故选：C. 【点睛】知式选图问题的解答方法：从函数的定义域，判定函数图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置； 从函数的单调性（有时借助导数），判断函数的图象的变换趋势；从函数的奇偶性，判断图象的对称性； 从函数的周期性，判断函数的循环往复；从函数的特殊点（与坐标轴的交点，经过的定点，极值点等），排除不和要求的图象.9．B解析：B 【分析】这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案. 【详解】对任何x ∈[a ，b]都有()p f x ≤，说明p 小于等于()f x 的最小值，①是正确的; 由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;关于x 的方程p =f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 应属于函数f (x ）在[a ，b ]上的值域[m ，M ]内，故③是正确的;关于x 的不等式p ≤f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的 正确的选项应该为①③⑤ 故选： B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．10．D解析：D 【分析】依题意可得()f x 在[]0,2上的最大值为9，求出函数的对称轴，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于m 的方程，解出即可． 【详解】解：因为函数()()220f x x mx m =-+>满足：①[]()0,2,9x f x ∀∈≤；②[]()000,2,9x f x ∃∈=，即函数()()220f x x mx m =-+>在[]0,2上的最大值为9，因为222()2()f x x mx x m m =-+=--+，对称轴是x m =，开口向下， 当02m <<时，()f x 在[0，)m 递增，在(m ，2]递减， 故2()()9max f x f m m ===，解得：3m =，不合题意，2m 时，()f x 在[0，2]递增，故()()2449max f x f m ==-=，解得：134m =，符合题意， 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．11．D解析：D 【解析】 因为()sin()sin sin()sin 11()2222x x x xf x y f x ---=+==+=，所以函数sin sin 122xxy =+是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；又sin2sin2115()222222f πππ=+=+=，排除C ，综上，函数sin sin 122xxy =+大致的图象应为D 项，故选D.12．C解析：C 【分析】由函数是R 上的减函数，列出不等式，解出实数a 的取值范围． 【详解】因为()f x 是R 上的减函数，故023033a a a a>⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2334a <≤，故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数，属于中档题．二、填空题13．【分析】首先判断函数的单调性依题意只需再对参数分三种情况讨论即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为在定义域上单调递增又在定义域上单调递减所以根据复合函数的单调性可得在定义域上单调递减所以在定义域上解析：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】首先判断函数()f x 的单调性，依题意只需()()12min min f x g x >，再对参数m 分三种情况讨论，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：因为xy e =、y =42y x =-在定义域上单调递减，所以根据复合函数的单调性可得y =在定义域上单调递减，所以()x f x e =-[]0,1上单调递增，所以()()001min f x f e ===-对于[]10,1x ∀∈，总[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >恒成立， 则只需()()12min min f x g x >因为()g x mx =，[]1,2x ∈，当0m =时()0g x =，而()1min f x =-，不符合题意； 当0m >时，()g x mx =，在[]1,2x ∈上单调递增，则()()min 1g x g m ==，所以1m <-矛盾，舍去；当0m <时，()g x mx =，在[]1,2x ∈上单调递减，则()()min 22g x g m ==，所以210m m <-⎧⎨<⎩解得12m <- 故m 的取值范围为1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．14．【分析】由得得分段求解析式结合图象可得m 的取值范围【详解】时时；时；时；当时由解得或若对任意都有则故答案为：【点睛】本题考查分段函数的解析式和最值特征考查函数的图象以及一元二次不等式的解法解题的关键解析：9(,)4-∞【分析】由(1)2()f x f x +=，得()2(1)f x f x =-，得分段求解析式，结合图象可得m 的取值范围． 【详解】(1)2()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-，(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-，(1,2]x ∴∈时，1(0,1],()2x f x -∈=1(1)2(1)(2),02f x x x ⎡⎤-=--∈-⎢⎥⎣⎦；(2,3]x ∴∈时，1(1,2],()2(1)4(2)(3)[1,0]x f x f x x x -∈=-=--∈-； (3,4]x ∴∈时，1(2,3],()2(1)8(3)(4)[2,0]x f x f x x x -∈=-=--∈-；当(2,3]x ∈时，由34(2)(3)4x x --=-，解得114x =或94x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有3()4f x >-，则94m <． 故答案为：9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查分段函数的解析式和最值特征，考查函数的图象，以及一元二次不等式的解法，解题的关键点是可借助函数图象直观性找到解题思路.15．18【分析】根据递推关系式依次求f(2)f(3)【详解】因为f(n+1)＝3f(n)所以【点睛】本题考查根据递推关系求函数值考查基本求解能力解析：18 【分析】根据递推关系式依次求f (2) ，f (3). 【详解】因为f (n+1)＝3f (n)，所以(2)3(1)6,(3)3(2)18.f f f f ==== 【点睛】本题考查根据递推关系求函数值，考查基本求解能力.16．【解析】解：当k=0时满足条件当时综上：点睛：定义域为分母在上都不为0注意分母不一定为二次所以先考虑二次项系数为零解析：0k ≤<3. 【解析】 解： 当k=0时，13y =，满足条件当k 0≠时，24120k k -< 综上：0k 3≤<．点睛：定义域为R ，分母在R 上都不为0，注意分母不一定为二次，所以先考虑二次项系数为零．17．【分析】用2-x 换上f （x ）+2f （2-x ）=x①中的x 得到f （2-x ）+2f （x ）=2-x②这样①②联立即可解出f （x ）【详解】由题意因为f （x ）+2f （2-x ）=x①；∴f （2-x ）+2f （x ） 解析：()4f x x 3=- 【分析】用2-x 换上f （x ）+2f （2-x ）=x①中的x 得到，f （2-x ）+2f （x ）=2-x②，这样①②联立即可解出f （x ）． 【详解】由题意，因为f （x ）+2f （2-x ）=x①； ∴f （2-x ）+2f （x ）=2-x②； ①②联立解得()43f x x =-. 故答案为()43f x x =-． 【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，其中解答中根据题意，联立方程组求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.18．【分析】根据题意分析可得函数为奇函数且结合单调性的定义可得在上为增函数结合（1）以及函数奇偶性的性质分析可得与的的取值范围转化为或或可得的取值范围即可得答案【详解】根据题意满足对任意的都有即函数为奇 解析：[]1,0-【分析】根据题意，分析可得函数()f x 为奇函数且(0)0f =，结合单调性的定义可得()f x 在(0,)+∞上为增函数，结合f （1）0=以及函数奇偶性的性质分析可得()0f x >与()0f x <的x 的取值范围，转化为()010f x x <⎧⎨->⎩或()010f x x >⎧⎨-<⎩或()010f x x =⎧⎨-≠⎩，可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，()f x 满足对任意x ∈R 的都有()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数，则有(0)0f =；又由对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠时，总有1212()()0f x f x x x ->-，即函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，若f （1）0=，则在区间(0,1)上，()0f x <，在区间(1,)+∞上，()0f x >， 又由()f x 为奇函数，则在区间(,1)-∞-上，()0f x <，在区间(1,0)-上，()0f x >， 则()0g x 即2()3()5()()011f x f x f x g x x x --==--，即()010f x x <⎧⎨->⎩或()010f x x >⎧⎨-<⎩或()010f x x =⎧⎨-≠⎩，解可得：10x -，即不等式()0g x 的解集为[1-，0]； 故答案为：[]1,0-． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．19．②③【分析】结合单函数的定义对四个命题逐个分析可选出答案【详解】命题①：对于函数设则由与可能相等也可能互为相反数即不是单函数故①错误；命题②：假设因为函数为单函数所以与已知矛盾故即命题②正确；命题③解析：②③ 【分析】结合单函数的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】命题①：对于函数4()f x x =()R x ∈，设()4400f x x a ==，则0x a =±，由a 与a -可能相等，也可能互为相反数，即4()f x x =不是单函数，故①错误；命题②：假设12()()f x f x =，因为函数()f x 为单函数，所以12x x =，与已知12x x ≠矛盾，故12()()f x f x ≠，即命题②正确；命题③：若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，()b f a =，假设不只有一个原象与其对应，设为12,,a a ，则()()12f a f a ==，根据单函数定义，可得12a a ==，又因为原象中元素不重复，故函数:f A B →至多有一个原象，即命题③正确； 命题④：函数()f x 在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，则可能存在不同的12,x x ，使得12()()f x f x =，不符合单函数的定义，故命题④错误. 综上可知，真命题为②③. 故答案为②③． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是根据新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.20．【分析】先求出函数的定义域在利用复合函数单调性得解【详解】因为或所以函数的定义域为由在上单减在单增由复合函数单调性质得函数在单增故答案为：【点睛】复合函数单调性同增异减注意定义域属于基础题解析：(,1)-∞-【分析】先求出函数的定义域，在利用复合函数单调性得解. 【详解】因为22303x x x -->⇒>或1x <- 所以函数的定义域为(,1)(3,)-∞-+∞由223t x x =--在(,1)-∞-上单减，在(3,)+∞单增 由复合函数单调性质得函数()f x =在(,1)-∞-单增故答案为：(,1)-∞- 【点睛】复合函数单调性“同增异减”，注意定义域.属于基础题三、解答题21．（1）[]0,1；（2）104m ≤<. 【分析】 1）由函数2yx 在[0,)+∞上是增函数，根据“不变”区间的定义，由22a ab b⎧=⎨=⎩求解；（2）假设函数存在“不变”区间，根据函数2(0)y x m x =+≥单调递增，由22a m ab m b⎧+=⎨+=⎩，消去m ，结合a b <，求得a 的范围，再由2m a a =-+，利用二次函数的性质求解. 【详解】 （1）因为函数2yx 在[0,)+∞上是增函数，所以22a a b b⎧=⎨=⎩，解得0a =或1a =，0b =或1b =，因为a b <， 所以 0,1a b ==，所以函数的 “不变”区间是[]0,1；（2）假设函数2(0)y x m x =+≥存在“不变”区间，因为函数2(0)y x m x =+≥单调递增，所以22a m a b m b⎧+=⎨+=⎩，消去m 得22a b a b -=-，即()()+10a b a b --=，因为a b <，所以+10a b -=，即1b a =-，所以10a a ->≥，解得102a ≤<， 所以221124m a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104m ≤<， 所以实数m 的取值范围是104m ≤< 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是由a b <，即10a a ->≥求得a 的范围. 22．（1）0；（2）证明见解析；（3）（1，2）． 【分析】（1）依题意可得()00f =，即可求出参数b 的值，（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（3）依题意结合（2）中函数的单调性，即可得到方程组，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：（1）由题意可知函数()21ax bf x x +=+的定义域为R ，且为奇函数，所以()00f b ==，经检验满足题意，所以b =0； （2）证明：由（1）知b =0，所以()211ax af x x x x==++，则任取12x x <，则12110x x ->，因为12x x <，所以当()01x ∈，时，210x x ->，12110x x -<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，则()f x 在()01，上是增函数；当()1x ∈+∞，时，210x x ->，()()1f x +∞，，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，[]m n ，上是减函数，综上：()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，上是减函数； （3）由（2）知()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，上是减函数，又存在实数m ，n （0<m <n ），使得m ≤()f x ≤n 的解集为()221112amm m an m n a f n ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=≤⎪⎩，则221112a m a n a n ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪≤⎪⎩，化简得221112a m a n a n⎧=+⎪⎪=+⎨⎪≤⎪⎩，因为0<m <n ，所以1<a <2，所以a 的取值范围为（1，2）．【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 23．（1）()1(2)1f x x x =≥-；（2）()f x 在[)2,+∞上递减，证明见解析. 【分析】 （1）令1(2)t t x =≥，则1x t=，求得()1(2)1f t t t =≥-，从而可得答案. （2）()f x 在[)2,+∞上递减，证任取122x x >≥，则210x x -<，1110x ->>，2110x -≥>，可证明()()120f x f x -<，从而可得结论.【详解】 （1）令1(2)t t x =≥，则1x t= 因为11012x f x x x ⎛⎫⎛⎫=<≤⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以()111(2)11t tf t t t ==≥--， 所以()1(2)1f x x x =≥-； （2）()f x 在[)2,+∞上递减，证明如下：任取122x x >≥，则210x x -<，1110x ->>，2110x -≥>， 因为()()12121111f x f x x x -=--- ()()()()21121111x x x x ---=--()()2112011x x x x -=<--所以()()12f x f x <， 则()f x 在[)2,+∞上递减. 【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数. 24．（1）12⎫⎪⎬⎪⎪⎩⎭；（2）2343,243,332812,3a a a a a a ⎧+≥-⎪⎪⎪--<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩. 【分析】（1）根据对数的运算化简方程即可得出解集；（2）根据二次函数的对称轴，分类讨论，即可求出函数的最小值. 【详解】()()234342222()log log 16log log 2log a a f x x x x x =⋅⋅=⋅+()22log 43log (0)x a x x =+>（1）若1a =，则()22()log 43log 1f x x x =+=-， 令2log t x =，则方程为(43)1t t +=-， 解得：13t =-或1t =-， 则21log 3x =-或2log 1x =-，∴1322x -==或12x =， ∴方程的解集为122⎫⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭. （2）∵[2,4]x ∈， ∴2log [1,2]x ∈， 令2log [1,2]t x =∈，则[]()(34),1,2f t t t a t =+∈，对称轴为23t a =-.①当213a -≤，即32a ≥-时，min ()(1)43f t f a ==+； ②当2123a <-<，即332a -<<-时，2min 24()33f t f a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； ③当223a -≥，即3a ≤-时，min ()(2)812f t f a ==+. 综上，2min 343,243(),332812,3a a f x a a a a ⎧+≥-⎪⎪⎪=--<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩. 【点睛】关键点点睛：二次函数求最值问题，需要根据开口方向及对称轴研究函数的最值，对称轴与定义域[1,2]的关系，分3种情况讨论即可，属于中档题.25．（1）函数()f x 在()1,+∞为单调递减，证明见解析；（2）21,0()1,0x x g x x -≥⎧=⎨-<⎩，图象答案见解析.【分析】（1）利用函数单调性定义：任意()12121,()f x x f x x <><成立，即可判定()f x 在()1,+∞是单调递减；（2）讨论0,0x x ><，去掉x 的绝对值即可得到函数()g x 的解析式.【详解】解：（1）函数()f x 在()1,+∞为单调递减.证明如下：任取121x x <<，则()()()()21121212111111x x f x f x x x x x --=-=----， ∵121x x <<，110x ，210x ，210x x ->.()()120f x f x ->即()()12f x f x >，所以()f x 在()1,+∞上单调递减.（2）()1g x x x =+-所以当0x <时，()111g x x x x x =+-=--=-；所以当0x ≥时，()1121g x x x x x x =+-=+-=-；21,0()1,0x x g x x -≥⎧∴=⎨-<⎩.函数()y g x =图形如下：【点睛】确定函数单调性的四种方法：（1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；（4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.26．（1）(2,2)-；（2）(,23-∞．【分析】（1）由已知得210x ax ++>的解集为R ，只需∆<0可得答案；（2）由已知得230x ax -+≥对任意[]1,3x ∈恒成立，可分别讨论对称轴的位置，然后利用单调性和二次函数的性质可得答案.【详解】（1）()4f x >-即234x ax +->-，即210x ax ++>，由不等式()4f x >-的解集为R ，可得∆<0，即240a -<，解得22a -<<，故a 的取值范围是(2,2)-．（2）()26f x ax ≥-即2326x ax ax +-≥-，即230x ax -+≥，由不等式()26f x ax ≥-对任意[]1,3x ∈恒成立，可得当12a ≤，即2a ≤时，10f ≥（），即40a -≥，得4a ≤，从而2a ≤； 当132a <<，即26a <<时，0∆≤，即2120a -≤，得a -≤≤2a <≤ 当32a ≥，即6a ≥时，(3)0f ≥，即1230a -≥，得4a ≤，此时无解．综上，a 的取值范围是(,-∞．【点睛】对于一元二次不等式的恒成立的问题，可结合二次函数图象，利用函数的单调性和二次函数的性质处理，也可以利用参数分离求最值．。
(必考题)高中数学必修一第二单元《函数》测试卷(答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()1,0112,12x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，若0a b >≥，()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是（ ）A ．3,24⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2D ．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）A ．1()()2xf x =B ．()lg f x x =C ．()f x x =-D ．1()f x x=3．已知函数()y f x =是定义在R 上的单调函数，()0,2A ，()2,2B -是其函数图像上的两点，则不等式()12f x ->的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()(),31,-∞-⋃+∞ C ．()1,1-D ．()(),13,-∞+∞4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．1y x=B．y =C ．2x y =D ．||y x x =-5．已知2()25x f x +=-，()()20g x ax a =+>，若对任意的[]11,2x ∈-，存在[]00,1x ∈，使()()10g x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．1(0,]2B ．1[,3]2C ．[)3,+∞D ．(]0,36．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-．给出下列结论：①函数{}x 的定义域是R ，值域为0,1；②方程{}12x =有无数个解；③函数{}x 是增函数；④函数{}x 为奇函数，其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．若函数2()34f x x x =--的定义域为[]0m ，，值域为2544⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，，则m 的取值范围是（ ） A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,4 D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8．若函数()f x =的值域为0,，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,4B ．()(),14,-∞⋃+∞C ．(][)0,14,+∞D ．[][)0,14,+∞ 9．已知函数()()220f x x mx m =-+>满足：①[]()0,2,9x f x ∀∈≤；②[]()000,2,9x f x ∃∈=，则m 的值为（ ） A ．1或3B ．3或134C ．3D ．13410．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式()0f x >的解集为( )A ．()()2,02,∞-⋃+B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()(),20,2∞--⋃D ．()()2,00,2-⋃11．已知偶函数()f x 在 [0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式 (1)0f x +<的解集是（ ） A ．[0,2)B ．[]3,1-C ．(1,3)-D ．(2,2)-12．定义{},,max a b c 为,,a b c 中的最大值，设()28,,63⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭h x max x x x ，则()h x 的最小值为（ ） A ．1811B ．3C ．4811D ．4二、填空题13．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为_____________.14．函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 取值范围为________.15．()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()2=-g x f x x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式()1246()f x f x x +-+>--的解集为___________. 16．自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为()xxf ae ex b -=+（其中a ，b 是非零常数，无理数 2.71828e =…）（1）如果()f x 为单调函数.写出满足条件的一-组值：a =______，b =______. （2）如果()f x 的最小值为2，则+a b 的最小值为______.17．定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，又(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为______． 18．函数21y ax ax =++R ，则a 的取值范围是_________．19．已知函数()2()10f x x ax a =++>，若“()f x 的值域为[)0,+∞”为真命题，则()3f =________.20．若4183y x x =--y 的取值范围是________三、解答题21．已知函数()21axf x x =-（0a ≠）． （1）判断函数()f x 的奇偶性并给予证明；（2）若函数()f x 满足()1242f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，判断函数()f x 在区间()1,+∞的单调性，并用单调性的定义证明．22．已知函数()f x x x a =-，a ∈R ，()21g x x =-．（1）当1a =-时，解不等式()()f x g x ≥；（2）当4a >时，记函数()f x 在区间[]0,4上的最大值为()F a ，求()F a 的表达式． 23．已知a R ∈，函数2()25f x x ax =-+．（1）若不等式()0f x >对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若1a >，且函数()f x 的定义域和值域都是[1,]a ，求实数a 的值； （3）函数()f x 在区间[1,1]a +的最大值为()g a ，求()g a 的表达式． 24．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：①对任意的(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+；②当且仅当1x >时，()0f x <成立.（1）求()1f ；（2）设()12,0,x x ∈+∞，若()()12f x f x <，试比较1x ，2x 的大小关系，并说明理由；（3）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()()22333310xxxx f f m --⎡⎤+≤+-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.25．已知一次函数()y f x =满足()12f x x a -=+， . 在所给的三个条件中，任选一个补充到题目中，并解答. ①()5f a =，②142a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，③()()41226f f -=. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()()g x x f x f x x λ=⋅++在[]0,2上的最大值为2，求实数λ的值. 26．已知函数6()f x x=，2()1g x x =+． （1）求函数()()f g x 的解析式； （2）关于x 的不等式()()af g x x>解集中正整数解恰有3个，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由()f x 在每一段上单调递增可知01b a ≤<≤，由()f x 每一段上的值域可知()3,22f b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进一步确定112b ≤<，由()()()1bf a bf b b b ==+，根据二次函数的值域得到结果. 【详解】()f x 在[)0,1和[)1,+∞上单调递增，∴由()()f a f b =得：01b a ≤<≤，当[)0,1x ∈时，()[)1,2f x ∈；当[)1,x ∈+∞时，()3,2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 若()()f a f b =，则()3,22f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即()31,22f b b ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，解得：112b ≤<， ()()()2211124bf a bf b b b b b b ⎛⎫==+=+=+- ⎪⎝⎭，∴当112b ≤<时，()3,24bf a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：本题解题关键是能够将()bf a 转化为关于b 的函数，易错点是没有对b 的范围进行细化，造成函数值域求解错误.2．C解析：C 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，排除选项得到答案. 【详解】A. 1()()2xf x =，非奇非偶函数，排除；B. ()lg ||lg ||()f x x x f x -=-==，函数为偶函数，排除；C. ()()f x x f x -==-，函数为奇函数，且单调递减，正确；D. 1()()f x f x x-=-=-，函数为奇函数，在[1,0)-和(0,1] 单调递减，排除. 故选：C 【点睛】熟悉函数的单调性和奇偶性是解题关键.3．D解析：D 【分析】根据题意可得出(0)2,(2)2f f ==-，从而得出()f x 在R 上为减函数，从而根据不等式()12f x ->得，(1)(2)f x f -<或(1)(0)f x f ->，从而得出12x ->或10x -<，解出x 的范围 【详解】解：由题意得(0)2,(2)2f f ==-， 因为函数()y f x =是定义在R 上的单调函数， 所以()f x 在R 上为减函数，由()12f x ->，得(1)2f x ->或(1)2f x -<-， 所以(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<， 所以10x -<或12x ->， 解得1x <或3x >，所以不等式()12f x ->的解集为()(),13,-∞+∞，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查绝对值不等式的解法，解题的关键是把()12f x ->转化为(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<，再利用()f x 在R 上为减函数，得10x -<或12x ->，考查数学转化思想，属于中档题4．D解析：D 【分析】利用奇函数的定义和常见基本初等函数的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】 选项A 中，函数1y x =，由幂函数性质知1y x=是奇函数，且其在()(),0,0,-∞+∞两个区间上递减，不能说在定义域内是减函数，故错误；选项B 中，函数y =[)0,+∞，不对称，故不具有奇偶性，，且在定义域内是增函数，故错误；选项C 中，指数函数2x y =，22x x -≠，且22x x -≠-，故不是奇函数，故错误；选项D 中，函数22,0,0x x y x x x x ⎧-≥=-=⎨<⎩，记()y f x =，当0x >时，0x -<，故22(),()f x x f x x =--=，故()()f x f x -=-， 当0x =时，(0)0f =，故()()f x f x -=-，当0x <时，0x ->，故22(),()f x x f x x =-=-，故()()f x f x -=-，综上，()y f x =是奇函数，又0x ≥时，2()f x x =-是开口向下的抛物线的一部分，是减函数，由奇函数性质知()y f x =在定义域R 上是减函数，故正确. 故选：D. 【点睛】本题解题关键是熟练掌握常见的基本初等函数的性质，易错点是分段函数奇偶性的判断，分段函数必须判断定义域内的每一段均满足()()f x f x -=-（或()()f x f x -=）才能判定其是奇函数（或偶函数）.5．A解析：A 【分析】根据指数函数的性质求出()f x 在[0,1]上的值域A ，利用一次函数的单调性求出()g x 在[1,2]-上的值域B ，由题得B A ⊆，再根据集合的包含关系即可求解.【详解】2()25x f x +=-，[]00,1x ∈，()()min 01f x f ∴==-，()()max 13f x f ==，∴()f x 在[0,1]上的值域为[]1,3A =-，又()2(0)g x ax a =+>在[1,2]-上单调递增，∴()g x 在[1,2]-上的值域为[]2,22B a a =-++，由题意可得B A ⊆，021223a a a >⎧⎪∴-+≥-⎨⎪+≤⎩，解得102a <≤.故选：A 【点睛】本题考查函数的单调性求值域、集合的包含关系求参数的取值范围.探讨方程()()0f x g m -=解的存在性，通常可将方程转化为()()f x g m =，通过确认函数()f x 或()g m 的值域，从而确定参数或变量的范围6．B解析：B 【分析】根据函数性质判断[]x 是一个常见的新定义的形式，按照新定义，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，由此可以得到函数的性质，又定义函数{}[]x x x =-，当0x ≥时，表示x 的小数部分，由于①③是错误的，举例可判断②，根据单调性定义可判断④. 【详解】①函数{}x 的定义域是R ,但[]01x x ≤-<，其值域为)01⎡⎣，，故错误； ②由{}[]12x x x =-=，可得[]12x x =+，则 1.52.5x =，……都是方程的解，故正确； ③由②可得{}11.52=，{}12.52=……当 1.52.5x =，……时，函数{}x 的值都为12，故不是增函数，故错误； ④函数{}x 的定义域是R ,而{}[]{}x x x x -=---≠-，故函数不是奇函数，故错误；综上，故正确的是②. 故选：B. 【点睛】本题以新定义函数{}[]x x x =-的意义为载体，考查了分段函数和函数的值域、单调性等性质得综合类问题，在解答的过程中体现了分类讨论和数形结合的思想，还可以利用函数的图象进行解题．7．B解析：B 【分析】求出(0)4f =-，再计算出最小值为32524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后求出()4f m =-的值后可得m 的范围． 【详解】2325()24f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()f x 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增， (0)4f =-，又32524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以32m ≥，由2()344f m m m =--=-解得0m =或3m =， 因此332m ≤≤． 故选：B ． 【点睛】方程点睛：本题考查二次函数的性质，掌握其对称轴、单调性是解题关键．由此可得二次函数2()f x ax bx c =++在区间[,]m n 上的最值求法： 设0a >，函数的对称轴0x x =（02bx a=-）， 当0x m <时，min ()()f x f m =，0m x n ≤≤时，min 0()()f x f x =，0x n >时，min ()()f x f n =，当02m n x +≤时，max ()()f x f n =，当02m nx +>时，max ()()f x f m =． 0a <类似讨论．8．D解析：D 【分析】令t =()0,t ∈+∞()0,+∞，记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，进而分0m =和0m ≠两种情况，分别讨论，可求出m 的取值范围. 【详解】令t =1y t=的值域为0,，根据反比例函数的性质，可知()0,t ∈+∞()0,+∞， 记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，若0m =，则()41g x x =-+，其值域为R ，满足()0,A +∞⊆；若0m ≠，则00m >⎧⎨∆≥⎩，即()24240m m m >⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得4m ≥或01m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[][)0,14,+∞.故选：D.9．D解析：D 【分析】依题意可得()f x 在[]0,2上的最大值为9，求出函数的对称轴，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于m 的方程，解出即可． 【详解】解：因为函数()()220f x x mx m =-+>满足：①[]()0,2,9x f x ∀∈≤；②[]()000,2,9x f x ∃∈=，即函数()()220f x x mx m =-+>在[]0,2上的最大值为9，因为222()2()f x x mx x m m =-+=--+，对称轴是x m =，开口向下， 当02m <<时，()f x 在[0，)m 递增，在(m ，2]递减， 故2()()9max f x f m m ===，解得：3m =，不合题意，2m 时，()f x 在[0，2]递增，故()()2449max f x f m ==-=，解得：134m =，符合题意， 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．10．A解析：A 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案． 【详解】根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0， 则f （﹣2）=﹣f （2）=0，又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0， 又由函数y=f （x ）为奇函数，则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）； 故选A ． 【点睛】本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．11．B解析：B 【详解】由()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(2)0f = 当0x >时，()0f x <的解集[0,2]； 当时()f x 为减函数，(2)0f -=，()0f x <的解集[2,0]-．综上()0f x <的解集[2,2]-，所以(1)0f x +<满足212,31x x -≤+≤∴-≤≤． 故选：B ．12．C解析：C 【分析】首先根据题意画出()h x 的图象，再根据图象即可得到()h x 的最小值. 【详解】 分别画出2yx ，83y x =，6y x =-的图象， 则函数()h x 的图象为图中实线部分.由图知：函数()h x 的最低点为A ，836y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得1848,1111⎛⎫⎪⎝⎭A .所以()h x 的最小值为4811. 故选：C. 【点睛】本题主要考查根据函数的图象求函数的最值，考查了数形结合的思想，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据条件作出函数图象求解出的范围利用和换元法将变形为二次函数的形式从而求解出其取值范围【详解】由解析式得大致图象如下图所示：由图可知：当时且则令解得：又令则即故答案为：【点睛】思路点睛：根据解析：31,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件作出函数图象求解出1x 的范围，利用()()12f x f x =和换元法将()12x f x ⋅变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围. 【详解】由解析式得()f x 大致图象如下图所示：由图可知：当12x x <时且()()12f x f x =，则令211322x ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，解得：14x =， 111,42x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，又()()12f x f x =，221221333,124x x x ⎛⎫⎡⎫∴+=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()2222121332x f x x x ⎛⎫∴⋅=⋅- ⎪⎝⎭，令2233,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()2211113,124164x f x g t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫⋅==-=--∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎭， ()31,162g t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，即()2131,162x f x ⎡⋅⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误.14．【分析】根据指数函数和一次函数的性质得出关于的不等式组即可求解【详解】由题意函数是上的单调递增函数可得解得即实数取值范围故答案为：【点睛】利用函数的单调性求解参数的取值范围：根据函数的单调性将题设条解析：8[,6)3【分析】根据指数函数和一次函数的性质，得出关于a 的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数1,1()32,12x a x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 可得13021322a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪+≥-+⎪⎩，解得863a ≤<，即实数a 取值范围8[,6)3.故答案为：8[,6)3. 【点睛】利用函数的单调性求解参数的取值范围：根据函数的单调性，将题设条件转化为函数的不等式（组），即可求出参数的值或范围； 若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的.15．；【分析】根据题意判断出为偶函数且在上先减再增把转化为进行求解即可【详解】由为偶函数可知也为偶函数且在上先减再增由可知即可知解得故答案为：【点睛】关键点睛利用函数的性质得到的单调性通过化简把问题转化解析：3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； 【分析】根据题意，判断出()g x 为偶函数，且在R 上先减再增，把(1)(2)46f x f x x +-+>--转化为(1)(2)g x g x +>+，进行求解即可【详解】由()f x 为偶函数，可知()g x 也为偶函数，且在R 上先减再增， 由(1)(2)46f x f x x +-+>--，可知22(1)2(1)(2)2(2)f x x f x x +-+>+-+，即(1)(2)g x g x +>+， 可知12x x +>+，解得32x <-. 故答案为：3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛，利用函数的性质，得到()g x 的单调性，通过化简把问题转化为(1)(2)g x g x +>+，进而利用()g x 的单调性求解，属于中档题16．2【分析】（1）取结合函数是单调函数利用复合函数的单调性求解的值即可；（2）根据的最小值为2分类讨论确定结合基本不等式进行求解即可【详解】（1）令则是增函数是减函数要使是单调函数只需综上当时时为增函解析：1- 2 【分析】（1）取1a =，结合函数是单调函数，利用复合函数的单调性求解b 的值即可； （2）根据()f x 的最小值为2，分类讨论确定0a >，0b >，结合基本不等式进行求解即可． 【详解】（1）令1a =，则()x x f x e be -=+，x y e =是增函数，x y e -=是减函数，要使()x x f x e be -=+是单调函数， 只需1b =-．综上，当1a =时，1b =-时，()x x f x e e -=-为增函数． （2）当0ab 时，()f x 为单调函数，此时函数没有最小值， 当0a <，0b <，()f x 有最大值，无最小值， 所以，若()f x 有最小值为2，则必有0a >，0b >，此时()22x x x f x ae be ae be -=+⨯=，1=，即1ab =，则22a b ab +=，当1a b ==时等号成立， 即+a b 的最小值为2． 故答案为：1,1,2- 【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.17．【分析】由条件确定原点两侧函数的单调性和零点由函数的草图确定不等式的解集【详解】在R 上是奇函数且在上是增函数∴在上也是增函数由得由得作出的草图如图所示：则或由图象得所以或所以的解集为故答案为：【点睛 解析：(3,0)(0,3)-⋃【分析】由条件确定原点两侧函数的单调性和零点，由函数()f x 的草图确定不等式的解集. 【详解】()f x 在R 上是奇函数，且()f x 在(0,)+∞上是增函数，∴()f x 在(,0)-∞上也是增函数，由(3)0f -=，得(3)0f =，由(0)(0)f f =--，得(0)0f =， 作出()f x 的草图，如图所示：()0xf x <，则0()0x f x >⎧⎨<⎩ 或0()0x f x <⎧⎨>⎩，由图象得，所以03x <<或30x -<<，所以()0xf x <的解集为(3,0)(0,3)-⋃． 故答案为：(3,0)(0,3)-⋃． 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．属于中档题．18．【分析】根据函数的解析式可知当定义域为时说明在上恒成立则对进行分类讨论确定满足条件的的范围【详解】由题意可得在上恒成立①当时则恒成立符合题意；②当时则解得综上可得∴实数的取值范围为故答案为：【点睛】 解析：[)0,4【分析】根据函数的解析式，可知当定义域为R 时，说明210ax ax ++>在R 上恒成立，则对a 进行分类讨论，确定满足条件的a 的范围. 【详解】由题意可得210ax ax ++>在R 上恒成立． ①当0a =时，则10>恒成立，0a ∴=符合题意；②当0a ≠时，则2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<．综上可得04a ≤<，∴实数a 的取值范围为[)0,4． 故答案为：[)0,4. 【点睛】不等式20ax bx c ++>的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当0a ＝时，00b c >＝，；当0a ≠时，00a >⎧⎨∆<⎩； 不等式20ax bx c ++<的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a ＝时，00bc <＝，；当0a ≠时，00a <⎧⎨∆<⎩．19．16【分析】二次函数的值域为得到求得值得解【详解】因为的值域为所以则又所以故答案为：16【点睛】二次函数的值域为得到是解题关键解析：16 【分析】二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到240a ∆=-=求得a 值得解 【详解】因为()2()10f x x ax a =++>的值域为[0,)+∞，所以240a ∆=-=，则2a =±.又0a >，所以2,a =.22()21,(3)323116f x x x f ∴=++∴=+⨯+=故答案为：16 【点睛】二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到0∆=是解题关键.20．【分析】首先求出的取值范围令将函数转化为三角函数再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得；【详解】解：因为所以解得令则所以因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查函数的值域的计算换元法的应用三角解析：【分析】首先求出x 的取值范围，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦将函数转化为三角函数，再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得；【详解】解：因为y 所以401830x x -≥⎧⎨-≥⎩解得46x ≤≤，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则y t t ==+3t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以3y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336t πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1sin ,132t π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以y ∈故答案为：【点睛】本题考查函数的值域的计算，换元法的应用，三角函数及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）奇函数，证明见解析；（2）在区间()1,+∞单调递减，证明见解析． 【分析】（1）求出函数的定义域，直接得到()f x 和()f x -的关系即可得结果； （2）由题意解出a 的值，由单调性的定义即可得结果. 【详解】（1）函数()y f x =是奇函数，证明如下：()y f x =的定义域为{}1x x ≠±，又()()()()2211a x axf x f x x x --==-=--+-+ ∴()y f x =是定义在{}1x x ≠±的奇函数．（2）∵()1242f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即21242433112aa a -==⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得：3a = ∴()231xf x x =-，1x ，()21,x ∈+∞且12x x <()()()()()()()()()()1212221222122112212222121231313111331111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x -=----+-=---=--- ∵1x ，()21,x ∈+∞且12x x <，∴2110x ->，2210x ->，1210x x ->，210x x ->∴()()12f x f x >，∴()y f x =在区间()1,+∞单调递减． 【点睛】利用定义证明函数单调性的步骤：（1）取值；（2）作差；（3）化简；（4）下结论.22．（1）{}1x x ≥-；（2）()2,484416,8a x F a a a ⎧<<⎪=⎨⎪-≥⎩【分析】（1）由1a =-，得211x x x +≥-，进而分1x ≥-和1x <-两种情况，分别解不等式，进而可求出原不等式的解集；（2）由[]0,4x ∈，且4a >，可得()2f x x ax =-+，进而结合二次函数的性质，分类讨论，可求出()f x 在区间[]0,4上的最大值的表达式. 【详解】（1）当1a =-时，()1f x x x =+，则211x x x +≥-．①当1x ≥-时，不等式为221x x x +≥-，解得1x ≥-，所以1x ≥-； ②当1x <-时，不等式为221x x x --≥-，解得112x ≤≤-，所以解集为空集． 综上，不等式的解集为{}1x x ≥-．（2）因为[]0,4x ∈，且4a >，所以()()2f x x a x x ax =-=-+，①当48a <<时，242a <<，则()224a aF a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭；②当8a ≥时，42a≥，则()()4416F a f a ==-. 综上()2,48{4416,8a a F a a a <<=-≥． 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （2）根据对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析.23．（1）(a ∈；（2）2；（3）()g a 262,26,2a a a a ->⎧=⎨-⎩． 【分析】（1）利用二次函数的性质列出关系式求解即可．（2）根据二次函数定义域和值域之间的关系进行判断即可． （3）对对称轴分类讨论，得到最大值． 【详解】解：（1）a R ∈，函数2()25f x x ax =-+．开口向上，不等式()0f x >对任意的x ∈R 恒成立，可得：24200a -<，解得(a ∈．（2）函数2()25f x x ax =-+的对称轴为x a =，则函数在[1,]a 上为减函数， 函数的值域为[1,]a ，∴()1f a =，即22251a a -+=，即24a =， 解得2a =-（舍)或2a =．（3）函数2()25f x x ax =-+的对称轴为x a =，开口向上， ①当12aa +，即2a 时，()f x 在区间[1，1]a +上的最大值为2(1)6f a a +=-； ②2a >时，()f x 在区间[1，1]a +上的最大值为(1)f 62a =-．所以()g a 262,26,2a a a a ->⎧=⎨-⎩． 【点睛】方法点睛：求二次函数的最值或值域时，关键在于确定二次函数的对称轴与所求的区间的关系，也即是二次函数在所求区间上的单调性，利用单调性求得值域．24．（1）()10f =；（2）12x x >，理由见解析；（3）5m <≤ 【分析】（1）令1x y ==，代入可得(1)f ；（2）记12x kx =，代入已知等式，由12()()f x f x <可得()0f k <，从而有1k >，得结论12x x >；（3）根据函数的性质，不等式变形为()223333100xx x x m --+≥+->恒成立，然后设33x x t -=+后转化为一元二次不等式和一元不次不等式恒成立，再转化为求函数的最值，可求得参数范围． 【详解】（1）令1x y ==，则(1)(1)(1)f f f =+，所以()10f =.（2）12x x >，理由如下：记12x kx =，则()()()122()f x f kx f k f x ==+， 由()()12f x f x <可得：()0f k <，则1k >，故12x x >.（3）由（2）得()223333100xx x x m --+≥+->恒成立，令10332,3xxt -⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则222332x x t -+=-，原不等式可化为：22100t mt -≥->， 由2210t mt -≥-恒成立可得：min 8m t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，8t t +≥=，当且仅当8t t=，即t =m ≤ 由100mt ->恒成立可得：max 10m t ⎛⎫>⎪⎝⎭，102,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2t =时，max 105t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是5m >.综上：实数m的取值范围是5m <≤ 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的单调性，考查不等式恒成立问题，在解决不等式恒成立时，利用已求得的结论（函数的单调性），把问题进行转化，再用换元法转化为一元二次不等式和一元一次不等式恒成立，然后又由分离参数法转化为求函数的最值． 25．（1）()23f x x =+（2）2λ=- 【分析】利用待定系数法求出()22f x x a =++，（1）根据所选条件，都能求出1a =，可得()23f x x =+；（2）根据对称轴与区间中点值的大小分两种情况讨论求出最大值，结合已知最大值可求得λ的值.【详解】设()f x kx b =+(0)k ≠，则(1)2k x b x a -+=+，即2kx k b x a -+=+， 所以2k =，2b a ，所以()22f x x a =++，若选①，（1）由()5f a =得225a a ++=，得1a =，所以()23f x x =+. （2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++， 区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍），综上所述：2λ=-. 若选②， （1）由142a f ⎛⎫=⎪⎝⎭得14222a a =⨯++，解得1a =，所以()23f x x =+； （2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++， 区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍），综上所述：2λ=-. 若选③，（1）由()()41226f f -=得4(22)2(42)6a a ++-++=，解得1a =，所以()23f x x =+；（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++， 区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍），综上所述：2λ=-. 【点睛】关键点点睛：第二问，讨论对称轴与区间中点值的大小求最大值是解题关键. 26．（1）()2()61f x xg =+；（2）249175a ≤<. 【分析】（1）代入函数解析式运算即可得解； （2）转化条件为1116x x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恰有三个正整数解，结合对勾函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为函数6()f x x =，2()1g x x =+， 所以()()()2661f g x g x x ==+； （2）由（1）得()()a f g x x >即261a x x >+， 当0x >时，有261x a x <+恰有三个正整数解， 当0a ≤时，不合题意；当0a >时，则1116x x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恰有三个正整数解， 设不等式1116x x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭的解集为12(,)x x ， 则由函数1y x x =+的性质可得(]12(0,1),3,4x x ∈∈， 所以11111346364a ⎛⎫⎛⎫+<≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得249175a ≤<， 所以实数a 的取值范围为249175a ≤<. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为1116x x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恰有三个正整数解及对勾函数性质的应用.。
(压轴题)高中数学必修一第二单元《函数》检测卷(包含答案解析)(1)
一、选择题1．令[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=，若函数()[][]32f x x x =-，则函数()f x 在区间[]0,2上所有可能取值的和为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．以下说法正确的有（ ）（1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}3,1AB =；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =； （3）函数1y x=的单调区间是()(),00,-∞⋃+∞； （4）在映射:f A B →的作用下，A 中元素(),x y 与B 中元素()1,3x y --对应，则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是()1,2 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围是（ ） A ．13x <<B ．1x <或3x >C ．12x <<D ．1x <或2x >4．如果函数()()()2121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则32a b +的最大值为（ ）A ．4B ．1-C ．23D ．65．函数sin y x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：（ ）①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞. ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞. ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M . ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞. ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞. A ．4B ．3C ．2D ．17．若函数2()2(2)1f x mx m x =+-+的值域为0,，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,4 B ．()(),14,-∞⋃+∞C ．(][)0,14,+∞ D ．[][)0,14,+∞8．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，22()f x x a a =--，若对任意实数x 有()()f x a f x -≤成立，则正数a 的取值范围为（ ） A ．)1,4⎡+∞⎢⎣ B ．)1,2⎡+∞⎢⎣ C ．(10,4⎤⎥⎦D ．(10,2⎤⎥⎦9．已知函数()f x 是奇函数，()f x 在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间[,]b a --上（ ） A ．有最大值4B ．有最小值-4C ．有最大值-3D ．有最小值-310．已知函数()2f x x ax b =-+-（a ，b 为实数）在区间[]22-,上最大值为M ，最小值为m ，则M m -（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，但与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关11．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式()0f x >的解集为( )A ．()()2,02,∞-⋃+B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()(),20,2∞--⋃D ．()()2,00,2-⋃12．函数2log xy x x=的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题13．()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()2=-g x f x x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式()1246()f x f x x +-+>--的解集为___________. 14．设函数()y f x =的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有3()4f x >-，则m 的取值范围是_____.15．函数2()2f x x x =-，()1g x ax =+(0a >)，若对任意的[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，使12()()f x g x =，则a 的取值范围是___________.16．若函数2()f x x k =+，若存在区间[,](,0]a b ⊆-∞，使得当[,]x a b ∈时，()f x 的取值范围恰为[,]a b ，则实数k 的取值范围是________. 17．函数()f x =的单调递增区间为__________．18．函数y =a x (a >0且a ≠1)在［1,2］上的最大值比最小值大2a，则a =______. 19．已知函数2262()2x ax x f x a x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩，≤，，是R 上的减函数，则a 的取值范围为______．20．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若()()21f m f m ->，则实数m 的取值范围是__________ 三、解答题21．对于区间[,]a b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数(),[,]y f x x a b =∈的值域还是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.（1）求函数2(0)y x x =≥的所有“不变”区间；（2）函数2(0)y x m x =+≥是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．已知函数()f x 为二次函数，满足()()139f f -==，且()03f =．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()()g x f x mx =-在[]1,3上是单调函数，求实数m 的取值范围． 23．已知函数()()210f x x x a=-+>. （1）判断()f x 在()0,∞+上的增减性，并用单调性定义证明. （2）若()20f x x +≥在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围.24．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”（1）已知函数()23f x cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”，并说明理由； （2）设()1423xx f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围25．已知函数()2f x x =，()1g x x =-.（1）若存在x ∈R 使()()f x b g x <⋅，求实数b 的取值范围；（2）设()()()21F x f x mg x m m =-+--，且()F x 在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围.26．若函数f (x )()()2211,02,0b x b x x b x x ⎧-+->⎪=⎨-+-≤⎪⎩，满足对于任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，g (x )=23x +.（1）求b 的取值范围；（2）当b =2时，写出f [g (x )]，g [f (x )]的表达式.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大整数，分5种情况讨论，分别求出[]x 和[2]x 的值，即可以计算()3[][2]f x x x =-的函数值，相加即可得答案． 【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以： 当102x <时，有021x <，则[]0x =，则3[]0x =，[2]0x =，此时()0f x =， 当112x <时，有122x <，则[]0x =，则3[]0x =，[2]1x =，此时()1f x =-， 当312x <时，有223x <，则[]1x =，则3[]3x =，[2]2x =，此时()1f x =， 当322x <时，有324x <，则[]1x =，则3[]3x =，[2]3x =，此时()0f x =， 当2x =时，24=x ，则[]2x =，则3[]6x =，[2]4x =，此时()2f x =，函数()f x 在区间[0，2]上所有可能取值的和为011022-+++=； 故选：B ． 【点睛】结论点睛：分类讨论思想的常见类型（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； （2）问题中的条件是分类给出的；（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.2．B解析：B 【分析】 根据AB 为点集，可判断（1）的正误；根据奇函数的性质，可判断（2）的正误；分解反比例函数的单调性，可判断（3）的正误；根据映射的概念，可判断（4）的正误. 【详解】 （1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}(3,1)AB =，所以（1）错误；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，所以（2）正确； （3）函数1y x=的单调区间是(),0-∞和()0,∞+，所以（3）错误； （4）设A 中元素为(,)x y ，由题意可知1031x y -=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以A 中元素是()1,2，所以（4）正确；所以正确命题的个数是2个， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，在解题的过程中，关键点是要熟练掌握基础知识，此类题目综合性较强，属于中档题目.3．B解析：B 【分析】将函数()f x 的解析式变形为()2()244f x x a x x =-+-+，并构造函数()2()244g a x a x x =-+-+，由题意得出()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，解此不等式组可得出实数x 的取值范围 【详解】对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零设()()2244g a x a x x =-+-+，即()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立.()g a 在[]1,1a ∈-上是关于a 的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.则只需线段的两个端点在x 轴上方，即()()2215601320g x x g x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，解得3x >或1x < 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查不等式在区间上恒成立问题，解答本题的关键是构造函数()()2244g a x a x x =-+-+，将问题转化为()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立，从而得到()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，属于中档题.4．C解析：C 【分析】分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得32a b +的最大值. 【详解】分以下几种情况讨论：（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得20b +<，解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意； （2）当10a -<时，即当1a <时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2121b a +-≤-，可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-， 所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，则2423232333a b ⎛⎫+≤⨯-+⨯= ⎪⎝⎭； （3）当10a ->时，即当1a >时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2221b a +-≥-，可得42a b +≤，即24b a ≤-，2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.综上所述，32a b +的最大值为23. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解.5．A解析：A 【分析】先判断函数奇偶性，排除CD ，再结合函数在()0,π的正负选出正确答案 【详解】设()sin y f x x x ==，求得()sin f x x x -=，故函数为偶函数，排除CD ，由三角函数图像特征可知在()0,π时sin 0x >，故在()0,π时()0f x >，故A 正确 故选：A 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．B解析：B 【分析】这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案. 【详解】对任何x ∈[a ，b]都有()p f x ≤，说明p 小于等于()f x 的最小值，①是正确的; 由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;关于x 的方程p =f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 应属于函数f (x ）在[a ，b ]上的值域[m ，M ]内，故③是正确的;关于x 的不等式p ≤f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的 正确的选项应该为①③⑤ 故选： B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．7．D解析：D 【分析】 令22(2)1t mx m x =+-+，可知()0,t ∈+∞，即()22(2)0,1mx m x +-+∈+∞，记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，进而分0m =和0m ≠两种情况，分别讨论，可求出m 的取值范围. 【详解】 令22(2)1t mx m x =+-+，则1y t=的值域为0,，根据反比例函数的性质，可知()0,t ∈+∞，即()22(2)0,1mx m x +-+∈+∞， 记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，若0m =，则()41g x x =-+，其值域为R ，满足()0,A +∞⊆；若0m ≠，则00m >⎧⎨∆≥⎩，即()24240m m m >⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得4m ≥或01m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[][)0,14,+∞.故选：D.8．C解析：C 【分析】由于22()f x x a a =--有绝对值，分情况考虑2x a ≥和2x a <，再由()y f x =是奇函数画出图象，再根据()()f x a f x -≤考虑图象平移结合图形可得答案. 【详解】由题得， 当0x ≥时，22()f x x a a =--，故写成分段函数222222,0(),x a a x a f x x a a x a ⎧-+-≤≤=⎨-->⎩，化简得222,0()2,x x a f x x a x a⎧-≤≤=⎨->⎩， 又()y f x =为奇函数，故可画出图像：又()f x a -可看出()y f x =往右平移a 个单位可得，若()()f x a f x -≤恒成立，则222(2)a a a ≥--，即24a a ≤，又a 为正数，故解得104a <≤. 故选：C . 【点睛】本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换，图象的平移，属于中档题.9．B解析：B 【分析】根据奇函数的性质,分析()f x 在对称的区间上单调性相同,即可找出最大值与最小值. 【详解】∵()f x 是奇函数,在(0,)+∞上是减函数,∴()f x 在(,0)-∞上也是减函数,即在区间[,](0)a b a b <<上递减. 又∵()f x 在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-, ∴()()4,3,f a f b ==-根据奇函数的性质可知()()4,3,f a f b -=--=且在区间[,]b a --上单调递减, ∴()f x 在区间[,]b a --上有最大值3,有最小值-4. 故选：B. 【点睛】本题考查了奇函数的单调性和值域特点,如果性质记不熟,可以将大致图像画出.本题属于中等题.10．B解析：B 【解析】函数()2f x x ax b =-+-的图象是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线， ①当22a -＞ 或22a-<-，即4a -＜ ，或4a ＞时， 函数f x （） 在区间[]2,2-上单调， 此时224M m f f a -=--=（）（）， 故M m - 的值与a 有关，与b 无关 ②当022a≤-≤ ，即40a -≤≤ 时， 函数f x （）在区间[2]2a --，上递增，在[2]2a -， 上递减， 且22f f -<（）（） ，此时2322424a a M m f f a -=---=--（）（），故M m - 的值与a 有关，与b 无关③当202a-≤-≤，即04a ≤≤时， 函数f x （）在区间[2]2a -，上递减，在[2]2a --，上递增， 且22f f <-（）（）此时222424a a M m f f a -=--=-+（）（），故M m - 的值与a 有关，与b 无关 综上可得M m - 的值与a 有关，与b 无关 故选B【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．11．A解析：A 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案． 【详解】根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0， 则f （﹣2）=﹣f （2）=0，又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0， 又由函数y=f （x ）为奇函数，则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0， 综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）； 故选A ． 【点睛】本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．12．D解析：D 【解析】()222log ,0log log ,0x x x y x x x x >⎧==⎨--<⎩，所以当0x >时，函数22log log x y x x x ==为增函数，当0x <时，函数()22log log xy x x x==--也为增函数，故选D. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.二、填空题13．；【分析】根据题意判断出为偶函数且在上先减再增把转化为进行求解即可【详解】由为偶函数可知也为偶函数且在上先减再增由可知即可知解得故答案为：【点睛】关键点睛利用函数的性质得到的单调性通过化简把问题转化解析：3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； 【分析】根据题意，判断出()g x 为偶函数，且在R 上先减再增，把(1)(2)46f x f x x +-+>--转化为(1)(2)g x g x +>+，进行求解即可 【详解】由()f x 为偶函数，可知()g x 也为偶函数，且在R 上先减再增， 由(1)(2)46f x f x x +-+>--，可知22(1)2(1)(2)2(2)f x x f x x +-+>+-+，即(1)(2)g x g x +>+， 可知12x x +>+，解得32x <-. 故答案为：3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛，利用函数的性质，得到()g x 的单调性，通过化简把问题转化为(1)(2)g x g x +>+，进而利用()g x 的单调性求解，属于中档题14．【分析】由得得分段求解析式结合图象可得m 的取值范围【详解】时时；时；时；当时由解得或若对任意都有则故答案为：【点睛】本题考查分段函数的解析式和最值特征考查函数的图象以及一元二次不等式的解法解题的关键解析：9(,)4-∞【分析】由(1)2()f x f x +=，得()2(1)f x f x =-，得分段求解析式，结合图象可得m 的取值范围．【详解】(1)2()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-，(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-，(1,2]x ∴∈时，1(0,1],()2x f x -∈=1(1)2(1)(2),02f x x x ⎡⎤-=--∈-⎢⎥⎣⎦；(2,3]x ∴∈时，1(1,2],()2(1)4(2)(3)[1,0]x f x f x x x -∈=-=--∈-； (3,4]x ∴∈时，1(2,3],()2(1)8(3)(4)[2,0]x f x f x x x -∈=-=--∈-；当(2,3]x ∈时，由34(2)(3)4x x --=-，解得114x =或94x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有3()4f x >-，则94m <． 故答案为：9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查分段函数的解析式和最值特征，考查函数的图象，以及一元二次不等式的解法，解题的关键点是可借助函数图象直观性找到解题思路.15．【分析】求出在上的值域再求出在上的值域由可得的范围【详解】所以又所以时因为对任意的存在使所以解得故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题可按如下规则转化：一般地已知函数（1）若总解析：7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】求出()f x 在[2,2]-上的值域A ，再求出()g x 在[2,2]-上的值域B ，由A B ⊆可得a 的范围． 【详解】2()2f x x x =-2(1)1x =--，[2,2]x ∈-，所以()[1,8]f x ∈-，又0a >，所以[2,2]x ∈-时，()1[21,21]g x ax a a =+∈-++， 因为对任意的[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，使12()()f x g x =，所以211218a a -+≤-⎧⎨+≥⎩，解得72a ≥．故答案为：7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．16．【分析】根据二次函数的单调性得出是上的减函数从而有整理得即关于的方程在区间内有实数解记由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组可求得范围【详解】∵函数是上的减函数∴当时即两式相减得即代入得由且得解析：31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次函数的单调性得出2()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数，从而有()()f a bf b a =⎧⎨=⎩，整理得22a k b b k a⎧+=⎨+=⎩，即关于a 的方程210a a k +++=，在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭内有实数解，记2()1h a a a k =+++，由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组，可求得范围.【详解】∵函数2()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数，∴当[,]x a b ∈时，()()f a bf b a =⎧⎨=⎩，即22a k bb k a⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得22a b b a -=-，即(1)b a =-+，代入2a k b +=得210a a k +++=， 由0a b <≤，且(1)b a =-+得112a -≤<-， 故关于a 的方程210a a k +++=，在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭内有实数解，记2()1h a a a k =+++，所以函数()h a 在11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，则()10102h h ⎧-≥⎪⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()221110111022k k ⎧-+-++≥⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+-++<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 故答案为：31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【点睛】关键点点睛：在解决二次函数的值域问题，关键在于得出二次函数的对称轴与区间的关系，也即是判断出二次函数在区间上的单调性.17．【分析】先求出函数的定义域在利用复合函数单调性得解【详解】因为或所以函数的定义域为由在上单减在单增由复合函数单调性质得函数在单增故答案为：【点睛】复合函数单调性同增异减注意定义域属于基础题 解析：(,1)-∞-【分析】先求出函数的定义域，在利用复合函数单调性得解. 【详解】因为22303x x x -->⇒>或1x <- 所以函数的定义域为(,1)(3,)-∞-+∞由223t x x =--在(,1)-∞-上单减，在(3,)+∞单增由复合函数单调性质得函数()f x =在(,1)-∞-单增故答案为：(,1)-∞- 【点睛】复合函数单调性“同增异减”，注意定义域.属于基础题18．或【分析】由题意按照分类结合指数函数的性质可得方程即可得解【详解】当时是增函数则解得或（舍去）；当时是减函数则解得或（舍去）；综上或故答案为：或【点睛】关键点点睛：涉及指数函数单调性问题底数为参数时解析：12或32【分析】由题意按照1a >、01a <<分类，结合指数函数的性质可得方程，即可得解. 【详解】当1a >时，xy a =是增函数，则22a a a -=，解得32a =或0a =（舍去）；当01a <<时，xy a =是减函数，则22a a a -=，解得12a =或0a =（舍去）； 综上，12或32故答案为：12或32【点睛】关键点点睛：涉及指数函数单调性问题，底数为参数时，一般都要分类讨论，分底数大于1与底数大于0小于1两种情况解决.本题考查了指数函数单调性的应用，考查了运算求解能力及分类讨论思想.19．2【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求【详解】解；是上的减函数解可得故答案为：【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键解析：[2，209] 【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求． 【详解】 解；226,2(),2x ax x f x a x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，∴204462a a a a ⎧⎪⎪>⎨⎪⎪-+⎩， 解可得，2029a． 故答案为：202,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键，属于中档题．20．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论【详解】解：是定义在上的偶函数且在上是减函数不等式等价为即所以即即解得即故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解根据函数奇偶性和解析：1,13⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论． 【详解】 解：()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，∴不等式()()21f m f m ->，等价为()()21f m f m ->，即21m m -<，所以()2221m m -<，即()22210m m --<，即()()3110m m --<，解得113m << 即1,13m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题21．（1）[]0,1；（2）104m ≤<. 【分析】 1）由函数2yx 在[0,)+∞上是增函数，根据“不变”区间的定义，由22a ab b ⎧=⎨=⎩求解；（2）假设函数存在“不变”区间，根据函数2(0)y x m x =+≥单调递增，由22a m a b m b ⎧+=⎨+=⎩，消去m ，结合a b <，求得a 的范围，再由2m a a =-+，利用二次函数的性质求解. 【详解】 （1）因为函数2yx 在[0,)+∞上是增函数，所以22a ab b⎧=⎨=⎩，解得0a =或1a =，0b =或1b =，因为a b <， 所以 0,1a b ==，所以函数的 “不变”区间是[]0,1；（2）假设函数2(0)y x m x =+≥存在“不变”区间，因为函数2(0)y x m x =+≥单调递增，所以22a m a b m b⎧+=⎨+=⎩，消去m 得22a b a b -=-，即()()+10a b a b --=，因为a b <，所以+10a b -=，即1b a =-， 所以10a a ->≥，解得102a ≤<， 所以221124m a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104m ≤<， 所以实数m 的取值范围是104m ≤< 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是由a b <，即10a a ->≥求得a 的范围. 22．（1）()2243f x x x =-+；（2）8m ≥或0m ≤．【分析】（1）设函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），代入已知条件解得,,a b c ，得解析式；（2）由对称轴不在区间内可得． 【详解】（1）设函数()2f x ax bx c =++（0a ≠）∵()()139f f -==，且()03f = ∴99313a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得243a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴()2243f x x x =-+．（2）由（1）()()2243g x x m x =-++，其对称轴为4144m mx +==+ ∵()()g x f x mx =-在[]1,3上单调函数，∴134m +≥，或114m+≤，解得：8m ≥或0m ≤． 【点睛】方法点睛：本题考查求二次函数的解析式，二次函数的单调性．二次函数解析式有三种形式：（1）一般式：2()f x ax bx c =++；（2）顶点式：2()()f x a x h m =-+；（3）交点式（两根式）：12()()()f x a x x x x =--． 23．（1）答案见详解；（2）0a <. 【分析】（1）根据定义法证明函数单调性即可； （2）先分离参数，即转化为212x x a≤+在()0,∞+上恒成立，只需求二次函数值域，即得结果.【详解】解：（1）任取120x x <<，则12120,0x x x x +>-<，()1f x ()()()222212*********=1x x x x x x x x f a x a ⎛⎫⎛⎫-+--+=-=+-< ⎪ ⎭-⎪⎝⎝⎭故()()12f x f x <，故()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）()20f x x +≥，即2120x x a -++≥，即212x x a≤+在()0,∞+上恒成立， 而二次函数()()22211,0y x x x x =+=+->的值域为()0+∞，，故10a≤，故0a <. 所以a 的取值范围为0a <. 【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有： （1）分离参数法：参变分离，转化为函数最值问题；（2）构造函数法：直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．（3）数形结合法：画出函数图像，结合图象，根据关键点处的大小关系得到结果. 24．（1）是；答案见解析；（2）1m -. 【分析】（1）特殊值验证使得()()f x f x -=-即可；（2）因为函数满足新定义，则问题由存在问题转化为求函数值域问题，进而可以求解． 【详解】解：（1）因为()2cos()2cos()2(22323f πππππ-=--=+=⨯=()2cos()2223f πππ=-==()()22f f ππ-=-， 所以存在02=x π使得函数()f x 为“M 类函数”；（2）由已知函数1()423x x f x m +=--满足：()()f x f x -=-， 则化简可得：442(22)60x x x x m --+-+-=⋯① 令222x x t -=+，则2442x x t -+=-，所以①可化为：2280t mt --=在区间[2，)+∞上有解可使得函数()f x 为“M 类函数”， 即18()2m t t=-在[2，)+∞有解，而函数18()2t t -在[2，)+∞上单调递增，所以当2t =时，有最小值为18(2)122-=-，所以1m -，故实数m 的取值范围为：[1-，)+∞． 【点睛】本题考查了新定义的函数问题以及函数的有解问题，涉及到求函数的值域问题. 求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 25．（1）(,0)(4,)-∞+∞；（2）[1,0][2,)-⋃+∞.【分析】（1）由题意可得x R ∃∈，20x bx b -+<，所以2()40b b ∆=-->，即可求解； （2）22()1F x x mx m =-+-，然后讨论0∆≤时满足对称轴为02mx =≤，当0∆>时，讨论对称轴与区间的关系，012m <<，显然不成立，所以有212(0)10mF m ⎧≥⎪⎨⎪=-≤⎩或202(0)10mF m ⎧≤⎪⎨⎪=-≥⎩解不等式，最后求并集即可. 【详解】（1）x R ∃∈，()()f x bg x <， 即x R ∃∈，20x bx b -+<， 所以判别式2()40b b ∆=-->， 解得：0b <或4b >. 故实数b 的取值范围为(,0)(4,)-∞+∞.（2）22()1F x x mx m =-+-，对称轴为2m x =， ()F x 在[0,1]上单调递增，当()2241m m ∆=--=254m-①当0∆≤，即m ≤≤时，则有02mm ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩解得：m 05-≤≤②当0∆>，即m <m >设方程()0F x =的根为1x ，()212x x x <.若12m ≥，则10x ≤，即212(0)10mF m ⎧≥⎪⎨⎪=-≤⎩解得：2≥m若02m ≤，则20x ≤，即202(0)10m F m ⎧≤⎪⎨⎪=-≥⎩解得：10m -≤≤若012m<<，不符合题意， 综上所述，实数m 的取值范围为[1,0][2,)-⋃+∞.【点睛】结论点睛：一元二次不等式恒成立求参数（1）对于20ax bx c ++≥对于x ∈R 恒成立，等价于00a >⎧⎨∆≤⎩， （2）对于20ax bx c ++≤对于x ∈R 恒成立，等价于00a <⎧⎨∆≤⎩. 26．（1）12b ≤≤；（2）()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩；[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【分析】（1）先利用已知条件判断函数单调性，再根据分段函数单调性列条件计算即得结果； （2）先讨论()g x 的符号，再代入分段函数()f x 解析式中，即得[]()f g x 的解析式；利用分段函数()f x 的解析式，直接代入()g x 的解析式，即得[]()g f x 的解析式. 【详解】解：（1）因为任意的12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，故设任意的12x x <时，有()()12f x f x <，即分段函数()f x 在R 上单调递增，故当0x >时，()()211f x b x b =-+-单调递增，即210b ->，即12b >； 当0x ≤时，()2()2f x x b x =-+-单调递增，即对称轴202bx -=≥，即2b ≤； 且在临界点0x =处，左边取值不大于右边取值，即01b ≤-，即1b ≥ . 综上，b 的取值范围是12b ≤≤；（2）当b =2时，231,0(),0x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩，又()23g x x =+， 故当()230g x x =+>时，即32x >-时，()()3231610f g x x x ⎡⎤=++=+⎣⎦， 当()230g x x =+≤时，即32x ≤-时，[]()2()23f g x x =-+， 故()()23610,2323,2x x f g x x x ⎧+>-⎪⎪⎡⎤=⎨⎣⎦⎪-+≤-⎪⎩； 当0x >时，()31f x x =+，则[]()(31)2(31)365g f x g x x x =+=++=+，当0x ≤时，2()f x x =-，则[]22()()23g f x g x x =-=-+， 故[]265,0()23,0x x g f x x x +>⎧=⎨-+≤⎩. 【点睛】关键点点睛： 本题解题关键在于：要讨论分段函数的自变量所在的取值区间确定对应的关系式，进而代入，以突破难点.。
(易错题)高中数学必修一第二单元《函数》检测题(含答案解析)
一、选择题1．我们把定义域为[)0,+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：①对任意的[)0,x ∈+∞，总有()0f x ≥；②若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，给出下列四个结论：（1）若()f x 为“Ω函数”，则()00f =；（2）若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[)0,+∞上为增函数；（3）函数()0,1,x Qg x x Q∈⎧=⎨∉⎩在[)0,+∞上是“Ω函数”（Q 为有理数集）；（4）函数()2g x x x =+在[)0,+∞上是“Ω函数”；其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则12017f ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ） A ．116B ．132 C ．164D ．11283．函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ） A ．30a -≤<B ．32a --≤≤C ．2a ≤-D ．0a <4．下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．1()()2xf x =B ．()lg f x x =C ．()f x x =-D ．1()f x x=5．以下说法正确的有（ ） （1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}3,1AB =；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =； （3）函数1y x=的单调区间是()(),00,-∞⋃+∞； （4）在映射:f A B →的作用下，A 中元素(),x y 与B 中元素()1,3x y --对应，则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是()1,2 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．1y x=B ．y x =C ．2x y =D ．||y x x =-7．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,9)B ．(3,+)∞C ．(,9)-∞D ．(0,9)8．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-．给出下列结论：①函数{}x 的定义域是R ，值域为0,1；②方程{}12x =有无数个解；③函数{}x 是增函数；④函数{}x 为奇函数，其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．若函数y =f (x )的定义域为[]1,2，则y =f (12log x )的定义域为（ ）A ．[]1,4B ．[]4,16C ．[]1,2D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且()112f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ）A ．(][),12,-∞+∞ B ．[]1,2C ．()1,2D ．(],1-∞11．函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数f (x )=x 2+2ln||2x x 的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为_____________.14．已知存在[1,)x ∈+∞，不等式2212a x x x ≥-+成立，则实数a 的取值范围是__________.15．已知二次函数()()22,f x x ax b a b R =++∈，,M m 分别是函数()f x 在区间[]0,2的最大值和最小值，则M m -的最小值是________16．已知集合{1,A B ==2，3}，f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种. 17．已知函数()f x 的值域为[]0,4（2,2x），函数()1=-g x ax ，2,2x ，[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围为________________.18．若函数()f x 满足()()1f x f x =-，()()13f x f x +=--当且仅当(]1,3x ∈时，()3log f x x =，则()57f =______．19．若函数()y f x = 的定义域为[-1,3]，则函数()()211f xg x x +=-的定义域 ___________20．已知函数()f x 是R 上的奇函数，()()2g x af x bx =++，若(2)16g =，则(2)g -=______．三、解答题21．已知函数1()(1)1x x a f x a a -=>+，求：（1）判断函数的奇偶性；（2）证明()f x 是R 上的增函数； （3）求该函数的值域.22．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”（1）已知函数()23f x cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”，并说明理由； （2）设()1423xx f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围23．已知奇函数()()2?2,1,1xxf x a x -=+∈-． （1）求实数a 的值；（2）判断()f x 在()1,1-上的单调性并进行证明；（3）若函数()f x 满足()()1120,f m f m -+-<求实数m 的取值范围． 24．已知函数()2342()log log 16a f x x x=⋅⋅.（1）若1a =，求方程()1f x =-的解集； （2）当[]2,4x ∈时，求函数()f x 的最小值.25．已知函数()f x =+ （1）求()f x 的定义域和值域； （2）设()h x =231()42h x m am ≤-对于任意[1,1]x ∈-及任意[1,1]a ∈-都恒成立，求实数m 的取值范围．26．已知函数6()f x x=，2()1g x x =+． （1）求函数()()f g x 的解析式； （2）关于x 的不等式()()af g x x>解集中正整数解恰有3个，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】利用“Ω函数”的定义依次判断即可，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”. 【详解】解：对（1），由①得()00f ≥， 在②中令0x y ==， 即()()020f f =， 解得：()00f ≤，()00f ∴=，故（1）正确；对（2），当()0f x =时，满足①②，但在[)0,+∞不是增函数，故（2）错误； 对（3），当x ，y 都为正无理数时，不满足②，故（3）错误； 对（4），()2g x x x =+，当[)0,x ∈+∞时，min ()(0)00g x g ==≥， 即满足条件①，222()()()()20g x y g x g y x y x y x x y y xy +--=+++----=≥，即满足条件②，∴函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数”，故（4）正确.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解“Ω函数”的定义，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”.2．D解析：D 【分析】由③可得()11f =，1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，然后由②可得111113232n n n f f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111232n n f -⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭，然后结合()f x 在[0,1]上非减函数可得答案. 【详解】由③得(10)1(0)1f f -=-=，111122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()11f =，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 由②得()12201111111111323232322n n n n n nf f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12231011111111232232232232n n n n nf f f f ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∵761113201723<<⨯且61123128f ⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭，7113128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 又()f x 在[0,1]上非减函数，∴112017128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由条件得到111113232n n n f f -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111232n n f -⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭. 3．B解析：B 【分析】由题得函数在定义域上单增，列出不等式组得解. 【详解】因为对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在定义域R 上单增，1215a a a a <⎧⎪⎪-≥⎨⎪≥---⎪⎩ 解得32a --≤≤ 故选：B 【点睛】分段函数在R 上单增，关键抓住函数在端点处右侧的函数值大于等于左侧的函数值是解题关键.4．C解析：C 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，排除选项得到答案. 【详解】A. 1()()2xf x =，非奇非偶函数，排除；B. ()lg ||lg ||()f x x x f x -=-==，函数为偶函数，排除；C. ()()f x x f x -==-，函数为奇函数，且单调递减，正确；D. 1()()f x f x x-=-=-，函数为奇函数，在[1,0)-和(0,1] 单调递减，排除. 故选：C 【点睛】熟悉函数的单调性和奇偶性是解题关键.5．B【分析】 根据AB 为点集，可判断（1）的正误；根据奇函数的性质，可判断（2）的正误；分解反比例函数的单调性，可判断（3）的正误；根据映射的概念，可判断（4）的正误. 【详解】 （1）若(){},4A x y x y =+=，(){},21B x y x y =-=，则{}(3,1)AB =，所以（1）错误；（2）若()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，所以（2）正确； （3）函数1y x=的单调区间是(),0-∞和()0,∞+，所以（3）错误； （4）设A 中元素为(,)x y ，由题意可知1031x y -=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以A 中元素是()1,2，所以（4）正确；所以正确命题的个数是2个， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关命题的真假判断，在解题的过程中，关键点是要熟练掌握基础知识，此类题目综合性较强，属于中档题目.6．D解析：D 【分析】利用奇函数的定义和常见基本初等函数的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】 选项A 中，函数1y x =，由幂函数性质知1y x=是奇函数，且其在()(),0,0,-∞+∞两个区间上递减，不能说在定义域内是减函数，故错误；选项B 中，函数y =[)0,+∞，不对称，故不具有奇偶性，，且在定义域内是增函数，故错误；选项C 中，指数函数2xy =，22x x -≠，且22x x -≠-，故不是奇函数，故错误；选项D 中，函数22,0,0x x y x x x x ⎧-≥=-=⎨<⎩，记()y f x =，当0x >时，0x -<，故22(),()f x x f x x =--=，故()()f x f x -=-，当0x =时，(0)0f =，故()()f x f x -=-，当0x <时，0x ->，故22(),()f x x f x x =-=-，故()()f x f x -=-，综上，()y f x =是奇函数，又0x ≥时，2()f x x =-是开口向下的抛物线的一部分，是减函数，由奇函数性质知()y f x =在定义域R 上是减函数，故正确.【点睛】本题解题关键是熟练掌握常见的基本初等函数的性质，易错点是分段函数奇偶性的判断，分段函数必须判断定义域内的每一段均满足()()f x f x -=-（或()()f x f x -=）才能判定其是奇函数（或偶函数）.7．D解析：D 【分析】根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解. 【详解】当0m <时，二次函数2()(3)1f x mx m x =--+的图像开口向下，()g x mx =单调递减，故存在x 使得()f x 与()g x 同时为负，不符题意； 当0m =时，()31f x x =-+，()0g x =显然不成立； 当0m >时，2109m m ∆=-+， 若∆<0，即19m <<时，显然成立，0∆=，1m =或9m =，则1m =时成立，9m =时，13x =-时不成立，若0∆>，即01m <<或9m >，由(0)1f =可得： 若要()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，如图，则必须有302mm->，解得01m <<， 综上可得：09m <<， 故答案为：D. 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.解决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有： （1）如果平方项有参数，则先讨论； （2）再讨论根的判别式； （3）最后讨论根的分布.8．B【分析】根据函数性质判断[]x 是一个常见的新定义的形式，按照新定义，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，由此可以得到函数的性质，又定义函数{}[]x x x =-，当0x ≥时，表示x 的小数部分，由于①③是错误的，举例可判断②，根据单调性定义可判断④. 【详解】①函数{}x 的定义域是R ,但[]01x x ≤-<，其值域为)01⎡⎣，，故错误； ②由{}[]12x x x =-=，可得[]12x x =+，则 1.52.5x =，……都是方程的解，故正确； ③由②可得{}11.52=，{}12.52=……当 1.52.5x =，……时，函数{}x 的值都为12，故不是增函数，故错误； ④函数{}x 的定义域是R ,而{}[]{}x x x x -=---≠-，故函数不是奇函数，故错误；综上，故正确的是②. 故选：B. 【点睛】本题以新定义函数{}[]x x x =-的意义为载体，考查了分段函数和函数的值域、单调性等性质得综合类问题，在解答的过程中体现了分类讨论和数形结合的思想，还可以利用函数的图象进行解题．9．D解析：D 【分析】根据复合含定义域的求法，令121log 2x ≤≤，求函数的定义域.【详解】函数()y f x =的定义域为[]1,2，12log y f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭的定义域，令121log 2x ≤≤，解得：1142x ≤≤ ，即函数的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般复合函数的定义域包含以下几点：已知函数()y f x =的定义域为D ，求()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域，即令()g x D ∈，求x 的取值范围，就是函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域；已知()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为D ，求函数()y f x =的定义域，即求函数()g x ，x D ∈ 的值域.10．B解析：B 【分析】计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()234f x f x-⋅≥，可得出()()232f xx f -≥-，再由函数()y f x =在R 上的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=，()()1121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()234f x f x-⋅≥，可得()()232f x x f -≥-.所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.故选B. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．D解析：D 【解析】 因为()sin()sin sin()sin 11()2222x x x xf x y f x ---=+==+=，所以函数sin sin 122xxy =+是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；又sin2sin2115()222222f πππ=+=+=，排除C ， 综上，函数sin sin 122xxy =+大致的图象应为D 项，故选D.12．B解析：B 【分析】利用奇偶性排除选项C 、D ；利用x →+∞时，()f x →+∞,排除A,从而可得结论. 【详解】 ∵f (-x )=( -x )2+2ln||2()x x --=x 2+2ln||2x x =f (x ),∴f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,排除C,D ； 又x →+∞时，()f x →+∞,排除A, 故选B . 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.二、填空题13．【分析】根据条件作出函数图象求解出的范围利用和换元法将变形为二次函数的形式从而求解出其取值范围【详解】由解析式得大致图象如下图所示：由图可知：当时且则令解得：又令则即故答案为：【点睛】思路点睛：根据解析：31,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件作出函数图象求解出1x 的范围，利用()()12f x f x =和换元法将()12x f x ⋅变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围. 【详解】由解析式得()f x 大致图象如下图所示：由图可知：当12x x <时且()()12f x f x =，则令211322x ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，解得：14x =， 111,42x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，又()()12f x f x =，221221333,124x x x ⎛⎫⎡⎫∴+=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()2222121332x f x x x ⎛⎫∴⋅=⋅- ⎪⎝⎭，令2233,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()2211113,124164x f x g t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫⋅==-=--∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎭，()31,162g t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，即()2131,162x f x ⎡⋅⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误.14．【分析】问题转化为即可由令问题转化为求的最大值根据二次函数的性质求出的最大值从而求出的范围即可【详解】若存在不等式成立即即可由令问题转化为求的最大值而的最大值是2故故故答案为：【点睛】方法点睛：本题解析：1[,)2+∞【分析】问题转化为22()2min x a x x -+即可，[1,)x ∈+∞，由22211221x x x x x=-+-+，令221()1f x x x=-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值，根据二次函数的性质求出()f x 的最大值，从而求出a 的范围即可．【详解】若存在[1,)x ∈+∞，不等式2212a x x x -+成立，即22()2min x a x x -+即可，[1,)x ∈+∞，由22211221x x x x x=-+-+，令221()1f x x x =-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值， 而2117()2()48f x x=-+，[1,)x ∈+∞的最大值是2， 故221()22min x x x =-+，故12a， 故答案为：1[,)2+∞ 【点睛】方法点睛：本题考查函数的有解问题， 一般通过变量分离，将不等式有解问题转化为求函数的最值问题：()f x m >有解max ()f x m ⇔>；()f x m <有解min ()f x m ⇔<.15．【分析】求出函数的对称轴通过讨论的范围求出函数的单调区间求出的最小值即可【详解】由题意二次函数其对称轴为当即时在区间上为增函数当即时在区间上为减函数当即时在区间上为减函数在区间上为增函数；当即时在区 解析：2【分析】求出函数的对称轴，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出M m -的最小值即可. 【详解】由题意，二次函数()2222248a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，其对称轴为4a x =-，当04a-≤，即0a ≥时，()f x 在区间[]0,2上为增函数， ∴()228M f a b ==++，()0m f b ==， ∴288M m a -=+≥，当24a-≥，即8a ≤-时，()f x 在区间[]0,2上为减函数，∴()0M f b ==，()282m f a b ==++，∴828M m a -=--≥，当014a <-≤，即40a -≤<时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()228M f a b ==++，248a a m f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴()21828M m a -=+≥；当124a <-<，即84a -<<-时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()0M f b ==，248a a m f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴228a M m -=>.综上所述：M m -的最小值是2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，最值问题，分类讨论思想，转化思想，属于中档题．16．7【分析】根据函数的定义来研究由于函数是一对一或者多对一的对应且在B 中的元素可能没有原像故可以按函数对应的方式分类讨论可分为一对一二对一三对一三类进行讨论得答案【详解】由函数的定义知此函数可以分为三解析：7 【分析】根据函数的定义来研究，由于函数是一对一或者多对一的对应，且在B 中的元素可能没有原像，故可以按函数对应的方式分类讨论.可分为一对一，二对一，三对一三类进行讨论得答案． 【详解】由函数的定义知，此函数可以分为三类来进行研究：若函数的是三对一的对应，则值域为{}1、{}2、{}3三种情况； 若函数是二对一的对应，{}1,2、{}2,3、{}1,3三种情况； 若函数是一对一的对应，则值域为{1,2，3}共一种情况． 综上知，函数的值域的不同情况有7种． 故答案为7． 【点睛】本题考查函数的概念，函数的定义，考查数学的基本思想方法，是中档题．17．【分析】依题意分析的值域A 包含于的值域B 再对分类讨论得到的值域列关系计算即可【详解】因为总使得成立所以的值域A 包含于的值域B 依题意A=又函数因此当时不满足题意；当时在上递增则故即得；当时在上递减则故解析：55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】依题意分析()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，再对a 分类讨论得到()g x 的值域，列关系计算即可. 【详解】因为[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立， 所以()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，依题意A =[]0,4， 又函数()1=-g x ax ，2,2x，因此，当0a =时，{}1B =-，不满足题意；当0a >时，()g x 在[]2,2-上递增，则[][]21,210,4B a a =---⊇，故210214a a --≤⎧⎨-≥⎩，即得52a ≥；当0a <时，()g x 在[]2,2-上递减，则[][]21,210,4B a a =---⊇， 故210214a a -≤⎧⎨--≥⎩，即得52a ≤-.综上，实数a 的取值范围为55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故答案为：55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查了恒成立问题、函数的值域，以及利用包含关系求参数范围问题，属于中档题.18．2【分析】根据函数满足的关系可得是以6最小正周期的周期函数根据代入解析式即可【详解】根据已知条件进而有于是显然则是以6最小正周期的周期函数∵当时则故答案为：2【点睛】本题以抽象函数为载体研究抽象函数解析：2 【分析】根据函数满足的关系可得()f x 是以6最小正周期的周期函数，根据()()573f f =代入解析式即可. 【详解】根据已知条件()()()()113f x f x f x f x ⎧=-⎪⎨+=--⎪⎩，进而有()()()()()1133f x f x f x f x f x =-=+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦---=-+，于是()()3+=-f x f x ，显然()()()()()6333f x f x f x f x f x +=++=-⎡⎤⎡⎤+=--⎦⎦=⎣⎣， 则()f x 是以6最小正周期的周期函数， ∵当(]1,3x ∈时()f x x =，则()()()57693332f f f =⨯+===．故答案为：2. 【点睛】本题以抽象函数为载体，研究抽象函数的结构特征，且挖掘暗含条件，巧妙地对复合函数的连续变形，体现了数学抽象，数学化归等关键能力与学科素，属于中档题.19．【分析】由函数的定义域得出的取值范围结合分母不等于0可求出的定义域【详解】函数的定义域函数应满足：解得的定义域是故答案为：【点睛】本题考查了求函数定义域的问题函数的定义域是函数自变量的取值范围应满足 解析：[1,1)-【分析】由函数()y f x =的定义域，得出21x +的取值范围，结合分母不等于0，可求出()g x 的定义域． 【详解】函数()y f x =的定义域[1-，3]，∴函数(21)()1f xg x x +=-应满足： 121310x x -≤+≤⎧⎨-≠⎩解得11x -≤< ()g x ∴的定义域是[1,1)-.故答案为：[1,1)-． 【点睛】本题考查了求函数定义域的问题，函数的定义域是函数自变量的取值范围，应满足使函数的解析式有意义，是基础题．20．【分析】分析的奇偶性根据的结果求解出的值【详解】令因为为上的奇函数且也为上的奇函数所以为上的奇函数所以所以且所以故答案为：【点睛】结论点睛：已知（1）当为奇数时且此时为奇函数；（2）当为偶数时为偶函数 解析：12-【分析】分析()()2h x g x =-的奇偶性，根据()()22h h +-的结果求解出()2g -的值. 【详解】令()()()2h x g x af x bx =-=+，因为()f x 为R 上的奇函数，且y bx =也为R 上的奇函数，所以()()2h x g x =-为R 上的奇函数，所以()()220h h +-=， 所以()()22220g g -+--=，且()216g =，所以()212g -=-， 故答案为：12-. 【点睛】结论点睛：已知()(),0nf x x a n Z n =+∈≠，（1）当n 为奇数时，且0a =，此时()f x 为奇函数； （2）当n 为偶数时，()f x 为偶函数.三、解答题21．（1）奇函数；（2）证明见解析；（3）()1,1-. 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性； （2）结合单调性的定义可证明()f x 是R 上的增函数； （3）根据指数函数的性质即可求该函数的值域. 【详解】解：（1）函数的定义域为R ，则111()()111x x x x xx a a a f x f x a a a ------===-=-+++， 则函数()f x 是奇函数；（2）1122()1111x x x x xa a f x a a a -+-===-+++，1a >，x y a ∴=是增函数，设12x x <，则()()()()()12122121122222211111111x x x x x xx x a a f x f x a a a a a a -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， 因为120x x a a <<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 即2()11xf x a =-+为增函数，即()f x 是R 上的增函数； （3）1122()1111x x x x xa a f x a a a -+-===-+++，1a >， 11x a ∴+>，则1011x a <<+，所以2021x a <<+，即2201x a -<-<+， 所以21111x a -<-<+，即11y -<<，故函数的值域为(1,1)-. 【点睛】 方法点睛：高一阶段求函数的单调性常用的思路有：一、紧扣单调性的定义；二、画出函数的图象，结合图象进行求解；三、结合函数单调性的性质，如增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数. 22．（1）是；答案见解析；（2）1m -. 【分析】（1）特殊值验证使得()()f x f x -=-即可；（2）因为函数满足新定义，则问题由存在问题转化为求函数值域问题，进而可以求解． 【详解】解：（1）因为()2cos()2cos()2(22323f πππππ-=--=+=⨯=()2cos()2223f πππ=-==()()22f f ππ-=-， 所以存在02=x π使得函数()f x 为“M 类函数”；（2）由已知函数1()423x x f x m +=--满足：()()f x f x -=-， 则化简可得：442(22)60x x x x m --+-+-=⋯① 令222x x t -=+，则2442x x t -+=-，所以①可化为：2280t mt --=在区间[2，)+∞上有解可使得函数()f x 为“M 类函数”， 即18()2m t t=-在[2，)+∞有解，而函数18()2t t -在[2，)+∞上单调递增，所以当2t =时，有最小值为18(2)122-=-，所以1m -，故实数m 的取值范围为：[1-，)+∞． 【点睛】本题考查了新定义的函数问题以及函数的有解问题，涉及到求函数的值域问题. 求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 23．（1）1-；（2）增函数，证明见解析；（3）2,13⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据奇函数()00f =得1a =-，再检验即可得答案； （2）根据单调性的定义证明即可；（3）由奇函数性质得()()121f m f m -<-，再结合函数单调性即可得答案. 【详解】解：()1函数()f x 是定义在()11-，上的奇函数，()0010f a ∴=+=，，1a ∴=-，此时().22x x f x -=- 任取()()()()112222xx x x x f x f x --∈--=-=--=-，，，所以()f x 是奇函数．故1a =-.()()2f x 在()11-，上是增函数；证明：由()1可知()122xxf x =-，， 任取1211x x -<<<，则()()121212112222x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1212112222x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()()12121212122212222122x x x x x x x x x x ++-⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为121211,20x xx x +-<<><所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < ，所以()f x 在()11-，上单调递增．()()3f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-．由已知()f x 在()11-，上是奇函数， ()()1120f m f m ∴-+-<，可化为()()()11221f m f m f m -<--=-，又由()2知()f x 在()11-，上单调递增， 11211m m ∴-<-<-<．解得213m <<．故实数m 的取值范围是213⎛⎫⎪⎝⎭，【点睛】本题考查根据奇函数性质求参数，函数单调性的证明，奇偶性与单调性解不等式，考查回归转化思想，与运算求解能力，是中档题.本题第三问解题的关键在于根据奇偶性将不等式转化为()()121f m f m -<-，进而根据单调性得11211m m -<-<-<求解.24．（1）122⎫⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（2）2343,243,332812,3a a a a a a ⎧+≥-⎪⎪⎪--<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩. 【分析】（1）根据对数的运算化简方程即可得出解集；（2）根据二次函数的对称轴，分类讨论，即可求出函数的最小值. 【详解】()()234342222()log log 16log log 2log a a f x x x x x =⋅⋅=⋅+()22log 43log (0)x a x x =+>（1）若1a =，则()22()log 43log 1f x x x =+=-， 令2log t x =，则方程为(43)1t t +=-， 解得：13t =-或1t =-， 则21log 3x =-或2log 1x =-，∴1322x -==或12x =，∴方程的解集为122⎫⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭. （2）∵[2,4]x ∈， ∴2log [1,2]x ∈， 令2log [1,2]t x =∈，则[]()(34),1,2f t t t a t =+∈，对称轴为23t a =-. ①当213a -≤，即32a ≥-时，min ()(1)43f t f a ==+； ②当2123a <-<，即332a -<<-时，2min 24()33f t f a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；③当223a -≥，即3a ≤-时，min ()(2)812f t f a ==+.综上，2min 343,243(),332812,3a a f x a a a a ⎧+≥-⎪⎪⎪=--<<-⎨⎪+≤-⎪⎪⎩. 【点睛】关键点点睛：二次函数求最值问题，需要根据开口方向及对称轴研究函数的最值，对称轴与定义域[1,2]的关系，分3种情况讨论即可，属于中档题.25．（1）定义域为[1,1]-，值域为2]（2）1m ≤-或1m ≥【分析】（1）由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩可得定义域，先求出2()f x 的值域，再开方求出()f x 的值域； （2）换元，令t =2]∈，根据对勾函数的单调性求出2()()4t h x g t t ==+的最大值，则不等式转化为21310244am m -+-≥对任意[1,1]a ∈-都恒成立，利用一次函数的图象列式可解得结果.【详解】 （1）由函数有意义得1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤， 所以函数()f x 的定义域为[1,1]-，因为22()2f x ==+[2,4]∈，又()0f x ≥，所以()2]f x ∈.（2）()h x ==令t =2]∈，则22t =-， 所以2()()4t h x g t t ==+14t t=+， 因为()g t在2]上递增，所以当2t =时，()g t 取得最大值221(2)244g ==+，即max 1()4h x =， 所以不等式231()42h x m am ≤-对于任意[1,1]x ∈-恒成立，转化为2311424m am -≥对任意[1,1]a ∈-都恒成立，即21310244am m -+-≥对任意[1,1]a ∈-都恒成立，所以2213102441310244m m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩，即2232103210m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得113113m m m m ⎧≤-≥⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或或， 所以1m ≤-或1m ≥.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥；②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤；③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥；④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；26．（1）()2()61f x x g =+；（2）249175a ≤<. 【分析】（1）代入函数解析式运算即可得解；（2）转化条件为1116x x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恰有三个正整数解，结合对勾函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为函数6()f x x =，2()1g x x =+， 所以()()()2661f g x g x x ==+； （2）由（1）得()()a f g x x >即261a x x >+， 当0x >时，有261x a x <+恰有三个正整数解， 当0a ≤时，不合题意；当0a >时，则1116x x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恰有三个正整数解， 设不等式1116x x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭的解集为12(,)x x ， 则由函数1y x x =+的性质可得(]12(0,1),3,4x x ∈∈， 所以11111346364a ⎛⎫⎛⎫+<≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得249175a ≤<， 所以实数a 的取值范围为249175a ≤<. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化条件为1116xxa⎛⎫>+⎪⎝⎭恰有三个正整数解及对勾函数性质的应用.。
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一、选择题1．已知函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．04m ≤≤B ．04m <≤C ．04m ≤<D ．04m <<2．函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ） A ．30a -≤<B ．32a --≤≤C ．2a ≤-D ．0a <3．已知函数()f x 的定义域是[]2,3-，则()23f x -的定义域是（ ） A ．[]7,3-B ．[]3,7-C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．如果函数()()()2121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则32a b +的最大值为（ ）A ．4B ．1-C ．23D ．65．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,9)B ．(3,+)∞C ．(,9)-∞D ．(0,9)6．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则(1)f -与2(22)f a a ++的大小关系是（ ）A ． 2(1)(22)f f a a ->++B ．2(1)(22)f f a a -<++C ．2(1)(22)f f a a -≥++D ． 2(1)(22)f f a a -≤++7．若定义运算,,b a b a b a a b≥⎧*=⎨<⎩，则函数()()()2242g x x x x =--+*-+的值域为（ ） A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．(),4-∞8．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且()112f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ）A ．(][),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(],1-∞9．若函数2()2(2)1f x mx m x =+-+的值域为0,，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,4 B ．()(),14,-∞⋃+∞C ．(][)0,14,+∞D ．[][)0,14,+∞ 10．已知函数()()220f x x mx m =-+>满足：①[]()0,2,9x f x ∀∈≤；②[]()000,2,9x f x ∃∈=，则m 的值为（ ） A ．1或3 B ．3或134C ．3D ．13411．函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2-x ），且对任意的x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0．则（ ） A ．()()()211f f f <-< B ．()()()121f f f <<- C ．()()()112f f f <-<D ．()()()211f f f <<-二、填空题13．若函数()y f x =的定义域是[]0,4，则函数() 21f x f x x =-的定义域是__________.14．已知存在[1,)x ∈+∞，不等式2212a x x x ≥-+成立，则实数a 的取值范围是__________. 15．若函数2(21)1,0()(2),0b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么b 的取值范围是_____．16．若函数()22()42221f x x p x p p =----+在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围为________.17．函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式()cos f x x<0的解集为________．18．若()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x = 在区间()0,6内的解的个数的最小值是__________ .19．若函数2()f x x k =+，若存在区间[,](,0]a b ⊆-∞，使得当[,]x a b ∈时，()f x 的取值范围恰为[,]a b ，则实数k 的取值范围是________. 20．已知(6)4,(1)(),(1)a x a x f x ax x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题21．已知函数()221x f x x=+． （1）求()122f f ⎛⎫+⎪⎝⎭，()133f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求证：()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是定值； （3）求()()11120202320202f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 22．已知二次函数()2(f x ax bx c a R =++∈且2a >-），(1)1f =，且对任意的x ∈R ，(5)(3)f x f x -+=-均成立，且方程()42f x x =-有唯一实数解.（1）求()f x 的解析式；（2）若当(10,)x ∈+∞时，不等式()2160f x kx k +--<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[],()m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域恰好为[]6,6m n ？若存在，请求出区间[],m n ，若不存在，请说明理由. 23．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.（1）若()f x 在区间[2,4]上单调递增，求m 的取值范围； （2）求()f x 在区间[1,1]-上的最小值()g m ；24．已知函数()y f x =是[]1,1-上的奇函数，当10x ≤<时，()2112x f x x =-+.（1）判断并证明()y f x =在[)1,0-上的单调性； （2）求()y f x =的值域. 25．已知函数1()1f x x =-，()1g x x x =+-.（1）判断当()1,x ∈+∞时函数()f x 的单调性，并用定义证明； （2）用分段函数的形式表示()g x 函数，并画出函数()g x 的图像. 26．已知函数()11f x x x =++- （1）求()f x 的定义域和值域； （2）设2()216h x x =-+231()42h x m am ≤-对于任意[1,1]x ∈-及任意[1,1]a ∈-都恒成立，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立，然后分0m =和0m ≠，结合题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立. 当0m =时，则有10>，合乎题意；当0m ≠时，则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<. 综上所述，04m ≤<. 故选：C. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩；②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩；③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩.2．B解析：B 【分析】由题得函数在定义域上单增，列出不等式组得解. 【详解】因为对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在定义域R 上单增，1215a a a a <⎧⎪⎪-≥⎨⎪≥---⎪⎩ 解得32a --≤≤ 故选：B 【点睛】分段函数在R 上单增，关键抓住函数在端点处右侧的函数值大于等于左侧的函数值是解题关键.3．C解析：C 【分析】由2233x -≤-≤解得结果即可得解. 【详解】因为函数()f x 的定义域是[]2,3-，所以23x -≤≤，要使()23f x -有意义，只需2233x -≤-≤，解得132x ≤≤。
所以()23f x -的定义域是1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C 【点睛】方法点睛：复合函数定义域的求法：已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解； 已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：求出()y g x =在[,]a b 上的值域即可得解；已知(())f g x 的定义域为[,]a b ，求(())f h x 的定义域：先用型二求出()f x 的定义域，再用类型一求出(())f h x 的定义域.4．C解析：C 【分析】分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得32a b +的最大值. 【详解】分以下几种情况讨论：（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得20b +<，解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意； （2）当10a -<时，即当1a <时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2121b a +-≤-，可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-， 所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，则2423232333a b ⎛⎫+≤⨯-+⨯= ⎪⎝⎭； （3）当10a ->时，即当1a >时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2221b a +-≥-，可得42a b +≤，即24b a ≤-，2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.综上所述，32a b +的最大值为23. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解.5．D解析：D 【分析】根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解. 【详解】当0m <时，二次函数2()(3)1f x mx m x =--+的图像开口向下，()g x mx =单调递减，故存在x 使得()f x 与()g x 同时为负，不符题意； 当0m =时，()31f x x =-+，()0g x =显然不成立； 当0m >时，2109m m ∆=-+， 若∆<0，即19m <<时，显然成立，0∆=，1m =或9m =，则1m =时成立，9m =时，13x =-时不成立，若0∆>，即01m <<或9m >，由(0)1f =可得： 若要()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，如图，则必须有302mm->，解得01m <<， 综上可得：09m <<， 故答案为：D. 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.解决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有： （1）如果平方项有参数，则先讨论；（2）再讨论根的判别式； （3）最后讨论根的分布.6．C解析：C 【分析】由()f x 是偶函数，可知(1)(1)f f -=，故只需比较(1)f 与2(22)f a a ++的大小即可，而2222(1)11a a a ++=++≥，再结合函数()f x 的单调性，即可得(1)f 与2(22)f a a ++大小关系.【详解】因为()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -=，又2222(1)11a a a ++=++≥，()f x 在[0,)+∞上是减函数，所以2(22)(1)f a a f ++≤，即2(22)(1)f a a f ++≤-. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性比较大小，关键是借助函数的奇偶性，将要比较的函数值对应的自变量转化到同单调区间上，并且比较它们的大小，再利用单调性作出判断．7．A解析：A 【分析】 根据,,b a ba b a a b≥⎧*=⎨<⎩可得()g x 的解析式，画出图象可得答案.【详解】由,,b a ba b a a b ≥⎧*=⎨<⎩，得()()()222,[2,1]24224,(1,)(,2)x x g x x x x x x x -+∈-⎧=--+*-+=⎨--+∈+∞⋃-∞-⎩，当[2,1]x ∈-，()2[1,4g x x =-+∈]， 当(1,)(,2)x ∈+∞-∞-，()2()154g x x =-++<，可得()4g x ≤- 故选：A. 【点睛】本题的关键点是根据已知定义求出函数解析式，然后画出图象求解.8．B解析：B 【分析】计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()234f x f x-⋅≥，可得出()()232f xx f -≥-，再由函数()y f x =在R 上的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=，()()1121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()234f x f x-⋅≥，可得()()232f x x f -≥-.所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.故选B. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．D解析：D 【分析】令t =()0,t ∈+∞()0,+∞，记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，进而分0m =和0m ≠两种情况，分别讨论，可求出m 的取值范围. 【详解】令t =1y t=的值域为0,，根据反比例函数的性质，可知()0,t ∈+∞()0,+∞， 记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，若0m =，则()41g x x =-+，其值域为R ，满足()0,A +∞⊆；若0m ≠，则00m >⎧⎨∆≥⎩，即()24240m m m >⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得4m ≥或01m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[][)0,14,+∞.故选：D.10．D解析：D 【分析】依题意可得()f x 在[]0,2上的最大值为9，求出函数的对称轴，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于m 的方程，解出即可． 【详解】解：因为函数()()220f x x mx m =-+>满足：①[]()0,2,9x f x ∀∈≤；②[]()000,2,9x f x ∃∈=，即函数()()220f x x mx m =-+>在[]0,2上的最大值为9，因为222()2()f x x mx x m m =-+=--+，对称轴是x m =，开口向下， 当02m <<时，()f x 在[0，)m 递增，在(m ，2]递减， 故2()()9max f x f m m ===，解得：3m =，不合题意，2m 时，()f x 在[0，2]递增，故()()2449max f x f m ==-=，解得：134m =，符合题意， 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．11．D解析：D 【解析】 因为()sin()sin sin()sin 11()2222x x x xf x y f x ---=+==+=，所以函数sin sin 122xxy =+是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；又sin2sin2115()222222f πππ=+=+=，排除C ， 综上，函数sin sin 122xxy =+大致的图象应为D 项，故选D.12．B解析：B 【分析】由已知得函数f （x ）图象关于x=1对称且在（-∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而可判断出大小关系. 【详解】解：∵当x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）时有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0， ∴f （x ）在（-∞，1]上单调递减， ∵f （x ）=f （2-x ），∴函数f （x ）的图象关于x=1对称，则f （x ）在∈（1，+∞）上单调递增， ∴f （-1）=f （3）>f （2）＞f （1） 即f （-1）＞f （2）＞f （1） 故选B ． 【点睛】本题考查函数的对称性及单调性的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用．二、填空题13．【分析】求出抽象函数定义域与联立求解答可得【详解】因为函数的定义域是所以又所以故答案为：【点睛】对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数的定义域为则复合函数的定义域由不等式求出；(2)若已知函数的定 解析：](1,2【分析】求出抽象函数()2f x 定义域与10x ->联立求解答可得 【详解】因为函数()y f x =的定义域是[]0,4，所以02402x x ≤≤⇒≤≤，又10x -> 所以12x <≤故答案为：](1,2 【点睛】对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出；(2)若已知函数(())f g x 的定义域为[]a b ，，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．14．【分析】问题转化为即可由令问题转化为求的最大值根据二次函数的性质求出的最大值从而求出的范围即可【详解】若存在不等式成立即即可由令问题转化为求的最大值而的最大值是2故故故答案为：【点睛】方法点睛：本题解析：1[,)2+∞【分析】问题转化为22()2min x a x x -+即可，[1,)x ∈+∞，由22211221x x x x x =-+-+，令221()1f x x x=-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值，根据二次函数的性质求出()f x 的最大值，从而求出a 的范围即可． 【详解】若存在[1,)x ∈+∞，不等式2212a x x x -+成立， 即22()2min x a x x -+即可，[1,)x ∈+∞，由22211221x x x x x=-+-+，令221()1f x x x =-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值， 而2117()2()48f x x=-+，[1,)x ∈+∞的最大值是2， 故221()22min x x x =-+，故12a， 故答案为：1[,)2+∞ 【点睛】方法点睛：本题考查函数的有解问题， 一般通过变量分离，将不等式有解问题转化为求函数的最值问题：()f x m >有解max ()f x m ⇔>；()f x m <有解min ()f x m ⇔<.15．【分析】由已知得出单调增然后由及可得结论【详解】因为对任意都有成立所以为单调递增函数因此故答案为：【点睛】本题考查分段函数的单调性分段函数在定义域内单调需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函 解析：[1,2]【分析】 由已知1212()()0f x f x x x ->-得出单调增，然后由2210,02b b -->≥及10b -≥可得结论． 【详解】因为对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，所以()f x 为单调递增函数，因此21020210b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥⎪⎩，12b ∴≤≤． 故答案为：[1,2]．. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，分段函数在定义域内单调，需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函数值满足相应的大小关系．16．【分析】直接计算需分多种情况讨论故先求题干的否定即对于区间上任意一个x 都有只需满足列出不等式组求解即可得答案【详解】函数在区间上至少存在一个实数使的否定为：对于区间上任意一个x 都有则即整理得解得或所解析：3(3,)2-【分析】直接计算，需分多种情况讨论，故先求题干的否定，即对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有()0f x ≤，只需满足(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≤⎩，列出不等式组，求解即可得答案.【详解】函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的否定为：对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有()0f x ≤，则(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≤⎩，即2242(2)21042(2)210p p p p p p ⎧----+≤⎨+---+≤⎩，整理得222390210p p p p ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得32p ≥或3p ≤-， 所以函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.故答案为：3(3,)2- 【点睛】本题考查二次方程根的分布与系数的关系，解题的要点在于求解题干的否定，再求得答案，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.17．【解析】在区间上不等式不成立在区间上要使不等式成立则所以所以在区间上不等式的解集为再由偶函数的对称性知在区间上不等式的解集为所以不等式的解集为点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想属于中档题 解析：(,1)(1,)22ππ--⋃ 【解析】在区间[]0,1 上，()0,cos 0f x x ≥>，不等式不成立，在区间[]1,4 上，()0f x ≤，要使不等式()0cos f x x <成立，则cos 0x >，所以(1,)2x π∈，所以在区间[]0,4上，不等式的解集为(1,)2π，再由偶函数的对称性知，在区间[)4,0-上，不等式的解集为(,1)2π--，所以不等式的解集为(,1)(1,)22ππ--⋃． 点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想，属于中档题．18．7【解析】由函数的周期为3可得因为若则可得出又根据为奇函数则又可得出又函数是定义在R 上的奇函数可得出从而在中令得出又根据是定义在R 上的奇函数得出从而得到即故从而共7个解解析：7 【解析】由函数的周期为3可得(3)()f x f x +=,因为(2)0f =, 若(0,6)x ∈,则可得出(5)=(2)0f f =, 又根据()f x 为奇函数,则(-2)=-(2)0f f =, 又可得出(4)=(1)(-2)=0f f f =,又函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得出(0)0f =,从而(3)=(0)0f f =,在(3)()f x f x +=中, 令32x =-,得出33()()22f f -=,又根据()f x 是定义在R 上的奇函数,得出33()-()22f f -=, 从而得到33()-()22f f =,即3()02f =, 故933()(+3)()=0222f f f ==,从而93()()=(4)(1)(3)(5)(2)022f f f f f f f ======,共7个解.19．【分析】根据二次函数的单调性得出是上的减函数从而有整理得即关于的方程在区间内有实数解记由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组可求得范围【详解】∵函数是上的减函数∴当时即两式相减得即代入得由且得解析：31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次函数的单调性得出2()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数，从而有()()f a bf b a=⎧⎨=⎩，整理得22a k b b k a⎧+=⎨+=⎩，即关于a 的方程210a a k +++=，在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭内有实数解，记2()1h a a a k =+++，由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组，可求得范围.【详解】∵函数2()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数，∴当[,]x a b ∈时，()()f a bf b a =⎧⎨=⎩，即22a k bb k a ⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得22a b b a -=-，即(1)b a =-+，代入2a k b +=得210a a k +++=， 由0a b <≤，且(1)b a =-+得112a -≤<-， 故关于a 的方程210a a k +++=，在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭内有实数解， 记2()1h a a a k =+++，所以函数()h a 在11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，则()10102h h ⎧-≥⎪⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()221110111022k k ⎧-+-++≥⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+-++<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 故答案为：31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【点睛】关键点点睛：在解决二次函数的值域问题，关键在于得出二次函数的对称轴与区间的关系，也即是判断出二次函数在区间上的单调性.20．【分析】根据分段函数的单调性在各个分段上递增且在衔接点处也要递增列式即可得解【详解】由是上的增函数则：解得故答案为：【点睛】本题考查了分段函数单调性问题考查了一次函数的单调性属于中档题求分段函数递增 解析：[1,6)【分析】根据分段函数的单调性，在各个分段上递增，且在衔接点处也要递增，列式即可得解. 【详解】 由(6)4,(1)(),(1)a x a x f x ax x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则：60065a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得16a ≤<，故答案为：[1,6). 【点睛】本题考查了分段函数单调性问题，考查了一次函数的单调性，属于中档题. 求分段函数递增（递减）要注意以下两点： （1）在各个分段上分别递增（递减）；（2）在衔接点处也要递增（递减），此处为易错点.三、解答题21．（1）()1212f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()1313f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）证明见解析；（3）2019. 【分析】（1）根据函数解析式，直接计算，即可得出结果； （2）根据函数解析式，计算1f x ⎛⎫⎪⎝⎭，得出()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可； （3）根据（2）的结论，可直接得出结果. 【详解】（1）()221x f x x=+ ()22221124122121255112f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭∴+=+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()222113913313131010113f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （2）证明：()22222222211111111111x x x x f f x x x x x xx ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+=+=+== ⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴是定值；（3）()()()111232020232020f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()111232020232020f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦111=++⋅⋅⋅+ 2019=．22．（1）()22f x x x =-+；（2）()12-∞，；（3）存在，所求区间为：[]4,0-. 【分析】（1）根据题意，用待定系数法，列方程组，求出解析式；（2）恒成立问题用分离参数法转化为求函数的最值，即可求实数k 的取值范围； （3）对于存在性问题，可先假设存在区间[],m n ，再利用二次函数的单调性，求出m 、n 的值，如果出现矛盾，说明假设不成立，即不存在. 【详解】（1）对于()2f x ax bx c =++，由(1)1f =得到：0a b c ++=①；∵对任意的x ∈R ，(5)(3)f x f x -+=-均成立，取x =3，得：(2)(0)f f = 即42=a b c c ++②又方程()42f x x =-有唯一实数解，得：()()2=2440b a c ∆+--=③①②③联立，解得：1,2,0a b c =-==（其中259a =-舍去） 所以()22f x x x =-+.（2）不等式不等式()2160f x kx k +--<可化为：不等式()22216k x x x -<-+∴当(10,)x ∈+∞时，不等式()2160f x kx k +--<恒成立，∴26()2161=22,21,20x x k x x x x -+<-++--∈+∞记()1622,2(10,)g x x x x -++=∈+∞-，只需()min k g x < 对于()16222g x x x =-++-在(10,)+∞上单调递增，∴()()min =10=12g x g ∴12k <，即k 的取值范围为()12-∞，. （3）假设存在区间[],()m n m n <符合题意。