(全优试卷)衡水金卷高考模拟卷(四)数学(文)试题Word版含答案
(衡水金卷)部编版2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题四 文
（衡水金卷）2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题四 文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,3A =，()(){}120B x x x =+-<，则A B =I （ ） A ．{}0 B ．{}0,1,3 C ．{}0,1 D ．{}0,1,2 2．若复数3i12iz -+=-（i 是虚数单位），则4i z +=（ ）A B ．2 D ．43．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．c c a b >B ．20c a b >-C ．22a b >D ．2211a bc c >++ 4．下列结论中正确的个数是（ ） ①“3x π=”是“1sin 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭”的充分不必要条件； ②命题“,sin 1x x ∀∈≤R ”的否定是“,sin 1x x ∀∈>R ”；③函数()cos f x x =在区间[)0,+∞内有且仅有两个零点.A ．1B ．2C ．3D ．05．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意的x ∈R 恒成立，若k 的取值范围为区间D ，在区间[]1,3-上随机取一个数k ，则k D ∈的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．156．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，目取其半，万事不竭”，其意思是：一尺长木棍，每天截取一半，永远截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则空白处可填入的是（ ） A ．S S i =- B ．1S S i =- C ．2S S i =- D ．12S S i=-7．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．163π B ．643 C ．16643π+ D ．1664π+ 8．已知某函数在[],ππ-上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．sin 2xy = B ．cos y x x =+ C ．ln cos y x = D ．sin y x x =+9．《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍，如图，四边形ABCD 为正方形，四边形ABFE 、CDEF 为两个全等的等腰梯形，4AB =，12EF AB ∥，若这个刍甍的体积为403，则CF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a B b A c C +=，c =且ABC ∆，则ABC ∆的周长为（ ）A ．1+．2+．4．511．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点，过点1F 的直线交椭圆E于,A B 两点，若12AF F ∆的面积是12BF F ∆的三倍，23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23C ．212．已知定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()f x '为其导函数，且()()sin cos 0f x x f x x '->恒成立，则（ ）A ．226f f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 43ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()12sin16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某乡镇中学有初级职称教师160人，中级职称教师30人，高级职称教师10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数为 ．14．已知平面向量,a b r r ，4a b ==rr ，且6a b +=r r ，则a r 在b r 方向上的投影是 ．15．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆(222x y +=相交，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．16．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，4PA =，则球的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 已知数列{}n a 满足11a =，()1n n n na na a n +=-∈*N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，23n n S b =-，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T . 18． 在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上. （1）求证：BC ⊥平面1A AB ；（2）若AD =2AB BC ==，P 为AC 的中点，求三棱锥1P A BC -的体积.19． 某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”，现市文明委对甲、乙两地各派10名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示.（1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数；（2）从乙地所得分数在[)60,80间的成绩中随机抽取2份做进一步分析，求所抽取的成绩中，至少有一份分数在[)75,80间的概率；（3）在甲、乙两地所得分数超过90分的成绩中抽取其中2份分析其合理性，求这2份成绩都是来自甲地的概率.20． 已知点()00,M x y 在圆22:4O x y +=上运动，且存在一定点()6,0N ，点(),P x y 为线段MN 的中点.（1）求点P 的轨迹C 的方程； （2）过()0,1A 且斜率为k 的直线l 与点P 的轨迹C 交于不同的两点,E F ，是否存在实数k使得12OE OF ⋅=uu u r uu u r，并说明理由.21． 已知函数()()ln f x x ax a =-∈R . （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，方程()()2f x m m =<-有两个相异实根12,x x ，且12x x <，证明：2122x x ⋅<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）将直线l 的极坐标方程化为普通方程，并求出直线l 的倾斜角； （2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()()22f x x x a a =++->-，若()7f x ≥的解集是{3x x ≤-或}4x ≥. （1）求实数a 的值；（2）若x ∀∈R ，不等式()()31f x f m ≥+恒成立，求实数m 的取值范围.文数（四）答案一、选择题1-5:CBDAC 6-10:BCACD 11、12：DC 二、填空题 13．1 14．13815．( 16．3三、解答题17．解：（1）∵1n n n na na a +=-， ∴11n n a n a n++=. ∴121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L 121121n n n n n -=⋅⋅⋅⋅=--L ， ∴数列{}n a 的通项公式为n a n =. （2）由23n n S b =-，得13b =， 又()11232n n S b n --=-≥， ∴1122n n n n n b S S b b --=-=-， 即()122,n n b b n n -=≥∈*N，∴数列{}n b 是以3为首项，2为公比的等比数列， ∴()132n n b n -=⋅∈*N ，∴132n n n b a n -⋅=⋅，∴()012131222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅L ，()123231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅L ，两式相减，得()0121322222n n n T n --=++++-⋅L ()3121nn ⎡⎤=--⎣⎦，∴()3123nn T n =-+.18．解：（1）∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1A A ⊥平面ABC .又BC ⊂平面ABC ，∴1A A BC ⊥. ∵AD ⊥平面1A BC ，且BC ⊂平面1A BC ， ∴AD BC ⊥.又1A A ⊂平面1A AB ，AD ⊂平面1A AB ，1A A AD A =I ， ∴BC ⊥平面1A AB .（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1A A AB ⊥. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥.在Rt ABD ∆中，AD =2AB BC ==，∴sin 2AD ABD AB ∠==， 即60ABD ∠=︒，在1Rt ABA ∆中，1tan60A A AB =︒=由（1）知，BC ⊥平面1A AB ，AB ⊂平面1A AB ， 从而BC AB ⊥， ∴1122222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=. ∵F 为AC 的中点， ∴112BCF ABC S S ∆==.∴11113P A BC A PBC BCF V V S AA --∆==⋅=113⨯⨯=.19．解：（1）由题得，甲地得分的平均数为()17778838580898892979986.810⨯+++++++++=， 乙地得分的平均数为()1657275798280848696918110⨯+++++++++=，乙地得分的中位数为8280812+=. （2）由茎叶图可知，乙地得分中分数在[)60,80间的有65,72,75,79四份成绩，随机抽取2份的情况有：()65,72，()65,75，()65,79，()72,75，()72,79，()75,79，共6种，其中至少有一份分数在[)70,80间的情况有：()65,75，()65,79，()72,75，()72,79，()75,79，共5种.故所求概率56P =. （3）甲、乙两地所得分数中超过90分的一共有5份，记甲地中的三份分别为,,A B C ，乙地中的两份分别为,a b .随机抽取其中2份，所有情况如下：(),A B ，(),A C ，(),B C ，(),a b ，(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，一共10种.其中两份成绩都来自甲地的有3种情况：(),A B ，(),A C ，(),B C ，. 故所求概率310p =. 20．解：（1）由中点坐标公式，得00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即()f x ，()f x .∵点()00,M x y 在圆224x y +=上运动，∴22004x y +=，即()()222624x y -+=， 整理，得()2231x y -+=.∴点P 的轨迹C 的方程为()2231x y -+=.（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l 的方程是1y kx =+，代入圆()2231x y -+=.可得()()2212390kxk x +--+=，由232240k k ∆=-->，得304k -<<， 且()122231k x x k -+=+，12291x x k =+， ∴()()()2212121212291111k y y kx kx k x x k x x k =++=+++=++()()22222432391111k k k k k k k --+=++++.∴2121228610121k k AB AB x x y y k++⋅=+==+uu u r uu u r ， 解得12k =或1，不满足0∆>. ∴不存在实数12k =使得OF .21．解：（1）由题得，()()110axf x a x x x-=-=>.当0a <时，由于0x >，可得10ax ->， 即()0f x '>.∴()f x 在区间()0,+∞内单调递增， 当0a >时，由()0f x '>，得10x a<<， 由()0f x '<，得1x a>， ∴()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减.（2）由（1）可设，方程()()2f x m m =<-的两个相异实根12,x x ，满足ln 0x x m --=， 且101x <<，21x >，即1122ln ln 0x x m x x m --=--=. 由题意，可知11ln 2ln 22x x m -=<-<-，又由（1）可知，()ln f x x x =-在区间()1,+∞内单调递减，故22x >.令()ln g x x x m =--， 则()1112211223ln ln 2g x g x x x x ⎛⎫-=-++-⎪⎝⎭. 令()()223lnt ln 22h t t t t =-++->， 则()()()2221t t h t t -+'=-. 当2t >时，()0h t '<，()h t 是减函数， ∴()()322ln 202h t h <--<. ∴当22x >时，()12220g x g x ⎛⎫-<⎪⎝⎭， 即()1212g x g x ⎛⎫<⎪⎝⎭. ∵()g x 在区间()0,1内单调递增， ∴1222x x <， 故2122x x ⋅<.22．解；（1）由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 得sin cos 2ρθρθ-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式，化简，得2y x =+.所以直线l 的倾斜角为4π. （2）在曲线C上任取一点),sin Aαα，则点A 到直线l的距离d =当()sin 601α-︒=-时，d取得最大值，且最大值是11 23．解：（1）∵2a >-，∴()22,2,2,2,22,.x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+->⎩作出函数()f x 的图象，如图所示：由()7f x ≥的解集为{3x x ≤-或4x ≥及函数图象，可得627,827,a a +-=⎧⎨+-=⎩解得3a =.（2）由题知，x ∀∈R ，不等式()()31f x f m ≥+恒成立， 即x ∀∈R ，不等式32332x x m m ⎡++-⎤≥++-⎣⎦恒成立， 由（1）可知，235x x ++-≥（当且仅当23x -≤≤时取等号）， ∴3235m m ++-≤⨯，当3m ≤-时，3215m m ---+≤，∴8m ≥-，∴83m -≤≤-，当32m -<<时，3215m m +-+≤，成立；当2m ≥时，3215m m ++-≤，∴7m ≤，∴27m ≤≤，综上所述，实数m 的取值范围为[]8,7-.。
广东省衡水金卷2025届高三12月联考语文试卷(含答案)
2025届高三年级12月份联考语文试题全卷满分150分。
考试用时150分钟。
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1~5题。
材料一：给汽车装上翅膀让它飞起来，给飞机装上轮子让它在地上跑起来，是汽车界和航空界对飞行汽车最初的探索。
新能源电动化、分布式驱动和垂直起降成为飞行汽车的典型特征。
这是一场跨越百年的努力，是一个技术接力的时代转折点。
时光回转，1903年莱特兄弟发明了第一架飞机。
1917年，发明家格·寇蒂斯创造了世界上第一辆飞行汽车，虽然这辆飞行汽车并没有真正飞上天空，仅实现了--些短距离的飞行式跳跃，却打开了人类关于陆空两用交通设备的想象空间。
在这之后的百年时间里，一些发达国家，特别是美国、德国，都在不断探索飞行汽车的技术，一心想让汽车飞上天。
近年来，汽车广泛进入家庭，机动车保有量过高带来的城市道路拥堵.成为大中城市发展的一个瓶颈问题。
有关人士认为.这些问题迫切需要通过拓展交通空间来解决，通过飞行汽车构建立体化的交通体系是未来的一种趋势。
新能源汽车和许多跨界技术融合发展，让飞行汽车落地运用具有了技术上的可行性。
在不久的将来，科幻片中经常出现的地上汽车、空中飞车的城市立体交通场景将出现在现实生活中。
这种具有低空飞行和陆空两栖运动以及垂直起降功能的交通工具，将大幅度㖷高出行效率不仅有效解决城市拥堵问题，还将在应急救援、低空物流、旅游观光领域得到厂泛的应用。
衡水金卷先享题2024届新高三摸底联考 数学
1—→ 1—→ 1—→ 2—→ 1—→ 1—→ 1—→ 1—→ —→ —→ —→2024届新高三摸底联考数学试题本试卷共 4 页 , 22题 。
全卷满分 150分 。
考试用时 120分钟。
注意事项:1. 答题前 , 先将自己的姓名 、准考证号填写在答题卡上 , 并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置 。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后 , 用 2B 铅笔把答题卡上对应题 目 的答案标号涂 黑 。
写在试题卷 、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 。
3. 非选择题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内 。
写在试题卷 、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 。
4. 考试结束后 , 请将本试题卷和答题卡一并上交 。
一 、选择题:本题共 8小题 , 每小题 5 分 , 共 40分 . 在每小题给出的四个选项中 , 只有一项是符合题目要求的 .1. 设全集U=R , A={ 儿∈R | 儿2 —5儿十6<0} , B={ 儿∈R | \儿>1} , 则 AUB=A. (2, 十∞)B. (2, 3)C. (1, 3)D. (1, 十∞) 2. 已知 z= |3i —4| i 十z - , 则 z 的虚部为A. B. 5 C. i D. 5i3. 已知O 为 △ABC 的重心 , AD=2DC , 则AO=A. 3AB 十 3ADB. 3AB 十 2ADC. 2AB 十 2ADD. 3AB 十 3AD4.(\i 儿十 十1)8的展开式中的常数项为A. 588B. 589C. 798D. 7995. 如图 , 正方形 ABCD , ABEF 的边长均为 2, 动点 N 在线段AB 上移动 , M , O 分别为线 段EF , AC 中点 , 且 MO 丄平面 ABCD , 则当 上MNO 取最大值时 , 异面直线 MN 与 FC 所成角的余弦值为A. \ 42C. \ 23 CA6. 中国古代钱币历史悠久 , 品种纷繁 , 多姿多彩 , 大多数是以铜合金形式铸造的 , 方孔钱是 古代钱币最常见的一种 , 如图 1. 现有如图 2 所示某方孔钱中心方孔为正方形 , M , N 为 正方形的顶点 , O 为圆心 , A 为圆上的点 , 且 tan 上MAO= , MN 丄OA , 定义方孔钱金 属面积比率=金属面积×100% 则该方孔钱金属面积比率约为(方孔钱厚度不计 π≈3)A. 83. 3%B. 88. 9%C. 92. 3%D. 96. 3%7. 数列{a n }满足a n 十1=4an 2an十— 21, 且a 1 =1, 则数列{a n }的前 2024项的和 S 2024=A. — 253 B — 253 C — 1771 D — 17718. 已知正数 a , b , c∈ (1, 十∞) , 满足 a — 1 =2十log 2a , b — 1 =3十log 3b , c — 1 =4十log 4c , 则下列不等式成立的是A. c<b<aB. a<b<cC. a<c<bD. c<a<b二 、选择题:本题共 4小题 , 每小题 5 分 , 共 20分 . 在每小题给出的选项中 , 有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5分 , 部分选对的得 2分 , 有选错的得 0分 .9. 已知α,β为两个不同的平面 , m , n , l 为三条不同的直线 , 则下列结论中不一定成立的是 A. 若α丄β, lⅡα , 则 lⅡβ B. 若l 丄β, l 丄α , 则αⅡβC. 若l 丄m , l 丄n , 且lG α , m , nG β,则α丄βD. 若lⅡm , lⅡn , 且 mG α , nG β,则αⅡβ10. 在某市高二年级举行的一次体育统考中 , 共有 10000名考生参加考试. 为了解考生的成绩情况 , 随机抽取了 n 名考生的成绩 , 其成绩均在区间[50, 100] , 按照[50, 60) , [60, 70) , [70, 80) , [80, 90) , [90, 100]分组作出如图所示的频率分布直方 图. 若在样本中 , 成绩落在区间[50, 60)的人数为 32, 则A. n=100B. 考生成绩的中位数为 71C. 考生成绩的第 70百分位数为 75D. 估计该市考生成绩的平均分为 70. 6(每组数据以区间的中点值为代表)11. 已知 O 为坐标原点 , F 为抛物线E :y 2 =2儿 的焦点 , 过点 P(2, 0)的直线交 E 于A , B 两点 , 直线 AF , BF 分别交E 于C , D , 则A. E 的准线方程为 儿= —B. 上AOB=90。
河北省衡水市高考数学四模试卷文(含解析)
河北省衡水市2015届高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M={x|x 2+3x+2＜0}，集合N={x|（）x≤4}，则M∪N=( )A．{ x|x≥﹣2} B．{ x|x＞﹣1} C．{ x|x＜﹣1} D．{ x|x≤﹣2}2．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a3．抛物线y=4x2关于直线x﹣y=0对称的抛物线的准线方程是( )A．y=﹣B．y=C．x=D．x=﹣4．如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是( )A．20+8B．24+8C．8 D．165．若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数，②对任意实数x，都有f（+x）=f（﹣x），则f（x）的解析式可以是( )A．f（x）=cosx B．f（x）=cos（2x+）C．f（x）=sin（4x+）D．f（x）=cos6x6．已知命题p：∃x0∈R，e x﹣mx=0，q：∀x∈R，x2+mx+1≥0，若p∨（¬q）为假命题，则实数m的取值范围是( )A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．[0，2] C．R D．∅7．若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是( )A．10 B．11 C．13 D．148．已知数列{a n}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为( )A．a n=B．a n=C．a n=n+2 D．a n=（n+2）3n9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=( )A．B．C．D．10．函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内 ( )A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点11．与向量的夹角相等，且模为1的向量是( ) A．B．C．D．12．在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是( )A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在各小题的横线上．）13．已知f（x）=x+1og2则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）的值为__________．14．已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为__________．15．若在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，则a的取值范围是__________．16．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA （x∈R）在x=处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．18．已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n 为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N *．数列{bn}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式和T n；（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1．（Ⅰ）若M、N分别是AB，A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1．（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，∠B1BA=∠B1BC=60°，P为线段B1B上的动点，当PA++PC最小时，求证：B1B⊥平面APC．20．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ） Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．21．已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）试用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（θ+）．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．河北省衡水市2015届高考数学四模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合M={x|x 2+3x+2＜0}，集合N={x|（）x≤4}，则M∪N=( ) A．{ x|x≥﹣2} B．{ x|x＞﹣1} C．{ x|x＜﹣1} D．{ x|x≤﹣2}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出集合的等价条件，根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合N={x|（）x≤4}={x|x≥﹣2}，则M∪N={x|x≥﹣2}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a考点：对数值大小的比较．分析：根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小．解答：解：因为a=lnx在（0，+∞）上单调递增，故当x∈（e﹣1，1）时，a∈（﹣1，0），于是b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx＜0，从而b＜a．又a﹣c=lnx﹣ln3x=a（1+a）（1﹣a）＜0，从而a＜c．综上所述，b＜a＜c．故选C点评：对数值的大小，一般要用对数的性质，比较法，以及0或1的应用，本题是基础题．3．抛物线y=4x2关于直线x﹣y=0对称的抛物线的准线方程是( )A．y=﹣B．y=C．x=D．x=﹣考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出抛物线y=4x2的准线l，然后根据对称性的求解l关于直线y=x对称的直线，即为抛物线y=4x2关于直线x﹣y=0对称的抛物线的准线方程．解答：解：∵y=4x2的标准方程为：x2=，∴其准线方程为y=﹣，y=﹣关于y=x对称方程为x=﹣．所以所求的抛物线的准线方程为：x=﹣．故选：D点评：本题主要考查了抛物线的准线，曲线关于直线对称的求解，属于对基础知识的考查．4．如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是( )A．20+8B．24+8C．8 D．16考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可．解答：解：此几何体是一个三棱柱，且其高为=4，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为（2+2+2）×4=16+8，表面积为：2×2+16+8=20+8．故选A．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．5．若函数f（x）同时具有以下两个性质：①f（x）是偶函数，②对任意实数x，都有f（+x）=f（﹣x），则f（x）的解析式可以是( )A．f（x）=cosx B．f（x）=cos（2x+）C．f（x）=sin（4x+）D．f （x）=cos6x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的对称性，从而得出结论．解答：解：由题意可得，函数f（x）是偶函数，且它的图象关于直线x=对称．∵f（x）=cosx是偶函数，当x=时，函数f（x）=，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除A．∵函数f（x）=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，不满足条件，故排除B．∵函数f（x）=sin（4x+）=cos4x是偶函数，当x=时，函数f（x）=﹣1，是最小值，故满足图象关于直线x=对称，故C满足条件．∵函数f（x）=cos6x是偶函数，当x=时，函数f（x）=0，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除D，故选：C．点评：本题主要考查三角函数的奇偶性的判断，三角函数的图象的对称性，属于中档题．6．已知命题p：∃x0∈R，e x﹣mx=0，q：∀x∈R，x2+mx+1≥0，若p∨（¬q）为假命题，则实数m的取值范围是( )A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．[0，2] C．R D．∅考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用．分析：根据复合函数的真假关系，确定命题p，q的真假，利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论．解答：解：若p∨（¬q）为假命题，则p，¬q都为假命题，即p是假命题，q是真命题，由e x﹣mx=0得m=，设f（x）=，则f′（x）==，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数单调递递减，当x＜0时，f′（x）＜0，此时函数单调递递减，∴当x=1时，f（x）=取得极小值f（1）=e，∴函数f（x）=的值域为（﹣∞，0）∪[e，+∞），∴若p是假命题，则0≤m＜e；若q是真命题，则由x2+mx+1≥0，则△=m2﹣4≤0，解得﹣2≤m≤2，综上，解得0≤m≤2．故选：B．点评：本题主要考查复合命题之间的关系，利用函数的性质求出相应的取值范围是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．7．若实数x、y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是( ) A．10 B．11 C．13 D．14考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，当x≥0时，z=|x|+2y化为y=﹣x+z，表示的是斜率为﹣，截距为的平行直线系，当过点（1，5）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，z max=1+2×5=11；当x＜0时，z=|x|+2y化为，表示斜率为，截距为，的平行直线系，当直线过点（﹣4，5）时直线在y轴上的截距最大，z最大，z max=4+2×5=14．∴z=|x|+2y的最大值是14．故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．已知数列{a n}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为( )A．a n=B．a n=C．a n=n+2 D．a n=（n+2）3n考点：数列递推式．分析：由题意及足a1=1，且，且n∈N*），则构造新的等差数列进而求解．解答：解：因为，且n∈N*）⇔，即，则数列{b n}为首项，公差为1的等差数列，所以b n=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，故答案为：B点评：此题考查了构造新的等差数列，等差数列的通项公式．9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．解答：解：设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，可得m=2a∴|PF1|=4a，|PF2|=2a∵双曲线∴|F1F2|=2a，∴cos∠F1PF2==．故选B．点评：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．10．函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内 ( )A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据余弦函数的最大值为1，可知函数在[π，+∞）上为正值，在此区间上函数没有零点，问题转化为讨论函数在区间[0，π）上的零点的求解，利用导数讨论单调性即可．解答：解：f′（x）=+sinx①当x∈[0．π）时，＞0且sinx＞0，故f′（x）＞0∴函数在[0，π）上为单调增取x=＜0，而＞0可得函数在区间（0，π）有唯一零点②当x≥π时，＞1且cosx≤1故函数在区间[π，+∞）上恒为正值，没有零点综上所述，函数在区间[0，+∞）上有唯一零点点评：在[0，+∞）内看函数的单调性不太容易，因此将所给区间分为两段来解决是本题的关键所在．11．与向量的夹角相等，且模为1的向量是( ) A． B．C．D．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．分析：要求的向量与一对模相等的向量夹角相等，所以根据夹角相等列出等式，而已知的向量模是相等的，所以只要向量的数量积相等即可．再根据模长为1，列出方程，解出坐标．解答：解：设与向量的夹角相等，且模为1的向量为（x，y），则解得或，故选B．点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的坐标，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到解方程的问题，解关于x和y的一元二次方程．12．在平面直角坐标系xoy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是( )A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；转化思想；直线与圆．分析：化圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤﹣4k，∴﹣≤k≤0．∴k的最小值是．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，是中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在各小题的横线上．）13．已知f（x）=x+1og2则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）的值为36．考点：对数的运算性质；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得f（x）=x+1og2，f（9﹣x）=9﹣x﹣1og2，从而可得f（x）+f （9﹣x）=9；从而解得．解答：解：∵f（x）=x+1og2，∴f（9﹣x）=9﹣x﹣1og2，故f（x）+f（9﹣x）=9；故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=f（1）+f（8）+…+f（4）+f（5）=4×9=36；故答案为：36．点评：本题考查了函数的性质应用，属于基础题．14．已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为3π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥可以看作是正方体的一个角，故此正三棱锥的外接球即此正方体的外接球，由此求出正方体的体对角线即可得到球的直径，表面积易求．解答：解：由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为，边长为1．正方体的体对角线是．故外接球的直径是，半径是．故其表面积是4×π×（）2=3π．故答案为：3π．点评：本题考查球内接多面体，解题的关键是找到球的直径与其内接多面体的量之间的关系，由此关系求出球的半径进而得到其表面积．15．若在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，则a的取值范围是（﹣∞，1）．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：2x（3x+a）＜1可化为a＜2﹣x﹣3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2﹣x﹣3x）max，利用函数的单调性可求最值．解答：解：2x（3x+a）＜1可化为a＜2﹣x﹣3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2﹣x﹣3x）max，而2﹣x﹣3x在[0，1]上单调递减，∴2﹣x﹣3x的最大值为20﹣0=1，∴a＜1，故a的取值范围是（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．点评：该题考查函数恒成立问题，考查转化思想，注意“存在”与“恒成立”问题的区别与联系是解题关键．16．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1•e2的取值范围为（，+∞）．考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．解答：解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1•e2=•==，由于1＜＜4，则有＞．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．点评：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤．）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：解三角形．分析：利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣A），由于函数在处取得最大值．令，其中k∈z，解得A的值，（1）由于A为三角形内角，可得A的值，再由x的范围可得函数的值域；（2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc的值，由△ABC的面积等于，算出即可．解答：解：∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A）又∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在处取得最大值．∴，其中k∈z，即，其中k∈z，（1）∵A∈（0，π），∴A=∵，∴2x﹣A∴，即函数f（x）的值域为：（2）由正弦定理得到，则sinB+sinC=sinA，即，∴b+c=13由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA即49=169﹣3bc，∴bc=40故△ABC的面积为：S=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．18．已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n 为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1，n∈N *．数列{bn}满足b n=，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式和T n；（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．考点：数列的求和；等差数列的前n项和；等比关系的确定．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）（法一）在a n2=S2n﹣1，令n=1，n=2，结合等差数列的通项公式可求a1=1，d=2，可求通项，而b n=，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消法求和（法二）：由等差数列的性质可知，=（2n﹣1）a n，结合已知a n2=S2n﹣1，可求a n，而b n=，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消法求和（Ⅱ）由（I）可求T1=，T m=，T n=，代入已知可得法一：由可得，＞0可求m的范围，结合m∈N且m＞1可求m，n法二：由可得，结合m∈N且m＞1可求m，n解答：解：（Ⅰ）（法一）在a n2=S2n﹣1，令n=1，n=2可得即∴a1=1，d=2∴a n=2n﹣1∵b n===（）∴）=（1﹣）=（法二）∵{a n}是等差数列，∴∴=（2n﹣1）a n由a n2=S2n﹣1，得a n2=（2n﹣1）a n，又a n≠0，∴a n=2n﹣1∵b n===（）∴）=（1﹣）=（Ⅱ）∵T1=，T m=，T n=若T1，T m，T n，成等比数列，则即法一：由可得，＞0即﹣2m2+4m+1＞0∴∵m∈N且m＞1∴m=2，此时n=12∴当且仅当m=2，n=12时，T1，T m，T n，成等比数法二：∵∴∴2m2﹣4m﹣1＜0∴∵m∈N且m＞1∴m=2，此时n=12∴当且仅当m=2，n=12时，T1，T m，T n，成等比数点评：本题主要考查了等差数列的性质、等差数列的通项公式及求和公式的综合应用，裂项求和方法的应用，本题具有一定的综合性．19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1．（Ⅰ）若M、N分别是AB，A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1．（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，∠B1BA=∠B1BC=60°，P为线段B1B上的动点，当PA++PC最小时，求证：B1B⊥平面APC．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接AC1、BC1，先证明MN∥BC1，又BC1⊂平面BCC1B1，即可证明MN∥平面BCC1B1．（Ⅱ）将平面A1B1BA展开到与平面C1B1BC共面，A到A′的位置，此时A′BCB1为棱形，证明BB1⊥PA，BB1⊥PC，即可证明BB1⊥平面PAC．解答：解：（Ⅰ）证明：连接AC1、BC1，则AN=NC1，因为AM=MB，所以MN∥BC1又BC1⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B1（Ⅱ）将平面A1B1BA展开到与平面C1B1BC共面，A到A′的位置，此时A′BCB1为棱形，可知PA+PC=PA′+PC，A′C即为PA+PC的最小值，此时，BB1⊥A′C，所以BB1⊥PA′，BB1⊥PC，即BB1⊥PA，BB1⊥PC，所以BB1⊥平面PAC点评：本题主要考察了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，恰当的做出辅助线是解题的关键，属于中档题．20．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（Ⅱ） Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C 的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．可得k1+k2=m，k1•k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．解答：解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C 的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|•|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）试用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．考点：数学归纳法；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；分类讨论．分析：（1）通过函数的导数，利用导数值就是切线的斜率，切点在切线上，求出b，c即可．（2）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；（3）由（1）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当时，在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论．解法二：利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式成立即可．解答：解：（1）∵，∴∴f（1）=a+a﹣1+c=2a﹣1+c．又∵点（1，f（1））在切线y=x﹣1上，∴2a﹣1+c=0⇒c=1﹣2a，∴．（2）∵，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min≥0，又∵，而当时，．1°当即时，g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴；2°当即时，g'（x）=0时；且时，g'（x）＜0，当时，g'（x）＞0；则①，又∵与①矛盾，不符题意，故舍．∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．（3）证明：由（2）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当时，在[1，+∞）上恒成立，令x依次取…时，则有，，…，由同向不等式可加性可得，即，也即，也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．解法二：①当n=1时左边=1，右边=ln2+＜1，不等式成立；②假设n=k时，不等式成立，就是1+++…+＞ln（k+1）+（k≥1）．那么1+++…++＞ln（k+1）++=ln（k+1）+．由（2）知：当时，有f（x）≥lnx （x≥1）令有f（x）=（x≥1）令x=得∴∴1+++…++＞这就是说，当n=k+1时，不等式也成立．根据（1）和（2），可知不等式对任何n∈N*都成立．点评：本题是难题，考查函数与导数的关系，曲线切线的斜率，恒成立问题的应用，累加法与裂项法的应用，数学归纳法的应用等知识，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想．请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：立体几何．分析：（Ⅰ）连结OD，由圆的性质得OD∥AE，由AE⊥DE，得DE⊥OD，由此能证明DE是⊙O 切线．（Ⅱ）过D作DH⊥AB于H，则有cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，AH=7x，由已知得△AED≌AHD，△AEF∽△DOF，由此能求出．解答：（Ⅰ）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，又OD为半径，∴D E是⊙O切线．（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，DH⊥AB，交AB于H，∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，∴====．点评：本题考查圆的切线的证明，考查圆内两线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形全等和三角形相似的性质的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos（θ+）．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由圆C的极坐标方程ρ=2cos（θ+），展开化为ρ2=，把代入配方即可得出；（2）利用勾股定理可得直线l上的点向圆C引切线长=，化简整理利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：（1）由圆C的极坐标方程ρ=2cos（θ+），化为，展开为ρ2=，化为x2+y2=．平方为=1，∴圆心为．（2）由直线l上的点向圆C引切线长==，∴由直线l上的点向圆C引切线长的最小值为2．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的标准方程、勾股定理、圆的切线的性质、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：①当a=1时，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．点评：本题考查函数零点的判定定理，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．。
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷(四)文科数学试题
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（四）数学（文科）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数12,z z 在复平面内对应点的坐标分别为(2,1)，(0,1)-，则12z z ⋅=（ ）A. 2i +B. 12i -C. 12i --D. i - 【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义可得122,z i z i =+=-，再利用复数相乘，即可得到答案； 【详解】122,z i z i =+=-，∴12())122(z i i z i ⋅=⋅-=-+，故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的乘法运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知集合{}2|0,{|1}A x x B y y =>=>，则AB =（ ） A. RB. (0,)+∞C. [0,)+∞D. (,0)(0,)-∞+∞ 【答案】D【解析】【分析】直接根据集合的并集运算，即可得到答案； 【详解】{}{}2|0|0,{|1}A x x x x B x x =>=≠=>，∴A B =(,0)(0,)-∞+∞，故选：D.【点睛】本题考查集合的描述法及并集运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.某商场一年中各月份收入、支出的统计数据如图，下列说法中错误．．的是（ ）A. 8月份的利润最低B. 7至9月份的平均收入为50万元C. 2至5月份的利润连续下降D. 1至2月份支出的变化率与10至11月份支出的变化率相同【答案】C【解析】【分析】根据收入和支出图中的数据，可得利润变化情况，即可得到答案；【详解】对A ，8月份利润为10万元最低，故A 正确；对B ，7-9月份的收入分别为40，50，60万元，∴平均收入为50万元，故B 正确；对C ，3月份利润相对2月份是增加了10万元，故C 不正确；对D ，1至2月份和10至11月份的支出都是增加30万元，∴变化率相同，故D 正确；故选：C.【点睛】本题考查统计中图的信息读取，考查数据处理能力，属于基础题.4.某程序框图如图所示，则该程序的功能是（ ）A. 输出1352019+++⋯+的值B. 输出1352021++++的值C. 输出1232019+++⋯+的值D. 输出1232020+++⋯+的值【答案】A【解析】【分析】 由程序框图的循环结构，可得程序功能为数列求和；【详解】1,1i S ==，3,13i S ==+，2019,1352019i S ==+++⋯+，2021i =，输出S 的值，故选：A.【点睛】本题考查利用程序框图进行数列求和，考查阅读程序框图的能力，属于基础题.5.射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001）A. 0.110B. 0.112C. 0.114D. 0.116 【答案】C【解析】【分析】根据题意知,010.8,7.6,2I t I ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114.故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.6.在ABC 中，点D 满足12BD CD =，则AD =（ ） A. 2AB AC -B. 2AB AC -+C. 1122AB AC +D. 2133AB AC + 【答案】A【解析】【分析】根据共线向量定理可得B 为CD 的中点，再根据向量的加法和减法法则，即可得答案；【详解】12BD CD =，∴B 为CD 的中点， ()2AD AB BD AB CB AB AB AC AB AC =+=+=+-=-，故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量加法和减法的几何意义，求解时注意回路的选择.7.已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数x b y a +=的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的最大值为0.5，可得0,b <再根据周期2T π>，可得01a <<，即可得答案； 【详解】sin 10.5y ax b b =+≤+=，∴0.5b =-， 又2T π>，∴01a <<， x b y a +=是由函数x y a =向右平移0.5个单位得到，且x y a =单调递减，故选：D.【点睛】本题考查三角函数最值、周期、指数函数的单调性和平移问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8.双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，点P 在渐近线上，O 为坐标原点，且||||OP OF =，则OPF △外接圆的面积是（ ）A. πB. 43πC. 2πD. 163π 【答案】B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线，结合||||OP OF =可得三角形为正三角形，再利用正弦定理可得外接圆的半径，最后利用圆的面积公式，即可得答案；【详解】双曲线的渐近线为y =，∴60POF ∠=，||||OP OF =，∴OPF △的边长为2c =的等边三角形， ∴22sin 60r r =⇒= ∴243S r ππ==， 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程、正弦定理求外接圆的面积，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9.已知0a >，0b >，则“4a b +≥”是“4ab ≥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别作出条件4a b +≥和4ab ≥所表示的平面区域，再根据集合的关系，即可得答案；【详解】作出条件4a b +≥和4ab ≥所表示的平面区域，如图所示：设直线条件4a b +≥所表示的区域为集合A ，条件4ab ≥所表示的区域为集合B ，∴B 是A 的真子集，∴4a b +≥推不出4ab ≥，而4ab ≥可推出4a b +≥，∴“4a b +≥”是“4ab ≥”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查条件所表示的区域问题及利用集合间的关系判断必要不充分条件，考查数形结合思想的应用.10.函数2()2sin sin 21f x x x ωω=+-的图象向左平移4π个单位长度后，与原图象有相同的对称轴，则正实数ω的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 4D. 6 【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数()2)4f x x πω=-，再根据平移后的图象与原图象有相同的对称轴，可得*,24T k k N π⋅=∈，再利用周期公式，即可得答案； 【详解】21cos 2()2sin sin 212sin 212)24x f x x x x x ωπωωωω-=+-=+-=-，图象向左平移4π个单位长度后，与原图象有相同的对称轴， ∴*,24T k k N π⋅=∈，∴*2,k k N ω=∈， ∴ω的最小值为2，故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换、辅助角公式、三角函数的平移变换和图象性质，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时对平移变后图象的理解是解题的关键.11.如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED AC ⊥于D ．把ADE 沿DE 翻折至1A DE △的位置，连结1A C ．翻折过程中，有下列三个结论：①1DE A C ⊥；②存在某个位置，使1A E BE ⊥；③若12CF FA =，则BF 的长是定值．其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③ 【答案】B【解析】【分析】根据翻折前后垂直的不变量，及排除法和反证法，即可得答案；【详解】对①，ED AC ⊥于D ，∴11,,DE A D DE CD A D CD D ⊥⊥⋂=，∴DE ⊥平面1A CD ， ∴1DE A C ⊥，故①正确；对②，假设存在某个位置，使1A E BE ⊥，CE BE ⊥，1CE A E E ⋂=，∴BE ⊥平面1A CE ，1A C BE ⊥，又由①知1DE A C ⊥，∴1A C ⊥平面ABC ，∴12ACD π∠=，∴1A D CD >，这显然是不可能的，故假设错误，故②错误；利用排除法，可得B 正确；故选：B.【点睛】本题考查立体几何中图形的翻折问题、线面、面面的垂直关系问题，考查空间想象能力，求解时注意翻折前后的不变量.12.若函数ln(1)2,0,()1,0.x ax x f x x a x x +-->⎧⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为(1)f -，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,]e -∞ B. 10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. [),e +∞ 【答案】C【解析】【分析】分别求出函数()f x 在0x >和0x <的最大值，再由函数的最大值为(1)f -，可得关于a 的不等式，解不等式即可得答案；【详解】当0x >时，()ln(1)2f x x ax =+--，'1()1f x a x =-+， 若0a ≤，则'()0f x >在0x >恒成立，∴()f x 在(0,)+∞，且x →+∞时，()f x →+∞，∴函数的最大值不可能为(1)f -，∴0a >，当'()0f x >时，得101x a <<-，当'()0f x <时，11x a>-， ∴()f x 在1(0,1)a -单调递增，在1(1,)a-+∞单调递减， ∴max 1111ln 12l ()()()n 3a a a a a f ax f --==--=-+-， 当0x <时，11()[()]2(1)f x x a x a a f x x=++=--++≤-+=--， ∴1ln 32ln 1a a a a a e -+-≤-+⇒≥-⇒≥， 故选：C.【点睛】本题考查分段函数的性质、导数研究函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分段函数的最值的概念.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数3x y =的图象在0x =处的切线方程为________．【答案】(ln 3)+1y x =【解析】【分析】对函数进行求导，求得'(0)y 的值，再利用斜截式方程，即可得答案； 【详解】'n 33l x y =，∴'3(0ln )y k ==，切点坐标为(0,1)，∴函数3x y =的图象在0x =处的切线方程为(ln 3)+1y x =，故答案为：(ln 3)+1y x =.【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程，考查运算求解能力，求解时注意3x 的导数求解是解题的关键.14.过点的直线l 被圆228x y +=截得的弦长为4，则l的方程为________． 【答案】40x +-=【解析】【分析】设直线l 的方程为(1)y k x -=-，再利用弦长为4，可得圆心到直线的距离，从而求得k 的值，即可得答案；【详解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x -=-，即0kx y k --=，42d =⇒=，∴23k =⇒=-∴l 的方程为40x +-=，故答案为：40x +-=.【点睛】本题考查直线与圆相交的弦长公式、点到直线的距离公式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为________．【答案】206π+ 【解析】 【分析】通过几何体的三视图可知该几何体是一个半圆柱挖去一个小半圆柱，再根据三视图中的数据，分别求出两个半圆柱侧面积，上下底面面积，两个长方形面积，再相加即可得答案； 【详解】三视图可知该几何体是一个半圆柱挖去一个小半圆柱，两个半圆柱侧面积：111(23)3(22)31522S πππ=⋅⋅+⋅⋅=， 上下底面面积：222112(32)522S πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅=，两个长方形面积：32(13)6S =⋅⋅=，∴该几何体的表面积为123206S S S S π=+=++，故答案为：206π+.【点睛】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意运算的16.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos 2cos 0a B b A +=，则tan tan AB=_______，tan C 的最大值是________． 【答案】 (1). 2-(2). 4【解析】 【分析】（1）由cos 2cos 0a B b A +=可得tan A 与tan B 的关系，即可求得tan tan AB的值；（2）利用诱导公式将tan C 用tan A 、tan B 表示，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】cos 2cos 0a B b A +=，∴sin cos 2sin cos 0sin cos 2sin cos tan 2tan A B B A A B B A A B +=⇒=-⇒=-， ∴tan 2tan AB=-； ∴tan tan 1tan t 1tan t n an(n )12a ta tan A B BC A B A B B +⋅+=+=--=- 由于求tan C 的最大值，只需考虑tan 0B >的情况，所以41t tan t n an 1a 2B BC ==+≤，等号成立当且仅当n 21tan ta B B=. 故答案为： 2-；4. 【点睛】本题考查正弦定理、诱导公式、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用基本不等式求最值，要考虑等号成立的条件.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.已知等差数列{}n a 的公差为1-，数列{}n b 满足1212,4,2n n n b b b b a +===+． （1）证明：数列{}n b n -是等比数列；（2）记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使得2020n S >的最小正整数n 的值． 【答案】（1）证明见解析（2）最小正整数n 的值为10．【分析】（1）根据等比数列的定义，证明1(1)n n b n b n+-+-为常数，即可证得结论；（2）利用分组求和法求出n S ，再根据数n S 的单调性，即可求得使不等式成立的最小正整数n 的值； 【详解】（1）证明：∵12n n n b b a +=+∴当1n =时，2112b b a =+即144a =+，∴10a = ∴0(1)(1)1n a n n =+-⋅-=-+ ∴121n n b b n +=-+，∴()12(1)21(1)2n n n n n n b n b n b n n b n b n b n+--+-+-+===---又11211b -=-=，∴{}n b n -是以1为首项，2为公比的等比数列 （2）由（1）1222n n n b n --=⋅=，∴2n n b n =+∴()2(12)222n n S n =+++++++21(1)222222122n n n n n n++-⋅+=+=+--∵91010672020,21012020S S =<=>且{}n S 为递增数列 ∴使得2020n S >的最小正整数n 的值为10．【点睛】本题考查数列递推关系、通项公式、求和等基础知识：考查推理论证、运算求解等能力；考查函数与方程、化归与转化等思想.18.为了检测生产线上某种零件的质量，从产品中随机抽取100个零件，测量其尺寸，得到如图所示的频率分布直方图．若零件尺寸落在区间(2,2)x s x s -+之内，则认为该零件合格，否则认为不合格．其中x ，s 分别表示样本的平均值和标准差，计算得15s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）已知一个零件的尺寸是100cm ，试判断该零件是否合格；（2）利用分层抽样的方法从尺寸在[30,60) 的样本中抽取6个零件，再从这6个零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm 的概率． 【答案】（1）该零件不合格．（2）35【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，计算出(2,2)x s x s -+的区间，再判断100cm 是否属于区间内，即可得答案； （2）记这6个零件编号为：,,,,,a b c A B C ，再列出从这6个零件中随机抽取2个的基本事件，记事件D 为：“选出的2个零件中恰有1个尺寸小于50cm ”，计算事件D 包含的基本事件，利用古典概型计算概率，即可得答案；【详解】（1）记各组的频率为(1,2,,7)i p i =，依题意得12340.05,0.1,0.15,0.3p p p p ====， 5670.2,0.15,0.05p p p ===∴350.05450.1550.15650.3750.2850.15950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯66.5=∴266.53036.5,266.53096.5x s x s -=-=+=+= 而10096.5>，故该零件不合格． （2）记前三组抽取的零件个数分别为,,x y z ∴60.050.10.150.3x y z ===，∴1,2,3x y z ∴抽取出的6个零件中尺寸小于50cm 的有3个．记这6个零件编号为：,,,,,a b c A B C （其中,,a b c 为尺寸小于50cm 的） 记事件D 为：“选出的2个零件中恰有1个尺寸小于50cm ”∴从这6个零件中随机抽取2个的基本事件有：{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a c a A a B a C b c b A b B b C c A c B c C ,{,},{,},{,}A B A C B C 共15个．则事件D 包含的基本事件有：{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}a A a B a C b A b B b C c A c B c C 共9个∴93()155P D == ∴这2个零件中恰有1个尺寸小于50cm 的概率为35． 【点睛】本题考查频数分布直方图、分层抽样等基础知识、古典概型的概率计算，考查数据处理能力，运算求解能力，求解时注意列出所有等可能结果.19.如图，在五面体ABCDEF 中，AB ⊥平面ADE ，EF ⊥平面ADE ，2AB CD ==．（1）求证：//AB CD ；（2）若2AD AE ==，且二面角E DC A --的大小为60°，求四棱锥F ABCD -的体积． 【答案】（1）证明见解析（2）43F ABCD V -= 【解析】 【分析】（1）由两条直线同时垂直平面得两直线平行，再利用线面平行的性质定理，即可证明线线平行； （2）取AD 中点O ，连接OE ，根据二面角的定义得到60ADE ︒∠=，则E 到面ABCD 的距离3EO =，再利用四棱锥的体积公式，即可得答案；【详解】（1）∵AB ⊥面ADE ，EF ⊥面ADE ，∴//AB EF 又EF ⊂面CDEF ，AB ⊄面CDEF ，∴//AB 面CDEF 又AB面ABCD ，面ABCD面CDEF CD =，∴//AB CD（2）取AD 中点O ，连接OE∵AB ⊥面ADE ，,DA DE ⊂面ADE ，∴AB DA ⊥，AB DE ⊥． ∵//AB CD ，∴CD DA ⊥，CD DE ⊥． 又DA ⊂面ABCD ，DE ⊂面CDEF ，且面ABCD 面CDEF CD =．∴二面角A DC E --的平面角60ADE ︒∠=．又ADE 中，2AD AE ==，∴ADE 是边长为2的正三角形 ∴332EO AE ==，⊥EO AD ， ∵AB ⊥面ADE ，∴AB EO ⊥ 又AD AB A ⋂=，∴EO ⊥面ABCD 即E 到面ABCD 的距离3EO =∵//EF AB ，EF ⊄面ABCD ，AB面ABCD ，∴//EF 面ABCD ．∴F 到面ABCD 的距离即为E 到面ABCD 的距离 在四边形ABCD 中，//,,AB CD AB CD AB DA =⊥， ∴矩形ABCD 的面积224S =⨯= ∴1433F ABCD V S EO -=⨯⨯=【点睛】本题考查线面平行性质定理、线面垂直性质定理、棱锥体积求解，考查转化与化归思想，考查逻空间想象能力、运算求解能力.20.设O 为坐标原点，动点M 在圆22:4C x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为D ，点E 满足3ED MD =． （1）求点E 的轨迹Γ的方程；（2）直线4x =上的点P 满足OM MP ⊥．过点M 作直线l 垂直于线段OP 交C 于点N ． （ⅰ）证明：l 恒过定点；（ⅱ）设线段OP 交Γ于点Q ，求四边形OMQN 的面积．【答案】（1）22143x y +=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）设(,),(,)E x y M a b ，则(, 0)D a ，根据向量关系坐标化可得,2x a y b =⎧⎪⎨=⎪⎩，消去,a b 可得轨迹Γ的方程；（2）（ⅰ）设(4,),(,)P p M a b ，根据直线垂直，向量的数量积为0可得：44a pb +=，设直线l 方程为4()y b x a p-=--，化简即可得到直线过定点坐标； （ⅱ）根据直线与圆相交的弦长公式求出||MN ，||OQ ，再根据对角线相乘的半，求得四边形的面积. 【详解】（1）设(,),(,)E x y M a b ，则(, 0)D a∵3ED MD =，又(,)ED a x y =--，(0,)MD b =-， ∴,x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩又224a b +=，∴22443y x +=，化简得点E 的轨迹Γ方程为22143x y +=（2）（ⅰ）设(4,),(,)P p M a b ，∵OM MP ⊥，∴2240OM MP a a pb b ⋅=-+-= 又224a b +=，∴44a pb += ①又直线l 过点M 且垂直于线段OP ，故设直线l 方程为4()y b x a p-=-- 化简得440x py bp a +--=，又由①式可得44x py +=，所以l 恒过定点(1,0) （ⅱ）直线l 为44x py +=，交圆C 于,M N 两点 则圆心到直线的距离为d =，∴弦长||MN====又直线OP为4py x=，由2243412py xx y⎧=⎪⎨⎪+=⎩得224812Qxp=+，故||QOQ x===∴1||||2OMQNS OQ MN=⋅⋅=OMQN的面积【点睛】本题考查轨迹方程、直线过定点、弦长公式、四边形的面积，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．21.已知函数()ln1()af x x a Rx=-+∈．（1）讨论()f x的单调性；（2）当*n N∈时，证明：22211ln(11)ln1ln1224nn n⎛⎫⎛⎫++++++>⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）分类讨论，见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导得2()x af xx-'=，再对a分成0a≤和0a>两种情况讨论，分别得到函数的单调性；（2）令1a=，由（1）可得：()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则1ln1xx≥-，再令11xn=+同时不等式两边进行平方，结合放缩法，可证得不等式.【详解】（1）()f x的定义域为(0,)+∞221()a x af xx x x-'=-=，①当0a≤时，2()0x af xx-'=≥，则()f x在(0,)+∞上单调递增；②当0a>时，由2()0x af xx'-=>得x a>，故()f x在(,)a+∞上单调递增；由2()0x af xx-'=<得x a<，故()f x在(0,)a上单调递减；（2）令1a=，由（1）可得：()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则1ln10xx-+≥，即1ln1xx≥-令11x n =+，则111ln 11111n n n⎛⎫+≥-= ⎪+⎝⎭+，∴2211ln 1(1)n n ⎛⎫+≥ ⎪+⎝⎭ 又21111(1)(1)(2)12n n n n n >=-+++++∴22222211111ln (11)ln 1ln 1223(1)n n ⎛⎫⎛⎫++++++>+++⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭1112334(1)(2)n n >+++⨯⨯+⨯+1111112334(1)224nnn n =-+-++-=+++∴命题得证【点睛】本题考查函数单调性的讨论、不等式的证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．（二）考题：共10分请考生在第223题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分． [选修44，坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的方程为(y k x =-，直线2l 的参数方程为,1x t y tk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的普通方程；（2）过(0,2)Q 的直线l 与C 相交于,A B 两点，求11||||QA QB +的取值范围． 【答案】（1）223(x y x +=≠（2）114||||QA QB ⎛⎤+∈⋃ ⎥ ⎝⎭⎝⎦【解析】 【分析】（1）将直线2l 的参数方程化成普通方程，再联立两条直线方程，消去参数k ，即可得到C 的普通方程； （2）设直线l 的参数方程为cos ,2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），根据参数的几何意义，即可得答案；【详解】（1）直线2:1x t l y tk ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩消去参数t得1(y x k =-+，① 因为直线1l的方程为(y k x =-，②所以由①×②得，C的普通方程223(x y x +=≠． （2）直线l 的参数方程为cos ,2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．将cos ,2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩代入223x y +=得24sin 10t t α++=，所以124sin t t α+=-，121t t ⋅=， 由216sin 40α∆=->得1|sin |2α>且sin α≠，所以121211|4sin |||||t t QA QB t t α⎛⎤++==-∈⋃ ⎥⋅⎝⎭⎝⎦． 【点睛】本题考查普通方程、参数方程的互化、直线参数方程的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．[选修45：不等式选讲]23.已知函数3()|3|2f x x x =---． （1）解不等式1()2f x ≥； （2）若142(,0)m n m n+=>，求证：()f x m n ≤+． 【答案】（1）{|1}x x ≥（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法讨论绝对值内数的正负，解不等式，即可得答案； （2）根据绝对值不等式可得339|3|3222x x x x +--≤+-+=，再利用基本不等式可得m n +的最小值为92，从而证明不等式成立.【详解】（1）原不等式可化为：31|3|22x x +--≥， 当32x ≤-时，不等式31322x x --+-≥，无解； 当332x -<<时，不等式31322x x ++-≥，解得1x ≥，故13x ≤<； 当3x ≥时，不等式31322x x +-+≥，解得x ∈R ，故3x ≥， 综上，不等式的解集为{|1}x x ≥；（2）因为3()|3|2f x x x =+--，所以339|3|3222x x x x +--≤+-+=， 当且仅当3(3)02x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，且3|3|2x x +≥-时，取得等号， 又142(,0)m n m n+=>，所以1141419()14(14)2222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当922m n ==时，取得等号，故92m n +≥， 所以()f x m n ≤+成立．【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意等号成立的条件的运用.。
衡水金卷2023高考模拟文科数学(五)(含解析)
衡水金卷2023高考模拟文科数学(五)(含
解析)
介绍
本文档是对衡水金卷2023高考模拟文科数学(五)的分析和解析。
该套试卷旨在为考生提供一种模拟真实高考情境的练，并对解答过
程进行解析，帮助考生更好地理解和掌握数学知识。
内容概述
本套试卷涵盖了数学相关的各个知识点和考点，旨在全面考察
考生对数学的理解和运用能力。
试卷难度适中，旨在帮助考生巩固
和提升数学水平，为高考做好充分准备。
结构组成
本套试卷分为若干个部分，包括选择题、填空题、解答题等。
针对不同类型的题目，解析部分会提供相应的解题思路和方法，帮
助考生理清思路，正确解答问题。
解析和讲解
试卷解析部分将详细解答每个题目，并提供解题思路和方法。
通过具体的步骤和说明，解析部分将帮助考生理解和掌握解题过程，从而提高解题效率和准确性。
考生可以通过参考解析部分，找到自
己在解答过程中的问题，并加以改进。
注意事项
考生在使用本套试卷进行练时，应注意以下几点：
- 仔细阅读题目，理解题意，避免出现误解问题的情况。
- 注意审题，正确选取解题方法和策略。
- 注意计算和推理的准确性，避免因计算错误导致答案错误。
- 在解答过程中，充分展示解题思路，避免只给出答案而没有
解题过程。
总结
衡水金卷2023高考模拟文科数学(五)(含解析)是一份帮助考生
复习和巩固数学知识的重要资料。
通过认真学习和练习，考生能够
更好地掌握数学解题技巧，为高考取得好成绩做好充分准备。
祝愿
考生在学习中取得优异的成绩！。
河北省衡水市衡水金卷2025届高三最后一模语文试题含解析
河北省衡水市衡水金卷2025届高三最后一模语文试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
1、阅读下面的文字，完成各题“五岳独尊”的泰山，是中华民族的文化名山、神圣之山，经过悠久历史积淀形成的泰山文化，寄托了“国泰民安”的民族意愿，承载了“和合共生”的民族精神。
泰山文化的形成有一个历史过程，在这一漫长过程中，无论是帝王巡狩，还是封禅、祭祀，都把泰山与社稷苍生联系在一起，希冀和祈求的都是江山永固、国泰民安。
“泰”之本义，即有强大、安定之意。
只有国家强大安定，才有人民的安居乐业。
同时，“和合共生”有其特定的文化融合、国家治理等内涵，也与“国泰民安”相关联。
在《诗经·鲁颂》中，既有耳熟能详的“泰山岩岩，鲁邦所詹”，也有“保彼东方，鲁邦是常。
不亏不崩，不震不腾。
三寿作朋，如冈如陵”的诗句。
后人解释“如冈如陵”时称：“如冈如陵，即国家安于磐石泰山而四维之意。
”也就是说，早在《诗经》形成的年代，已经把国运长久、国家强盛、国泰民安，比喻为“安于磐石泰山而四维”。
屡见于历代史籍的“居累卵之危，，币图泰山之安”“天下之安，犹若泰山而四维”“天下巩固，屹若泰山之四维”等等，均言简意赅地点明了泰山与“国泰民安”的内在联系和文化内涵。
泰山文化在形成过程中，国泰民安的文化特征呈现出多元色彩，构成中华传统文化的一个重要方面。
在国泰民安之外，中国传统文化中的“和合共生”，与国泰民安一起，成为泰山文化的一体二翼、中国传统文化中“和合共生”的基本精神，强调“贵和尚中”，即《礼记》所言：“中也者，天下之大本也；和也者，天下之达道也致中和，天地位焉，万物育焉。
”泰山文化中的“和合共生”，大致包含两个方面的内容：一是天人合一，二是和谐包容。
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷(四)数学(文科)
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（四）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合()(){}120A x x x =+-<，{}13B x x =<<，则A B =（ ）．A. {}12x x << B. {}23x x <<C. {}13x x -<<D. {}11x x -<<【答案】A 【解析】 【分析】化简集合A ，根据集合交集运算即可求解. 【详解】()(){}120(1,2)A x x x =+-<=-，{}13B x x =<<(1,2)A B ∴=故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的交集，属于容易题.2.已知()1i 3i z -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）． A. 3 B. 3iC. 3-D. 3i -【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算，求出复数z ，写出复数的虚部即可. 【详解】()1i 3i z -=+,23(3)1123i i iz i i i+-+∴=+=+=--, ∴ z 的虚部为-3,故选：C【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的概念，属于容易题. 3.已知角()02παα≤<终边上一点的坐标为7π7πsin ,cos 66⎛⎫⎪⎝⎭，则α=（ ）． A.5π6B.7π6 C.4π3D.5π3【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求tan α，结合角的范围写出角即可. 【详解】由诱导公式知，71sinsin()sin 6662ππππ=+=-=-，7πcoscos()cos 6662πππ=+=-=-，所以角()02παα≤<终边上一点的坐标为1(,2-， 故角的终边在第三象限，所以tan α= 由02πα≤<知，43πα= 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，特殊角的三角函数，属于容易题.4.当102x <<时，下列大小关系正确的是（ ）． A .12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B. 12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C. 12121log 2x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D. 12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】画出12121log ,,2xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭的图像，结合x 的取值范围，判断出正确结论.【详解】画出12121log ,,2xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭的图像如下图所示，由于102x <<，结合图像可知12121log 2xx x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本小题主要考查指数函数、对数函数和幂函数的图像与性质，属于基础题.5.各项均不相等的等差数列{}n a 的前5项的和55S =-，且3a ，4a ，6a 成等比数列，则7a =（ ）．A. 14-B. 5-C. 4-D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式及通项公式，解方程即可求出. 【详解】因为55S =-， 所以154552a d ⨯+=-， 即121a d +=-，因为3a ，4a ，6a 成等比数列，所以2436()a a a =，即2(1)1(13)d d -+=-⨯-+，解得1d =-或0d =（数列各项不相等，舍去）， 所以734145a a d =+=--=-， 故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了运算能力，属于中档题.6.已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M ，N 所在的直线为l ，则下列命题正确的是（ ） A. 在α内存在直线与直线l 异面 B. 在α内存在直线与直线l 相交 C. 在α内存在直线与直线l 平行 D. 存在过直线l 的平面与α平行 【答案】A 【解析】 【分析】利用M 、N 是不在α内的任意两点，可得直线l 与平面α平行或相交，进而可判断直线与平面内直线的位置关系.【详解】M 、N 是不在α内的任意两点，则直线l 与平面α平行或相交， 若l 与平面α平行，则在α内不存在直线与直线l 相交，所以B 错误： 若直线l 与平面α相交，则不存在过直线l 的平面与α平行，所以D 错误：若直线l 与平面α相交，则在α内都不存在直线与直线l 平行，所以C 错误； 不论直线l 与平面α平行还是相交.在α内都存在直线与直线l 异面，所以A 正确. 故选：A .【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题.7.有编号分别为1，2，3的3个红球和3个黑球，随机取出2个，则取出的球的编号互不相同的概率是（ ）． A.45B.35C.25D.15【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】随机取出2个球，所有可能方法为：红1红2，红1红3，红1黑1，红1黑2，红1黑3，红2红3，红2黑1，红2黑2，红2黑3，红3黑1，红3黑2，红3黑3，黑1黑2，黑1黑3，黑2黑3，共15种.其中取出的球的编号互不相同的有：红1红2，红1红3，红1黑2，红1黑3，红2红3，红2黑1，红2黑3，红3黑1，红3黑2，黑1黑2，黑1黑3，黑2黑3，共12种.故所求概率为124155=. 故选：A【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.8.已知函数()()()()2221lg 11x x x f x x x ⎧+->⎪=⎨⎪+≤⎩，则()1f a ≤的一个充分不必要条件是（ ）． A. 33a -≤≤ B. 32a -≤≤ C. 3 D. 21a -≤≤【答案】D 【解析】 【分析】解不等式()1f a ≤求得a 的取值范围，由此求得正确选项. 【详解】当1a >时，()221f a a a=+-≤，两边乘以a 并化简得2320a a -+≤，解得12a <≤. 当1a ≤时，()()2lg 11f a a =+≤，即20110a <+≤，解得31a -≤≤.综上所述，a 的取值范围是3,2，其充分不必要条件，即范围是3,2的真子集的是[]2,1-.故选：D【点睛】本小题主要考查分段函数不等式的解法，考查充分、必要条件，属于基础题. 9.如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）．A. 63πB. 57πC. 48πD. 39π【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的三视图可得:该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，画出直观图，数形结合可得答案. 【详解】该几何体直观图为底面半径为3，高为4的圆柱中挖去一个圆锥，如图所示，该几何体的表面积为222323433448S ππππ=⋅+⋅⋅+⋅+=, 故选：B【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积，圆锥的表面积，简单几何体的三视图，属于中档题.10.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，与圆222x y a +=相切的直线1PF 交双曲线C 于点P （P 在第一象限），且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为（ ）． A.103B.53C.32D.54【答案】B 【解析】 【分析】先设PF 1与圆相切于点M ,利用|PF 2|= |F 1F 2|,及直线PF 1与圆x 2 + y 2 = a 2相切，可得a ，c 之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值.【详解】设PF 1与圆相切于点M ,如图，因为212PF F F =，所以12PF F △为等腰三角形，N 为1PF 的中点， 所以1114F M PF =， 又因为在直角1F MO 中，2222211F M FO a c a =-=-， 所以1114F M b PF ==①， 又12222PF PF a c a =+=+ ②，222c a b =+ ③，由①②③可得2222c a c a +⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即为4()c a c a -=+， 即35c a =， 解得53c e a ==， 故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，属于中档题. 11.已知函数()1sin cos ,4f x x x x ωωω⎛⎫=+>∈ ⎪⎝⎭R ，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的取值范围是（ ）． A. 15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 15,44⎛⎤⎥⎝⎦D. 1,24⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简函数为())4f x x πω=+，由题意利用正弦函数的图象的对称性和周期性，求得ω的取值范围.【详解】因为()sin cos )4f x x x x πωωω=+=+ 1,4x ω⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭R ，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭, 则1222πππω⋅-， 即124ω<≤， 由42x k ππωπ+=+得对称轴方程为4,k x k Z ππω+=∈,所以42k πππω+≤且(1)4k πππω++≥，k Z ∈， 解得152,24k k k Z ω+≤≤+∈,当0k =时，1524ω≤≤，满足124ω<≤，故ω的取值范围是1524ω≤≤，故选：A【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题.12.设函数()()ln 2f x x k =++，()21xg x e =+．若实数1x ，2x 满足()()12f x g x =，且122x x -有极小值2-，则实数k 的值是（ ）． A. 3 B. 2C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】令()()12f x g x t ==，求得122x x -的表达式，通过构造函数法，利用导数，结合122x x -有极小值2-，求得k 的取值范围.【详解】依题意令()()12f x g x t ==，则()212ln 21x x k te t⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，且1t >.则()212,2ln 1t x ek x t -=-=-，所以()2122222ln 1t x x ek t --=---， 构造函数()()2222ln 1,1t h t ek t t -=--->，则()()()'2''22222,2011t t h t e h t e t t --=-=+>--， 所以()'h t 在()1,+∞上递增，注意到()'20h =，所以()h t 在()1,2上递减，在()2,+∞上递减，所以()h t 在2t =时取得极小值.则()2222,2h k k =-=-=. 故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：13.已知向量()1,1AB =，()1,2AC =，则AB CB ⋅=______． 【答案】1- 【解析】 【分析】先求得CB ，然后利用向量数量积的运算，求得AB CB ⋅.【详解】依题意()0,1CB AB AC =-=-，所以()10111AB CB ⋅=⨯+⨯-=-. 故答案为：1-【点睛】本小题主要考查平面向量减法和数量积的坐标运算，属于基础题.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21n n a S n *-=∈N ，则4a =______．【答案】8 【解析】 【分析】根据数列和与通项之间的关系，可证明{}n a 为等比数列，求出n a ，即可求出4a . 【详解】1n =时，11121a S a -==2n ≥时，21n n a S -=，1121n n a S ---=，两式相减得：120n n a a --=， 即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12nna ()n *∈N ，3428a ∴==，故答案为：8【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，等比数列的通项公式，递推关系式，属于中档题. 15.焦点为F 的抛物线2:4C x y =的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则PAPF的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线定义转化为||||PA MP 取最大值，利用三角函数知直线AP 倾斜角最大时，即直线与抛物线相切时，||||PA MP 取最大值，联立方程利用判别式为0即可求解. 【详解】根据题意，过P 做PM 与准线垂直，垂足为M ，如图：设MPA PAF θ∠=∠= 则||||1||||cos PA PA PF MP θ==若||||PAPF取得最大值，必有cosθ取得最小值，则θ取得最大值，此时AP与抛物线相切,设直线AP的方程为(1)y k x=+联立24(1)y xy k x⎧=⎨=+⎩消去y得：22(1)4k x x+=即224210x xk⎛⎫+-+=⎪⎝⎭由224240k⎛⎫∆=--=⎪⎝⎭，解得：1k=或1k=-（舍去），由tan1kθ==，0θπ≤<知，4πθ=，所以||||PAPF的最大值为22=，故答案为：2【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线相切，直线的倾斜角、斜率，属于中档题.16.如图，在平行四边形ABCD中，60BAD∠=︒，22AB AD==，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成1A DE△，设M为线段1A C的中点．则在ADE翻折过程中，给出如下结论：①当1A不在平面ABCD内时，//MB平面1A DE；②存在某个位置，使得1DE A C⊥；③线段BM的长是定值；④当三棱锥1C A DE -体积最大时，其外接球的表面积为13π3． 其中，所有正确结论的序号是______．（请将所有正确结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①取DC 的中点N ，连接NM 、NB ，；MN ∥A 1D ，NB ∥DE ，所以面MNB ∥面A 1DE ，所以MB ∥面A 1DE ； ②用反证法，假设存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，在△CDE 中，由勾股定理易知，CE ⊥DE ，再由线面垂直的判定定理可知，DE ⊥面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与已知相矛盾；③由①可知，可得MN 、NB 和∠MNB 均为定值，在△MNB 中，由余弦定理可知，MB 2＝MN 2+NB 2﹣2MN •NB cos ∠MNB ，所以线段BM 的长是定值；④当体积最大时，平面1A DE ⊥平面BCDE ，可得EC ⊥平面1A DE ，设外接球球心为O ,半径为R ,根据球的性质可知22211R OO O E =+，即可求出半径，计算球的表面积.【详解】①取DC 的中点N ，连接NM 、NB ，如图，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ，且MN ∩NB ＝N ，A 1D ∩DE ＝D ，所以面MNB ∥面A 1DE ，所以MB ∥面A 1DE ，即①正确； 且MN ＝11A D 2＝定值；NB ∥DE ，且NB ＝DE ＝定值，所以∠MNB ＝∠A 1DE ＝定值， ②假设存在某个位置，使DE ⊥A 1C ．由AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°可求得DE ＝1，3CE =所以CE 2+DE 2＝CD 2，即CE ⊥DE ，因为A 1C ∩CE ＝C ，所以DE ⊥面A 1CE ，因为A 1E ⊂面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与已知相矛盾，即②错误；③由①可知，MN ∥A 1D 且MN ＝11A D 2＝定值；NB ∥DE ，且NB ＝DE ＝定值，所以∠MNB ＝∠A 1DE ＝定值，由余弦定理得，MB 2＝MN 2+NB 2﹣2MN •NB cos ∠MNB ，所以BM 的长为定值，即③正确；④当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，三棱锥1C A DE -体积最大，此时因为EC DE ⊥,DE 是平面1A DE 与平面DEC 的交线，所以EC ⊥平面1A DE ，设正三角形1A DE 中心为1O ,棱锥外接球球心为O ,半径为R ，则OE OC =，设NB 与EC 交于Q ，连接OQ ，1O E ，如图：易知1//OO EC ，1OQ O E =，由题意可知1A DE △为边长为1的等边三角形，3CE =, 则有123313O E =⨯⨯=,1132OO QE EC ===，所以22222113313(()3212R OO O E =+=+=，故球的表面积为21343S R ππ==，即④正确. 故答案为：①③④．【点睛】本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系，以及熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于难题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()cos 4cos a B c b A =-． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若4b =，点M 在线段BC 上，且2AB AC AM →→→+=，6AM →=，求ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）1cos 4A =15【解析】 【分析】（Ⅰ）根据正弦定理转化为三角函数化简即可求解；（Ⅱ）2AB AC AM →→→+=两边平方化简可得c ，代入三角形面积公式即可求解.【详解】（Ⅰ）因为()cos 4cos a B c b A =-， 由正弦定理得：()sin cos 4sin sin cos A B C B A =-，即sin cos sin cos 4sin cos A B B A C A +=，可得sin 4sin cos C C A =， 在ABC 中，sin 0C ≠，所以1cos 4A =． （Ⅱ）∵2AB AC AM →→→+=，两边平方得：22224AB AB AC AC AM →→→→→+⋅+=，由4b =，AM →=1cos 4A =， 可得：212416464c c +⋅⋅+=⨯，解得2c =或4c =-（舍）．又sin 4A ==，所以ABC的面积14224S =⨯⨯⨯= 【点睛】本题主要考查了正弦定理，数量积的运算，三角形面积公式，属于中档题.18.某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价i x 和月销售量()1,2,3,4,5i y i =的数据进行了统计，得到如下表数据：（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程ˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．参考数据：51392i ii x y==∑，521502.5i i x ==∑．【答案】（Ⅰ） 3.240ˆy x =-+（Ⅱ）可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据参考数据由回归系数公式计算ˆb，再由ˆˆa y bx =-计算ˆa ，即可写出回归直线方程； （Ⅱ）由回归直线方程预测7x =时的估计值，检测即可知是否理想； （Ⅲ）写出销售利润，利用二次函数求最值即可. 【详解】（Ⅰ）因为()11110.5109.59105x =++++=，()1568101185y =++++=． 所以23925108ˆ 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯，所以()ˆ8 3.21040a =--⨯=， 所以y 关于x 的回归直线方程为： 3.240ˆyx =-+． （Ⅱ）当7x =时，ˆ 3.274017.6y=-⨯+=，则17.6180.40.5-=<， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）设销售利润为M ，则()()()5 3.240511M x x x =--+<≤23.256200M x x =-+-，所以8.75x =时，M 取最大值，所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．【点睛】本题主要考查了线性回归方程，利用线性回归方程解决实际问题，二次函数求最值，属于中档题. 19.如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，1π3B BA ∠=．（Ⅰ）证明：1B C ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）若平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为11A C 的中点，求四棱锥11B ACC M -的体积．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）32【解析】 【分析】（Ⅰ）取AB 中点D ，连接1B D ，CD ．通过证明1B D AB ⊥，CD AB ⊥，证得AB ⊥平面1B CD ，由此证得1AB B C ⊥，结合11B C BC ⊥，证得1B C ⊥平面1ABC .（Ⅱ）首先证得1B D ⊥平面ABC ，也即1B D 是四棱锥11B ACC M -的高，由此求得四棱锥11B ACC M -的体积.或者用割补法来求体积.【详解】（Ⅰ）取AB 中点D ，连接1B D ，CD ． ∵三棱柱的所有棱长均为2，1π3B BA ∠=， ∴ABC 和1ABB △是边长为2的等边三角形，且11B C BC ⊥． ∴1B D AB ⊥，CD AB ⊥．∵1B D ，CD ⊂平面1B CD ，1⋂=B D CD D ，∴AB ⊥平面1B CD ． ∵1B C ⊂平面1B CD ，∴1AB B C ⊥． ∵AB ，1BC ⊂平面1ABC ，1ABBC B =，∴1B C ⊥平面1ABC ．（Ⅱ）∵平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ， 由（Ⅰ）知1B D AB ⊥，∴1B D ⊥平面ABC ．∴111111111111133313222B ACC M B AA M A B M V V S BD A M B M B D --==⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=△． 另解：11111111111132B ACC M ABC A B C B ABC A A B M ABC A B C B ABC V V V V V V ------=--=-111111111131112322ABC A B C ABC A B C ABC A B C ABC V V V S B D ---=-⋅==⋅⋅△2132242=⋅⋅=．【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查锥体体积算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知函数()()()22ln f x a x ax x a =++-∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）设()2323g x x x =-，若(]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）310x y --=（Ⅱ）1a ≥- 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出斜率，写出切线方程；（Ⅱ） 由题意问题转化为求()()12min min f x g x ≥，利用导数分别求函数的最小值，建立不等关系即可求解.【详解】（Ⅰ）当0a =时，()22ln f x x x =-，()14f x x x'=-， 则()12f =，()13f '=，故曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为310x y --=． （Ⅱ）问题等价于(]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()()12min min f x g x ≥．由()2323g x x x =-得()222g x x x '=-， 由()2220g x x x '=-≥得01x ≤≤，所以在[]0,1上，()g x 是增函数，故()()min 00g x g ==．()f x 定义域为()0,∞+，而()()()()()22121221122x a x a x ax f x a x a x x x++-⎡⎤++-⎣⎦'=++-==． 当2a ≤-时，()0f x '<恒成立，()f x 在(]0,1上是减函数，所以()()()min 12101f x f a a ==+≥⇒≥-，不成立； 当2a >-时，由()0f x '<，得102x a <<+；由()0f x '>，得12x a >+， 所以()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递减．若112a >+，即21a -<<-时，()f x 在(]0,1是减函数， 所以()()()min 12101f x f a a ==+≥⇒≥-，不成立； 若1012a <≤+，即1a ≥-时，()f x 在12x a =+处取得最小值， ()()min 111ln 222f x f a a a ⎛⎫==++- ⎪++⎝⎭， 令()()()11ln 212h a a a a =++-≥-+， 则()()()221130222a h a a a a +'=+=>+++在[)1,-+∞上恒成立， 所以()h a 在[)1,-+∞是增函数且()()min 10h a h =-=， 此时()min 102f x f a ⎛⎫=≥⎪+⎝⎭成立，满足条件． 综上所述，1a ≥-．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，利用导数研究函数的最小值，转化思想，属于难题. 21.点(),M x y 与定点()1,0F 的距离和它到直线4x =的距离的比是常数12． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为32-． （ⅰ）证明：直线AP 与BP 的斜率之积为定值； （ⅱ）求ABP △面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据已知条件列方程，化简后求得轨迹C 的方程. （Ⅱ）（ⅰ）利用点差法，求得34AP BP k k ⋅=-，由此证得结论成立. （ⅱ）利用弦长公式求得AP ，利用点到直线的距离公式求得B 到直线AP 的距离，由此求得三角形ABP 面积的表达式，利用二次函数的性质求得三角形ABP 面积的最大值. 【详解】12=，两边平方并化简得223412x y +=，即点M 的轨迹C 的方程为：22143x y +=．（Ⅱ）（ⅰ）设点()11,A x y ，则点()11,B x y --，满足2211143x y +=， ①设点()22,P x y ，满足2222143x y +=， ②由①－②得：()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=，∵121232AP y y k x x -=-=--，1212BP y y k x x +=+，∴()()()()1212121234AP BP y y y y k k x x x x -+⋅==--+．（ⅱ）∵A ，B 关于原点对称，∴2ABP OAP S S =△△，设直线3:2AP y x m =-+，代入曲线22:143x y C +=化简得：223330x mx m -+-=，设()11,A x y ，()22,P x y ，由>0∆得：212m <，12x x m +=，21233m x x -=，12AP x =-==， 点O到直线AP 的距离d =，∴1222ABP OAPS S AP d m ==⨯⨯⋅==△△，∴ABPS ==△，当26m =时，∴ABP S △取到最大值【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查点差法，考查椭圆中的面积和面积的最值问题，考查运算求解，属于难题.（二）选考题：22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），将曲线1C 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线2C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线():0OM θαρ=≥分别与曲线1C 、2C 交于点A ，B （A ，B 均异于坐标原点O ），若AB =α的值．【答案】（Ⅰ）2cos ρθ=．2sin ρθ=．（Ⅱ）()π2π12k k α=+∈Z 或()5π2π12k k α=+∈Z ． 【解析】 【分析】 （1）化参数方程普通方程，再利用公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=化极坐标方程；（2）根据极坐标的极径的意义可知12AB ρρ=-，化简即可求解.【详解】（Ⅰ）∵()221cos 1cos 11sin sin x x x y y y ϕϕϕϕ=+-=⎧⎧⇒⇒-+=⎨⎨==⎩⎩．∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=， ∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=． 因曲线1C 是圆心为()1,0，半径为1的圆， 故曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y +-=． ∴曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα，则12π2sin cos 4AB ρρααα⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭所以π1sin 42α⎛⎫-=± ⎪⎝⎭， 因为π2π2π2k k α<<+，所以()ππ2π46k k α-=±∈Z ． 所以()π2π12k k α=+∈Z 或()5π2π12k k α=+∈Z ． 【点睛】本题主要考查了参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，极径的几何意义，属于中档题. 23.已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>．（Ⅰ）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；（Ⅱ）若()f x 的值域为[)2,+∞，证明：111211a b ab++≥++． 【答案】（Ⅰ）{}02x x <<．（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）分区间讨论去掉绝对值号即可求解；（Ⅱ）根据绝对值不等式可得2a b +=，变形()()114a b +++=，利用基本不等式即可求证.【详解】（Ⅰ）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+，当1x <-时，不等式化为2223x x x -<+⇒>-，此时不等式无解； 当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<；当1x ≥时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<． 综上可知，不等式的解集为{}02x x <<．（Ⅱ）()f x x a x b a b =-++≥+，∵()f x 的值域为[)2,+∞，且0a >，0b >，故2a b +=． 故()()11111111111411a b a b ab a b ab ⎛⎫++=+++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ 11112411b a a b ab++⎛⎫=+++ ⎪++⎝⎭21221124a b ⎛⎛⎫≥++=+= ⎪ +⎝⎭⎝（当且仅当1a b ==时取等号）． 【点睛】本题主要考查了分类讨论解不等式，基本不等式的运用，属于中档题.。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
文数（四）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1）
A
2）
A．2 D．4
3）
A
4．下列结论中正确的个数是（）
；
.
A．1 B．2 C．3 D．0
5
）
A 6．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，目取其半，万事不竭”，其意思是：一尺长木棍，每天截取一半，永远截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则空白处可填入的是（ ）
A
7．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
163π B ．643 C
8 ）
A sin 2
x
y =9．《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为
茅草屋顶.
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．
）
A
11
（ ）
A
12
）
A
C
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．某乡镇中学有初级职称教师160人，中级职称教师30人，高级职称教师10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数
为．
14
是．
15
的离心率的取值范围是．
16
，则球的体积为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．
（1
（2
18．.
（1
（2.
19．某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”，现市文明委对甲、乙两地各派10名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示.
（1）分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数；
（2）2份做进一步分析，求所抽取的成绩中，
（3）在甲、乙两地所得分数超过90分的成绩中抽取其中2份分析其合理性，求这2份成绩都是来自甲地的概率.
20．
.
（1
（2）
.
21．
（1
（2
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程
，
（1
（2.
23．选修4-5：不等式选讲
（1
（2.
全优试卷
文数（四）答案
一、选择题
1-5:CBDAC 6-10:BCACD 11、12：DC
二、填空题
13．1 14
三、解答题17．解：（1
（2
3为首项，2为公比的等比数列，
18．解：（1
（2
由（1
19．解：（1）由题得，甲地得分的平均数为
（2
65,72,75,79四份成绩，随机抽取2
6种，
5种.
（
3）甲、乙两地所得分数中超过90分的一共有5
随机抽取其中2
10
种.
其中两份成绩都来自甲地的有3
.
20．解：（1
（2
∴
1
21．解：（1
. （2）由（1
又由（1
22．解；
（1
（2
23．解：（1
(){
（2
由（1
，。