现代统计分析方法与应用(人大何晓群)第2章统计学基础回归资料
应用回归分析课后习题参考答案_全部版__何晓群_刘文卿
第一章回归分析概述1.2 回归分析与相关分析的联系与区别是什么？答：联系有回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
区别有 a.在回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的特殊地位。
在相关分析中，变量x和变量y处于平等的地位，即研究变量y与变量x的密切程度与研究变量x与变量y的密切程度是一回事。
b.相关分析中所涉及的变量y与变量x全是随机变量。
而在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量也可以是非随机的确定变量。
C.相关分析的研究主要是为了刻画两类变量间线性相关的密切程度。
而回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。
1.3回归模型中随机误差项ε的意义是什么？答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。
1.4 线性回归模型的基本假设是什么？答：线性回归模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip是常数。
2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。
4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.第二章一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1一元线性回归有哪些基本假定?答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性：E(εi)=0 i=1,2, …,nVar (εi)=σ2i=1,2, …,nCov(εi,εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关：Cov(X i, εi)=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布εi~N(0, σ2) i=1,2, …,n2.3 证明（2.27式），∑e i =0 ，∑e i X i =0 。
《现代统计分析方法与应用》第三版
何晓群编著，《现代统计分析方法与应用》第三版，中国人民大学出版社，2012。
数据和部分程序下载第2章服装标准例程序利用R软件，运行如下R程序便可计算相应的条件均值和条件协方差矩阵：#均值向量m=matrix(c(154.98,83.39,70.26,61.32,91.52),nrow=5,ncol=1);m;#协方差矩阵sigma=matrix(c(29.66,6.51,1.85,9.36,10.34,6.51,30.53,25.54,3.54,19.53,1.85,25.54,39.86,2.23,20.70,9.36,3.54,2.23,7.03,5.21,10.34,19.53,20.70,5.21,27.36),5,5);sigma;#条件均值x5=85;m1=matrix(m[1:4,1],4,1)+matrix(sigma[1:4,5]*sigma[5,5]^(-1),4,1)%*%(x5-sigma[5,1]);m1;#条件协方差1(d[x1,x2,x3,x4|x5])d1=sigma[1:4,1:4]-matrix(sigma[1:4,5]*sigma[5,5]^(-1),4,1)%*%matrix(sigma[5,1:4],1,4);d1;#条件协方差2(d[x1,x2,x3|x4,x5])d2=d1[1:3,1:3]-matrix(d1[1:3,4]*d1[4,4]^(-1),3,1)%*%matrix(d1[4,1:3],1,3);d2;注：上面程序假定585X ，可以根据实际情况更改5X的值以计算相应的条件均值。
利用R软件，运行如下的R程序便可计算出偏相关系数：#均值向量m=matrix(c(154.98,83.39,70.26,61.32,91.52),nrow=5,ncol=1);m;#协方差矩阵sigma=matrix(c(29.66,6.51,1.85,9.36,10.34,6.51,30.53,25.54,3.54,19.53,1.85,25.54,39.86,2.23,20.70,9.36,3.54,2.23,7.03,5.21,10.34,19.53,20.70,5.21,27.36),5,5);sigma;#偏相关系数1(r[12.45])r1=d2[1,2]/sqrt(d2[1,1]*d2[2,2]); r1;#偏相关系数2(r[13.45])r2=d2[1,3]/sqrt(d2[1,1]*d2[3,3]); r2;#偏相关系数3(r[23.45])r3=d2[2,3]/sqrt(d2[2,2]*d2[3,3]); r3;第3章例3.1 某超市为了研究顾客对三种牌号的矿泉水的喜好比例，以便为下一次进货提供决策，随机观察了150名购买者，并记录下他们所买的品牌，统计出购买三种品牌的人数如表3-1。
《应用回归分析》课后习题部分答案-何晓群版
第二章 一元线性回归2.14 解答：（1）散点图为：（2）x 与y 之间大致呈线性关系。
（3）设回归方程为01y x ββ∧∧∧=+1β∧=12217()ni ii nii x y n x yxn x --=-=-=-∑∑0120731y x ββ-∧-=-=-⨯=-17y x ∧∴=-+可得回归方程为（4）22ni=11()n-2i i y y σ∧∧=-∑ 2n 01i=11(())n-2i y x ββ∧∧=-+∑=2222213⎡⎤⨯+⨯+⨯⎢⎥+⨯+⨯⎣⎦（10-（-1+71））（10-（-1+72））（20-（-1+73））（20-（-1+74））（40-（-1+75）） []1169049363110/3=++++=6.1σ∧=（5）由于211(,)xxN L σββ∧t σ∧==服从自由度为n-2的t 分布。
因而/2||(2)1P t n αασ⎡⎤⎢⎥<-=-⎢⎥⎣⎦也即：1/211/2(p t t ααβββ∧∧∧∧-<<+=1α-可得195%β∧的置信度为的置信区间为（7-2.3537+2.353 即为：（2.49，11.5）2201()(,())xxx Nn L ββσ-∧+t ∧∧==服从自由度为n-2的t 分布。
因而/2|(2)1P t n αα∧⎡⎤⎢⎥⎢⎥<-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦即0/200/2()1p βσββσα∧∧∧∧-<<+=- 可得195%7.77,5.77β∧-的置信度为的置信区间为（）（6）x 与y 的决定系数22121()490/6000.817()ni i nii y y r y y ∧-=-=-==≈-∑∑（7）由于(1,3)F F α>,拒绝0H ,说明回归方程显著，x 与y 有显著的线性关系。
（8）t σ∧==其中2221111()22n ni i i i i e y y n n σ∧∧====---∑∑ 7 3.661==≈/2 2.353t α= /23.66t t α=>∴接受原假设01:0,H β=认为1β显著不为0，因变量y 对自变量x 的一元线性回归成立。
何晓群版—多元统计分析课后练习答案
计算：边远及少数民族聚居区社会经济发展水平的指标数据.xls
T 2 =9* (-2003.23 2.25 -1006.11 2.71 12.01)*s^-1* (-2003.23 2.25
-1006.11 2.71 12.01)’=9*50.11793817=451,06144353 F 统计量=45.2>6.2 拒绝零假设，边缘及少数民族聚居区的社会经济发展水平与 全国平均水平有显著差异。
零假设的拒绝区域 {（n-p）/[(n-1)*p]}*T 2 > Fp,np ( )
1/10*T 2 >F5,4(5) μ0=（ 6212.01 32.87 2972 9.5 15.78）’ 样本均值（4208.78 35.12 1965.89 12.21 27.79）’
（样本均值-μ0）’=(-2003.23 2.25 -1006.11 2.71
4、如果正态随机向量 X (X1, X2, X p ) 的协方差阵为对角阵，证明 X 的分量 是相互独立的随机变量。
解： 因为 X (X1, X2, X p ) 的密度函数为
f
(
x1
,
...,
x
p
)
1 2
p
Σ
1/
2
exp
1 2
(x
μ)Σ1(x
μ)
12
又由于
Σ
2 2
2 p
Σ
12
2 2
2 p
1
2 1
1
Σ 1
2 2
1
2 p
则 f (x1,..., xp )
1
ห้องสมุดไป่ตู้
2 1
p
1
1 2
Σ
多元统计分析人大何晓群第二章详解演示文稿
当 2未知时,用S 2
n
( xi
x)2
作为 2的估计,用统计量
i1 (n 1)
t x 0 n
(2.2)
S
| t |tn1( / 2), tn1( / 2)为tn1的上 / 2分为点。
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§2.1.1 一个指标检验的回顾
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§2.1.3 两总体均值的比较
2.协方差阵不相等情形
设从两个总体 N p (1, 1) 和 N p (2, 2 ) ，分别抽
n n 取容量为 1和 2的两个样本，X() ( X1, X 2,, Xp )'
( 1,, n1) ，Y( ) (Y1,Y 2,,Yp )' ( 1,, n2 )
向量 0之间的马氏距离再乘以n(n-1)，这个值越大，μ与 0
相等的可能性就越小。
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§2.1.2 多元均值检验
因而，在备择假设成立时，T 2的值有变大的趋势，所以 拒绝域可取为 T 2值较大的右侧部分。因此，当给定显著性
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§2.1.2 多元均值检验
X() ( X 1,, Xp )'
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§2.1.2 多元均值检验
《统计分析方法及应用》PPT(第二章)
矩阵的分块
设A=(aij)：p×q,将它分成四块，表示成 A11 A12 A A A 22 21
其中A11：k×l，A12：k×(q−l)，A21：(p−k)×l， A22：(p−k)×(q−l)。 若A和B有相同的分块，则 A11 B11 A12 B12 A B A B A B 21 22 22 21
若将矩阵A的行与列互换，则得到的矩阵称为A的转 置，记作A′，即
a11 a 12 A a1q
a21 a22 a2q
a p1 ap2 a pq
若方阵A满足A′=A，则称A为对称矩阵。显然， aij=aji。
§2.2 矩阵的运算
若A=(aij)：p×q，B=(bij)：p×q,则A与B的和定义为 A+B=(aij+bij)：p×q 若c为一常数，则它与A的积定义为 cA=(caij)：p×q 若A=(aij)：p×q，B=(bij)：q×r,则A与B的积定义为
逆矩阵的基本性质
(1)AA−1=A−1A=I。 (2)(A′)−1=(A−1)′。 (3)若A和C均为p阶非退化方阵，则 (AC)−1=C−1A−1 (4)|A−1|=|A|−1。 (5)若A是正交矩阵，则A−1=A′。 (6)若A=diag(a11,a22,⋯,app)非退化(即aii≠0，i=1,2,⋯,p)，则 1 1 1 A1 diag a11 , a22 , , a pp (7)若A和B为非退化方阵，则 1 A 0 A1 0 0 B 1 0 B
特征值和特征向量的基本性质
应用回归分析(第三版)何晓群 刘文卿 课后习题答案 完整版
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求β1的最小二乘估计解：得：2.3 证明（2.27式），Sei =0 ，SeiXi=0 。
证明：其中：即： Sei =0 ，SeiXi=02.4回归方程E（Y）=β0+β1X的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给出证明。
答：由于εi~N(0, s2 ) i=1,2, …,n所以Yi=β0 + β1Xi + εi~N（β0+β1Xi , s2 )最大似然函数：使得Ln（L）最大的，就是β0，β1的最大似然估计值。
同时发现使得Ln（L）最大就是使得下式最小，上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。
值得注意的是：最大似然估计是在εi~N(0, s2 )的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。
所以在εi~N(0, s2 ) 的条件下，参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。
现代统计学分析方法与应用统计学基础回顾PPT课件
V2
i 1
S 4 (n 1)
V2 3
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V2 3
V2 3
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§2.1 统计数据的整理与描述
• 5. 累积频数分布 • 在社会经济调查中，经常得到的数据是频
数。例如家庭月收入按等级划分时，我们 就会得到每个等级的家庭数，常常将这些 数据列在表中或画成直方图。 • 读者可依收入等级从低到高画出累积频数 的直方图。
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§2.3 多元分布的基本概念
下面我们简要介绍多变量统计分析中涉及的一些 基本概念。
一、随机变量
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§2.3 多元分布的基本概念
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§2.2 几种重要的概率分布
• 用矩阵秩的概念也可以解释自由度。自由度是对 随机变量的二次型（可称为二次统计量）而言的， 自由度就是二次型矩阵的秩。
• 在回归分析中，回归方程的显著性检验用到残差 平方和。确定残差平方和的自由度，一般方法是， 数据的个数n减去必须估计出的参数的个数就是自
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§2.3 多元分布的基本概念
3.随机向量X和Y的协差阵
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• 用统计学语言表述就是：统计量是样本的函数。 它不依赖于任何未知参数。
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§2.1 统计数据的整理与描述
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§2.1 统计数据的整理与描述
表2—1 累积频数分布表
收入等级（元）
家庭数
频数 累积频数
5000～6000 6001～7000 7001～8000 8001～9000
800
800
700
1500
500
2000
300
2300
• 样本均值和样本方差就是最重要的常用统 计量。
• 均值是对数据集中特征的描述，方差是对 数据波动特征的描述。
设
x1,
x
,
2
...,
x
是一组独立的随机样本，则
n
• 样本均值为：
x
1 n
n i 1
xi
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§2.1 统计数据的整理与描述
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§2.2 几种重要的概率分布
• 一、正态分布
二、 2分布
• 三、t分布 • 四、F分布 • 五、自由度
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§2.2 几种重要的概率分布
• 在经济研究和工商管理中，有许多随机变 量的概率分布都可用正态分布来描述。
• 样本方差为：
S 2
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
• 样本标准差为：
S
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
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§2.1 统计数据的整理与描述
• 3.变异系数
• 如果两组数据的计量单位相同，且均值一样，可 以利用标准差来比较两组数据的离散程度。但当 两组数据的计量单位不同或均值不同时，就不能 直接比较两组数据的标准差来分析两组数据的离
• 正态随机变量的概率密度函数的形式如下：
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
x
其中，为随机变量X的均值， 2为随机变量X的方差。
• 峰度用峰度系数表示：
n
(xi x )4
V2
i 1
S 4 (n 1)
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V2 3
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§2.1 统计数据的整理与描述
• 5. 累积频数分布 • 在社会经济调查中，经常得到的数据是频
数。例如家庭月收入按等级划分时，我们 就会得到每个等级的家庭数，常常将这些 数据列在表中或画成直方图。 • 读者可依收入等级从低到高画出累积频数 的直方图。
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§2.1 统计数据的整理与描述
• 在社会经济研究中，洛伦茨（M.E.Lorentz） 曲线是累积频数的典型应用。如果按收入 从低到高排列，各收入等级的家庭的累积 数（百分比）为横坐标，与之相对应的收 入的累计（百分比）为纵坐标，所得到的 曲线就是西方经济学中著名的洛伦茨曲线。 在宏观经济的收入与分配研究中，就可运 用这一描述方法。
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§2.1 统计数据的整理与描述
关于累积频数 的百分比曲线 可拓宽到衡量 贫富差距的基 尼（Gini）系 数。基尼系数 理论在中国当 今的宏观经济 研究中非常有 用。
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§2.1 统计数据的整理与描述
• 偏度系数的意义由图2-1可表示出来。
V1 0
V1 0
• 图2-1
V1 0
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§2.1 统计数据的整理与描述
称为总体的容量
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§2.1 统计数据的整理与描述
• 2. 统计量
• 通过抽样或查统计年鉴得到的原始数据，一般是 杂乱无章的，很难从中直接看出有价值的东西。 需要对获取的原始数据加以整理，提取出我们感 兴趣的信息用简明醒目的方式加以表述。
第二章 统计学基础回顾
§2.1 统计数据的整理与描述
§2.2 几种重要的概率分布 §2.3 多元分布的基本概念
§2.4 多元正态分布
§2.5 参数估计
§2.6 假设检验
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§2.1 统计数据的整理与描述
• 1. 总体与样本 • 2. 统计量 • 3. 变异系数 • 4. 偏度与峰度 • 5. 累积频数分布
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§2.1 统计数据的整理与描述
• 图2-3中对角线OA是均匀收入分布线。图中 B点表明在数量上占全体40%的家庭在收入 上也占40%。收入分布不大可能绝对平均， 所以洛伦茨曲线一般并不是一条直线。图 中C点表示从最低收入开始的40%的家庭收 入的合计还占不到总收入的20%。
散程度。由此引入变异系数V
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VS x
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§2.1 统计数据的整理与描述
• 4. 偏度与峰度 • 偏度和峰度是描述统计数据分布形状的统
计量。
偏度用偏度系数V1来描述：
n
(xi x )3
V1
i 1
S 3 (n 1)
• 其中S为样本标准差。
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§2.1 统计数据的整理与描述
• 1. 总体与样本 • 总体：在一个统计问题中，通常把所要调
查研究的事物或现象的全体称为总体 。 • 个体：把组成总体的每个元素（成员）称
为个体 。 • 样本容量：一个总体中所含的个体的数量