第二章随机过程(函数)
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随机过程第二章
4、有限维分布族
定义：设
X t ; t T 为一个 S .P. ，其有限
维分布函数的全体（一维分布函数，二维分布函
数，n维分布函数）。
F Ft1 ,t2 ,,tn x1, x2 ,, xn ; xi R，ti T，n N, i 1,2,, n
称之为 S.P. X t 的有限维分布函数。
2、特点：
独立增量过程在零均值且二阶矩存在时，是正交增量过程。 注：独立增量过程在现实环境中大量存在（例2.10）
3、平稳独立增量过程（定义 2.8）
增量 X(t)-X(s) 的分布律仅依赖于区间长度t-s。(第三章) （三）马尔可夫过程（第四、五章） （四）正态过程 1、定义 2.10： X(t)的有限维分布律是n维正态随机向量的分布律. 2、特点： ①二阶矩过程 ②数字特征成为其参数。
状态空间：S .P. X t 的状态所有可能取值的 集合，称之为状态空间。
小结：
X e, t 是状态与参数的二元函数
若 若
e
t
确定 确定
X e, t 是时间函数
X e, t 是随机变量
是一个确定值 是随机过程 S .P.
r.v.
若 e, t 确定 若 e, t 不定
随机过程的分类
一维正态过程分布律：
X (t ) ~ N u(t ),
2 2
2
(t )
二维正态过程分布律：
X (t1 ), X (t2 ) ~ N u(t1 ),u(t2 ),
这里有5个参数。 其中 1
(t1 ), (t2 ), (t1 , t2 )
(t1 , t2 ) 1 为相关系数或归一化协方差函数
2随机过程(上课用)
xf ( x ) dx
n
[x
i 1
i
a ] P ( xi )
2
( x a ) f ( x ) dx
2
第二章 随机过程
3、随机变量的数字特征(续)
（3）相关函数
无论是离散的还是连续的随机变量，两个随机
变量的相关函数统一定义为
R ( 1 , 2 ) E [ 1 2 ]
第二章 随机过程
一维概率分布函数和密度函数
因为随机过程在任一时刻对应1个随机变量
把随机过程在时刻
则该随机过程在时刻 F1 ( x , t 1 ) P [ ( t 1 ) x ]
t 1 对应随机变量记为
t 1的一维概率分布函数定
( t1 )
义为
其一维概率密度函数定
义为 f 1 ( x , t 1 )
(t ) 都是是连续的随机变量
xf 1 ( x , t ) dx
第二章 随机过程
2、随机过程的方差
同理，随机过程的方差也是一个关于时间 的函数，可由下式计算
( t ) D [ ( t )]
2
E {[ ( t ) a ( t )] }
2
若每个时刻对应的 则 (t )
T /2 T / 2
f
2
(t ) d t
1 T
T
li m
T /2 T / 2
f
2
(t ) d t
第二章 随机过程
二、能量谱密度和功率谱密度
能量信号f(t)的能量谱密度E(ω)
随机过程课程第二章 随机过程的基本概念
第二章 随机过程的基本概念
第一节 随机过程的定义及其分类 第二节 随机过程的分布及其数字特征 第三节 复随机过程 第四节 几种重要的随机过程简介
第一节 随机过程的定义及其分类
一、直观背景及例
例1 电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖 时间t，即随机变数X（t），t[0，24]。
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（4）平稳随机过程
平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不 随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对 “未来”有不可忽视的影响。
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第二节 随机过程的分布及其数字特征
一、随机过程的分布函数
设{ X (t) ，t T }是一个随机过程，
一维
分布 对于固定的t1 T ，X (t1) 是一个随机变量，
F (t1,t2；x1, x2 ) =
x1
x2
f (t1, t2；y1, y2 )dy1dy2
则称 f (t1,t2；x1, x2 ) 为 X (t) 的二维概率密度
n维
n 维随机向量（X (t1 ) ，X (t2 ) ，…， X (tn ) ）
分布 函数
联合分布函数
F (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn )
分布函数
FXY (t1, ,tn ；t1, ,tm ；x1, , xn ； y1, , ym ）
P{X (t1) x1, , X (tn ) xn；Y（t1） y1, ,Y（tm ） ym }
称为随机过程和的n + m维联合分布函数
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相互 设 X (t) 和Y (t) ，t1,t2 , ,tn ，t1,t2 , ,tm T
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2．方差函数
随机过程{ X (t) ，t T }的二阶中心矩
第一节 随机过程的定义及其分类 第二节 随机过程的分布及其数字特征 第三节 复随机过程 第四节 几种重要的随机过程简介
第一节 随机过程的定义及其分类
一、直观背景及例
例1 电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数 一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖 时间t，即随机变数X（t），t[0，24]。
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（4）平稳随机过程
平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不 随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对 “未来”有不可忽视的影响。
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第二节 随机过程的分布及其数字特征
一、随机过程的分布函数
设{ X (t) ，t T }是一个随机过程，
一维
分布 对于固定的t1 T ，X (t1) 是一个随机变量，
F (t1,t2；x1, x2 ) =
x1
x2
f (t1, t2；y1, y2 )dy1dy2
则称 f (t1,t2；x1, x2 ) 为 X (t) 的二维概率密度
n维
n 维随机向量（X (t1 ) ，X (t2 ) ，…， X (tn ) ）
分布 函数
联合分布函数
F (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn )
分布函数
FXY (t1, ,tn ；t1, ,tm ；x1, , xn ； y1, , ym ）
P{X (t1) x1, , X (tn ) xn；Y（t1） y1, ,Y（tm ） ym }
称为随机过程和的n + m维联合分布函数
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相互 设 X (t) 和Y (t) ，t1,t2 , ,tn ，t1,t2 , ,tm T
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2．方差函数
随机过程{ X (t) ，t T }的二阶中心矩
随机过程讲义（第二章）（PDF）
第二章 随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(P ,,F )Ω为概率空间，T 是某参数集，若对每一个，是该概率空间上的随机变量，则称为随机过程(Stochastic Process)。
T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。
随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数，固定Ω∈0w ，即对于一个特定的随机试验，称为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的过程；另一方面，固定，是一个随机变量，按某个概率分布随机取值。
),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点：令，即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域)，随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射，在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度：T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。
一般代表的是时间。
根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： t 1)为可数集，如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)为不可数集，如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ，称为连续参数随机过程。
随机过程的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称为状态空间(State Space)。
通常以表示随机过程的状态空间。
根据状态空间的特征，一般把随机过程分为两大类：T t t X ∈),(S 1) 离散状态，即取一些离散的值； )(t X 2)连续状态，即的取值范围是连续的。
)(t X离散参数离散状态随机过程： Markov 链 连续参数离散状态随机过程： Poisson 过程 离散参数连续状态随机过程： *Markov 序列连续参数连续状态随机过程： Gauss 过程，Brown 运动例2.1.1：一醉汉在路上行走，以的概率向前迈一步，以q 的概率向后迈一步，以p r 的概率在原地不动，1=++r q p ，选定某个初始时刻，若以记它在时刻的位置，则就是直线上的随机游动(Random Walk)。
第二章 随机过程
T /2
（2-2-7）
16
如果平稳过程使下式成立
a = a
σ
2
=σ
2
（2-2-8）
R (τ ) = R (τ )
称该平稳过程ξ(t)具有各态历经性。 称该平稳过程 具有各态历经性。 具有各态历经性 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 实现 所有可能状态。 所有可能状态。 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程， 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程，反之不 一定成立。 一定成立。 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察，用一次 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。
满足上式则称ξ(t)为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 满足上式则称 为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 程。 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程） 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）只要 Eξ2(t) 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 反之不一定成立。 反之不一定成立。
C (t1 , t 2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][ξ (t 2 ) − a (t 2 ) ]} =
∞ ∞ −∞ −∞
∫ ∫ [x
1
− a (t1 ) ][ x 2 − a (t 2 ) ] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) dx1 x 2
（2-1-5） 2-1-5
互相关函数（针对两个随机过程） 互相关函数（针对两个随机过程）
Cξ ,η (t1 , t2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][η (t2 ) − a (t2 ) ]}
随机过程 第2章
随机变量 随机变量族
e → x(e) (e, t) → xt(e)=x(e, t)
x=xt(ei)
x
e1 e2 e3
e
概率空间和随机对象
样本空间
概率空间
随机变量
随机向量
随机过程
2.1 随机过程的基本概念
定义：设(Ω, ö,P)为概率空间，T是参数集。 若对任意 t ∈T ，有随机变量X(t, e)与之 对应，则称随机变量族{X(t, e)， t ∈T } 是(Ω, ö,P)上的随机过程，简记为 {X(t)，t ∈T }或{Xt，t ∈T }。 ★ X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空 间或相空间，记为I。
由此可将随机过程分为以下四类：
a. 离散参数离散型随机过程； b. 离散参数连续型随机过程； c. 连续参数离散型随机过程； d. 连续参数连续型随机过程。
2. 以随机过程的统计特征或概率特 征分类：
a. 独立增量过程； b. Markov过程； c. d. e. f. g. 二阶矩过程； 平稳过程； 鞅； 更新过程； Poission过程；
称之为随机过程X(t) 的二维概率密度。
2.3 随机过程的分布律
随机过程的二维分布函数比一维分布函数包含了随 机过程变化规律更多的信息，但它仍不能完整地反 映出随机过程的全部特性及变化规律。用同样的方 法，我们可以引入随机过程 X(t) 的 n 维分布函数和 n 维概率密度。
FX ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , tn )
• 又如移动某基站每天的通话次数，X 显然不 能确定，即为随机变量，进一步分析知这 个 X 还和时间 t 有关，即 X(t)，所以 X(t) 也构成一个过程，即随机过程；类似地， 气温、气压、商店每天的顾客流量等都构 成一个随机过程。
通信原理第2章 随机过程
如果平稳随机过程依概率1使下式成立：
aa
则称该平稳随机过程具有各态历经性。 R() R()
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数） 都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中 也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从 任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的 问题大为简化。
注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的 随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。
第2章 随 机 过 程
三、平稳随机过程自相关函数
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一 个函数。（其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程 的谱特性有着内在的联系）。因此，我们有必要了解平稳随机 过程自相关函数的性质。
E[(t1)] x1f1(x1,t1)d1x
第2章 随 机 过 程
注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时 上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是
a(t)E[(t)] x1(fx,t)dx
a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的（n个样本函数曲线的） 摆动中心。
第2章 随 机 过 程
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联 程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
（1）（自） 协方差函数：定义为 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1a(t1)]x2[a(t2)f]2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2
aa
则称该平稳随机过程具有各态历经性。 R() R()
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数） 都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中 也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从 任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的 问题大为简化。
注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的 随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。
第2章 随 机 过 程
三、平稳随机过程自相关函数
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一 个函数。（其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程 的谱特性有着内在的联系）。因此，我们有必要了解平稳随机 过程自相关函数的性质。
E[(t1)] x1f1(x1,t1)d1x
第2章 随 机 过 程
注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时 上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是
a(t)E[(t)] x1(fx,t)dx
a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的（n个样本函数曲线的） 摆动中心。
第2章 随 机 过 程
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联 程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
（1）（自） 协方差函数：定义为 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1a(t1)]x2[a(t2)f]2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2
随机过程第二章
例2.8利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程 2.8
cosπt,出现正面 X (t) = 2t, 出现反面
0 ≤ t < +∞
已知出现正面与反面的概率相等. ⑴ 求X(t)的一维分布函数F(1/2; x),F(1; x). F(1/2; ),F(1; ). ⑵ 求X(t) 的二维分布函数F(1/2,1; x1,x2).
A, 例2.5 设 S.P.X (t) = A+ Bt，其中 B 相互独 S 立同服从正态分布 (0,1) ，求.P.X (t) 的一 N 维和二维分布．
例2.6 设 其中
S.P.X (t) = Acos t, t ∈ R ，
A是 r.v. ， 而且具有概率分布
A P 1 1/3 2 1/3 3 1/3
由于初位相的随机性， 由于初位相的随机性，在某时刻t = t0 , X (t0 )是一 个随机变量． 个随机变量． 若要观察任一时刻 描述. 变量 X (t ) 描述
t
的波形， 的波形，则需要用一族随机
为随机过程． 则称 { X (t ), t ∈ [0, +∞)}为随机过程．
例2 .4样本曲线与状态 样本曲线与状态 X(t) = Acos(ωt + Φ)
2.1： 热噪声电压） 例2.1：（热噪声电压）电子元件或器件由于内部微观粒子
（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压， 如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压， 时刻的值是随机变量， 它在任一确定 t 时刻的值是随机变量，记为 V (t ) ． 不同时刻对应着不同的随机变量，当时间在某区间， 不同时刻对应着不同的随机变量，当时间在某区间，譬如 [0, +∞)上推移时，热噪声电压表现为一簇随机变量．在无 上推移时，热噪声电压表现为一簇随机变量． 线电通讯技术中，接收机在接收信号时， 线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内的热噪声电 压要对信号产生持续的干扰，为消除这种干扰（假设没有 压要对信号产生持续的干扰，为消除这种干扰（ 其它干扰因素）， ），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过 其它干扰因素），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过 为此， 程.为此，我们通过某种装置对电阻两端的热噪声电压进
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间 t 的一个确定函数，具有确定的变化规律，那么这样的过程
就是确定过程。反之，如果每次试验(观测)所得到的观测过程
都不相同，是时间 t 的不同函数，试验(观测)前又不能预知这
次试验(观测)会出现什么结果，没有确定的变化规律，这样的 过程称为随机过程。对连续时间的随机过程进行抽样得到的序 列称为离散时间随机过程，或简称为随机序列，连续时间的随 机过程和随机序列我们都称为随机过程，连续时间的随机过程 用X(t)表示，随机序列用X(n)表示。
有确定的形式, 是一种可预测的随机过程。它的两个样本函数为
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二维分布情况：
由于本例的随机相位信号是一个可预测的随机过程，当n1时 刻随机过程的取值为1时，也就意味着在本次随机试验中取的是
样本函数x1(n)，那么由图可以看出，即在n2 时刻随机过程的
所谓：经目之事有恐未真；过耳之言焉能全信！
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伪随机序列似乎已经失去了“随机”特点，但是它确 代替或者模拟了某类随机过程！
所谓：经目之事有恐未真；过耳之言焉能全信！ 工程种研究随机过程实际是通过理论分析其大量样本 函数，建立符合其实际过程或者称为能体现其过程特点的 伪随机序列模型，对伪随机序列进行研究，即可得到其过 程特点。 最后才能真正建立其数学模型随机过程！（随机过程 课程是拿已经建立好的随机过程模型加以学习随机过程的 基本概念）
弱，当t1=t2时其相关性应最强。（随机介质波传播P96）
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（4）协方差函数
相关性的描述除了用相关函数外，有时也用协方差函数
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正交、不相关、独立的关系？ 当两个随机过程保持统计独立时，它们必然是不相关的，
但反过来则不一定成立，即不相关的两个随机过程不一定能保 持统计独立，唯有在高斯随机过程中才是例外。从统计角度看， 保持统计独立的条件要比不相关还要严格。
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随机过程的定义：设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。 每一次试 验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所 有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就构成 一随机过程，记作ξ(t)。简言之， 无穷多个样本函数的总体叫
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随机信号序列
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按分布特性分类，依照过程在不同时刻状态的统计依赖关 分类。例如：独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程,鞅， 点过程等。
随机过程基本特征体现在两个方面： 其一，它是一个时间函数；其二，在固定的某一观察时刻t1， 全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t变化的随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机 变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
间的相关性较强,若只用均值函数和方差函数是不能反映出这 些特征的,相关函数能反映两个不同时刻状态之间相关程度的 数字特征。
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（随机介质波P86）
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自相关函数R(t1，t2) 可正可负，其绝对值越大，表示相关性越 强。一般说来t1，t2相隔越大相关性越弱，R(t1，t2)的绝对值也越
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章序
题目
学 时
主要内容
第一章
绪论 4 课程介绍、方法分享、相互熟悉、概率论回顾。
第二章 随机过程(函数)16 随机过程(函数)理解、概念、研究方法。
第三章 随机微积分 6 随机微积分及其求解方法介绍。
第四章 随机场 18 随机过程(函数)理解、概念、研究方法。
第五章
无线电物理中 随机场及简单
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x(n)
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1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 n
伪随机序列 16
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x(n) x(n)
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
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随机过程的结果是随时间的演变而变化的
接收机噪声电压信号不能用有限的参数来加以描述，即对于
任意一条样本函数，知道它的过去值，并不能确定它的未来值，
称之为不可预测过程；随机相位信号，它是由一族正弦信号构
成的，它的样本函数是由随机变量Φ 的样本值完全确定，如果
X(t, ei)对于n≤n 0 已知，则n>n 0 X(t, ei)完全确定，称为可预
受随机 变量控 制的过 程；随 机变量 控制是 工程研 究的物 理基础!
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一 个 样 本 函 数
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是 否 携 带 有 充 分 的 过 程 特 征 呢
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设t0 为(0,T)上均匀分布的随机变量，且与半二元传输信号 统计独立，定义新的随机过程Y(t)=X(t-t0)我们称Y(t)为二元 传输信号，二元传输信号是将半二元传输信号平移一随机量t0 构成的。
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信号
射到接收点的信号
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均值代表接收点处的平均信号（功率），只考虑发射信号 受到媒质的衰减作用。
方差代表接收点处的起伏信号（功率），随机分布的粒子 从各个方向散射向接收点处的信号。
代表某一时刻的总功率。
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随机过程X (t) 的均值是时间t 的函数，也称为均值函数，统 计均值是对随机过程X (t) 中所有样本函数在时间t 的所有取值 进行概率加权平均，所以又称为集合平均，它反映了样本函 数统计意义下的平均变化规律。
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（2）方差
方差也是随机过程重要的数字特征之一，定义
对于随机序列X(n)，方差定义为
应用
2
无线电物理中的随机场简单应用，纵横分析、资料分 析、学习方法升华，作业及课堂情况考核。
1
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第2章 随机过程（函数）
2.1随机过程的基本概念
2
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1 定义及分类
自然界变化的过程通常可以分为两大类，确定过程和随机过 程，如果每次试验(观测)所得到的观测过程都相同，且都是时
有一期望为零 不相关 <－－－－－－－－> 正交
学会自己解决有疑问的地方！
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不相关:2阶联合中心矩 E[(X-E(X) )(Y-E(Y) )] = 0 正交:2阶联合原点矩 E(XY) = 0 独立：f(X,Y,x,y)=f(X,x)f(Y,y)
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同样对于离散随机过程有：
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（5）相关系数
B代表协方差、R是相关函数。
仅仅是时间的函数而已。
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一般而言，对于任意的时刻t ，随机变量X (t) 是随机变
量Y 的函数，所以，如果
，则
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作业1：将该例题的详细 严密解体过程重复一下!
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例： 解: 本题的随机过程只有两个样本函数, 且两个样本函数都具
0 0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 n
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 n
伪随机序列似乎已经失去了“随机”特点，但是它确 代替或者模拟了某类随机过程！
在实际中还有一类过程，它 是按照确定的数学公式产生的 时间序列，很显然它是一个确 定性的时间序列，但它的变化 过程表现出随机序列的特征， 我们把它称为伪随机序列，伪 随机序列可以用来模拟自然界 实际的随机过程。
是否携带有充分的过程特征呢
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lamda=11; M=32768; x(1)=19; for n=1:500 x(n+1)=(mod(lamda*x(n)+11117,M)); end plot(x/M); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); axis([0 500 0 1])
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正交、不相关、独立的关系？
当两个随机过程保持统计独立时，它们必然是不相关的， 但反过来则不一定成立，即不相关的两个随机过程不一定能保 持统计独立，唯有在高斯随机过程中才是例外。从统计角度看， 保持统计独立的条件要比不相关还要严格。
内积为零可作为两个信号之间正交的定义，对于随机过程 来说，除了互协方差函数外，还要求至少其中有一个随机过程 的均值等于零，这时两个随机过程才互相正交。因此正交的条 件满足了，不相关的条件就自然满足，但是反过来就未必然。 可见正交条件要比不相关条件严格些。如果统计独立的条件能 满足，则正交条件也自然满足，但反过来也不一定成立。因此 统计独立的条件最严格。
Z(t)＝X（t）+jY（t） 复随机过程的物理意义如何理解呢？随机介质波P99
就是确定过程。反之，如果每次试验(观测)所得到的观测过程
都不相同，是时间 t 的不同函数，试验(观测)前又不能预知这
次试验(观测)会出现什么结果，没有确定的变化规律，这样的 过程称为随机过程。对连续时间的随机过程进行抽样得到的序 列称为离散时间随机过程，或简称为随机序列，连续时间的随 机过程和随机序列我们都称为随机过程，连续时间的随机过程 用X(t)表示，随机序列用X(n)表示。
有确定的形式, 是一种可预测的随机过程。它的两个样本函数为
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二维分布情况：
由于本例的随机相位信号是一个可预测的随机过程，当n1时 刻随机过程的取值为1时，也就意味着在本次随机试验中取的是
样本函数x1(n)，那么由图可以看出，即在n2 时刻随机过程的
所谓：经目之事有恐未真；过耳之言焉能全信！
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伪随机序列似乎已经失去了“随机”特点，但是它确 代替或者模拟了某类随机过程！
所谓：经目之事有恐未真；过耳之言焉能全信！ 工程种研究随机过程实际是通过理论分析其大量样本 函数，建立符合其实际过程或者称为能体现其过程特点的 伪随机序列模型，对伪随机序列进行研究，即可得到其过 程特点。 最后才能真正建立其数学模型随机过程！（随机过程 课程是拿已经建立好的随机过程模型加以学习随机过程的 基本概念）
弱，当t1=t2时其相关性应最强。（随机介质波传播P96）
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（4）协方差函数
相关性的描述除了用相关函数外，有时也用协方差函数
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正交、不相关、独立的关系？ 当两个随机过程保持统计独立时，它们必然是不相关的，
但反过来则不一定成立，即不相关的两个随机过程不一定能保 持统计独立，唯有在高斯随机过程中才是例外。从统计角度看， 保持统计独立的条件要比不相关还要严格。
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随机过程的定义：设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。 每一次试 验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所 有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就构成 一随机过程，记作ξ(t)。简言之， 无穷多个样本函数的总体叫
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随机信号序列
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按分布特性分类，依照过程在不同时刻状态的统计依赖关 分类。例如：独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程,鞅， 点过程等。
随机过程基本特征体现在两个方面： 其一，它是一个时间函数；其二，在固定的某一观察时刻t1， 全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t变化的随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机 变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
间的相关性较强,若只用均值函数和方差函数是不能反映出这 些特征的,相关函数能反映两个不同时刻状态之间相关程度的 数字特征。
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（随机介质波P86）
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自相关函数R(t1，t2) 可正可负，其绝对值越大，表示相关性越 强。一般说来t1，t2相隔越大相关性越弱，R(t1，t2)的绝对值也越
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章序
题目
学 时
主要内容
第一章
绪论 4 课程介绍、方法分享、相互熟悉、概率论回顾。
第二章 随机过程(函数)16 随机过程(函数)理解、概念、研究方法。
第三章 随机微积分 6 随机微积分及其求解方法介绍。
第四章 随机场 18 随机过程(函数)理解、概念、研究方法。
第五章
无线电物理中 随机场及简单
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x(n)
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1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 n
伪随机序列 16
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x(n) x(n)
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
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随机过程的结果是随时间的演变而变化的
接收机噪声电压信号不能用有限的参数来加以描述，即对于
任意一条样本函数，知道它的过去值，并不能确定它的未来值，
称之为不可预测过程；随机相位信号，它是由一族正弦信号构
成的，它的样本函数是由随机变量Φ 的样本值完全确定，如果
X(t, ei)对于n≤n 0 已知，则n>n 0 X(t, ei)完全确定，称为可预
受随机 变量控 制的过 程；随 机变量 控制是 工程研 究的物 理基础!
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一 个 样 本 函 数
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是 否 携 带 有 充 分 的 过 程 特 征 呢
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设t0 为(0,T)上均匀分布的随机变量，且与半二元传输信号 统计独立，定义新的随机过程Y(t)=X(t-t0)我们称Y(t)为二元 传输信号，二元传输信号是将半二元传输信号平移一随机量t0 构成的。
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信号
射到接收点的信号
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均值代表接收点处的平均信号（功率），只考虑发射信号 受到媒质的衰减作用。
方差代表接收点处的起伏信号（功率），随机分布的粒子 从各个方向散射向接收点处的信号。
代表某一时刻的总功率。
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随机过程X (t) 的均值是时间t 的函数，也称为均值函数，统 计均值是对随机过程X (t) 中所有样本函数在时间t 的所有取值 进行概率加权平均，所以又称为集合平均，它反映了样本函 数统计意义下的平均变化规律。
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（2）方差
方差也是随机过程重要的数字特征之一，定义
对于随机序列X(n)，方差定义为
应用
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无线电物理中的随机场简单应用，纵横分析、资料分 析、学习方法升华，作业及课堂情况考核。
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第2章 随机过程（函数）
2.1随机过程的基本概念
2
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1 定义及分类
自然界变化的过程通常可以分为两大类，确定过程和随机过 程，如果每次试验(观测)所得到的观测过程都相同，且都是时
有一期望为零 不相关 <－－－－－－－－> 正交
学会自己解决有疑问的地方！
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不相关:2阶联合中心矩 E[(X-E(X) )(Y-E(Y) )] = 0 正交:2阶联合原点矩 E(XY) = 0 独立：f(X,Y,x,y)=f(X,x)f(Y,y)
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同样对于离散随机过程有：
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（5）相关系数
B代表协方差、R是相关函数。
仅仅是时间的函数而已。
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一般而言，对于任意的时刻t ，随机变量X (t) 是随机变
量Y 的函数，所以，如果
，则
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作业1：将该例题的详细 严密解体过程重复一下!
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例： 解: 本题的随机过程只有两个样本函数, 且两个样本函数都具
0 0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 n
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
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伪随机序列似乎已经失去了“随机”特点，但是它确 代替或者模拟了某类随机过程！
在实际中还有一类过程，它 是按照确定的数学公式产生的 时间序列，很显然它是一个确 定性的时间序列，但它的变化 过程表现出随机序列的特征， 我们把它称为伪随机序列，伪 随机序列可以用来模拟自然界 实际的随机过程。
是否携带有充分的过程特征呢
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lamda=11; M=32768; x(1)=19; for n=1:500 x(n+1)=(mod(lamda*x(n)+11117,M)); end plot(x/M); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); axis([0 500 0 1])
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正交、不相关、独立的关系？
当两个随机过程保持统计独立时，它们必然是不相关的， 但反过来则不一定成立，即不相关的两个随机过程不一定能保 持统计独立，唯有在高斯随机过程中才是例外。从统计角度看， 保持统计独立的条件要比不相关还要严格。
内积为零可作为两个信号之间正交的定义，对于随机过程 来说，除了互协方差函数外，还要求至少其中有一个随机过程 的均值等于零，这时两个随机过程才互相正交。因此正交的条 件满足了，不相关的条件就自然满足，但是反过来就未必然。 可见正交条件要比不相关条件严格些。如果统计独立的条件能 满足，则正交条件也自然满足，但反过来也不一定成立。因此 统计独立的条件最严格。
Z(t)＝X（t）+jY（t） 复随机过程的物理意义如何理解呢？随机介质波P99