高一数学三个二次的关系

三个“二次”之间的关系教学内容一、知识梳理1.二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法： y ＝ax 2＋bx ＋)0(≠a c ；y ＝a (x －x 1)(x －x 2) )0(≠a ；y ＝a (x －x 0)2＋)0(≠a n . (2)当a ＞0，二次函数)(x f 在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ， 令x 0＝21 (p ＋q ). 若－ab 2＜p ，则)(p f ＝m ，)(q f ＝M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f (－ab 2)＝m ，)(q f ＝M ； 若x 0≤－a b 2＜q ，则)(p f ＝M ，f (－ab 2)＝m ； 若－ab 2≥q ，则)(p f ＝M ，)(q f ＝m ． 2.二次方程)(x f ＝ax 2＋bx ＋c ＝0的实根分布及条件(1)方程)(x f ＝0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·)(r f ＜0； (2)二次方程)(x f ＝0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a b ac b (3)二次方程)(x f ＝0在区间(p ，q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q a b p ac b (4)二次方程)(x f ＝0在区间(p ，q )内只有一根⇔)(p f ·)(q f ＜0，或)(p f ＝0(检验)或)(q f ＝0(检验),检验另一根在(p ，q )内成立. (5)方程)(x f ＝0两根的一根大于p 小于q ，另一根小于p (p ＜q ) ⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a . 3.二次不等式转化策略(1)二次不等式)(x f ＝ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是 (－∞，α])∪［β，＋∞)⇔a ＜0且)(αf ＝)(βf ＝0；(2)当a ＞0时，)(αf ＜)(βf ⇔ |α＋a b2|＜|β＋a b2|，当a ＜0时，)(αf ＜)(βf ⇔|α＋a b2|＞|β＋a b2|；(3)当a ＞0时，二次不等式c bx ax ++2＞0在［p ，q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>≤-⇔,0)(,2p f p ab或⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(2,0)2(,2q f q a ba bf q a b p 或(4) c bx ax ++2＞0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<++⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00;0,0,0,02c b a a c bx ax c b a a 或恒成立或二、方法归纳1．数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及一元二次方程、一元二次不等式的时候常常结合图形寻找思路．2．含字母系数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的最值与给定闭区间的关系，一元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系．3．关于二次函数)(x f y =对称轴的判定方法：(1) 如果二次函数)(x f y =存在两个不相等的数1x 、2x ，有)()(21x f x f =，那么函数)(x f y =图象的对称轴方程为221x x x +=. (2)一般函数)(x f y =对定义域内所有x ，都有)()(x a f x a f -=+成立，那么函 数)(x f y =图象的对称轴方程为a x =，a 为常数．(3)一般函数)(x f y =对定义域内所有x ，都有)()2(x f a x f -=+成立，那么函数)(x f y =图象的对称轴方程为a x =，a 为常数．注意：)()(x a f x a f -=+与)()2(x f a x f -=+是等价的．4．二次方程的实根分布，也是二次函数的零点分布，是高考的一个热点问题．解决问题的关键在于作出二次函数的图象，运用数形结合的思想从判别式、对称轴的位置、特殊点的函数值这三个角度列出不等式组求解．三、典型例题精讲［例1］若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，2]B.[－2，2]C.(－2，2]D.(－∞，－2)解析：当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4＜0，恒成立，∴ a ＝2满足．当a －2≠0时，则a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ，解得－2＜a ＜2， 所以a 的范围是－2＜a ≤2.答案：C【技巧提示】 由题意，函数)(x f ＝(a －2)x 2＋2(a －2)x －4的图象全部在x 轴以下，于是当a ＝2时，)(x f ＝－4，满足题意；当a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a 时，满足题意．又例：若不等式 0120822<--+-mx mx x x 对一切x 恒成立，求实数m 的范围. 解析： ∵ 04)4(20822>+-=+-x x x ，∴ 只须 012<--mx mx 对一切x 恒成立即可，与例１类似．∴ m 的取值范围是 04≤<-m ． 再例：若不等式13642222<++++x x k kx x 对R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A. RB. ()3,1C. ()1,∞-D. () 1,∞-()+∞,3 解析：将13642222<++++x x k kx x 化为013642222<-++++x x k kx x ， 即 0364)3()62(222<++-+-+-x x k x k x ， 而 03642>++x x 恒成立，∴ 0)3()62(22<-+-+-k x k x 对R x ∈恒成立． 0)3()2(4)62(2<-⨯-⨯--=∆k k即 31<<k ，故选B.［例2］二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有)2(x f +＝)2(x f -，若)21(2x f -＜)21(2x x f -+，则x 的取值范围是_________.解析：由二次函数)(x f 的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线，由)2(x f +＝)2(x f -，知x ＝2为对称轴，于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小．∴ 22122122--+<--x x x即 22)1(12-<+x x 22)1(12-<+x x∴ －2＜x ＜0．答案：－2＜x ＜0．【技巧提示】 二次函数)(x f 的图象为开口向上（下）的抛物线时，距对称轴近的点的纵坐标较小（大）；［例3］（1）已知二次方程0)1(2)12(2=-+-+m mx x m 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．（2）已知方程0)1(22=++-m x m x 有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．解析：（1）由0)0()12(<⋅+f m 即 0)1()12(<-⋅+m m ，从而得 121<<-m 即为所求的实数m 的范围． （2）由00)0(22)1(0>⎪⎩⎪⎨⎧>⨯+-->∆f m ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧>->>-+0108)1(2m m m m ⇒⎩⎨⎧>+>-<<02232230m m m 或 ∴03m <<-或3m >+即为所求实数m 的范围．【技巧提示】 善于将方程的根的分布特征转化为由不等式或不等式组形成的限制条件，是解决这类题的关键．如“有一正根和一负根”，“两个不等正实根”分别被转化为相应的不等式或不等式组．又例：（1）已知方程012)2(2=-+-+m x m x 在（0，1）内有且只有一个实根，求m 的取值范围．（2）若方程02)13(722=--++-k k x k x 的两根分别在（0，1）和（1，2）内，求k 的取值范围．［例4］已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的范围是（ ）A ．)1(f ≥25B ．)1(f ＝25C ．)1(f ≤25D ．)1(f ＞25 解析：由函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，得 242-≤⨯--m ， 即 16-≤m 而 251699)1(=+≥-=m f ，故选A ． 【技巧提示】 二次函数)(x f 的单调性以对称轴为界．开口向上，左减右增；开口向下，左增右减． 又例：已知函数()m x mx x f ++=42，若R x ∈时恒有()3>x f ，则m 的取值范围是（ ） A. ()4,∞- B. ()+∞,4 C. ()1,-∞- D. ()+∞-,1 答案 B. ［例5］求函数()122+-=ax x x f 在[]3,1∈x 上的最小值． 解析：对称轴a x = （1）当a ＜1时，()min 122y f a ==-； （2）当1≤a ≤3时，()2min 1y f a a ==-； （3）当a ＞3时，()min 3106y f a ==-． 【技巧提示】 二次函数在闭区间上的最值问题，核心是对函数对称轴与给 定区间的相对位置关系进行讨论．一般分为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况． 又例：求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值． 解析：对称轴方程为2ax =，（1）2-<a 时，max ()(1)f x f =-；（2）a ≤-22≤时，max ()()2af x f =；（3） 2>a 时，max ()(1)f x f =．再例：求函数243y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值．［例6］已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值．解析：2()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈-，（1）若0,()1,a f x ==，不合题意；（2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+由814a +=，得38a =； （3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=-由14a -=，得3a =-； 综上知38a =或3a =-． 【技巧提示】 此例为例5所列问题的逆问题，即已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间的参数．又例：已知二次函数2()(21)1f x ax a x =+-+在区间3[,2]2-上的最大值为3，求实数a 的值．解析：（1）令21()32a f a --=，得12a =- 此时抛物线开口向下，对称轴为2-=x ，且32[,2]2-∉- 故12a =-不合题意； （2）令(2)3f =，得12a =，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故12a =符合题意； （3）若3)23(=-f ，得23a =-，经检验，符合题意； 综上，12a =或23a =-． ［例7］已知f x ax bx ()=+2，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围.解析： 由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得：))1()1((21)),1()1((21--=-+=f f b f f a 将以上二式代入f x ax bx ()=+2，并整理得()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴()()()1312-+=-f f f .又∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f ,∴()1025≤-≤f .【技巧提示】 本题中，所给条件并不足以确定参数b a ,的值，但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1≤-≤f ()12和4)1(2≤≤f 当成两个独立条件，先用()1-f 和()1f 来表示b a ,.［例8］已知对于x 的所有实数值，二次函数1224)(2++-=a ax x x f (a ∈R )的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x ＝|a －1|＋2的根的取值范围 解析：由条件知Δ≤0，即(－4a ）2－4(2a ＋12)≤0，∴ －23≤a ≤2 (1)当－23≤a ＜1时，原方程化为 x ＝－a 2＋a ＋6，∵ －a 2＋a ＋6＝－(a －21)2425 ∴ a ＝－23时，x mi n ＝49，a ＝21时，x max 425 ∴ 49≤x 425 (2)当1≤a ≤2时，x ＝a 2＋3a ＋2＝(a ＋23)2－41 ∴ 当a ＝1时，x mi n ＝6，当a ＝2时，x max ＝12，∴ 6≤x ≤12 综上所述,49≤x ≤12． 【技巧提示】 由于2+a x ＝|a －1|＋2的根中含|a －1|，分类讨论就是为了去掉绝对值号，将根化为关于a 的二次函数．再由a 的取值范围得出根的取值范围．四、课后训练1．已知669)(2+-=x x x f ，解下列方程：（1）5)(=x f ； （2）x x f 9)(=．2．函数5432)(2+--=x x x f 的值域是 3．二次函数a x x x f +-=2)(，（a ＞0）若)(m f ＜0，则)1(-m f 的值为( )A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能 4．若方程043)1(2=+-+a ax x a 的所有根均小于1，求实数a 的范围．5．(1)方程x 2－2a x ＋4＝0的两根均大于1，则实数a 的取值范围是 ________．(2)方程x 2－2a x ＋4＝0的一根大于1，一根小于1，则实数a 的取值范围是______．6．设二次函数()()f x ax bx c a =++>20，方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a. 当()x x ∈01,时，证明:()x f x x <<1. 五、参考答案1．（1）31；（2）32，1 2． [1-，)23． A4．解析：当a ＝－1时，方程的根为34=x ＞1，不符合题意； 当a ≠－1时，043)1(2=+-+a ax x a 的所有根均小于1，等价于二次函数a ax x a x f 43)1()(2+-+=的图象与x 轴的交点的横坐标都小于1．即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⨯+-=∆<+>+=->04)1(491)1(23021)1(12a a a a a a f a ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⨯+-=∆<+<+=-<04)1(491)1(23021)1(12a a a a a a f a ∴ 021≤<-a ． 5．(1) 252<≤a (2) a ＞25． 6．分析：在已知方程()f x x -=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-. ax x x 1021<<<< , ∴ 0))((21>--x x x x a ,∴ 当()x x ∈01,时，x x f >)(.又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f , ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且 ∴ 1)(x x f <,综上可知，所给问题获证.。