2020-2021中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习及详细答案
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2020-2021中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习及详细答案
一、平行四边形
1.在四边形ABCD 中,180B D ∠+∠=︒,对角线AC 平分BAD ∠.
(1)如图1,若120DAB ∠=︒,且90B ∠=︒,试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.
(2)如图2,若将(1)中的条件“90B ∠=︒”去掉,(1)中的结论是否成立?请说明理由.
(3)如图3,若90DAB ∠=︒,探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由.
【答案】(1)AC AD AB =+.证明见解析;(2)成立;(3)2AD AB AC +=
.理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)结论:AC=AD+AB ,只要证明AD=12AC ,AB=12
AC 即可解决问题; (2)(1)中的结论成立.以C 为顶点,AC 为一边作∠ACE=60°,∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ,只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题;
(3)结论:AD +AB =2AC .过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ,只要证明△ACE 是等腰直角三角形,△DAC ≌△BEC 即可解决问题;
试题解析:解:(1)AC=AD+AB .
理由如下:如图1中,
在四边形ABCD 中,∠D+∠B=180°,∠B=90°,
∴∠D=90°,
∵∠DAB=120°,AC 平分∠DAB ,
∴∠DAC=∠BAC=60°,
∵∠B=90°,
∴AB=1
2
AC,同理AD=
1
2
AC.
∴AC=AD+AB.
(2)(1)中的结论成立,理由如下:以C为顶点,AC为一边作∠ACE=60°,∠ACE的另一边交AB延长线于点E,
∵∠BAC=60°,
∴△AEC为等边三角形,
∴AC=AE=CE,
∵∠D+∠ABC=180°,∠DAB=120°,
∴∠DCB=60°,
∴∠DCA=∠BCE,
∵∠D+∠ABC=180°,∠ABC+∠EBC=180°,
∴∠D=∠CBE,∵CA=CE,
∴△DAC≌△BEC,
∴AD=BE,
∴AC=AD+AB.
(3)结论:AD+AB=2AC.理由如下:
过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E,∵∠D+∠B=180°,∠DAB=90°,
∴DCB=90°,
∵∠ACE=90°,
∴∠DCA=∠BCE,
又∵AC平分∠DAB,
∴∠CAB=45°,
∴∠E=45°.
∴AC=CE.
又∵∠D+∠ABC=180°,∠D=∠CBE,
∴△CDA ≌△CBE ,
∴AD=BE ,
∴AD+AB=AE .
在Rt △ACE 中,∠CAB=45°,
∴AE =245AC AC cos ︒= ∴2AD AB AC +=.
2.问题发现:
(1)如图①,点P 为平行四边形ABCD 内一点,请过点P 画一条直线l ,使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长.
问题探究:
(2)如图②,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上,点B 坐标为(8,6).已知点(6,7)P 为矩形外一点,请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ,说明理由并求出直线l ,说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度.
问题解决:
(3)如图③,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上,DC x ∥轴,AB y ∥轴,且8OA OD ==,2AB CD ==,点
(1052,1052)P --为五边形内一点.请问:是否存在过点P 的直线l ,分别与边OA 与BC 交于点E 、F ,且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在,请求出点E 和点F 的坐标:若不存在,请说明理由.
【答案】(1)作图见解析;(2)25y x =-,353)(0,0)E ,(5,5)F .
【解析】
试题分析:(1)连接AC 、BD 交于点O ,作直线PO ,直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分.
(2)连接AC ,BD 交于点O ',过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分.
(3)存在,直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长.
试题解析:(1)作图如下:
(2)∵(6,7)P ,(4,3)O ',
∴设:6PO y kx =+',
67{43k b k b +=+=,2{5
k b ==-, ∴25y x =-,
交x 轴于5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
, 交BC 于11,62M ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 2211563522MN ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭
.
(3)存在,直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长.
∵(1052,102)P --在直线y x =上,
∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ,
设:BC y kx b =+,(8,2)(2,8)B C ,
82{28k b k +=+=,1{10
k b =-=, ∴直线:10BC y x =-+,
联立10{y x y x =-+=,得55
x y =⎧⎨=⎩, ∴(0,0)E ,(5,5)F .