11-1-2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
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函数列与函数项级数
法
2021/6/21
n=2y3=x.^6;y4=x.^100;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b',x,y4,'r','linewidth',2)
2021/6/21
19
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
1 2.
0 ，
2021/6/21
7
所以该函数列是不一致收敛的。 例 函数列 {xn}在[0,1]上不一致收敛，但在 [0, ] , 1 上一致收敛。 先看看该函数列的图象
clf,x=0:1/100:1; y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)
对定义在区间 I 上的函数列{ fn (x) }, x E ，设 x0 E ，若数列 { fn (x0 ) } 收 敛，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 收敛， x0 称为函数列{ fn (x) }收敛点；若数列 { fn (x0 ) }发散，则称函数列{ fn (x) }在点 x0 发散。
clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2); y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6]) legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')
11-1数项级数的基本概念及性质
1)
5
n1
1 n
n
1
1
令
gn
5
n k 1
1 k
1 k 1
5(1
1 )
n1
n1
5 n(n 1)
lim
n
gn
5lim(1 n
1) n1
5
机动 目录 上页 下页 返回 结3束1
n1
1 2n
是等比级数
,
公比
q
1 2
1 , 首项是
1， 2
1
2n
n1
lim
1 2
(1
1 2n
)
n 1 1
n1
时收敛，且在收敛时，有
n
un
n1
lim
n
Sn
，即
un
n1
lim
n
i 1
ui
机动 目录 上页 下页 返回 结束7
无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的 1/3 的小正三角 形。如此类推在每条凸边上都做类似的操 作，我们就得到了面积有限而周长无限的 图形——“Koch雪花”。
发散
当 q 1 时 , 级数变为 a a a a
发散
综上所述
aqn
a 1 q
,
n0
发散 ,
| q | 1 | q | 1
右图给出了几何级数的一个
a aq
几何解释:
由三角形的相似
S a a a aq
a
aq3 aq2 aq2
aq
aq
S
a
S a 1q
a
机动 目录 上页 下页 返回 结2束0
函数项级数的一致收敛性及基本性质
sn(xn)xnn
1, 2
但 s(xn)0, 从rn (而 x n )s(x n ) sn (x n ) 1 2 .
ppt课件
只 要 取 1， 不 论 n多 么 大 ， 在 (0 ,1 )总 存 在
2
点 x n ， 使rn 得 (xn),
因此级数在( 0, 1 )内不一致连续．
说明: 虽然函数序列 sn(x)xn在( 0, 1 )内处处 收敛于 s(x)0,但 sn(x)在( 0, 1 )内各点处收
即nnaxn1与anxn的 收 敛 半 径 相 同 ．
n1
n1
ppt课件
四、小结
1、函数项级数一致收敛的定义； 2、一致收敛级数的判别法——魏尔斯特拉斯 判别法； 3、一致收敛级数的基本性质； 4、幂级数的一致收敛性．
ppt课件
练习题
一、已知函数s序 n 列 sinnx(n1,2,3,)在(,) 上收敛0于 ．
证 设 x0,x为 a,b上 任 意 点 ． 由
s(x)sn(x)rn(x),s(x0)sn(x0)rn(x0)
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s (x ) s (x 0 ) s n (x ) s n (x 0 ) r n (x ) r n (x 0 )
s n ( x ) s n ( x 0 ) r n ( x ) r n ( x 0 )(1)
余项的绝对值
11 r n s (x ) s n (x ) x n n(0 x )
ppt课件
对 于 任 给 0 ， 取 自 然 数 N 1，
则当n N时，对于区间[0,]上的一切x，
有rn(x)，
根据定义，
所给级数在区间[0, ]上一致收敛于s(x)0.
ppt课件
例3 研究例1中的级数
数学分析课件 一致收敛性
.
22 充分性 若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则,
{ fn }在D上任一点都收敛, 记其极限函数为 f ( x),
前页 后页 返回
xD. 现固定(4)式中的n, 让m , 于是当n N时,
对一切 xD都有| fn( x) f ( x) | . 由定义1知,
fn( x) f ( x) (n ), x D.
每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列,
它在 D 上不一定一致收敛.
例2
中的函数列
sin nx
n
是一致收敛的,
因为对任意
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给定的正数 , 不论 x 取(-,+)上什么值, 都有
N
1 ,
当n
N 时,
恒有
sin nx n
,
所以函数列
sin nx n
在(-,+)上一致收敛于
收敛, 而使用余项准则需要知道极限函数, 但使用 较为方便. 如例2, 由于
lim sup sin nx 0 lim 1 0,
n n x(, )
n n
所以在(,
)上,
sin nx n
0
(n ).
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例3 定义在[0,1]上的函数列
2n2 x,
0 x 1 , 2n
fn ( x) 2n 2n2 x,
(1)
是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E
上的函数列. (1) 也可记为
{ fn } 或 fn , n 1, 2, .
以 x0 E 代入 (1), 可得数列
f1( x0 ), f2( x0 ), , fn( x0 ), .
(2)
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22 充分性 若条件 (4) 成立, 由数列收敛的柯西准则,
{ fn }在D上任一点都收敛, 记其极限函数为 f ( x),
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xD. 现固定(4)式中的n, 让m , 于是当n N时,
对一切 xD都有| fn( x) f ( x) | . 由定义1知,
fn( x) f ( x) (n ), x D.
每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列,
它在 D 上不一定一致收敛.
例2
中的函数列
sin nx
n
是一致收敛的,
因为对任意
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给定的正数 , 不论 x 取(-,+)上什么值, 都有
N
1 ,
当n
N 时,
恒有
sin nx n
,
所以函数列
sin nx n
在(-,+)上一致收敛于
收敛, 而使用余项准则需要知道极限函数, 但使用 较为方便. 如例2, 由于
lim sup sin nx 0 lim 1 0,
n n x(, )
n n
所以在(,
)上,
sin nx n
0
(n ).
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例3 定义在[0,1]上的函数列
2n2 x,
0 x 1 , 2n
fn ( x) 2n 2n2 x,
(1)
是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E
上的函数列. (1) 也可记为
{ fn } 或 fn , n 1, 2, .
以 x0 E 代入 (1), 可得数列
f1( x0 ), f2( x0 ), , fn( x0 ), .
(2)
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一致收敛
n= 1
∞
n= 1
∞
∫x
证: 因为
k= 1
x
0
S(x)d x = ∑ ∫ un(x)d x
n= 1 x0
x
且上式右端级数在 [a, b] 上也一致收敛 .
∑ ∫x
n
x
0
uk (x)d x = ∫
x
x0
k= 1
∑uk (x)d x = ∫x
目录
n
x
0
Sn(x)d x
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所以只需证明对任意 x0, x∈[a,b] (x0 < x), 一致有
2 n n− 1
在 [0,1] 上不一致收敛 .
+ 证: Sn(x) = x +(x − x) +L (x − x
)=x
n
0, S(x) = 1,
− xn, 0 ≤ x <1 rn(x) = S(x) −Sn(x) = 0, x =1 1 1, 对无论多么大的正数 N , 取x = (1) N+1, 取正数 ε < 0 2 2
*第六节
第十二章
函数项级数的一致收敛性 及一致收敛级数的基本性质
一、函数项级数的一致收敛性 二、一致收敛级数的基本性质
目录
上页
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返回
结束
一、函数项级数的一致收敛性
幂级数在收敛区间上的性质类似于多项式, 但一般函 数项级数则不一定有这么好的特点. 例如, 例如 级数
x +(x − x) +(x − x ) +L+(x − x
2) 正 级 ∑an 收 , 项 数 敛
则函数项级数 ∑un(x) 在区间 I 上一致收敛 .
∞
n= 1
∞
∫x
证: 因为
k= 1
x
0
S(x)d x = ∑ ∫ un(x)d x
n= 1 x0
x
且上式右端级数在 [a, b] 上也一致收敛 .
∑ ∫x
n
x
0
uk (x)d x = ∫
x
x0
k= 1
∑uk (x)d x = ∫x
目录
n
x
0
Sn(x)d x
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所以只需证明对任意 x0, x∈[a,b] (x0 < x), 一致有
2 n n− 1
在 [0,1] 上不一致收敛 .
+ 证: Sn(x) = x +(x − x) +L (x − x
)=x
n
0, S(x) = 1,
− xn, 0 ≤ x <1 rn(x) = S(x) −Sn(x) = 0, x =1 1 1, 对无论多么大的正数 N , 取x = (1) N+1, 取正数 ε < 0 2 2
*第六节
第十二章
函数项级数的一致收敛性 及一致收敛级数的基本性质
一、函数项级数的一致收敛性 二、一致收敛级数的基本性质
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结束
一、函数项级数的一致收敛性
幂级数在收敛区间上的性质类似于多项式, 但一般函 数项级数则不一定有这么好的特点. 例如, 例如 级数
x +(x − x) +(x − x ) +L+(x − x
2) 正 级 ∑an 收 , 项 数 敛
则函数项级数 ∑un(x) 在区间 I 上一致收敛 .
11-2 数项级数收敛性的判定
n =1
∑v
n=1
∞
n
也发散 .
推论 设两正项级数
∞ ∞ un 1 （ 若 lim ） = 0 , 则由 vn 收敛可推知 un 收敛. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ ∞ un 2 若 （） lim = ∞ , 则由 vn 发散可推知 un 发散. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
1 1 1 1 (3) 调和级数 ∑ = 1 + + + L + + L 发散 2 3 n n =1 n
©
∞
1 1 1 1 例1. 证明 p－级数 ∑ p = 1 + p + p +L+ p +L 2 3 n n=1 n
∞
0 时发散， 当 < p ≤ 1时发散， p > 1 时收敛. 当
un+1 知存在N ∈Z ,当n ≥ N 时 < r < 1, 即un+1 < run , un
∞ ∞
+
将 ∑ uN + n 与收敛的等比级数
n =1
r n uN 比较， ∑ 比较，
n =1
可知原级数收敛。 可知原级数收敛。
(2) 当 ρ > 1或 ρ = ∞时必存在N ∈ Z+ , uN ≠ 0, 当n ≥ N , 时 从而
§11.2 数项级数的概念和性质
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛和条件收敛
一、正项级数及其审敛法 若 un ≥ 0, 则称 ∑un 为正项级数 .
n=1 ∞
定理 1. 正项级数 有上界 . 证: “ “ ”若 ”
∑v
n=1
∞
n
也发散 .
推论 设两正项级数
∞ ∞ un 1 （ 若 lim ） = 0 , 则由 vn 收敛可推知 un 收敛. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ ∞ un 2 若 （） lim = ∞ , 则由 vn 发散可推知 un 发散. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
1 1 1 1 (3) 调和级数 ∑ = 1 + + + L + + L 发散 2 3 n n =1 n
©
∞
1 1 1 1 例1. 证明 p－级数 ∑ p = 1 + p + p +L+ p +L 2 3 n n=1 n
∞
0 时发散， 当 < p ≤ 1时发散， p > 1 时收敛. 当
un+1 知存在N ∈Z ,当n ≥ N 时 < r < 1, 即un+1 < run , un
∞ ∞
+
将 ∑ uN + n 与收敛的等比级数
n =1
r n uN 比较， ∑ 比较，
n =1
可知原级数收敛。 可知原级数收敛。
(2) 当 ρ > 1或 ρ = ∞时必存在N ∈ Z+ , uN ≠ 0, 当n ≥ N , 时 从而
§11.2 数项级数的概念和性质
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛和条件收敛
一、正项级数及其审敛法 若 un ≥ 0, 则称 ∑un 为正项级数 .
n=1 ∞
定理 1. 正项级数 有上界 . 证: “ “ ”若 ”
§13..2一致收敛性质
2015年11月23日星期一 11
例1 设函数
1 2 n x , 0 x , n 2n 1 1 f n ( x ) 2 n 2n n x , x , 2n n 1 x 1, 0, n
y
n 1, 2, .
(其图象如图13－6所示). 显然 { f n ( x )}是 [0, 1] 上的 连续函数列, 且对任意
O
1 2n
1 n
1
x
因此, { f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致 收敛于 0 的充要条件是 n 0( n ) .
2015年11月23日星期一
13
fn ( x)
f ( x ) 当且仅当 lim n 0.
n
1
0
f n ( x )dx
n
2n
,
0
1
f n ( x )dx f ( x )dx 0 当且仅当 l i m n 0. 0 n
如
I
f(x).
f n ( x ) x n , x ( 1,1],
0, x 1, 其极限函数：f ( x ) 1, x 1.
所以 在x=1不连续，
fn ( x)
I
f(x).
7
2015年11月23日星期一
定理13.9
若 fn ( x)
f ( x)
x I,
则f ( x)也在I上连续 . 且n, f n ( x )在I连续，
即极限号与求导符号可交换。 注：在本定理条件下，可推出
fn ( x)
f ( x)
15
2015年11月23日星期一
证
设f n ( x0 ) A,
例1 设函数
1 2 n x , 0 x , n 2n 1 1 f n ( x ) 2 n 2n n x , x , 2n n 1 x 1, 0, n
y
n 1, 2, .
(其图象如图13－6所示). 显然 { f n ( x )}是 [0, 1] 上的 连续函数列, 且对任意
O
1 2n
1 n
1
x
因此, { f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致 收敛于 0 的充要条件是 n 0( n ) .
2015年11月23日星期一
13
fn ( x)
f ( x ) 当且仅当 lim n 0.
n
1
0
f n ( x )dx
n
2n
,
0
1
f n ( x )dx f ( x )dx 0 当且仅当 l i m n 0. 0 n
如
I
f(x).
f n ( x ) x n , x ( 1,1],
0, x 1, 其极限函数：f ( x ) 1, x 1.
所以 在x=1不连续，
fn ( x)
I
f(x).
7
2015年11月23日星期一
定理13.9
若 fn ( x)
f ( x)
x I,
则f ( x)也在I上连续 . 且n, f n ( x )在I连续，
即极限号与求导符号可交换。 注：在本定理条件下，可推出
fn ( x)
f ( x)
15
2015年11月23日星期一
证
设f n ( x0 ) A,
函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
y S(x)
y Sn (x)
I
x
定理(柯西收敛原理)
un ( x)在I上一致收敛于S( x) 0, N ( ) N ,
n1
当n N ( )时, x I ,p N , un1( x) un p( x) .
推论 若 un ( x)在I上一致收敛，则 {un( x)}在I上一致 n1
即 0, N ( x0 , ) 0,当n N ( x0 , )时, | fn ( x0 ) f ( x0 ) |
定义 设 fn(x)在点集I上逐点收敛于f (x)，且对
任意 0, 存在与x无关N ( ), 使得当n N时, 对一
切x I , 都有 fn(x) f (x) , 则称 fn(x)在I上一
>
N
时有
rn (x) (0 x )
这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 S(x) 1 . x 1
余项 rn (x) 一致收敛于 0
几何解释 : (如图)
0, N N , 当n > N 时, S(x) Sn (x) 表示 曲线 y Sn (x) 总位于曲线 y S(x) 与y S(x)
之间.
y S(x)
y S(x)
例.
求证fn ( x)
1
x n2
x2
在(, )上一致收敛.
证明： x (, ),
lim
n
fn ( x)
x
lim
n
1
n2
x
2
0, 逐点收敛于f ( x)
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在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收
敛但定理结论成立的例子. 在今后的进一步学习中 (如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件, 但在目前情况下, 只有满足一致收敛的条件, 才能
保证定理结论的成立. 下面讨论定义在区间 [a , b] 上函数项级数
u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) (5)
§2 一致收敛函数列与 函数项级数的性质
一致收敛性的重要性在于可以将通
项函数的许多解析性质遗传给和函数，
如连续性、可积性、可微性等，这在
理论上非常重要.
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定理8 ( 极限交换定理 ) 设函数列
{ fn } 在
(a , x0 ) ( x0 , b) 上一致收敛于 f ( x ) , 且对每个 n,
证 设 lim f n ( x0 ) A, g 为 f n 在 [a , b] 上极限函数,
n
下面证明函数列 { f n } 在区间 [a , b]上收敛, 且其极限
函数的导数存在且等于g.
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证 设 lim f n ( x0 ) A, g 为 f n 在 [a , b] 上极限函数,
0
1
的充要条件是 lim
n
n
2n
0.
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{ f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致收敛于 0 的充要条件是 n 0 (n )
1
0
f n ( x )dx f ( x )dx 0 的充要条件是 lim
0
n
1
n
2n
0.
这样,当 n 1 时, 虽然 { f n ( x )}不一致收敛于 f ( x ) ,
3
3
和 | a N 1 A |
3
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| f ( x ) A || f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 | | a N 1 A |
又因为 lim f N 1 ( x ) a N 1 , 故存在 0 , 当 x x
x
x0
g ( t )dt . 所以上式左边极限存在, 记为 f ,于是 f ( x ) lim f n ( x ) A g( t )dt .
n x0 x
由 g 的连续性及微积分学基本定理得 f g .
这就证明了等式(4).
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注 请注意定理中的条件 x0 为 { f n } 的收敛点的作用.
x x0
lim f n ( x ) an , 则 lim an和lim f ( x ) 均存在且相等. 即
n
x x0
x x0 n
lim lim f n ( x ) lim lim f n ( x ).
n x x0
(1)
证 先证 {an }是收敛数列. 对任意 0 , 由于 { f n } 一 致收敛, 故存在正整数 N, 当 n>N 及任意正整数 p, 对一切 x (a , x0 ) ( x0 , b) 有
0
0 | x x0 | 时,也有 | f N 1 ( x ) a N 1 |
这样, 当 x 满足 0 x x0 时,
3
.
| f ( x ) A || f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 |
n
n
fn
又 sup | f n ( x ) 0 | n
x[0, 1]
图 13 6
因此, { f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致
O
1 2n
1 n
1
x
收敛于 0 的充要条件是 n 0( n ) .
又因 f n ( x )dx
0
1
n
2n
,故
1
0
f n ( x )dx f ( x )dx 0
n { x } 的各项在 ( 1, 1] 上都是连续的, 但 例如: 函数列
0, 1 x 1, 其极限函数 f ( x ) 在 x 1 时不连 1, x 1
n { x } 在 ( 1, 1] 上不一致收敛. 续, 所以
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定理10 (可积性) 若函数列 敛, 且每一项都连续, 则
这就证明了等式 (3 ). 这个定理指出: 在一致收敛的条件下, 极限运算与 积分运算的顺序可以交换.
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例1 设函数
1 0 x , 2n n x , 2n 1 1 f n ( x ) 2 n 2n n x , x , 2n n 1 x 1, 0, n
n x x0
下面证明 lim f ( x ) lim lim f n ( x ) A.
x x0 x x0 n
注意到
| f ( x) A |
| f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 | | a N 1 A |
| a N 1 A |
x x0
3
3
3
,
这就证明了 lim f ( x ) A.
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定理指出: 在一致收敛的条件下, { f n ( x )} 中关于独 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立.
fn ( x) 类似地, 若 f n ( x ) 在 (a, b) 上一致收敛, 且 lim
n x b
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定理9 (连续性) 若函数列
{ f n } 在区间 I上一致收
敛, 且每一项都连续, 则其极限函数 f 在 I 上也连续. 证 设 x0 为 I 上任一点. 由于 lim f n ( x ) f n ( x0 ), 于 x x
0
是由定理 8 知
x x0
x x0
只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定
的任意正数即可.
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| f ( x ) A || f ( x ) f N 1 ( x ) | | f N 1 ( x ) a N 1 | | a N 1 A |
an 收敛于A , 因此对任 由于 f n ( x ) 一致收敛于 f ( x )，
| f n ( x ) f n p ( x ) | .
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从而
| an an p | lim | f n ( x ) f n p ( x ) | .
x x0
于是由柯西准则可知 {an }是收敛数列, 设 lim an A,
n
即 lim lim f n ( x ) A,
的连续性、逐项求积与逐项求导的性质, 这些性质
可根据函数列的相应性质推出.
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定理12(极限交换定理、连续性定理)
1. 若函数项级数 un ( x ) 在 U ( x0 ) 一致收敛, 且对
lim un ( x ) an , 则有 每个 n , x x
{ f n } 在 [a , b] 上一致收
lim f n ( x ) dx lim f n ( x ) dx .
n a a n
b
b
(3)
证 设 f 为函数列 { f n } 在 [a , b] 上的极限函数. 由定理 9知
f 在 [a , b] 上连续, 从而 f n ( n 1,2, ) 与 f 在
意 0 , 存在正数 N , 当 n N 时, 对任意 x (a , x0 )
( x0 , b) , 有
3 同时成立. 特别当 n N 1 时, 有 | f N 1 ( x ) f ( x ) | | f n ( x ) f ( x ) |
和 | an A |
lim f ( x ) 也存在, 且
n
lim f ( x ) lim f n ( x0 ) f ( x0 ),
因此 f ( x ) 在 x0 上连续.
定理9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数 列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函数列在区
间 Iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上一定不一致收敛.
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[a , b] 上都可积. 于是(3)变为
lim f n ( x ) dx f ( x ) dx .
n a a
b
b
(3)
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因为在 [a, b] 上 f n一致收敛于f , 故对于任意 0 ,
存在 N , 当 n N 时, 对一切 x [a , b], 都有
与
在 [0, 1] 上都收敛于0, 由于
1 lim max | f n( x ) f ( x ) | , n x[0, 1] 2
所以导函数列 { f n( x )} 在 [0,1] 上不一致收敛, 但有
lim f n( x ) 0 [lim f n ( x )] .
n n
| f n ( x ) f ( x ) | .
再根据定积分的性质, 当 n N 时有
b
a
f n ( x ) f ( x ) dx
a
b
b
a
( f n ( x ) f ( x )) dx
f n ( x ) f ( x ) dx (b a ),
a
b
x a
lim f n ( x ) lim lim f n ( x ); 存在, 则有 lim