高中数学直线与双曲线位置关系

1
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含 焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在 双 曲 线 外
在 原 点
直线 三 两 条数 条 条
四条
不
两条 存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的 位置
区
区
区
原 双曲 渐近
存在 方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点 线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不 存 在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
13
利用弦长公式：
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
y
.
.
. F1 O
F2
思考：什么情况下两个交点？
当 2 k 2且k 1时，直线与双曲线有两 个交点
思考：什么情况下两个交点在右支？
当1 k 2时，直线与双曲线有两 个交点都在右支
思考：什么情况下两个交点在两支上？
当1 k 1时，直线与双曲线有两个交点在两支上
18
例5、已知双曲线方程： x2 y 2 1
21
例6、在双曲线 y2
12
x2 13
1
的一支上有不同的三点A(x1,
y1),
B ( 26，6),C（x3，y3）且与点F（0 ，5）的距离成等差数列。
（1）求y1 y3；
（2）求证AC的垂直平分线必过定点。
解：由双曲线
y2 12
x2 13
1得
y
.F1
•A
•B
•C
点 F(0，5) 是此双曲线的一焦点 .
当k 1时， x 1 直线与双曲线有交点
当k 1时， 4k 2 8(1 k 2 ) 0 2 k 2且k 1
综上，当 2 k 2时，直线与双曲线有交 点
思考：什么情况下只有一个交点？
15
思考：什么情况下只有一个交点？ 当k 2或k 1时， 直线与双曲线只有一交点 (1 k 2 )x2 2kx 2 0
或 AB
1
1 k2
( y1 y2 )2 4 y1 y2
14
例4、已知双曲线x2 y2 1及直线y kx 1，
（1）若直线与双曲线有交点，求k的范围；
y
（2）若 | k |
6 2
，求SOAB
解：（1）联立xy2kyx211
.
.
. F1 O
F2
x
(1 k 2 )x2 2kx 2 0 (| x | 1)
2
(1 2k 2 )x2 4k(1 k)x 2(1 k)2 4 0
oM2..N 2
x
2
x1 x2 2
2k(1 k) 1 2k 2
1
k
1， 2
直线
AB
的方程为：
y
1
1 2
(x
1)
即
x 2y 1 0.
20
(2) 假设过 N 的直线交双曲线于 C(x1 ，y1) ，D(x2 ，y2 ) ，则
x12
4
y12 2
1 相减
x22 4
y2 2 2
1
y1 y2 x1 x2
1 2
x1 x2 y1 y2
1 2
xN yN
1
y
即 kCD 1，
双曲线的渐近线方程为：y
2 2
x
kCD
2 2
直线 l 与双曲线没有交点
2
oM2..N 2
x
以 N(1，12) 为弦的中点的直线不存 在 .
2
则k y2 y1 2(x1 x2 ) 4 2 x2 x1 ( y1 y2 ) 2
l : y 1 2(x 1)
但
此时
y x2
2x y2
2
1 无解
1
不存在直线
28
例、(1)若直线y kx 1与
y
M
曲线C:y x2 1有两个交点
求实数k的取值范围
o
x
例6(2)若直线y kx 2与
直线L与双曲线C只有一个公共点；
11
练习.过点P(1,1)与双曲线x92
y2 16
1只有
Y
一个
交点的直线 共有___4____条.
（1，1）
变题:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
O
x
（1）由题意 A、B、C三点在双曲线上支上，
.F2
由双曲线第二定义得：
AF dA
e | AF | dAe
同理 BF dBe，CF dCe
AF 、BF 、CF 成等差数列 d A, dB , dC成等差数列
即2(
yB
a2 c
)
(
yA
a2 c
)
(
yC
a2 c
)
y1 y3 12 .
22
AB
|
d,
(d是O到直线AB的距离)
d 1
.
F1
O
1 k2
联立xy2kyx211 (1 k 2 )x2 2kx 2 0
由弦长公式：| AB |
1 k2 |a|
1 k2
8 4k 2 |1k2 |
S 1 2
1 k2
2
2k2 k2 1
1
1 k2
2k2 k2 1
2
•A
• B. F2
17
思考：什么情况下只有一个交点？ 当k 2或k 1时， 直线与双曲线只有一交点 (1 k 2 )x2 2kx 2 0
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
5
y = kx + m
x2
a 2
-
y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行 或重合。
求k为何值时,直线与双曲线只有一个公共点?
解：3yx2
kx y2
1
1
3x2
(kx 1)2
1
y
(3 k2)x2 2kx 2 0
A PB
若3－k2 0,即k 3
0
x
此时直线与双曲线相交于一个公共点
若3－k2 0
＝4k2 4 2 (3 k2) 4k2 24＝0
即k= 6, 此时直线与双曲线相切于一点
存 在
存 在
存 在
不 存 在
不 存 在
27
例：已知双曲线 x2 y2 1, 过点M (1,1)能否作直线 l与双曲线 2
交于A，B两点，且 M为线段AB的中点？ 若可以，设截得的弦的 端点A(x1, y1), B(x2, y2 ), 则2x12 y12 2,2x22 y22 2,且x1 x2 2, y1 y2 2
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 x1
y2 x2
1 2
x1 y1
x2 y2
2
k AB
1 2
xM yM
1 2
即
kAB
1 2
，
oM2..N 2
x
2
直线
AB
的方程为：
y
1
1 2
(x
1)
即
x 2y 1 0.
19
y
解法二：设lAB : y 1 k(x 1)
联立xy2k2xy214k
4
设经过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线L 只有两条, 求实数m的范围;
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探究1:已知双曲线
x2 a2
by,22过点1 P(m,n)与
双曲线只有一个公共点的直线有几条?与该点的
位置有何关系?
双
点曲
P(m,n) 的位置
线
上
双
双曲线外(不含焦点)
(
曲含
线
焦 点
)
内
除渐近线 在渐近线 及原点 上(除原点)
8
直线与双 曲线相交
有两个公共点
方程有两个不 同的根Δ>0