一堂高三解析几何复习课的教学设计与反思
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一堂几何复习课的教学设计和反思 1引言 复习课的类型很多，但目的部是帮助学生整理和贯通知识•复习课要精讲多练, 但乂不能把它演变成纯粹的习题课，否则效果英微.尤其在于儿何课，有效地设计问题，多 角度地分析一个问题，多方血地用好一个图形，常常会使教学收到意想不到的效果.下以北师大义务标准实验教材为例，谈一谈九年级上册第一章《证明（二）》的复习 设计. 2设计过程2」知识整理这一环节通过填空的形式冋顾本章的重点概念，体会知识的初步运用.根据不同的知识点我设计了 5个问题:⑴定理“等腰三角形的两个底角相等“的逆命题是知识点：逆命题及逆定理的意义和表述.⑵用'反证法'证明：“等腰三角形的两个底角小于90° ”，可以假设:知识点：反证法的意义和证明的基本步骤及表述.⑶如图甲，在 屮，ZC=90° , AC=BC,若 AC=4f 则 AB 二 ____________ . 知识点：勾股定理及等腰直角三角形的有关结论.⑷如图乙，ZC=90° , 平分ZBAC,若CD=2,则点D 到AC 边的距离等于 _____________________ . 知识点：角平分线的性质定理、点到直线的距离.（5）在厶仏仑屮，AB 的垂育平分线交AC 于点E,已知BE+EC=25cm,则AC= _______________ cm. 知识点：中垂线的性质定理.教学设想以上知识主要考杳学生对重点概念、定理的表述和理解•问题部提得比较浅 显，这是为了给学生营造一个宽松的学习机会，也是整节课的'热身'・同时通过让学生冋 顾必要的知识点，锻炼其语言表述能力.2.2讨论思考问题：如图I 所示，将两张三角形纸片（/XABC 和厶DCB ）按BC 边重叠放置，已知Z1二 Z2,要使两张纸片经过变换能完全重合，还需要添加什么条件？BA 乙 A丙A DC图1生1：①添加条件：ZA=ZD,利用“AAS”来判定.生2：②添加条件：AC = BD,利用“SAS”来判定.生3：③添加条件：ZABC二ZDCB,利用“4S4”来判定.改变已知：如图2,将原题中的Z1 = Z2改为ZBAC二ZCDB=90°・可添条件：①AB=CD (HL) ② AC = BD(HL)③ ZDBC =ZACB(AAS) @ZABC =ZDCB(AAS)教学设想此题以纸片重吾放置为背景，复习三角形全等的几种主要判定.为了使学生要效地区别这几种判定，问题设计成结论确定(全等)而条件开放的题型•而图2是在图1 的基础上稍作变形，引出育角三角形的儿种判定.从图1到图2—方面体现从一般(三角形) 到特殊(三角形)的演绎思想，另一方血使学生对三角形判定的类型有了完整的认识，从而完成了对这一知识网络的建构.整理了三角形全等判定的主要类型示，接下来很自然过渡到对这一知识的运用.利用图2,通过延长84和CD产生交点E,进一步连接E0 (字母0为后来添加)得到图3：E在可添条件中，选择①AB=CD(HL)J ,形成如下问题:如图3,已知ZB4C二ZCDB=90° ,且AB=CD,则图屮有几对全等的三角形?结论：△EOA丝△EOD, AEOB^/^EOCMOB竺NDOC, HABC竺厶DCB 厶EDB竺厶EAC教学设想这里恰如其分的利用图2构造形成图3,所提的问题与又与前者整理的知识相呼应，这使问题Z间的衔接流畅而又紧凑.教学说明图3屮标注了序号数①②③，同一个数代表一对全等三角形.通过从一个到多个数字的组合(如①+②代表△EOB)可以依序写出所有全等的三角形，这样能避免直接观察产生的重父和遗漏.根据图3,不改变原题的条件，我顺势又设计了如下两个问题：问题1：如图3,已知ZBAC=ZCDB=90° ,且求证:OE平分ZBEC参考思路:⑴△E049Z\E0D；⑺HEOB竺NEOC；（3）04=00问题2：如图3,己知ZB4C=ZCDB=90°，且AB=CD,请你判断0E所在的直线与〃C的位置关系？（说明理由）参考思路:⑴如图4,延长E0交BC于F点,证厶EFB竺/\EFC；⑵先说明EB=EC, 利用问题1的结论，根据等腰三角形“三线合一”说明问题；⑶先证EB=EC, 0B=0C,说明。
基于核心素养的解析几何复习课的教学设计与反思
基于核心素养的解析几何复习课的教学设计与反思作者：欧阳晓萍来源：《新课程》2021年第31期摘要：数学核心素养既有独立性又互相交融，形成一个有机整体。
在高中解析几何复习课中，通过设计合理的数学问题，让学生在数学活动过程中掌握基础知识、技能以及感悟数学基本思想的能力，激发他们的数学思维，积累实践的经验，促使学生发展和形成数学核心素养。
关键词：核心素养;解析几何;教学设计高中数学教师在解析几何复习课中落实数学核心素养，首先要对数学内容的本质进行把握，通过提出合理的问题，启发学生进行独立的思考和探索，鼓励学生和其他学生进行交流和讨论，在数学活动的过程中让学生掌握基础知识，在这个基础上促进学生发展和形成数学核心思想，实际上也是帮助学生养成一种习惯和思维方式。
本文以高中解析几何的复习课为例，基于核心素养让学生进行数学学习。
一、学情分析解析几何在高考中是重难点问题，学生比较难掌握。
他们缺少计算能力，在解题时产生了一定的影响，除此之外还缺少解题的方法，缺乏数形结合解决问题的意识，因此在平时的课堂教学中，教师要引导学生多对数学原题目进行反思、改造，改变问题的条件或结论，改变其形式或内容而构造出充满生机的“新题”，这样可以促使学生随时根据变化的条件积极思考，寻找解决方法，从而培养思维的广阔性。
我们每解答一道数学题后，若能将其中的条件、结论做一些改变，或问题的呈现方式做一些改变，会有什么结果产生呢？常这样去反思是非常有益的。
二、教学设计如图，点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状。
与2.2例3比较，你有什么发现？（人教A版，选修2-1，第59页，探究）设计意图：本题条件比较简单，让学生从简单的直接法入手回顾解析几何求轨迹的知识，增加学生的学习信心。
变式1：已知点A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）（a>0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是k（k≠0），求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状。
解析几何复习：高三解析几何中斜率之和为零的问题探究
解析几何复习：高三解析几何中斜率之和为零的问题探究解析几何中斜率之和为零的问题探究教学目标：掌握解析几何中斜率之和为零这类问题的基本解法，并不断推广、深入，掌握一般性的结论；通过一类问题的探究提高学生的分析能力，引导学生养成探究、拓展、深入思考的惯。
教学重点：方法的确定与推广。
教学难点：运算的简化。
教学方法：探究研讨式。
教学过程：问题一：已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$及定点A(1,2/3)，E,F是椭圆上两个不同的动点，且直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，问直线EF的斜率是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由。
思路分析：方法一：利用两直线斜率之和为零，设一条斜率为K，另一条为-K，解出E、F两点的坐标，再计算斜率。
方法二：假设直线EF斜率为定值，设为K，设出EF直线，与椭圆方程联立，然后再通过斜率之和为零构造关于K 的方程。
方法三：先从特殊位置（考虑E、F两点重合）猜出EF 斜率是定值，并确定该值，然后验证。
解答一：设AE斜率为k，则AF的斜率为-k。
frac{3x^2}{4y^2}+k^2=1$与$\frac{3x^2}{4y^2}+(-k)^2=1$联立得：$4k^2x^2+12kxy-3y^2=243$4k^2x^2+12kxy-3y^2-243=0$Delta=144y^2-4(4k^2)(-3y^2+243)=16(4k^2+3)y^2-192k^2$Delta=0$时，$y=\pm\frac{3}{2}$，代入得$x=\pm 1$，即E、F两点坐标为$(1,\frac{3}{2})$和$(1,-\frac{3}{2})$。
frac{y-\frac{3}{2}}{x-1}=\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}}{1-1}=0$，$\frac{y+\frac{3}{2}}{x-1}=\frac{-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}}{1-1}=0$，故直线EF斜率为0.解答二：设AE斜率为k，则AF的斜率为-k。
《解析几何》课程教案
一、教案基本信息教案名称：《解析几何》课程教案课时安排：共24 课时，每课时45 分钟教学对象：高中一年级学生教学目标：1. 让学生掌握解析几何的基本概念、方法和技巧。
2. 培养学生运用解析几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
教学内容：第一章：解析几何概述1.1 解析几何的定义与发展历程1.2 坐标系与坐标轴1.3 点、直线、圆的方程第二章：直线方程2.1 直线方程的定义与分类2.2 直线方程的斜率与截距2.3 直线方程的应用第三章：圆的方程3.1 圆的方程定义与性质3.2 圆的标准方程与一般方程3.3 圆的方程应用第四章：曲线与方程4.1 曲线与方程的概念4.2 常见曲线的方程4.3 曲线与方程的应用第五章：解析几何中的问题解决策略5.1 解析几何问题的类型与解法5.2 图形分析与变换5.3 解析几何在实际问题中的应用二、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解解析几何的基本概念、方法和技巧。
2. 运用案例分析法，结合具体实例分析，让学生深入理解解析几何的应用。
3. 采用互动教学法，鼓励学生提问、讨论，提高学生的参与度。
4. 利用数形结合法，引导学生通过图形来直观理解解析几何问题。
三、教学评价1. 平时作业：检查学生对基本概念、方法和技巧的掌握程度。
2. 课堂练习：评估学生在课堂上解决问题、分析问题的能力。
3. 课程报告：考察学生对实际问题应用解析几何知识的能力。
4. 期末考试：全面测试学生对本课程的掌握情况。
四、教学资源1. 教材：选用权威、实用的解析几何教材。
2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助课堂教学。
3. 习题库：提供丰富、多样的习题，便于学生课后练习。
4. 参考资料：推荐学生阅读相关书籍、论文，拓展知识面。
五、教学进度安排第1-4 课时：解析几何概述第5-8 课时：直线方程第9-12 课时：圆的方程第13-16 课时：曲线与方程第17-20 课时：解析几何中的问题解决策略第21-24 课时：复习与总结六、教学策略及建议6.1 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，既注重基础知识的学习，又提供一定的拓展内容。
基于解析几何复习教学的几点反思
基于解析几何复习教学的几点反思作者：张炳峰戴栋焱来源：《数学教学通讯·高中版》2018年第11期[摘要] 很多教师在学生基本掌握复习内容的前提下常常不经意间就将数学复习课上出了“炒冷饭”的味道，知识的简单累加使得知识新授课的历史重演，学生感受不到新意的同时也会觉得课堂枯燥无比.[关键词] 定点问题；复习教学；反思解析几何的定点问题一直是一个相当重要的内容，笔者在高二年级解析几何定点问题的复习教学中产生了一些感悟，本文结合笔者的课堂教学实践与自身的思考对该内容的课堂教学进行了反思.教学过程例：如图1，已知抛物线y2=2px（p>0）及抛物线上两点A，B，满足⊥，直线AB是否经过定点？若经过，求出该定点；若不经过，请说明理由.笔者在学生思考的空隙画出了示意图.师：同学们，我们之前已经学习了直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的性质等内容，今天这堂课的研究重点是解析几何中的定点问题，我们应该怎样将已学知识联系起来对这一问题展开研究呢？生1：我认为这个定点是F，0.师：你的理由是怎样的呢？生1：我们研究抛物线时接触得最多的便是抛物线的焦点与准线等问题，结合这张图我认为定点应该就是焦点.其他学生中有持赞同意见的，有的则蹙眉不语.生2：我感觉不对呢，因为当直线AB垂直于x轴时，可以得到与x轴的交点为（2p，0），因此，我认为定点应该是（2p，0）.师：很好，生2运用特殊化的办法将生1的猜测否定了，给出自己猜想的同时还运用到了由特殊到一般的思想方法，这是值得同学们学习的. 那么，对于你自己的猜想你怎样证明呢？生2：还没想好.师：同学们能帮他证明这一猜想吗？生3：我认为可以设A（x1，y1），B（x2，y2），因为⊥，所以x1x2+y1y2=0，这样找到x1，x2，y1，y2这四个变量之间的关系并设直线方程. 不过我又感觉这一做法中包含的变量太多，后面怎么做我也不会了.师：充分利用题中所给的向量条件来处理问题的想法很好，既然大家感觉利用向量来找关系有一定难度，那么大家是否可以思考这一向量垂直条件的其他用法呢？生4：因为OA⊥OB，所以设直线OA的方程为y=kx（k存在，k≠0），则直线OB的方程为y=-x，与抛物线方程联立可以分别求出A，B两点的坐标，并依据A，B两点的坐标再求出直线AB的方程并最终求出定点.师：太棒了！利用题中的垂直条件使得四个变量减少成了一个，变量的减少将“围魏救赵”的战略策略完全体现了出来，参数数量过多带来的困扰得以成功化解.师：定点是焦点这一结论已经被生2利用特殊位置否定了，是否还有其他办法能够求出该定点呢？生5：设点C（2p，0），通过证明∥，从而证明A，C，B三点共线.师：这种思想方法从另一个角度将此定点问题解决了. 同学们刚才的发言都很有思想性，事实上，解析几何中的定点问题借助多媒体可以实现直观的演示并使学生建立准确的感性认识，考试新题设计的时候就会经常运用这种方法.教师随即利用几何画板将这一问题进行了动画演示.师：同学们，条件与结论互换之后的命题还成立吗？这是留给大家课后思考的问题.师：解析几何中定点问题究竟应该怎样解决是我们这一堂课重点研究的问题，我们在上述的探索与讨论之后不难发现，合理选择参数并大胆假设直线继而转换成恒成立问题之后一般都能解决此类问题，不过，选择参数时还是要慎重的，应注重运用多个途径来进行消参并简化计算. 另一办法就是利用特殊位置进行定点的猜测并结合三点共线的证明来解决.教学反思1. 教学应关注目标并体现新课程理念教学活动实施的方向以及预设可能达成的结果即为我们每节课所确立的教学目标，作为教学设计核心与关键的教学目标对于课堂教学来说就是指挥棒与生命线. 本节课的教学目标就是引导学生在探索、思考中发现并掌握解析几何中定点问题的常用解决办法. 学生的思维在教师所设计的层层递进的教学活动中飞向高空但又固定在一定的轨道上. 教师在平时的教学中一定要对教学目标加强关注，这一具体的微观目标专注于学生对具体内容的学习，是教学活动中细节问题的处理，因此，“具体化”“可操作”“可检测”成为教师检查教学目标实效性的标准，也是教师在课堂教学中所要强调的.2. 教学应关注学生主体并拓展学生思维高中数学新课标尤其强调了教师应对学生的自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等方法进行大力地倡导与指点，这些方式能够更好地促进学生学习主动性的发挥并使学习过程成为学生思维再创造的过程. 学生在本节课的复习教学之前已经初步掌握了解析几何中“坐标法”这一基本思想，处理直线和圆锥曲线的方法也已经得到了系统的学习，因此，本节课的复习教学完全可以把课堂还给学生，使学生在“头脑风暴”式的探究中不断拓展思路. 事实上，本章节知识系统的完整性也确实在前后呼应的知识整合中得到了构建与完善. 笔者在本堂课的教学中关注学生解题思路的同时也在对学生进行及时的肯定与表扬，学生在教师的鼓励与表扬中大胆地展露了自己的思想，“教师主导”“学生主体”的新课程理念也在教学设计中的讨论部分得到了充分的体现，将课堂还给学生并充当幕后推手的教师使课堂教学中教师“一言堂”的情况得到了彻底的改变，学生的思维也得到了最大限度的锻炼和发挥.3. 教学应关注小切口的把握并追求新视角复习课上出新意才能使效果更好，相当一部分教师总认为数学复习课的教学难度很大，因为学生已经掌握基本的数学知识，因此很多教师不经意间就将数学复习课上出了“炒冷饭”的味道，知识的简单累加使得知识新授课的历史重演，学生感受不到新意的同时也会觉得课堂枯燥无比. 事实上，复习课在知识的回顾与整理中加强思想方法的沟通才是正确的. 因此，有所侧重绝对是复习课教学首先应该把握的，某一块知识或某一类问题的集中解决是复习课教学的重点. 其次，教师应在复习课的教学形式上力求做到切口小、视角新以摆脱复习无趣的困境. 本课的复习教学没有把定点与定值问题捆绑在一起，对于定点问题进行了集中关注与解决，这是把握小切口这一原则在教学设计中的具体体现，学生的知识在纵深方向上的延伸得以实现，连点成线、以点带面的复习效果也因为这一设计得以实现.本节课一改直接设直线AB的方法并以新的视角与问题为线索对解决方法进行了探究，设OA，OB两直线方程后求出A，B两点的坐标并最终求得直线AB的方程，学生知识的增长点得到了新的构建，学生原有知识的归纳与整理因为小切口、新视角的设计得以更好地实现，学生感觉新鲜、新奇的同时也建立了多角度思考问题的意识，这与华罗庚教授所提出的从其他角度进行复习的理念是完全吻合的.4. 教学应借助多媒体并实现新飞跃学生在定点这一高考重点内容上的得分率一向是比较低的，仔细分析发现，学生对定点产生的原因与过程不能很好地理解是导致得分低下的主要原因. 笔者在本课的教学中借助多媒体手段为学生对定点产生建立直观感受起到了很好的推动作用，学生因此对定点问题与恒成立问题之间的转化形成了更好的体会，由此可见，适时而合理的多媒体手段对于学生感性认识的建立、感性认识向理性认识的转变来说都是极有意义的.5. 教学应彰显课堂本色并延伸小课堂知识的传递与技能的训练应该是课堂教学最为注重的环节，本课教学结束时所设计的问题使学生能够对所学内容进行有意义的复习与巩固，原有例题的功能因为这一设计得到了升华与完善，目标突出、节奏紧凑、主题鲜明的课堂本色也因为教师的精心设计得到了充分的彰显，同时，画龙点睛的这一设计也使数学课堂沿着教学发展与学生发展的规律顺利延伸，往往给学生回味无穷的体会与感受.复杂动态的复习课是巩固、深化所学知识的过程，也是发现、解决教学疑难并不断改进教学的过程，因此，教师应在复习教学中引导学生对所学知识、经验与教训进行不断地吸收与总结并保证复习教学的意义.。
高三数学复习课的教学反思
教学感悟２０２４年２月上半月㊀㊀㊀高三数学复习课的教学反思◉江苏省海门中学㊀黄㊀飞㊀㊀在高三复习课教学中,高效率㊁高质量是复习课教学追求的根本目标,这就要求教学应从多个层面入手,教师角色㊁学生角色以及复习内容㊁配套练习等多个方面都要进行考虑,从而在有限的时间和空间内采取恰当的教学方式,设置合理的课堂容量等,全面提升课堂的 高效 与有效性．高三数学复习课教学,课堂上知识点的容量㊁题型的分类㊁学情的把握等都需要教师认真去思考,并在备课与教学中做到有的放矢．１容量要适中高三数学复习课教学中,课堂容量要适中,要保证基础薄弱的学生能巩固基础的知识点和公式计算,也就是基本知识和基本能力的培养;对于中等水平的学生,能听懂更多内容,能理解公式的内涵,会对公式进行变形计算,会进行知识迁移,会做更多同类型的题目,培养发现问题与解决问题的能力;对于学习优秀或者是能自学一部分知识的学生,综合性的题目要有所涉及,让这部分学生能吃饱,有所学．例如,在解析几何模块的复习教学中,要充分结合解析几何知识点多,曲线类型多,点㊁线㊁角㊁曲线多元素并存等特点,以及解题过程相对比较繁杂㊁运算量大㊁对能力要求高㊁交汇性与综合性强等基本特点,合理从 设 入手,通过 设点 或 设线 视角切入,优化解题过程,提升解题效益．解析几何解答题ң设设点参数设点减元设点直接设点ìîíïïïïüþýïïïï设而不求设线曲线系普通方程参数方程ìîíïïïïüþýïïïï标准方程一般方程{ìîíïïïï图１合理设置题型与题量,如图１所示,在遵循 设列 解 基本解题程序的步骤与基础上,重点突出解析几何 设 的技巧性与重要性,强化数学思想方法,减少数学运算,优化解题过程,从而实现该模块知识的复习教学．具体教学过程中,可以选取典型例题,以 设点与 设线 等不同视角切入,合理结合 一题多解 ,巧妙融入解题技巧与策略,实现复习教学的基本目标．适中的复习教学容量,以符合大部分学生的需求,才能真正面向大部分学生,使复习的受益面尽可能大．２分类要合理著名数学家华罗庚说: 人们早就对数学产生了枯燥乏味㊁神秘难懂的印象．成因之一便是脱离实际．因而,在实际教学与复习中,要将数学知识与数学应用加以交汇,通过合理的分类与设计,以激起学生学习数学的欲望．具体复习教学中,典型例题的分类也要合理,从基础题型到综合题型,要有梯度,由易到难,循序渐进,学生的学习应遵循这个规律,否则知识就会夹生,学生感觉学到了一点,可还是有一些不明白的地方．例１㊀[２０２４届江苏省淮安市高三(上)期末数学试卷](多选题)已知函数f(x)满足"x１,x２ɪR,都有|f(x１)＋f(x２)|ɤ|s i n x１＋s i n x２|成立,则下列结论正确的是(㊀㊀)．A．f(０)＝０B．f(x)是偶函数C．f(x)是周期函数D．g(x)＝f(x)－s i n x,若－１＜x１＜x２＜１,则g(x１)ȡg(x２)分析:根据题设条件,通过合理的赋值处理,结合各选项中信息加以剖析与确定．解法１:(严谨推理法)依题意"x１,x２ɪR,都有|f(x１)＋f(x２)|ɤ|s i n x１＋s i n x２|成立．令x１＝x２＝０,可得|f(０)|ɤ０,则f(０)＝０,故选项A正确．令x１＝－x２＝x,可得|f(x)＋f(－x)|ɤ|s i n x＋s i n(－x)|＝０,则f(x)＋f(－x)＝０,即f(－x)＝－f(－x),可知f(x)是奇函数,故选项B错误．令x１＝－x,x２＝x＋２π,得|f(－x)＋f(x＋２π)|ɤ|s i n(－x)＋s i n(x＋２π)|＝０,则f(－x)＋f(x＋２π)＝０,即f(x＋２π)＝－f(－x)＝f(x),可知f(x)是周期为２π的周期函数,故选项C正确．将x２替换成－x２,可得|f(x１)＋f(－x２)|ɤ|s i n x１＋s i n(－x２)|,整理为|f(x１)－f(x２)|ɤ|s i n x１－s i n x２|．而y＝s i n x在区间(－π２,π２)上单调递增,若－１＜x１＜x２＜１,则有s i n x１＜s i n x２．所以|f(x１)－f(x２)|ɤs i n x２－s i n x１,即s i n x１－s i n x２ɤf(x１)－f(x２)ɤs i n x２－s i n x１．而由s i n x１－s i n x２ɤf(x１)－f(x２),可得f(x２)－s i n x２ɤf(x１)－s i n x１,又g(x)＝f(x)－s i n x,则有g(x２)ɤg(x１),故选项D正确．８８２０２４年２月上半月㊀教学感悟㊀㊀㊀㊀综上分析,正确的选项为A C D．故选择:A C D．解法２:(特殊函数法)取函数f (x )＝s i n x ,满足"x １,x ２ɪR ,都有|f (x １)＋f (x ２)|ɤ|s i n x １＋s i n x ２|成立,易知正确的选项为A C D ．熟练掌握一些具有特定结构特征的基本初等函数类型(如幂函数㊁指数函数㊁对数函数以及三角函数等),以及与函数相关的基本性质等,结合问题实际,借助 模特 函数的构造,化抽象为具体,可以为解决此类问题的特殊函数模型思维与构建提供理论依据,也是综合创新应用的理论基础．高三数学的复习课教学要合理分类,对章节知识㊁具体知识点㊁某一思想方法㊁技巧策略等方面加以针对性复习,根据不同复习阶段以及不同复习内容合理设置,有效提升复习效益．３学情要把握美国教育心理学家奥苏贝尔曾说: 影响学习的最主要原因是学生已经知道了什么,我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学．在实际复习课教学中,教师不能盲目地以自身的理解去安排复习,而要综合具体班级学生的学情,教学设计要契合学生的需求．而对学情的把握,教师需要多和学生沟通,了解学生有什么困难,有什么收获等．例２㊀ 广东省重点中学２０２４届高三(上)学期开学联考数学试卷 １４ 函数f (x )＝２x ＋１－x 的最大值为．该题中的函数是以含有根式的代数式形式呈现的．此代数式是一个一次式与一个根式的和,二者之间不对称,形成 阶数 差,这也是此类函数解析式的结构特征．解析:设t ＝１－x ȡ０,可得x ＝１－t２,则由y ＝２(１－t ２)＋t ＝－２(t －１４)２＋１７８,可知当t ＝１４,即１－x ＝１４,亦即x ＝１５１６时,函数f (x )取得最大值１７８．故填:１７８．在例２的基础上,根据学情予以变式与拓展．(１)同类变式保留函数解析式的 阶数 差的结构特征,从不对称中寻找解题视角,以相似的视角来加以变式与应用．变式１㊀求函数f (x )＝２x ＋１－x 的值域．变式２㊀求函数f (x )＝２x －１－x 的最大值．解析:提示函数f (x )在(－ɕ,１]上单调递增,其最小值为２．(２)异类变式改变函数解析式的 阶数 差的结构特征,两个代数式均由根式组成,从对称中寻找解题视角,以相异的视角来加以变式与应用．变式３㊀求函数f (x )＝x ＋１－x 的值域．解析:方法１:三角换元法．函数f (x )的定义域为{x |０ɤx ɤ１}．根据(x )２＋(１－x )２＝１,通过三角换元令x ＝c o s θ,１－x ＝s i n θ,θɪ０,π２éëêêùûúú,将问题转化为求函数y ＝c o s θ＋s i n θ＝２s i n (θ＋π４)的值域．方法２:基本不等式法．函数f (x )的定义域为{x |０ɤx ɤ１}．利用基本不等式,可以得到[f (x )]２＝１＋２x (１－x )ɤ１＋[x ＋(１－x )]＝２,当且仅当x ＝１－x ,即x ＝１２时,等号成立．又[f (x )]２ȡ１,所以１ɤ[f (x )]２ɤ２．解得１ɤf (x )ɤ２．故值域为[１,２]．(３)升类变式提升函数解析式的复杂程度,由两个根式的线性运算升级为三个根式,拓展数学思维,提升解题技巧与能力,从而加以升级变式与应用．变式４㊀求函数f (x )＝１－x ２＋１＋x ＋１－x 的值域．解析:依题知函数f (x )的定义域为{x |－１ɤx ɤ１}．令t ＝１＋x ＋１－x ȡ０,则t ２＝２１－x ２＋２ɪ[２,４],即t ɪ[２,２],且１－x ２＝１２t ２－１．由g (t )＝１２t ２－１＋t (２ɤt ɤ２),得g (t )ɪ[２,３],即函数f (x )的值域．在实际的高三数学的复习课教学中,教师正确并合理把握学情,让学生积极主动参与其中,借助典型例题的引导,去经历㊁去体验㊁去反思㊁去提升,从而不断构建更加全面的知识网络体系,展示学生自身的个性特征与独立思考的习惯,参与到学习的过程中去,使得学生的情感态度以及学习能力等各方面都能得到培养和发展．４信息要反馈高三数学的教学,要借助配套练习加以反馈与提升．特别是在学生练习后,注重信息收集与反馈,根据学生对复习内容的理解与掌握层次等,合理纠正与改进,同时对后继复习作出合理调整,以提升复习教学的质量与效益．总之,高三数学的复习课教学中,要根据本班实际,充分把握学情,确定并明确复习教学目标,通过适中的教学容量,以及数学知识的合理分类,结合巧妙的教学方式与合理安排,激发学生的学习兴趣,促使学生自主复习与深入研究,借助有效练习,合理反馈信息,并在分析㊁练习㊁反馈㊁反思中总结,高效提升高三数学复习课的质量与效益．Z９８。
高考数学一轮复习 解析几何单元讲评教案 文 新人教版
单元讲评教案八解析几何一、试卷分析:本试卷主要考查了直线与直线的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,圆锥曲线的定义与性质,及直线与圆锥曲线位置关系问题,数形结合思想始终贯彻其中.二、教学目标:1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.掌握确定直线位置关系的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.3.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.4.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据两个圆的方程,判断两圆的位置关系.5.掌握椭圆及抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.6.了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质.三、教学重点和难点:1.重点:直线与圆的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系.2.难点:直线与圆锥曲线位置关系问题.四、教学过程:课题引入:复习回顾本章的要点知识1.据两条直线的斜率如何判断两条直线平行、垂直?2.直线方程的五种形式各是什么?对比各种形式有何局限性?3.两直线平行与垂直的判定是什么?4.直线与圆的位置关系有几种?如何判定?5.圆与圆的位置关系有几种?如何判定?6.回想椭圆、双曲线、抛物线的定义,几何图形、标准方程及简单几何性质.五、典题讲解:类型一直线与圆的位置关系——弦长问题例题1(以本卷中第2题为例)反思:解决本题简单方法为几何法,计算量小;即运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.圆的弦长的求法有两种:(1)几何法;(2)代数法:设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,解方程组消y后得关于x的一元二次方程,从而求得x1+x2,x1x2,则弦长为|AB|=(k为直线斜率且存在).“代数法”侧重于“数”,更多倾向于“坐标”与“方程”,而“几何法”则侧重于“形”,利用了图形的性质,解题时应根据具体条件选取合适的方法.涉及直线与圆的题目有第9,18题中直线与圆以及加入向量进行综合考查,备考过程中加强训练.类型二直线与抛物线问题例题2(以本卷中第5题为例)反思:本题中通过条件可以先求得过焦点的直线方程,进而通过公式|AB|=x1+x2+p得出结论.所以在学习过程中应首先熟悉抛物线弦长公式.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论:(1)|AB|=x1+x2+p或|AB|=(α为AB所在直线的倾斜角);(2)x1x2=;(3)y1y2=-p2;(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,抛物线的通径长为2p.注意上述结论只适用于y2=2px(p>0)类的抛物线.若抛物线焦点位于y轴上,则结论应相应改变.直线与抛物线结合题目有本卷第16题.类型三圆锥曲线中的存在性问题例题3(以本卷中第21(2)题为例)反思:解决存在性问题的方法及注意事项:(1)方法:存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.(2)注意:当条件和结论不唯一时要分类讨论.在本题中△FPM为等腰三角形,不能确定哪两者为腰,所以在假设存在点P的前提下进行分类讨论.存在性问题的解题步骤:(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参数的方程或不等式(组);(2)解此方程或不等式(组),若有解即存在,若无解则不存在.在本卷中第22(2)题也有涉及存在性问题,在平常练习中应大胆假设,多加训练.类型四圆锥曲线的标准方程与几何性质应用例题4(以本卷中第9题为例)反思:本题求双曲线的离心率关键是找出双曲线中a,c的关系.圆锥曲线的几何性质主要围绕焦点三角形、渐近线和离心率等问题进行考查,重点把条件转化为a,b,c的关系式.因此掌握圆锥曲线的几何性质是基础,深刻理解定义是前提.小结:1.根据已知条件求直线方程主要用待定系数法,特别注意斜率不存在的情况.2.两直线位置关系主要研究两条直线平行、垂直、交点距离等问题,在解题过程中要注意数形结合和转化思想的应用.3.直线与圆的位置关系是高考热点,判断方法有代数法和几何法两种.4.熟练掌握圆锥曲线的定义及几何性质在解题中能起到事半功倍的效果.5.直线与圆锥曲线问题,常常涉及到圆锥曲线的性质,最值的求法,定值问题,弦的中点、弦长、垂直,存在性问题等,另外,椭圆与平面向量相结合,大多与共线、垂直、夹角和求值有关,若能转化为向量的坐标运算往往更容易解题,所以要格外重视.。
高三平面解析几何复习的教学策略
高三平面解析几何复习的教学策略1. 引言1.1 教学重点高三平面解析几何复习的教学重点主要包括以下几个方面：1.熟练掌握平面解析几何的基本概念和常见定理，包括点、直线、圆等的坐标表示方法，平面直角坐标系的性质，线段、角度等的计算方法等。
2.能够运用解析几何的方法解决实际问题，例如求直线的方程、圆的方程、线段的长度、角的性质等。
3.掌握解析几何与其他几何知识（如向量、三角形等）的联系和应用，能够灵活运用不同几何方法相互验证、推导问题。
4.具备良好的推导和论证能力，能够独立完成一些复杂的解析几何证明题目，培养学生的逻辑思维和数学分析能力。
5.注重基础知识的巩固和拓展，通过复习和练习，不断提高学生的解析几何水平，为高考做好充分准备。
1.2 教学难点在高三平面解析几何复习中，教学难点主要集中在几何图形的性质运用、向量与坐标的运用以及证明方法的应用上。
学生在复习过程中往往容易混淆几何图形的性质，例如在相似三角形证明中，容易将相似条件和一般性质混淆，导致证明不严谨。
在向量与坐标的运用中，学生也容易忽略向量的方向性与模长的关系，导致计算错误。
在证明方法的应用上，学生往往缺乏实际运用的机会，缺乏实际案例的练习，导致对证明方法的理解不够深入。
针对这些难点，需要通过系统化的讲解和大量的练习来加强学生对几何知识的理解和应用能力，从而提高他们的解题能力和整体水平。
1.3 教学目标教学目标是高三平面解析几何复习的重要组成部分。
通过本次复习，学生应该能够熟练掌握平面解析几何的基本概念和方法，能够灵活运用各种定理和公式解决与平面解析几何相关的问题。
教学目标还包括培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，提高他们的分析和推理能力，以及对数学知识的理解和应用能力。
通过本次复习，学生应该能够在高考中取得优异的成绩，为未来的学习和发展奠定坚实的数学基础。
2. 正文2.1 复习内容安排1. 复习基础知识：包括平面向量的表示、运算规则、平面直角坐标系中的点、向量的共线定理等基础知识点的复习，这些知识是平面解析几何的基础，学生需要通过大量的练习巩固这些知识。
2010届高三数学第二轮复习教案——解析几何
2010届高三数学第二轮复习教案一一解析几何（4课时）一、考试内容回顾2009年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为26.9分，占17. 9%;近几年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5 %•因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视. 高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及•高考解析几何试题一般共有4题（2个选择题，1个填空题，1个解答题），共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。
其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。
选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。
解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平面几何知识和向量的方法••，这一点值得强化-w二、高考大纲要求（一）直线和圆的方程w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1 •理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2. 掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3 •了解二元一次不等式表示平面区域。
4 •了解线性规划的意义，并会简单的应用。
5 •掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程。
（二）圆锥曲线方程1 •掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
2 •掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
3 •掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
4 •了解圆锥曲线的初步应用。
三、复习目标1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程;出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了•2. 能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题•3. 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4•掌握圆的标准方程：（x—a）2+ （y—b）2 = r2（r >0）,明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F = 0，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，掌握直线与圆的位置关系的判定方法•5•正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；禾U用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.四、基础知识再现（一）直线的方程1•点斜式：y= k(x「x j ；2.截距式：y 二kx b ；3.两点式：y 一y i x - 洛，；4.截距式：上$ / -1 ?从直线的点斜式方程出发推导y2 一y i X2 一X i a b5. 一般式：Ax By C = 0，其中A B不同时为0.（二）两条直线的位置关系两条直线l l, 12有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）重合（有无数个公共点）•在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交设直线11: y =k1 x+ b1，直线12: y = k2 x + b2，贝U11// l2的充要条件是k1= k2，且b1=b2；11丄12的充要条件是k1 k2=-l.（三）线性规划问题1 •线性规划问题涉及如下概念：⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件•⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值•特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数•⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题•⑷满足线性约束条件的解（x, y）叫做可行解.⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解2 •线性规划问题有以下基本定理：⑴一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形⑵凸多边形的顶点个数是有限的•⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到•3. 线性规划问题一般用图解法•（四）圆的有关问题1. 圆的标准方程2 2 2（x—a） +（y—b） =r （r >0）,称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a, b）,半径为r.特别地，当圆心在原点（0, 0）,半径为r时，圆的方程为x2+ y2=r2.2. 圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F =0 （D2E^4F >0）称为圆的一般方程，DE 1 ■---------------其圆心坐标为（一一,-一）,半径为r= —PD2+E2-4F .2 2 22 2 DE当D E —4F =0时，方程表示一个点( ，)；2 2当D2E2-4F v 0时，方程不表示任何图形.(四)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点F i、F2的距离的和大于|F I F2|这个条件不可忽视•若这个距离之和小于I F1 F2|，则这样的点不存在；若距离之和等于I F i F21，则动点的轨迹是线段F i F2.2 2 2 22. 椭圆的标准方程：笃+爲=1( a > b >0),仝+笃=1 ( a > b >0).a2 b2a2 b23. 椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x2项的分母大于y项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.4. 求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(五) 椭圆的简单几何性质2 21. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为务•乂y=1( a > b > 0).a2 b2⑴ 范围：-a < x< a, -b < x< b，所以椭圆位于直线x= =a和y=二b所围成的矩形里.⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶顶点：有四个A1(-a , 0)、A2(a, 0) B1(0, -b )、B2(0, b).线段A1 A2、B1 B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.c⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平a程度.0 v e v 1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.2. 椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e = £a (e v 1=时，这个动点的轨迹是椭圆（a > b > 0）的参数方程为 x = acosv（0为参数）•y = bsin v⑵ 准线：根据椭圆的对称性,22xyd1 2, 2ab（a >b >0）的准线有两条，它们的方程2a为x•对于椭圆 c2y2a =1 （ a >b >0）的准线方程，只要把 x 换成y 就可以了,（六）椭圆的参数方程说明 ⑴这里参数0叫做椭圆的离心角•椭圆上点P 的离心角B 与直线0P 的倾斜角a b不同：tan tan v , a ⑵椭圆的参数方程可以由方程2 2 笃 -y 2 =1与三角恒等式cos 2 F in 2^ -1相比较 a b 而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换 （七）双曲线及其标准方程 1.双曲线的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （小于I F i F 2I ）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a < | F i F 21，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边” 加以理解•右2a=| F 1 F 21 ,则动点的轨迹是两条 射线；若2a > | F i F 2I ，则无轨迹• 若MF r < MF 2时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 MF r > MF 2时, 轨迹为双曲线的另一支•而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值” • 2.双曲线的标准方程： 2 2 2 2a^b 2 "和 a ?' 小 a > 0 'b > 0）这里 b =c其中I F 1F 2F 2G 要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同•3.双曲线的标准方程判别方法是：如果 x 2项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果y 2项的系数是正数，则焦点在 y 轴上•对于双曲线，a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样， 通 过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上4. 求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解•（八）双曲线的简单几何性质2 21. 双曲线冷= 1的实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率e = — > 1,离心率e越大，a2 b2 a双曲线的开口越大•2 2 b 2 22. 双曲线务-笃-1的渐近线方程为y二-X或表示为乡一召=0.若已知双曲a b a a b线的渐近线方程是y = m x，即mx _ ny =0，那么双曲线的方程具有以下形式：nm2x2 -n2y2二k，其中k是一个不为零的常数.3. 双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于2 21的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线笃-爲=1，它的焦点坐标是（-c ,a b2 20）和（c, 0）,与它们对应的准线方程分别是x=和x =皂.c cC 2 2 2在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有e 与c ^a b的关系，与椭圆一样确定a双曲线的标准方程只要两个独立的条件（九）抛物线的标准方程和几何性质1 .抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（I）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
高三一轮复习备考教学设计《平面解析几何》
平面解析几何 核心问题
深度探 索
圆锥曲 线
轨 位弦中 焦 焦 平 最 对 定 存 圆
圆 迹 置长点 点 点 行 值 称 点 在 锥 方 关问弦 三 弦 弦 问 性 、 性 曲
程 系题问 角 问 中 题 问 定 问 线
问的 题判
题形题 点
问
的
题 值 题综
问
合
定
题
轨
题
问
迹
题
抛物 线
几何性质：焦点、顶点、 长（短）轴、焦半径、离 心率、对称性、取值范围
2017
全国1卷
√（10）
√（4）
全国2卷
√（11，20）
√（5）
全国3卷
√（11）
（2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点 F1,F2 构成的三角形问题，常用圆锥曲线 的定义联合正、余弦定理来解决。
考题重现
【2019 年高考全国 1 卷文数 12】已知椭圆 C 的焦点为 F1( 1,0)，F2(1,0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若| AF2 | 2 | F2B | ， | AB || BF1 | ，则 C 的方程为
解
掌握基本问题的通性通法是考试能否取得好成绩的关
读
键。
平 面 解 析 几 何 知 识 体 系
直线的倾斜角与斜率
直线的方程（五种）
两直线的位置关系 直线的交点坐标与距离 公式
圆的定义 标准方程、一般方程
直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系
用代数方法解决几何问题
椭圆的定义、标准方程
核心方法
椭
直
圆
线
初步研 究
程为y＝x+7。
将