2018_2018学年八年级数学上册第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质(1)课时练习(新版)
八年级数学上册第12章全等三角形123角的平分线的性质课时练(新版)新人教版.docx
第十二章12.3角的平分线的性质姓名： ________________________ 班 考号： ________________________ 1. 如图所示，已和一条定长线段在Z/I 防内找一点出使点P 到0A,防的距离都等 于日，作法如下：①在ZAOB 内作防的垂线段NH,使NH 二a, 〃为垂足;②过艸作NM// 0B\③作AAOB 的平分线0P,与翩交于点P;④点戶即为所求.其中③的依据是（）A. 平行线之间的距离处处相等B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上C. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等2. 如图，〃平分ZAOB, PCLOA, PD10B,垂足分别为C, D,则下列结论中错误的是（）A. PC=PDB. OD=OCC. 乙 DPO 二乙 CPOD. PC=OC 3. 如图，在中，,他平分ZABC, EDI AB 于点D,若AC=5 cm,则AE+DE 等于 ()A. 3 cmB. 4 cm C ・5 cm D.6 cm 4.如图，在中，ZQ90° , ZJ-30°，勿是SBC 的平分线,〃-20,则％的长是A. 20B. 20C.评卷人得分一、选择题 学校:B5. 如图，的外角上BCD,上CBE 的平分线相交于点穴连接你则下列结论正确的是（）6. 如图所示，在△ /D7中，, AC=BQ AD 是ZD1C 的平分线,％丄也垂足为2若7. 如图，已知AB=AC, AE 二AF, BE 与CF 交于点、D,贝I 」:①'ABE^'ACF;②△跑灼△宓;③〃在 Z 浙C 的平分线上，以上结论中，正确的是（）A.①①② 8. 已知△肋Q 的周长是60cm,三条角平分线交于P 点,且P 点到 氏的距离是10cm,则△肋C 的面积为 （）2 2 A. 600 cmB. 300 cmC.300 cm 2 D.无法确定 9. 如图所示，点P 到AE, AD,力的距离相等，则下列说法:①点P 在ABAC 的平分线上;②点P 在ZQE 的平分线上;③点尸在Z/O 的平分线上;④点户是ABAC. ZCBE t的平分线的交点.其中，正确的是（）A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1个 10. 如图，在中，AB 二AC,初平分ZBAC, DEX.AB 于E 点、,DFLAC 于F 点、,有下列结论:®BD=DC;②〃③初上任意一点到 也化的距离相等;④初上任意一点到〃点与C点A. AF 平分BC AFLBCB. SF 平分/ACD.以上结论都正确 c.B.② D.①②③C.A B E14 cmD. 10 cm的距离不等.其中正确的是（）11.如图所示，直线日,方,c表示交叉的公路,现要建一货物屮转站，要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的站址有________ 处.12._______ 如图，点0是内一点，且到三边的距离相等,Z/I-600，则ZBOC的度数为•13.如图所示，已知BDA.AE于点B, DCA.AF于点C,且DB二DC, ZBAC^O° , ZADG=13O° ,则14.________________________ 如图，在四边形肋C刀中，Z^-90°,初珂连接BD, BDLDC y乙ADB二乙C.若P是〃C边上一动点，则莎长的最小值为.15. ________ 如图，在△血农中，AB=BC,应=16 cm, ZABC=80° ,弘平分ZABC, DE//BC,则AD=,乙EDB _______ .评卷人得分二、填空题B.③④C.D.①②③④评卷人得分解答题A.①②①②③16.如图，在Rt△血农中，,AD平分Z CAB, DEI AB于E若Ag BC之，〃-3,求化'的长.17.二和△PG?的面积相等,求证："平分ZAOC.18.如图，已知〃丄M于点D, BEL AC于点£, CD交BE于点、0.(1)若求证：点0在的平分线上；(2)若点0在Z胡Q的平分线上，求证：00%19.如图所示，PA二PB, ZPA附ZPBN=\80°，求证：莎平分GOB.20.如图，△肋C屮，肋平分ZBAC,必;丄％且平分BC, DEIAB于E, DFIAC于F.求证:駁参考答案1.【答案】B【解析】由要找角内部的点到角两边的距离相等可知本题考查对角的平分线的判定的掌握.2.【答案】D【解析\ JOP平分ZAOB, :. ZAOP=ZPOB.由PC丄％刖丄血可得Z ODP二Z OCP,且OP=OP,・•・ R t △ "0ZZ R t △POC,所以Z DPO二乙CPO, OD二OC, PD二PC.若PC=OQ 乙POB二乙PO&45° ,则OB LOA,由图可知D项错误，故选D.3.【答案】C【解析】根据角的平分线的性质可知DE二CE,所以AE+DE二AE+CE二ACt cm.4.【答案】D【解析】劭是的平分线，所以ZABD=ZCBD=30° ,所以AD二BDQ,又Z 67^-30 ° ,所以0=10.5.【答案】B【解析】过厂点分别作侃BC,所在直线的垂线，垂足分别为G, A；由角平分线的性质可得沏心67=忧再由角平分线的判定定理即可得出平分ABAC.由已知条件推不出结论"F平分比：AFL BC.6.【答案】A【解析】・••肋是乙BAC的平分线，・・・ZG〃二乙EAD，又1评卷人得分O LI四、证明题DE_LAB, ZO90°・ CD二ED,又AD二AD,；・△JCM厶AEDQW), :. AE=AC,又AC二BC, :./XDBE的周长二DE+EB+BD二CD+DB+EB二BC+EB二AC+EB二AE+EB二AB=\ 2 cm.7.【答案】D【解析】由题意可知・・・ZQ=Z〃,・•・△财竺△宓(AAS) ;△/!仞竺劭(SSS),所以ZCAD二ZBAD,所以点〃在Z胡Q的平分线上,所以①②③都正确.8.【答案】B【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等，则△/!%的面枳=X60X10-300cm'；9.【答案】A【解析】过点戶分别向AE, AD, BC作垂线段，由角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可证明①②③④都正确.10.【答案】C【解析\・・• AB二AC, AD平分ZBAC, .・・/!〃是％的垂直平分线，:・BD二DC,且上任意一点到AB,AC的距离相等，・・・①③正确，④错误；又•: DEIAB,DFIAC,:・DE二DF,・••②正确. 故选 C.11.【答案】412.【答案】120°13.【答案】150°14.【答案】415.【答案】8 cm;40° 16.【答案】•・•初平分ZCAB,DE丄AB, ZG90° ,:・CD二DE. •: CD冯，：・DE冷. 17.【答案】证明：如图，过点"分别作肱丄如M丄垂足分别为点2点人:・AB・ PE二CD • PF,又J AB二CD, :. PE二PF,又J PEI OB, PFIOD,・•・〃平分ZAOC.18.【答案】•・•点0在Z胡C的平分线上，OE=OD.又'：BEVAC y CD LAB, :. ZOEC=ZODB=90a .在和△沏中,・•・△ OEd△ 妙(ASA),・・・OC=OD.19.【答案】证明：如图，过点戶分别作PELO•札PFJLON,垂足分别为鸟斤则ZPEANPFB3。
八年级数学上册第十二章全等三角形12-3角的平分线的性质同步练习含解析新版新人教版
《12.3 角的平分线的性质》一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则______=______．（2）若∠3=∠4,则______=______．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD=______．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于______．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD=______．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．258．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．《12.3 角的平分线的性质》参考答案与试题解析一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则BC = DC ．（2）若∠3=∠4,则AB = AD ．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）根据角平分线性质推出即可；（2）根据角平分线性质推出即可．【解答】解：（1）∵∠B=∠D=90°,∴AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠1=∠2,∴BC=CD,故答案为：BC,DC．（2）∵AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠3=∠4,∴AB=AD,故答案为：AB,AD．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边距离相等．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD= 45 ．【考点】角平分线的性质．【分析】首先根据△ABD的面积计算出DE的长,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF,然后计算出DF的长,再利用三角形的面积公式计算出△BCD的面积即可．【解答】解：∵S△ABD=36,∴•AB•ED=36,×12×ED=36,解得：DE=6,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,∴DE=DF,∴DF=6,∵BC=15,∴S△BCD=•CB•DF=×15×6=45,故答案为：45．【点评】此题主要考查了角平分线的性质,关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于2：3：4 ．【考点】角平分线的性质；三角形的面积．【专题】常规题型．【分析】由角平分线的性质可得,点O到三角形三边的距离相等,即三个三角形的AB、BC、CA的高相等,利用面积公式即可求解．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵O是三角形三条角平分线的交点,∴OD=OE=OF,∵AB=20,BC=30,AC=40,∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4．故答案为：2：3：4．【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法,难度不大,作辅助线很关键．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD= 2 ．【考点】角平分线的性质．【分析】过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,根据角平分线性质得出DM=DN,根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,∵AD是△ABC的角平分线,∴DM=DN,∴S△ABD：S△ACD=（AB×DN）：（AC×DM）=AB：AC=2AC：AC=2,故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】角平分线的性质．【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等．6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质得出CD长,代入BC=BD+DC求出即可．【解答】解：∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵DE⊥AB,AD平分∠BAC,∴DE=DC=1.5cm,∵BD=3cm,∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm,故选D．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．25【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE,然后求出BD 的长,再根据BC=BD+DE代入数据进行计算即可得解．【解答】解：如图,过点D作DE⊥AB于E,∵点D到AB的距离为6,∴DE=6,∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,∴DC=DE=6,∵BD：DC=3：2,∴BD=×3=9,∴BC=BD+DE=9+6=15．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键,作出图形更形象直观．8．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定【考点】角平分线的性质．【分析】根据三角形的角平分线相交于一点,连接AO,则AO平分∠BAC,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图,连接AO,∵∠B、∠C的角平分线交于点0,∴AO平分∠BAC,∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴OD=OE．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,根据三角形的角平分线相交于一点作辅助线并判断出AO平分∠BAC是解题的关键．三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；（2）利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等,再根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DC；（2）在△BDE和△FDC中,,∴△BDE≌△FDC（SAS）,∴BD=DF．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,是基础题,熟记性质是解题的关键．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】根据“SSS”可得到△ABC≌△ADC,则∠BCA=∠DCA,再利用角平分线的性质即可得到结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC（SSS）,∴∠BCA=∠DCA,∵PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,∴PE=PF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：三边都对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等,对应角相等．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS）,然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND,最后根据全等三角形的对应边相等推知PM=PN．【解答】证明：在△ABD和△CBD中,AB=BC（已知）,∠ABD=∠CBD（角平分线的性质）,BD=BD（公共边）,∴△ABD≌△CBD（SAS）,∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°；又∵PD=PD（公共边）,∴△PMD≌△PND（AAS）,∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DF⊥BC于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF,然后根据三角形的面积列出方程求解即可．【解答】解：如图,过点D作DF⊥BC于F,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,∴S△ABC=AB•DE+BC•DF=90,即×18•DE+×12•DE=90,解得DE=6．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,三角形的面积,熟记性质并作出辅助线是解题的关键．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP,根据勾股定理起床AR=AQ,CQ=CP,BR=BP,得出方程组,求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘,ON⊥AB于N,求出OM=ON,证出△FON≌△EOM即可．【解答】解：连接AO,OB,OC,∵OP⊥BC,OQ⊥AC,OR⊥AB,∠A、∠B的角平分线交于点O,∴OR=OQ,OR=OP,∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2,AQ2=AO2﹣OQ2,∴AR=AQ,同理BR=BP,CQ=CP,即O在∠ACB角平分线上,设BP=BR=x,CP=CQ=y,AQ=AR=z,则x=3,y=5,z=4,∴BP=3,CQ=5,AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,∵O在∠A的平分线,∴OM=ON,∠ANO=∠AMO=90°,∵∠A=60°,∴∠NOM=120°,∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上,∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°,∴∠FON=∠EOM,在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM,∴OE=OF．【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．。
3 角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的性质
易错点：运用角的平分线的性质时，常因忽略“到角两边的距离”而 导致错误 10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一 点E，连接DE，则AD与DE的关系为( D) A．AD＞DE B．AD＝DE C．AD＜DE D．无法确定
11．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E， DF⊥AC交AC于点F.若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC＝( B ) A．4 B．3 C．6 D．5
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现，
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D， 已知AB＝10 cm，CD＝3 cm，则△ABD的面积为______1_5_c_m．2
8．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，
其 三 条 角 平 分 线 交 于 点 O ， 则 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO ＝ _____4_∶__5_∶__6___．
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：∠B＝∠C. 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中 ， DE ＝ DF ， BD ＝ CD ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C
八上数学最新人教版八年级数学上册12.3.1角的平分线的性质(第1课时)
垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．
A
D C
P
O
B
如图，E是∠AOB的角平分线OC上的一点， EM⊥OB垂足为M，且 EM=3cm，求点E 到OA的距离
分析：点E 到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点E 到OA的距离。
解：过E作EN⊥OA垂足为N
∵ E是∠AOB的角平分线上的一点， EM⊥OB， EN⊥OA，B
2、分别以M、N为圆心，大于
的长为1半M 径N 作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。
2
3、作射线OC，射线OC即为所求。
证明:连结MC,NC由作法知:
在△OMC和△ONC中 OM=ON MC=NC OC=OC
∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
A
M
C
O
8
C
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？ （3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？
在应用这一性质时要注意哪些问题？
布置作业
教科书习题12.3第4、5题．
利用尺规作角的平分线的具体方法:
1、以O为圆心，适当长为半径作 弧，交OA于M，交OB于N。
2长、为分半12别径M以作NM弧、，N为两圆弧心在，∠大AO于B内部交于的M
点C。 3 、 作 射 线 OC ， 射 线 OC 即为所求。
A C
O
N
B
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
追问4 你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？ A
用量角器度量，也可用折纸的方法． 追问1 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这 些方法是否可行呢？
人教版八年级数学上册12.3.1角的平分线的性质(第1课时)
E
B
C
D
A
E
B
C
D
4.如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6， 则PN=_______ 。 2
N 0 M P
A
C B
*5.如图，△ABC中，AB=8厘米，∠C=90°， AC=BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于 点E。求：△DBE的周长= 8厘米。
证明:连结MC,NC由作法知:
在△OMC和△ONC中 OM=ON MC=NC OC=OC ∵△OMC≌△ONC (SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线. M
A C
O
N
B
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
P48 思考 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那 么角的平分线有什么性质呢？ 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线 OC，在OC 上任取一点P，过点 A P 画出OA，OB 的垂线，分别记 D 垂足为D，E，测量 PD，PE 并 C 作比较，你得到什么结论？ P O
B
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等
E
C
A
2. 如 图 , 在 △ ABC 中 ， AC⊥BC ， AD 为 ∠ BAC 的平分线，DE⊥AB，AB ＝ 7 ㎝ ， AC ＝ 3 ㎝ ， 求 BE= 4 CM. 3.如图，在△ABC中， ∠C＝900，AD平分 ∠BAC交BC于点D，若 BC＝8,BD＝5，则点D 3 到AB的距离为_____
证明:∵ AD平分∠CＡＢ, D是AD上一点（已知）
∵DE⊥AB,DC⊥AC（已知） ∴DC＝DＥ(角平分线的性质） 在Rt△CDF和Rt△EDB 中 BD=FD （已知） DC=DE（已证） ∴Rt △CDF≌Rt△EDB (HL) ∴CF＝EB（全等三角形对应边相等）
第12章 12.3 第1课时 角的平分线的性质
第 10 题
教材感知
课关堂键能检力测
-11-
11．如图所示，OC 平分∠AOB，P 是 OC 上一点，D 是 OA 上一点，E 是 OB 上一点，且 PD＝PE.求证：∠PDO＋∠PEO＝180°.
教材感知
课关堂键能检力测
-12-
证明：过点 P 作 PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为 M，N.∵OC 平分 ∠AOB，∴PM＝PN.∵PD＝PE，∴Rt△PMD≌Rt△PNE(HL)．∴∠PEO ＝∠PDM.∵∠PDO＋∠PDM＝180°，∴∠PDO＋∠PEO＝180°.
∴∠2＋∠3＝60°，∠EFA＝∠2＋∠3＝60°，∴∠GEF＝60°＋∠1.又由 角平分线的性质可得 FG＝FI＝FH.又∵∠HDF＝∠B＋∠1，∴∠GEF＝ ∠HDF. 因 此 由 ∠EGF ＝ ∠DHF ， ∠ GEF ＝ ∠HDF ， FG ＝ FH 可 证
△EGF≌△DHF，∴FE＝FD．
A．12cm
B．11cm
C．14cm
D．10cm
第8题
教材感知
课关堂键能检力测
-9-
9．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD 是角平分线，若 CD＝m，
AB＝2n，则△ABD 的面积为( A )
A．mn
B．5mn
C．7mn
D．6mn
第9题
教材感知
课关堂键能检力测
-10-
10．如图，AB∥CD，O 为∠BAC 和∠ACD 的平分线的交点，OE⊥AC 于点 E，且 OE＝4，则两平行线间的距离为_8__．
③BD＝CD，AD⊥BC；
④∠BDE＝∠CDF.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
新人教版数学八年级上册第十二章全等三角形12.3《角的平分线的性质》课时练习
新人教版数学八年级上册第十二章全等三角形12.3《角的平分线的性质》课时练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A．PD＝PE B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OP2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝3，则点D到AB的距离是（）A．5 B．4 C．3 D．23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD=3，则点D到AB的距离是：（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论中不正确的是（）A ．BD+ED=BCB ．DE 平分∠ADBC ．AD 平分∠EDC D ．ED+AC ＞AD 5．如图，用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA6．如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB=6 cm,则△DEB 的周长为( )。
A ．9 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．不能确定7．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB ，AB=5，AC=3，且S △ADC =6，则S △ABD =（ ）A ．4B ．10C ．8D ．不能确定 8．到ABC ∆的三顶点距离相等的点是ABC ∆的是( )A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点9．如图所示，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA ＝PB ，则∠1与∠2的大小是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定10．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=BE B．DB=DE C．AE=BD D．∠BCE=∠ACE 11．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=40゜，则∠BOC=（）A．130°B．140°C．110°D．120°12．如图，△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（）①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等④BP平分∠APC;A．①②B．①④C．②③D．③④13．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，BD=DC，∠BAC=80°，则∠BAD=（）A．10°B．40°C．30°D．20°14．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°15．如图，已知DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=( )A．130°B．150°C．100°D．140°二、填空题16．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=20cm，DB=17cm，则D 点到AB的距离是_________．17．如图所示，点D在AC上，∠BAD=∠DBC，△BDC的内部到∠BAD两边距离相等的点有________个，△BDC内部到∠BAD的两边、∠DBC两边等距离的点有________个．18．如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC 的距离为________cm．19．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为_____．20．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是_____．三、解答题21．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：PE=PF.22．如图所示，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM=PN．23．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD=114°，求∠MAB的度数.24．如图，已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之间有何关系？并加以证明．25．已知:如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，过点E 作EF AB ⊥于交AB 于,F EC AC ⊥交AC 的延长线于G .求证:BF CG =.参考答案1．D【详解】∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，∵OP=OP，∴Rt△POE≌Rt△POD（HL），∴OD=OE，∠DPO=∠EPO.∴A、B、C正确，D错误，故选D2．C【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD．【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E．∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝3，即点D到直线AB的距离是3．故选C．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．3．C【解析】【详解】作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3.故选C.4．B【分析】根据已知条件由角平分线的性质可得结论CD=DE，由此又可得出△AED≌△ACD，然后对各选项逐个验证，证明．【详解】CD=DE，∴BD+DE=BD+CD=BC；又有AD=AD，可证△AED≌△ACD∴∠ADE=∠ADC即AD平分∠EDC；在△ACD中，CD+AC>AD所以ED+AC>AD.综上只有B选项无法证明,B要成立除非∠B=30∘，题干没有此条件，B错误，故选B.【点睛】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的性质和判定，解题的关键是证出△AED≌△ACD.5．C【解析】由画法得OM=ON，NC=MC，又因为OC=OC，所以△OCN≌△OCM（SSS），所以∠CON=∠COM，即OC 平分∠AOB ．故选C ．6．C【解析】本题考查的是角平分线的性质由题目的已知条件应用AAS 易证△CAD ≌△EAD ．得到DE=CD ，于是BD+DE=BC=AC=AE ，则周长可利用对应边相等代换求解．∵AD 平分∠CAB ，∠C=90°，DE ⊥AB ，∴∠CAD=∠BAD ，∠C=∠AED=90°．在△CAD 和△EAD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD EAD CAD DEA C∴△CAD ≌△EAD （AAS ），∴AC=AE ，CD=DE ．∵AC=BC ，∴BC=AE ．∴△DEB 的周长为：DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=AB=6cm ．故选C ．7．B【解析】∵AD 是角平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE=DC ，∵S △ADC =12AC•DC=12×3×DC=6，∴DC=DE=4， ∴S △ABD =12AB•DE=12×5×4=10． 故选B.点睛：本题关键是角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.8．D【分析】根据垂直平分线的性质进行判断即可；【详解】∵到△ABC的三个顶点的距离相等，∴这个点在这个三角形三条边的垂直平分线上，即这点是三条垂直平分线的交点．故答案选D．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，准确理解性质是解题的关键．9．A【解析】∵AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，PA＝PB，∠CPA=∠DPB，∴△CPA≌△∠DPB(AAS)，∴PC=PD，∴∠1＝∠2，故选A.点睛：本题考查了三角形全等的判定和性质；主要先利用全等三角形证明CP＝DP，再由角平分线的逆定理可知OP是角AOB的平分线，由判定可知∠1＝∠2．10．D【解析】A中，∵DE⊥BC，∠A=90°，∴∠A=∠CDE=90°，在Rt△CAE和Rt△CDE中，∵CA=CD，CE=CE，∴Rt△CAE≌Rt△CDE（HL），∴AE=DE，∵在Rt△BED中，BE＞DE，∴BE＞AE，故A错误；B中，根据已知不能得出BD=DE，故B错误；C中，根据已知不能得出BD=DE，又由DE=AE，即不能推出BD=AE，故C错误；D中，∵Rt△CAE≌Rt△CDE，∴∠BCE=∠ACE，故D正确.故选D．点睛：本题关键是证明直角三角形全等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，。
人教版初中数学八年级上册第十二章 角的平分线的性质(第1课时)
如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分
∠BAC交BC于点P，若PC＝4， AB=14. （1）则点P到AB的距离为___4____.
D
B
P
A
C
提示：存在一条垂线段——构造应用.
探究新知
12.3 角的平分线的性质/
归纳总结
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积 周长
利用角平分线的性质所得到的等 量关系进行转化求解
链接中考
12.3 角的平分线的性质/
如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且
∠ADC=110°，则∠MAB=（ B ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
解析：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD， ∴∠DAB=180°–∠ADC=70°.
12.3 角的平分线的性质/
2.如 图所示，D是 ∠ACG的平分线上的一点 ．DE⊥AC，
DF⊥CG，垂足分别为E，F. 求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中， CD CD, DE DF, ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE＝CF.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上； （3）垂直距离.
O
定理的作用：证明线段相等.
A D
PC
E
B
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA， PE⊥OB，
∴PD = PE
推理的理由有三个， 必须写完全，不能
少了任何一个.
八年级数学上册第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定练习1新人教版(最新
八年级数学上册第十二章全等三角形12.3 角的平分线的性质第2课时角平分线的判定练习1（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第十二章全等三角形12.3 角的平分线的性质第2课时角平分线的判定练习1（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时 角平分线的判定基础巩固 一、填空题1．如图1，在△ABC 中,∠C＝900，BC ＝40,AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC∶DB＝3∶5,则点D 到AB 的距离是 。
3题图D C BA图1 图22．如图2所示,在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ．3．如图3，已知BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由D 出发,作点D 到BC 、AC 和AB 的垂线DE 、DF 和DG ，垂足分别为E 、F 、G ，则DE 、DF 、DG 的关系是 。
图3 图44．如图4，已知AB∥CD，O 为∠A、∠C 的角平分线的交点，OE⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。
5．已知△ABC 中，∠A=80°，∠B 和∠C 的角平分线交于O 点，则∠BOC= . 二、选择题6．如图5,在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝m ,PC ＝n ，AB ＝c ，AC ＝b ，则)(n m +与)(c b +的大小关系是（ ） A 、n m +＞c b + B 、n m +＜c b +C 、n m +＝c b +D 、无法确定选择第4题图PD CB A图5 图67．已知Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D,若BC=32，且BD:CD=9：7，则D 到AB 边的距离为( )A ．18B ．16C ．14D ．128．如图6，AE⊥BC 于E ，CA 为∠BAE 的角平分线，AD=AE ，连结CD ，则下列结论不正确的是（ ）A ．CD=CEB ．∠AC D=∠ACE C．∠CDA =90° D．∠BCD=∠ACD9．在△ABC 中，∠B=∠ACB，CD 是∠ACB 的角平分线,已知∠ADC=105°,则∠A 的度数为( ） A ．40° B．36° C．70° D．60° 10．在以下结论中，不正确的是( )A ．平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上B ．角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等C ．一个角只有一条角平分线D ．角的平分线有时是直线，有时是线段 三、解答题11．如图7所示，AE 是∠BAC 的角平分线，EB⊥AB 于B ，EC⊥AC 于C ，D 是AE 上一点，求证：BD=CD 。
八年级数学上册 第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质11-13
5
3
麦布就以网站目录为例，探讨一下如何利用网站目录最大效用的推广网站。再者一个想要获得好排名的内页必须要有好的内容，这个也是能够取得排名的关键。 顺便总结一下网站目录页和内页如何才能够提升排名。 我们有充分的理由相信收录网站会成为行业的主流，会逐步影响越来越多的人。 收录网站 顺便总结一下网站目录页和内页如何才能够提升排名。所以一个网站想要网站目录页和文章页获得好的排名首先就需要有一个合理的网站结构，这样才能够让权 重合理的传递。，当然你也可以花10元钱做付费收录，获得更进一步的推广效果
实践应用
A 优质课件
如图：在△ABC中，∠C=90°
AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于 E，F在AC上，BD=DF；
Fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E
求证：CF=EB
CD B 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它
们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们 找什么条件
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.
1
优质课件
知识小结： 本节课学习了那些知识？有哪些运用？你 学了吗？做了吗？用了吗？
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的性质定理是证明角相等、线段 相等的新途径.
2
优质课件
三、作业： 课本习题11.3 2、3、4、5
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12.3角的平分线的性质（1）
1.到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
2.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用符号语言表示为：
3、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
4、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个
货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,
则可供选择的地址有 ( )
A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
答案：
1、∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
2、∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
3、证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥
AD
于H，FM⊥BC于M，
∵点F在∠BCE的平分线上，
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FG⊥AE， FM⊥BC，
∴FG=FM.
又∵点F在∠CBD平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC.
∴FM=FH.
∴FG=FH，
点F在∠DAE的平分线上.
4、D