§4.2换元积分法(第一类换元法)
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
微积分第一类换元法
定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [(x)](x)dx f [(x)]d[(x)].
例1 求 e5xdx
例12 求 csc xdx.
解（一） csc xdx
1 sin
x
dx
2sin
1 x cos
x
dx
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
x 2
1 tan
x
d
2 tan
x 2
2
2
ln
tan
x 2
tan x sin
1
1
x2
dx
d (
), x
exdx d (ex ),
cosxdx d(sin x),
1 (cot
x),
1 cos2x dx d (tan x).
例7 求 sin 2xdx.
解（一）
sin
1 2
2 xdx
sin 2
xd
1 2
(2
sin 2x(2x)dx
x) 1 cos 2x 2
5
例2 求 (3 2x)3dx
解 令u 3 2x, 则du 2dx,从而dx 1 du,
2
原式
1 2
u3du
1u4 C
8
1 (3 2x)4 C.
8
例2 求 (3 2x)3dx
解 Q (3 2x)3 1 (3 2x)3 (3 2x) 2
原式 1 (3 2x)3 (3 2x)dx 2
4.2 换元积分法
解：
(1)
a2
1
x2
dx
1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a
C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)
ln x x
dx
解：
(2)
换元积分法(第一类换元法)
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。
所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
4.2_换元积分法
x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于 是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习： 求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt
高数4.2
2
其中C 1=C−ln a ．
例 23 求 ∫ 例21
dx x −a
2 2
x (a>0)．
解 当 x>a 时，设 x=a sec t (0<t< 那么
π
2
t
)，
a
x 2 − a 2 = a 2 sec 2 t − a 2 = a sec 2 t − 1 =a tan t ， 于是
∫
a sec t tan t =∫ dt = ∫ sec tdt = ln |sec t + tan t |+C ． 2 2 a tan t x −a
§4．2 换元积分法 ．
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、积分公式小结
一、第一类换元法
定理1 设f(u)具有原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式
∫
f[ϕ(x)]ϕ′(x)dx = dx
∫
f[ϕ(x)]dϕ(x)= [ )
∫
f(u)d u]u = ϕ(x) ．
根据得
∫
cot x dx=ln|sin x|+C ．
熟练之后，不必再写出变量代换．
例6 例6
∫
1 a2 + x2
dx =
1 a2
∫
1 x = arctan +C ． a a x x x x ch dx =a ch d = a sh +C ． 例7 例7 a a a a 1 例8 dx (a>0)． 例8 求 a2 − x2 1 1 1 1 x dx = 解 dx = d 2 2 a a a2 − x2 x x 1− 1− a a x = arc sin +C ． a
补充公式：
不定积分的换元积分法4.2
f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x
2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2
2
t
)，
sec
2
a
t 1
a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是
dx x a
2 2
2
a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
高等数学-换元积分法
න = න
1
= −න
( )′
1
= −න
= − | | + ．
同理可得 | | = + ．
8
01 第一类换元积分法
例3
解
1
求不定积分
．
2
令 2 = ，则 = ， = .
2
+1−1
න
=න
= න
1+
1+
1 + 2
1
= න(1 −
) = − | 1 + | +
1+
= 2 − | 1 + 2| + ．
14
02 第二类换元积分法
通过变量代换去掉根号的主要形式有：
而
= 5，考虑将被积函数恒等变形，得
1
1
1
1
1
= ⋅
⋅5= ⋅
⋅ (5 − 2)′
5 − 2 5 5 − 2
5 5 − 2
此时令 = 5 − 2， 得到
4
01 第一类换元积分法
1
1
1
න
= න
(5 − 2)′
5 − 2
5 5 − 2
1
1
= න
( 5 − 2)
0，又设[()] ′ ()的一个原函数为()，则
න()
= ()
න[()] ′ () = [() + ]=−1()
该公式称为第二换元公式． 其中 = −1 ()为函数
= ()的反函数.
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§ 换元积分法Ⅰ 授课题目§ 换元积分法（第一类换元法）Ⅱ 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。
所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解 33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=， dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
例2 ⎰xdx 2cos 解 11cos 2cos 22=cos 2(2)22xdx x dx x x dx '=⋅⋅⎰⎰⎰ 令x u 2=，显然dx du 2=， 则1cos 2cos 222xdx x dx =⋅⎰⎰111cos sin sin 2222udu u C x C ==+=+⎰. 在比较熟练后，我们可以将设中间变量()u x ϕ=的过程省略，从而使运算更加简洁。
例3 ⎰-dx x 5)23(解 如将5)23(-x 展开是很费力的，不如把23-x 作为中间变量，dx x d 3)23(=- ，5556111(32)=(32)3=(32)(32)(32)3318x dx x dx x d x x C --⋅--=-+⎰⎰⎰. 例4132dx x +⎰ 111111=2=(32)ln |32|322322322dx dx d x x C x x x ⋅+=+++++⎰⎰⎰. 例5 22x xe dx ⎰2222222()x x x xxe dx e x dx e dx e C '===+⎰⎰⎰例6求⎰1(22x =--⎰⎰2211)(1)22x dx x '=--=--33222211211(1)2233x u C x Cu --=-⨯+=--=+. 二、掌握几种典型的“凑微分”的方法1()dx d ax b a =+； 11()n n x dx d x b n -=+； )(x x e d dx e =；1(ln )dx d x x=； 1()ln x x a dx d a a =； )(sin cos x d xdx =； )(cos sin x d xdx -=； )(tan sec 2x d xdx =； 2csc (cot )xdx d x =-； )(sec tan sec x d xdx x =；)(arcsin 12x d x dx =-；)(arctan 12x d xdx=+。
三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算. 例7 求⎰xdx 2sin解 2111sin (1cos 2)cos 2222xdx x dx dx xdx =-=-⎰⎰⎰⎰11(cos 2)2sin 22424x x x dx x C =-⋅=-+⎰.（此题利用三角函数中的降幂扩角公式） 例8求⎰-22xa dx)0(>a 解()arcsin x xdx C a a===+⎰. 利用dx nxx d n n 1)(-=，有如下例题例9 求⎰dx xx 21sin解 dx xx d 21)1(-= 221sin1111(sin )()(sin )()x dx dx dx x x x x x '∴=--=-⎰⎰⎰ 111sin ()cos d C x x x =-=+⎰例10求⎰dx e e x x cos解 C e e d e dx e e x x x x x +=⎰⎰sin )(cos cos ＝.利用dx e e d x x=)(，adx a a d xx ln )(= 例11 求⎰-+x x e e dx习题 4-2:2(30)解 C e e de dx e e e e dx x x xx x xx +=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1)(1)(22. 例12 求⎰+1x e dx解 111111+-=+-+=+x xx x x x e e e e e eC e x e e d x dx e e dx e dx x x x x x x ++-=++-=+-=+∴⎰⎰⎰⎰)1ln(1)1(11.例13 求dx xxx⎰+946 解 263()64239491()124x xx x x xx x xdx dx dx ==+++⎰⎰⎰ 211313[()]arctan()32ln3ln 223ln 1()22x x x d C ==+-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰.此题利用adx a a d xxln )(= 下面几个例题利用dx xx d 1)(ln = 例14 求⎰x x dx ln解111(ln )ln ln ln ln ln dx dx d x x C x x x x x ===+⎰⎰⎰.又如习题 4-2:2（16）ln ln ln dxx x x ⋅⋅⎰;解 111=ln ln ln ln ln ln dx dxx x x x x x ⋅⋅⋅⋅⎰⎰11ln ln ln ln d x x x=⋅⎰1ln ln ln |ln ln |ln ln d x x C x ==+⎰. 例15 求dx x x ⎰+4)5ln 2(1解 44112(2ln 5)(2ln 5)2x dx x dx x x +=+⎰⎰ 4511(2ln 5)(2ln 5)(2ln 5)210x d x x C =++=++⎰.第一次课可以讲到这里.被积函数是分母是二次函数,分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法 (例16～例22六个例题) 例16求⎰+22x a dx)0(>a 分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项.解2222111()dx dx x a x a a =++⎰⎰2111()arctan 1()x xd C x a a a a a==++⎰. 例17⎰++41292x x dx被积函数分母是一个完全平方式解2211=391243(32)dx dx x x x ⋅+++⎰⎰2111(32)3(32)3(32)d x C x x =+=-+++⎰. 被积函数分母是一个完全平方式，被积函数化为22111=()()()dx d ax b ax b a ax b +++⎰⎰例18⎰++17442x x dx分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式解 2221121441716(21)161()4dx dx dx x x x x ==++++++⎰⎰⎰ 2112111()tan()21848241()4x x d arc C x +==++++⎰被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为2()ax b c ++的形式， 然后利用21arctan 1dx x C x =++⎰练习：求2125dx x x -+⎰（第一换元积分法分）解 2225(1)4x x x -+=-+，222111=1(25)(144(12dx dx dx x x x x =--+-++⎰⎰⎰）） 211111==arctan 122221(2x x d C x --+-+⎰）例19 求⎰--122x x dx分子是常数，分母是二次三项式且可以分解因式解211111()12(3)(4)743x x x x x x ==---+--+ 2111()12743dx dx x x x x ∴=----+⎰⎰11117473dx dx x x =--+⎰⎰ 1111(4)(3)7473d x d x x x =--+-+⎰⎰1114ln |4|ln |3|ln ||7773x x x C C x -=--++=++.被积函数分母是二次三项式且可以分解因式，被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差.11[]()()()()c c x a x b a b x a x b =------例20求⎰+dx x x21 分子是一次多项式，分母是二次多项式解 xdx x d 2)1(2=+2212121x x dx dx x x ∴=++⎰⎰222111(1)ln(1)212d x x C x =+=+++⎰. 例21求⎰++dx x x x1022解 2(210)(22)d x x x dx ++=+，则1022222110222++-+⋅=++x x x x x x2212222102210x x dx dx x x x x +-∴=++++⎰⎰221221222102210x dx dx x x x x +=-++++⎰⎰222221(210)11ln(210)22102102(1)9d x x dx x x dx x x x x x ++=-=++-++++++⎰⎰⎰22111ln(210)129()13x x dx x =++-++⎰2111ln(210)arctan233x x x C +=++-+. 被积函数分子是一次多项式，分母是二次多项式时，首先把分子凑成分母的导数. 下面几个例题利用三角函数的微分公式：xdx x d cos )(sin =；xdx x d sin )(cos -=；xdx x d 2sec )(tan =；2()csc d cotx xdx =-例22 求 ⎰xdx tan （化切为弦）解sin sin tan =cos cos x x xdx dx dx x x --⎰⎰⎰＝1=(cos )ln cos cos d x x C x -=-+⎰例23 求⎰xdx 3tan解 322sin tan tan (sec 1)tan sec cos xxdx x x dx x xdx dx x =-=-⎰⎰⎰⎰211tan (tan )(cos )tan ln cos cos 2xd x d x x x C x =+=++⎰⎰例24 求csc xdx ⎰222tan 21cos 112csc =sin 22sin cos sin2222cos2x sec x xx xdx dx dx dx d x x x x x ==⎰⎰⎰⎰⎰＝ 1tanln |tan |22tan 2x xd C x ==+⎰. 因为 22sin 2sin 2sin 222cos 2sin cos 2221cos tan csc cot sin 2sin xxxx x xx x x x x x -=====-. 所以 csc ln |tan|ln |csc cot |2xxdx C x x C =+=-+⎰. 此题用三角万能公式代换也可以22112tan csc 2sin 21x tt xdx dx dt x t t +=⋅=+⎰⎰⎰＝1ln ||ln |tan |2x dt t C C t =+=+⎰. 例25 求s c e xdx ⎰解 22211s c s c()()cos sin()e xdx dx dx e x d x x x πππ===+++⎰⎰⎰⎰22ln |csc()cot()|ln |s c tan |x x C e x x C ππ=+-++=++. s c ln |s c tan |e xdx e x x C =++⎰例26 求cos3cos 2x xdx ⋅⎰（利用三角函数积化和差公式） 和差化积公式 积化和差2sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+-=--+=+-+=--+=+； )]cos()[cos(21sin sin )]cos()[cos(21cos cos )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=解 根据三角函数的积化和差公式：1cos3cos 2(cos5cos )2x x x x ⋅=+ 1cos3cos 2cos5cos 2x xdx x xdx ⋅=+⎰⎰1111cos55cos sin 5sin 102102xd x xdx x x C =+=++⎰⎰.由以上例题可以看出，第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法，始终贯穿着“凑微分”思想，因此学生应熟悉这些基本例题。