§4.2换元积分法(第一类换元法)
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
4.2 换元积分法
解：
(1)
a2
1
x2
dx
1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a
C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)
ln x x
dx
解：
(2)
换元积分法(第一类换元法)
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。
所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=，dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
4.2_换元积分法
x x
dx 3
t2
t
3
2tdt
2
t2 3 dt 2 t3 6t C 3
再将t x 3代回整理得
x dx 2 x3 3
3
x3 6 x3C
补充例：求
1 dx
ex 1
解: 令 ex 1 t 则x ln(1 t 2 )
dx
2t 1 t2
dt , 于 是
1 dx
ex 1
Fu C
Fx C
由此可得换元法定理P103定理4.3
P103定理4.3 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
2
2
xex2dx 1 ex2 x2 dx（直接凑微分） 2
1 ex2dx 2
2
1 2
eudu
堂上练习 P108-习题4.2----4、5、6、
4、
2x 1 x2 dx
1 1 x2
1 x2
dx
1
1 x2
d1
x
2
ln
1
x
2
C
5、 x x2 5dx 1 2
x2
1 t
2t 1 t2
dt
2
1 1 t 2 dt
2arctant C
2arctan ex 1 C
课堂练习： 求
x 1dx . x
解 : 令 x 1 t,则x 1 t 2 , dx 2tdt;于是有
x-1 dx. 2 x
t2 1 t 2 dt
换元积分法和分部积分法
对于含有根式的函数的 积分，原则上是设法去 掉根式。
有些含有根式的函数的 积分，直接令根式为新 变量 即可将问题转化为一般 的不含根式的函数的积 分。
补充例题11 计算
解:
1 6
dx . 3 x x
xx ,
1 2
3
xx ,
1 3
它们的指数部分的 分母的最小公倍数 为6 .
令 t x , t 0,
则 x t , d x 6 t d t, 故
6 5
t 3 1 1 dx 6 t3 dt d t 6 3 t 1 x x t 1
1 6 ( t t 1 )dt t 1
2
2 t 3 3 t 2 6 t 6 ln | t 1 | C 2 x 33 x 66 x 6 ln( 6 x 1) C .
第二类换元法常见类型:
(1)
(2)
f ( x , n ax b ) dx , 令
a x b n ( x , c x d ) dx ,
f
令 或
第 三 节 讲
(3) (4) (5)
f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , a 2 x 2 ) dx , 令 f ( x , x 2 a 2 ) dx , 令
求
f (tan x)sec 2 xdx
补充例题4
1 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8
例4.2.9 求
tan xdx 和 cot xdx
．
解: cot xdx cos x dx 1 d sin x = ln sinx + C sin x sin x
4-2 换元法1-第一换元法
类似地可推出
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C .
例20. 求 sec6 xdx. ∫
2 d tan xdx 解: 原式 = ∫ (tan x +1) ⋅ sec 2 2
1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln 1 + 2 ln x + C. 2 u 2 2
例9. 求
∫
e3
x
x
dx.
3 x
2 3 x 解: 原式 = 2 ∫ e d x = ∫ e d(3 x) 3 2 3 x = e +C 3
例10 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 1 x dx = ∫ d 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1 − arcsin 2 2 2
第二节
第四章 四
换元积分法
一、第一类换元想
∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx = ∫ f [ϕ(x)]d(ϕ(x))
做变量替换 = ϕ(x) u
已知
[∫ f (u)du]u=ϕ ( x)
定理1 定理1
具有原函数， u 可导， 设 f (u) 具有原函数， = ϕ ( x ) 可导，
小结1 小结
• 求不定积分时，首先要与已知的基本积 求不定积分时， 分公式相对比，并利用简单的变量代换， 分公式相对比，并利用简单的变量代换， 把要求的积分化成已知的形式， 把要求的积分化成已知的形式，求出以 再把原来的变量换回。 后，再把原来的变量换回。 • 前5个例子中采用代换 u=ax+b, 个例子中采用代换 du与dx只相差一个常数 du=a dx 。 与 只相差一个常数 • 注意例3，4与例 解法差别。 注意例 ， 与例5解法差别。 与例 解法差别
高数4.2
2
其中C 1=C−ln a ．
例 23 求 ∫ 例21
dx x −a
2 2
x (a>0)．
解 当 x>a 时，设 x=a sec t (0<t< 那么
π
2
t
)，
a
x 2 − a 2 = a 2 sec 2 t − a 2 = a sec 2 t − 1 =a tan t ， 于是
∫
a sec t tan t =∫ dt = ∫ sec tdt = ln |sec t + tan t |+C ． 2 2 a tan t x −a
§4．2 换元积分法 ．
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、积分公式小结
一、第一类换元法
定理1 设f(u)具有原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式
∫
f[ϕ(x)]ϕ′(x)dx = dx
∫
f[ϕ(x)]dϕ(x)= [ )
∫
f(u)d u]u = ϕ(x) ．
根据得
∫
cot x dx=ln|sin x|+C ．
熟练之后，不必再写出变量代换．
例6 例6
∫
1 a2 + x2
dx =
1 a2
∫
1 x = arctan +C ． a a x x x x ch dx =a ch d = a sh +C ． 例7 例7 a a a a 1 例8 dx (a>0)． 例8 求 a2 − x2 1 1 1 1 x dx = 解 dx = d 2 2 a a a2 − x2 x x 1− 1− a a x = arc sin +C ． a
补充公式：
不定积分的换元积分法4.2
f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x
2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2
2
t
)，
sec
2
a
t 1
a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是
dx x a
2 2
2
a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
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4.2 换元积分法Ⅰ 授课题目§4.2 换元积分法(第一类换元法) Ⅱ 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分”， d (x)(x)dx .2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分 .Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分 . Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设 f(u)具有原函数 F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变量， u (x)， (x)可微，则 根据复合函数求导法则，有所以根据不定积分的定义可得：f [ (x)] (x)dx F[ (x)] C u (x)F[u] C [ f (u)du]以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f [ (x)] (x)]dx u (x)[ f(u)du] F u C F (x) C . 以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出， 虽然 f[ (x)] (x)dx 是一个整体记号， 但是被积表达式中的 dx 可当作变量 x 的微分来对待从而上式中的 (x) dx 可以看成是 (x)的微分， 通过换元 u ( x) ，应用到被积表达式中就得到 (x)dx du .定理 1 设 f (u)具有原函数 F(u) ，u (x)可导， du (x)dx ，则f [ (x) (x)dx f (u)du F(u) C F[ (x)] C (1)如何应用公式 (1) ，在求不定积分积分 g(x)dx 时 如果被积函数 g(x)可以化为一个复合函数与 它内函数的导函数的积的形式 f[ (x)] (x) 的形式 那么(x) u u (x)g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u[ f (u) du] F(u) C u (x)F[ (x)] C .所以第一换元积分法体现了“凑”的思想. 把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积精彩文档dF( (x)) dF du(x)] (x) 。
dx du dx f (u)f[ (x)] (x) 来.例 1 求 3e 3x dx解 3e 3x dx e 3x 3dx= e 3x ( 3x) dx ，可设中间变量 u 3x ，du d(3x) 3dx 3dx du ，所以有 e 3x dxe 3x 3dx e u du e u C e 3x C .首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
例 2cos2xdx11解cos 2 xdx cos2x 2dx= cos2x (2x) dx22令 u 2x ，显然 du 2dx ，1 1 11 则cos2xdx cos2x 2dx cosudu sinu C sin2x C .2 2 22在比较熟练后，我们可以将设中间变量 u (x) 的过程省略，从而使运算更加简洁。
例 3 (3x 2)5 dx解 如将 (3x 2)5 展开是很费力的，不如把 3x 2 作为中间变量， d(3x 2) 3dx ，51 5 1 5 1 6 (3x 2)5dx= (3x 2)5 3dx= (3x 2)5d(3x 2) (3x 2)6 C . 3 3 18 1例 4 dx3 2x 1 1 1 2dx= d(3 2x) ln |3 2x| C . 2 3 2x 22例 52xe x dx2xe x dx e x (x 2) dx e x dx 2 e x例 6 求 x 1 x 2 dxx 1 x 2 dx1( 2x) 1 x 2dx 211 x2 (1 x 2) dx 1 1 x 2d(1 x 2) 22u 1 x 1udu 1 2u 2 C 1(1 x 2 )2C .2 23 3二、掌握几种典型的“凑微分”的方法精彩文档1 dx= 1 13 2x 2 3 2x三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分 计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算 例 7 求 sin 2 xdx21 1 1 解 sin2 xdx (1 cos2x)dx dx cos2xdxx1 2dx x 1sin 2x C . (此题利用三角函数中的降幂扩角公式)241 dx 1 a 1 (a x )2 1 (a x ) 利用 d(x n ) nx n 1dx ，有如下例题1 sin例 9 求 2xdxx 2 IIII解 d(1)12 dxxx1sin1 11 11 1 1 2xdx(sin 1)( 12 )dx (sin 1)(1) dx sin 1 d(1) cos 1 C x 2x x 2x xx x x例 10 求 e x cos e x dx解 e x cose x dx ＝ cose x d(e x ) sine x C . 利用 d(e x ) e x dx ， d(a x ) a x lnadxdx d(ax b) ； adx d(ln x) ； xsin xdx d (cos x ) ；x n 1dx 1d(x nb)； nx1 x a x dxd(a x ) ； ln a2sec xdx d (tan x) ；secx tan xdx d (sec x) ；dxd (arcsin x) ；e x dx d(e x ) ；cos xdx d(sin x) ；2csc xdx d(cot x) ； dx 2 d(arctan x) 。
1 x 21 (cos2x)4例8求dxa 2 x 2(a 0)dx 22ax xx d( ) arcsin C .2 a axdx11 求xxeedx12 求 e x dx 16x13 求 4x 6 9x dx3 x 1 3 x 1 (32)x 2d[(32)x ] ln3 II ln2arctan(23)xC . 此题利用 d(a x ) a x lnadx1面几个例题利用 d(ln x) dxx例 14 求dxxln xII d lnln x ln |ln ln x| C . lnln x1例 15 求 (2ln x 5)4dxdxx x x 2 e e (e ) 1dxdexx 2 arctane x C .(e x )2 14x 6x9x dx 4x 9x6x4x9x 1x 1 4xdx(3)x23 dx 1 (3)2x2解dxxlnx1 1dx lnx x ln x 1 d(lnx) ln lnx C .又如习题 4-2:2dx dx解x lnx lnlnx16)x ln x ln ln x11 111 1dxlnlnx ln x x11 d ln x ln ln xln x习题 4-2:2(30)dx xe1xx1 e e 1xe1dxe xdxxe x e1d(e xx 1)x ln(e x 1) C . x e1ln 13ln21 1 2解(2ln x 5)4dx (2ln x 5) 4 dxx 2 x1 4 1 5(2ln x 5) 4 d (2ln x 5) (2ln x 5)5 C .210第一次课可以讲到这里被积函数是分母是二次函数(例 16～例 22六个例题 )dx例 16 求 2dx 2a 2 x 2, 分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法(a 0) 分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项dx 解a 2 x 21dx 11 (x )21 x 1 x d( ) arctan C . a1 (x )2aaa例 17dx 29x 2 12x 4被积函数分母是一个完全平方式dx 9x 2 12x 4= 312 3dx (3x 2)23 (3x2)2d(3x 2)3(3x 2)C .被积函数分母是一个完全平方式，被积函数化为12 dx= 1 (ax b) a (ax b)2 d(ax b)dx 例18 2dx4x2 4x 17dx2分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式dx 21x 1)2 dx2116 (2x 1)216 1 (1 (42x 1 1 x 1d( ) arc tan( ) C 1 (2x 1)2 4 8 2 41 (4)解24x24x 17被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为2(ax b)2c 的形式，然后利用x arctan x C1练习：求2dx (第一换元积分法分)x2 2x 5x22x 5 (x 1)24 ，(x2 d2x x 5) 12 dx=(x 1)24 42 1 (x21)2dx19 求2x2 121x2 x 12 x 11dx (x 1)2 1dx 2x 1 1 x 1d = arctan C22分子是常数，分母是二次三项式且可以分解因式1 (1 1)(x 3)(x 4) 7 x 4 x 31 1 1 1( )dx7 x 4 x 3 7 x 41 11dx7x3dx2x2 x 12 1 7x4 1 1 1 x 4111 d(x 4) 17 x 3d(x 3)1 dxln |x 4| ln |x 3| C ln | | C .7 7 7 x 3被积函数分母是二次三项式且可以分解因式，被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差(x a)(x b)c[1 a b (xa)1] (xb)x 例20 求1x x2dx 分子是次多项式，分母是二次多项式解d(x21) 2xdx例 21 求 2x 2dx2x 101 1 x 1dx ln(x 22x 10) arctan C .2 3 3被积函数分子是一次多项式，分母是二次多项式时，首先把分子凑成分母的导数 面几个例题利用三角函数的微分公式：22d (sin x) cos xdx ； d (cos x)sin xdx ； d(tan x) sec xdx ； d(cotx) csc xdx2 2sin x 解 tan 3 xdx tan x(sec 2 x 1)dxtan xsec 2 xdx dxcosx12d (cos x) tan x ln cosx C2例 24 求 csc xdxx2 dx 1 2x 1 x 2 2 1 x 2 dx 122(x 21) 1ln(x 2 1) C . 2 解 d(x 22x 10) (2x 2)dx ，则2x 2 2 1 x 2 2x 10 dxd(x 2 2x 10) 22 x 22x 10 2 x 22x 2 21 dx 2x 1022 x 22x 10 2x 2 2 x 2 2x 10x 22x 10dx 2 x 2 2x 10 dxdx 1ln( x 2 2x 10)2x 10 2(x 11)2 9dx1ln(x 2 2x 10) 29 x 1 29(x 31)2 1例 22 求 tan xdx化切为弦）sinx sinx tanxdx ＝dx=cosx cosxdx =1d(cosx) ln cosx C cosx例 23 求 tan3xdx1tan xd (tan x) cosx 1cscxdx ＝dx=sinx2sin x cos x22dx1 2x cos2dx x sin 22 x cos22x sec 2x x dtan x21x dtan2 xtan2xln | tan | C . 因为 x tan2x sin2xcos22sin 2x2 2sin 2 xxx2sin cos22sinx1 cosx cscx cotx .sinxx所以 csc xdx ln | tan | C ln |cscx cotx| C . 此题用三角万能公式代换也可以1解 根据三角函数的积化和差公式： cos3x cos2x(cos5 x cosx)21cos3x cos2xdx cos5x cos xdx21 1 1 1cos5xd 5x cos xdx sin5x sinx C . 10 2 10 2由以上例题可以看出，第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法，始终贯穿着“凑微分”思 想，因此学生应熟悉这些基本例题。