不定积分换元法例题1
第5章2不定积分换元积分(1)
例10 求 sin3 x dx.
解 sin3 x dx sin2 x sin x dx (1 cos2 x)d cos x
1 cos3 x cos x C 3
说明 当被积函数是三角函数相乘并有奇次幂 时，拆开奇次项去凑微分.
例11 求 sin2 x cos5 xdx.
积分： f [(x)](x)dx F[(x)d[(x)] dF[(x)
第一类换元法可表述为：
换元 ( x )u
积分
f [( x)]( x)dx f (u)duF(u) C
u ( x )还原
F[( x)] C
4
换元积分法
一、第一类换元法
例2 求 2xex2dx .
例3 求 x 1 - x2dx .
19
(1)
5
(1 3x)2 dx
2
(1
7
3x)2
C
21
(3)
1
x x
2
dx
1 ln(1 x2 ) C 2
(5) (ln x)2 dx 1x
(7)
ex x2
dx
1 ln( x)3 C 3
1
ex C
(9) dv 1 2v C 1 2v
(11)
x
2x 2
x
1
3
dx
ln x 2 x 3 C
解
tanxdx
sin cos
x x
dx
1 d cos x cos x
= - ln |cosx| + C
tanxdx = - ln |cosx| + C = ln |secx| + C
同理 cotxdx = ln |sinx| + C = - ln |cscx| + C
不定积分换元法例题
不定积分换元法例题一、不定积分换元法不定积分换元法是一种数学计算方法，主要用于求解某种函数的积分。
它是一种简单而有效的方法，在数学中被广泛应用，可以解决复杂的数学问题。
二、不定积分换元法的基本原理不定积分换元法的基本原理是：对于某个函数f(x)，可将它分割为m个部分，每个部分都是一个函数。
那么积分就可以分解为m个部分的积分，即：积分f(x)dx = ∑[f(x_i)dx_i]其中，x_i是分解出来的第i个函数，dx_i表示第i个函数的积分。
这样，我们就可以通过不定积分换元法求出积分f(x)dx。
三、不定积分换元法的具体应用不定积分换元法可以用来求解各种复杂的数学问题，比如：1、求解未知函数的积分：例如，求解函数f(x)=x^2的积分，可以按照不定积分换元法的思路，将f(x)分解为m个部分，每个部分都是一个函数。
那么，积分f(x)dx就可以分解为m个部分的积分，即：∫f(x)dx = ∑[f(x_i)dx_i]2、求解复合函数的积分：例如，求解函数f(x)=x^2+2x+1的积分，可以按照不定积分换元法的思路，将f(x)分解为m个部分，每个部分都是一个函数。
那么，积分f(x)dx就可以分解为m个部分的积分，即：∫f(x)dx = ∑[f(x_i)dx_i]四、不定积分换元法的优势1、不定积分换元法可以有效地避免复杂的计算，使计算变得简单快捷；2、不定积分换元法可以解决多元函数的积分问题；3、不定积分换元法可以有效地提高计算效率，减少计算时间；4、不定积分换元法可以避免计算错误，提高计算精度。
总之，不定积分换元法是一种有效的数学计算方法，可以有效地解决复杂的数学问题，提高计算效率，减少计算时间，提高计算精度。
不定积分求解方法换元法
不定积分求解方法换元法一、基本思想换元法的基本思想是通过引入一个新的变量，使被积函数中的一部分可以化简为对新变量的导数形式。
这样可以将原函数转化为一个更简单的函数，然后再进行积分。
二、具体步骤1.选择合适的变量代换。
在进行变量代换时，可以根据问题的特点和被积函数的形式灵活选择。
常用的变量代换有：（1）令u=f(x)代替被积函数中的一部分。
（2）令u=g(x)代替被积函数的整体。
（3）令x=h(u)代替被积函数中的一部分。
2.求解变量代换的导数和逆变换。
求解变量代换的导数是为了将原函数的微元dx转化为新的变量的微元du。
而逆变换是为了将积分结果转化为原函数形式。
3.将被积函数转化为新变量的导数形式。
将原函数中的dx全部用du表示，然后将被积函数进行替换，得到新变量的导数形式。
4.进行积分。
将被积函数转化为新变量的导数形式之后，进行积分即可。
此时的积分可能会更加简单，容易求解。
5.最后进行逆变换。
将得到的积分结果重新转化为原函数形式，即完成了不定积分的求解。
三、实例应用下面通过几个实例来具体说明换元法的应用。
例1. 计算不定积分∫(x^2+1)√x dx。
解：首先令u = x^(3/2)，则du = (3/2)x^(1/2)dx。
将被积函数进行替换，得到∫(u-1)du。
再进行积分，得到u^2/2-u+C。
最后进行逆变换，得到(x^(3/2))^2/2-x^(3/2)+C=x^3/4/2-x^3/2+C。
例2. 计算不定积分∫(e^x/(1+e^x))dx。
解：将分母1+e^x视为u，即u=1+e^x，则du = e^xdx。
将被积函数进行替换，得到∫du/u。
再进行积分，得到ln，u， + C。
最后进行逆变换，得到ln，1+e^x， + C。
例3. 计算不定积分∫(sinx)/(1+cos^2x)dx。
解：将分母1+cos^2x视为u，即u=1+cos^2x，则du = -2cosxsinxdx。
不定积分练习题
1、求下列不定积分1) dx ~^2 x3) (x 2)2dx5) 2 3x5 2x3xdx7) (2e x 3)dxx2、求下列不定积分（第一换元法）31) (3 2x) dx不定积分(A)2)4)6)8)dxx2. x2Jdxxcos2x .dx2 . 2cos xsin x(1 x xdxxdx32 3xx In xln(In x)4)5)dx6)dx cosxs in x27) xcos(x )dx 8) 3x31 x4dx9)sin x ,3 dxcos x10) —L X—dx<9 4x211)dx2x2 1312) cos xdx13) sin 2xcos3xdx 14)tan3 xsecxdx15)17)x32dx9 x16)10 2arccosx、1 x2dxc 23 cos x 4sin 218) arctan x dx7x(1 x)-dxx3、求下列不定积分（第二换元法）4、求下列不定积分（分部积分法）1) xSnxdx 2) arcs in xdx2 3) x In xdx2x・x 4) e sin dx21) 一dxx、1 x22) sin 一xdx3) ■^Ldx4) --dx,(ax0)5) 6)dx 1 .2x7)dxx d x28)dxdx5) x1 2 arctanxdx6) x2cosxdx7)In2 xdx 8)x2 cos2 - dx2 5、求下列不定积分(有理函数积分)1)3x . dxx 32)2x 3 」飞dxx2 3x 103)dxx(x21)(B)1、一曲线通过点(e2,3),且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
1 32、已知一个函数F(x)的导函数为----------- ，且当x 1时函数值为-------------------------------- ，试求此函数。
2 21 x 23、 证明：若 f(x)dx F(x) c ,贝 U1f (ax b)dx F(ax b) c,(a 0)。
不定积分的换元法第一篇
解
x2 f (1 x3 )dx 1 f (1 x3 )d(1 x3 ) 3
又 f ( x)dx x C，
x2 f (1 x3 )dx 1 1 x3 +C 3
例12 求 x2(2x 1)50dx
解 令u 2x 1 则 dx 1 du
第三节 不定积分与定积分的运算
一、不定积分的换元法
二、定积分的换元法
三、分部积分法
不定积分的分部积分法 定积分的分部积分法
四、积分的其它例子法
第四章
一、换元积分法
1、第一类换元法 2、第二类换元法
基本思路
设 F(u) f (u),
可导, 则有
f (( x))d(( x)) f (u)du u(x)
一部分凑成d (x),这需要解题经验,如果记熟下列一些微
分式(P197) ,解题中则会给我们以启示．
dx 1 d(ax b)， xdx 1 d(x2 )，
a
2
dx 2d( x)， x
exdx d(ex )，
1 dx d(ln | x |)， sin xdx d(cos x)， x
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
2a
2a xa
例4 求 (1) xe13x2 dx;
(2) x a2 x2 dx.
解 (1) xe13x2dx e13x2 xdx, 且 d(1 3x2 ) 6xdx,
F (u) C u( x) F[ ( x)] C
第一类换元法 第二类换元法
1．第一换元积分法(凑微分法)
问题 1 求 e3xdx .
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=xd x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(； ○4n n n n x d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
不定积分的换元法
一般的说，若积分 f (x)dx不易计算可以作适当的
变量代换 x (t) ，把原积分化为 f ((t))'(t) dt 的形
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t 1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
应用第二类换元法求不定积分的步骤为
f
( x) d
x
x
换元
(t)
f
(t)
'(t ) d
t
g(t)d t
F(t)
C
还原
(t)
x
F
1(t) C
第二类积分换元法 分为两种基本类型根 三式 角代 代换 换
例6 求
x dx. 1 x
解 令 1 x t，得x 1t2，得dx 2tdt，所以有
x 1
x
dx
1t
t
2
2tdt
2 (1 t2)dt
ln
x a
x
2 a
a
2
C
.
x2 a2
x
t a
练习：P109 1（12）
小结：二类换元积分法的思想与步骤
作业：P109 1（1）、（4）、（10）
C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
x2
4dx
1 2
udu
练习：P109 1（2）、（5）、（15）
二、 第二类换元法
第一类换元法是通过变量替换 u ( x)
将积分
f [( x)]( x)dx化为积分 f (u)du
下面介绍的第二类换元法是通过变量替
换 x (t) 将积分
f ( x)dx化为积分 f [(t)](t)dt
3.2.4不定积分的第二类换元法举例
x a
x2 a
Байду номын сангаас
a2
C
ln( x x2 a2 ) lna C.
x2 a2
x
t
a
ln( x x2 a2 ) C.
例2 求
1 dx (a 0) . x2 a2
解:
令
x
a sec t
,
t
0,
2
dx
a sec t
tan t dt
,
1 dx 1 a sec t tan t dt
一般规律如下：当被积函数中含有
(1)
a2 x2 , 可令 x a sin t ,
t
2
,
2
(2)
a2 x2 , 可令 x a tan t ,
t
2
,
2
(3)
x2 a2
,
可令
x a sec t ,
t
0,
2
说明1 积分中为了化掉根式是否一定采用三角 代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.
(19) csc x dx lncsc x cot x C ;
(20)
a2
1
x2
dx
1 a
arctan
x a
C
;
(21)
x2
1
a2
dx
1 2a
ln
x x
a a
C
;
(22)
a2
1
x2
dx
1 2a
ln
a a
x x
C
;
(23)
1 dx arcsin x C ;
a2 x2
a
(24)
1 dx ln( x x2 a2 ) C ;
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__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】1、9999(57)(57)(5711(57)(57)55)(57)dx d x d x dx x x x x +=+⋅=+⋅=+⋅++⎰⎰⎰⎰ 110091(57)(57)(57)10111(57)5550d C x x x x C =⋅=⋅+=+++++⎰ 【注】1(57)'5,(57)5,(57)5x d x dx dx d x +=+==+⇒⇒2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =⋅=⋅⎰⎰⎰221(l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =⋅=+=+⎰【注】111(ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x===⇒⇒3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x xx --====⎰⎰⎰⎰⎰cos ln |cos |c ln |co s |o s xx d C x C x=-=-+=-+⎰【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-⇒⇒ 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d xx x x ===⎰⎰⎰⎰sin ln |si ln |sin |n |sin xx d C x C x==+=+⎰【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==⇒=⇒ 4（1）1()11d dx a x a x a d x x a x =⋅=⋅++++⎰⎰⎰ ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a xC ++=⋅=+=+++⎰【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+⇒⇒ 4（2）1()11d dx x a x x x d a a x a =⋅=⋅----⎰⎰⎰ ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x aC --=⋅=+=--+⎰【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-⇒⇒4（3）22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ⎛⎫- ⎪--+⎝⎛⎫=-+⎭==- ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰()11ln ||ln ||ln22x ax a x a C C a a x a-=--++=++5（2）222sec cos c os cos 1sin xdx dx dx x x x x====-⎰⎰⎰⎰⎰ 2sin si 1111sin 111sin ln ln 1n sin 2112sin 121s sin sin in d x x x x x xd C C x xx --⎛⎫==-⋅=+=+ ⎪--+++⎝⎭⎰⎰ 6（1）2csc ()csc cot csc csc cot csc cot csc csc cot x x x x xdx x x x xdx dx x x+==⋅+++⎰⎰⎰ ()()ln |csc cot |csc c cot csc csc cot csc o ot t c d d x x x x x xx x C x x --+=-==+-+++⎰⎰6（2）2csc ()csc cot csc csc cot csc cot csc csc cot x x x x xdx x x x xdx dx x x==⋅----⎰⎰⎰ ()(cot csc csc co )ln |csc t csc co cot |c t sc cot d x x x x d x x xx x C x -+-=---==+⎰⎰7（1）arcsin x C ==+7（2）arcsind xC ax d x =====+⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ 8（1）221arctan 11dx dx x C x x ==+++⎰⎰8（2）222222221111arctan 111d dx x dx C a x a x a a ax x x d dx x a x a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪=====+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎝⎭⎛⎫ ⎪+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰，（0a >）9（1）352525s sin cos sin cos sin i c s o c n o s xd x xdx x x x x x d x =⋅-⋅=⎰⎰⎰862575cos cos (1cos )cos cos (cos cos )cos 86x xx x d x x x d x C =--⋅⋅=-⋅=-+⎰⎰9（2）353434c sin cos sin cos sin cos os sin x x xdx x x x dxd x x =⋅=⋅⎰⎰⎰468322357sin sin sin sin (1sin )sin (sin 2sin sin )sin 438x x xx x d x x x x d x C =-⋅=-+⋅=-++⎰⎰10（1）1ln 111l l n ln ln l ln n n ln dx d x C x x x x dx d x x x x =⋅=⋅=⋅=+⋅⎰⎰⎰⎰ 10（2）222211111ln ln ln ln ln n ln l dx d C x x x x d x xx x d x x ⋅=⋅=⋅=⋅=-+⎰⎰⎰⎰11（1）242424222222()arctan(21)222)121122(xdx d x C x x x x x x x x dx x dx ====+++++++++++⎰⎰⎰⎰ 11（2）2242422422121()2521112252524()xdx d x xdx d x x x x x x x x +===++++++++⎰⎰⎰⎰2222222121(1)111arctan()8442111122x d d x x C x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭===+⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 12、s 22dx dx dx =⋅=⋅=⎰⎰⎰2C C ==-=-⎰13、222211222122xx xx e dx e d x d e x C e ===+⎰⎰⎰14、 43333co sin sin cos sin sin s sin i 4sin s n xx xdx x x d C dx x x x d x =⋅=⋅=⋅=+⎰⎰⎰⎰15、100(25)x dx +⎰10010010011(25)(25)2(25)(25)(25)2dx d x x x x d x =+⋅=+++⋅+⋅=⎰⎰⎰ 1001100111(25)(25)(25)101111(25)22202x x x d C x C =⋅=⋅+=+++++⎰16、2222222111sin sin s 2in sin cos 22x x x x x dx x xdx dx x d C =⋅=⋅=⋅=-+⎰⎰⎰⎰ 17、ln 1ln dx d d x x x ===3122ln ln (1ln )(1ln )2(1ln )2(1ln )3d x d xd x d x x x C =-=+-+=+-++18、arctan arctan arctan arc arct 2tan 2an arcta 11arct 1n an x xx x x e dx e e e d e C x dx d x xx +=⋅=⋅=⋅=++⎰⎰⎰⎰ 19、22(1)x d xd dx x ===--2(1)d x C -=-=20、si n cos x dx d x =-=3221coscos 2cosx C x d x --=-=+⎰21、111()ln(22222)2x x x xx x x x x e dx d e e dx d e C e e e ee =⋅=⋅==+++++++⎰⎰⎰⎰22、23222ln ln ln l 1ln ln ln n 3x x dx x x x x d C x dx d x x =⋅=⋅=⋅=+⎰⎰⎰⎰ 23、C ====+24、2221()177(112()())()2224224d x dx x x x x d x dx -===-+-+-+-⎰⎰⎰1()1d x C C x -==-+=⎰ 25、计算⎰，22a b ≠【分析】因为：22222222(sin cos )'2sin cos 2cos (sin )2()sin cos a x b x a x x b x x a b x x +=+-=- 所以：222222(sin cos )2()sin cos d a x b x a b x xdx +=- 2222221sin cos (sin cos )2()x xdx d a x b x a b =⋅+-【解答】2222221a b ==-2222221C a b ==-【不定积分的第二类换元法】 已知()()f t dt F t C =+⎰求()(())()(())'()g x dx g t d t g t t dt ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰【做变换，令()x t ϕ=，再求微分】 ()()f t dt F t C ==+⎰ 【求积分】1(())F x C ϕ-=+ 【变量还原，1()t x ϕ-=】__________________________________________________________________________________________ 【第二换元法例题】1、22sin sin sin 2si 2n t x t t t tdt t t dt tdt =⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰2cos t t C C =-+-+变量还原2（1）22111122111211t x t dt td t dt dt t t t t t =⎛⎫⋅=⋅==- ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰())2ln |1|2ln |1|t t t C C =-++-++变量还原2（2）22(1)(11)2(1)1111221t x t d t dt dt t t t t dt t t =--⎛⎫⋅=⋅==- ⎪⎝⎭--⎰⎰⎰⎰⎰令()()12ln ||21ln |1|t t t C C ==-++++变量还原3、343324332(1)111(1)(1)4(1)3tx t dx t t t d t t t dt =-⋅=--⋅⋅⋅-⎰ 746312()1274t t t t dt C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰1274t C -+⎝=⎭变量还原4、222221112(1)(1)12t x t dt td dt t t t t t t =⋅====⋅=+++⎰⎰⎰2arctan t t C C =+变量还原5、ln 111111111(1)11ln xx e t x t dx dt dt e t t t t t t t t t d d =========⎛⎫⋅=⋅==- ⎪+++++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰令 ln ||ln |1|lnln 11x xxt e t e t t C C C t e ========-++=+++=+变量还原6、6223236522111661(1)(61)11t x t t dt dt t t t t t dt t t d t =⎛⎫⋅=⋅==- ⎪++++==⎝⎭⎰⎰⎰⎰6(arctan )t t t C C +=-+变量还原【注】被积函数中出现了两个根式t =，其中k 为,m n 的最小公倍数。