不定积分第一类换元法

不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。

几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(；○4nn n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ； ○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ （3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。

二、典型例题○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； 例1.⎰-dx x 2010)12( 例2. ⎰+231x x [1]例3.⎰+++322)1(1x x xdx [1]例4.dx x x x ⎰-+431[1]1．解：令12-=x u ,dx du 2=,C x C u dx x +-⋅=+⋅=-⎰2011)12(21201121)12(2011201120102．解：令2x t =， =+⎰231x x ⎰⎰+-+=+t dtt t tdt 1)11(21121⎰⎰++-++=)1(1121)1(121t d t t d tC t t ++⋅-+⋅=1221)1(322123C x x ++-+=22321)1(31 3．解：=+++⎰322)1(1x x xdx ⎰++++32222)1()1()1(21x x x d令t x =+21原式⎰⎰⎰++=+⋅=+=tt d t t dt tt dt 1)1(1212123 C x C t +++=++=2112124．解：=-+⎰dx xx x 431⎰⎰-+-dx xx dx xx 44311⎰⎰-+---=42441211)1(41x dx xx dC x x ++-⨯⨯-=24arcsin 211241C x x +--=)1(arcsin 2142○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； 例1.dx x ⎰tan [2] 例2. ⎰dx xx2sin [2]例3.dx x x x ⎰+++2sin 1cos sin 1[1] 例4.⎰xx dx 4cos sin [1]例5.⎰xx dx 3cos sin [1] 例6.⎰+dx x x x x 44cos sin cos sin [1]例7.设b a ,为常数，且0≠a ，计算dx xb x a x I ⎰+=2222cos sin tan [1]1.解：设x u cos =，xdx du sin -=，xdx du sin =-=⎰dx x tan =⎰dx x x cos sin ⎰+-=+-=-C x C u u du)ln(cos )ln(2．解：=⎰dx xx2sin ⎰⎰+-=xdx x x x xd cot cot )(cotC x x x ++-=sin ln cot3．解：=+++⎰dx x x x 2sin 1cos sin 1⎰⎰⎰++--+-x x d x x d x dx 222sin 21)(sin cos 2)(cos cos 2 ⎰+-+--=)arctan(sin cos 2cos 2ln 221)1sec 2(cos 22x xxx x dx⎰+++-+-=xxd x xx 2tan 21tan )arctan(sin cos 2cos 2ln221Cx x xx +++-+-=)tan 2arctan(21)arctan(sin cos 2cos 2ln2214.解：=⎰xx dx4cos sin dx x x x x dx x x dx x x x x ⎰⎰⎰++=+2224422cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ⎰⎰⎰+--=x dxx x d x x d sin cos cos cos cos 24 C x x x x +-++=cot csc ln cos 1cos 3135.解：=⎰x x dx3cos sin ⎰⎰+=x d x x x x x x dx tan cos tan cos sin cos tan 2224 =+=⎰x d x x tan tan tan 12C x x ++tan ln tan 212 6.解：令x u 2=，再令u v cos =，有du uu udx x x x dx xx x x ⎰⎰⎰+=+=+222244sin 21cos sin 412sin 212cos 2sin 21cos sin cos sin ⎰⎰+-=-+-=222121cos 2121cos cos 41vdvuu u d =+-=C v arctan 21C x +-)2arctan(cos 217．解：⎰⎰+=+=2222222tan tan tan )tan (cos tan b x a xxd dx b x a x x I C b x a a b x a b x a d a++=++-=⎰)tan ln(21tan )tan (2122222222222○3⎰⎰=x d x f dx x x f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x xde e f dx e e f )()(；例1.⎰+)ln 21(x x dx [3]例2.dx e x ⎰5[2]例3.⎰+dx e e xx 43[2]例4.⎰-x x dx 2ln 1[2]例5.⎰++dx e e x x 22)1(1[1]例6.dx xxx x ⎰-⋅4932[1]例7.⎰-dx e xe x x 2[1]例8.⎰dx xx x sin cos tan ln [2]1.解：=+⎰)ln 21(x x dx ⎰+xxd ln 21lnC x x x d ++=++=⎰ln 21ln 21ln 21)ln 21(212.解 ：令x u 5=，dx du 5==⎰dx e x 5C e C e du e xu u +=+=⎰5515151 3.解：令x e u 43+=，dx e du x 4=，=+⎰dx e e x x 43C u du u +=⎰ln 41141 C e x ++=)43ln(414.解：令x u ln =，dx xdu 1==-⎰xx dx 2ln 1⎰+=-C u du uarcsin 112C x +=)arcsin(ln5.解：=++⎰dx e ex x22)1(1=+-+⎰dx e e e x x x 22222)1(2)1(dx e ex x x ⎰+-222)1(2=++-=⎰222)1()1(4x x e e d x C ex x +++2146.解：=-⋅⎰dx x x xx4932⎰⎰-=-1])21[(])23[(23ln 11)23()23(22x x x x d dx C x x ++--=1)23(1)23(ln )2ln 3(ln 21C xx xx ++--=2323ln )2ln 3(ln 21 7.解：=-⎰dx e xe x x 2⎰⎰-=--)2(22)2(x x x e xd e e xd⎰---=dx e e x x x 2222 令22t e x =-,22t e x +=,)2ln(2t x +=,dt t tdx 222+=原式=+--=⎰dt t t te x x222222dt t t e x x⎰+-+--22222422⎰+---=dt t e x x )221(4222C t t e x x +⋅+--=2arctan218422C e e e x x xx+-+---=22arctan 2424228.解：=⎰dx x x x sin cos tan ln =⎰x d xxtan tan tan ln ⎰)tan (ln tan ln x xdC x +=2)tan (ln 2○4n n n nx d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；例1.dx xe x⎰3[2]例2.dx x x ⎰+231[4]例3.⎰-+dx xx x 11[4]例4.⎰+-+)ln ln (b x a x x dx[1]例53222)1(1dx x x x -⎰[1] 例6.⎰-)(x a x dx )0(>a [1]例7⎰-dx xx 1arcsin [1]1.解：xdxx d 21==⎰dx xe x3==⎰⎰)3(32233x d e x d e x x C e x+3322.解：=+⎰dx x x 231)1()111(21121222222x d x x dx x x ++-+=+⎰⎰C x x ++-+=22321)1(313.解：=-+⎰dx xx x 11⎰⎰⎰-+-=-+2222111)1(xdx x xxdx dx xx x对于右端第一个积分，凑微分得 =---=-⎰⎰-)1()1(122122x d x dx x x C x +--21第二个积分中，用代换t x sin = =-⎰dx xx 221dt ttdt t t ⎰⎰-=2cos 1cos cos sin 22 =+-=C t t 2sin 412C x x x +--2121arcsin 21 原式C x x x +-+-=21)2(21arcsin 214.解：=+-+⎰)ln ln (b x a x x dx⎰-+++dx b a x bx a x )(ln ln⎰⎰++-+++-=)(ln ln 1)(ln ln 1b x d b x ba a x d a xb a C b x a x b a ++++-=])(ln )[(ln )(3223235.解：=-⎰3222)1(1dx x x x ⎰⎰--=--)11()11()1()11(3232x d x x d x C +-=35)511(536.解：⎰=-)(x a x dx C axx a x d +=-⎰arcsin2)(227.解：=-⎰dx xx 1arcsin ⎰--)1(arcsin 2x d x⎰--+--=x d xx x x 112arcsin 12C x x x ++--=2arcsin 12○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； 例1.dx x x ⎰-2arccos 2110[3]例2. ⎰+dx x x x )1(arctan [4]例3.⎰++dx x x x )1(arctan 1[1] 例4.⎰-324)(arcsin 1x x xdx [1]例5.dx x x x x ⎰-+⋅22211arcsin [1]1.解：=-⎰dx xx 2arccos 2110C x d xx+-=-⎰10ln 210arccos 10arccos 2arccos 22.解：=+⎰dx x x x )1(arctan ⎰⎰=+)(arctan arctan 21arctan 2x d x x d x xC x +=2)(arctan3.解：⎰=++dx x x x )1(arctan 1⎰++dx x x x ])(1[arctan 12⎰++=)1(arctan arctan 12x d xC x ++=23)arctan 1(344．解：=-⎰324)(arcsin 1x x xdx⎰⎰=-3224322)(arcsin arcsin 211)(arcsin 21x x d x x dx C x +-=-22)(arcsin 415．解： ⎰⎰+==-C x x xd dx x x 22)(arcsin 21)(arcsin arcsin 1arcsin 令t x sin =， ⎰⎰⎰=-=-tdttt t d x x dx 22222sin sin 1sin sin 1 C xx C t +--=+-=21cot⎰⎰⎰+--=--=-∴x dxx x x x x xd dx x x x )1(arcsin )1(arcsin 1arcsin 2222C x x xx ++--=ln arcsin 12⎰⎰-+-=-+⋅∴dx xx xx x dx x x x x )1arcsin 1arcsin (11arcsin 222222 C x x xx x arc ++--=ln arcsin 1sin 2122○6复杂因式 例1.⎰++dx x x 1142[4]例2.dx x x ⎰+211arctan[1]例3.⎰-+⋅-dx x x x11ln 112[1]例4.dx x x x ⎰+++221)1ln([1] 例5.⎰+dx x x sin cos 1[1] 例6.⎰++dx xx e x )cos 1sin 1([1]1.解：⎰⎰⎰+--=++=++2)1()1(11111222242x x x x d dx xx x dx x x C xx C x x +-=+-=21arctan 2121arctan2122.解：2211)'1()1(11)'1(arctan x x xx+-=+=Θ ⎰⎰+-=-=+∴C x x d x dx x x 22)1(arctan 21)1(arctan )1(arctan 11arctan3.解：212)'11(ln x x x -=-+Θ C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-+⋅-∴⎰⎰22)11(ln 41)11(ln 11ln 2111ln 114.解：⎰+++=+C x x x dx )1ln(122⎰⎰++++=+++∴))1(ln()1ln(1)1ln(2222x x d x x dx xx x C x x +++=232)]1[ln(325.解：⎰⎰⎰==+2sin222cos 2sin 22cos2sin cos 1x dx dx x x xdx x x ⎰+==C x x x d 4tan ln 24tan )4(tan 2 6.解：dx xx x e dx x x e x x⎰⎰--+=++2cos 1)cos 1)(sin 1()cos 1sin 1( ⎰⎰⎰⎰-+-=xdx e dx x e dx x x e dx x e xx x x cot sin sin cos sin 22 ⎰⎰⎰⎰-+---=xdx e dx xe x d e x d e x xxxcot sin )sin 1()cot ( C xe x e xx++-=sin cot1．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52x )； (4) x d x = d(1-2x )；(5) 3x d x = d(34x -2); (6) 2e xd x = d(2e x)； (7) 2ex -d x = d(1+2ex -); (8)d xx = d(5ln ｜x ｜); 21x - = d(1-arcsin x 21x -= d 21x -(11)2d 19x x += d(arctan 3x ); (12) 2d 12xx += d(2x );(13) (32x -2)d x = d(2x -3x )； (14) cos （23x -1）d x = d sin （23x -1）．1 求2cos 2x ⎰d x .2 求1d 25x x +⎰.3 求tan ⎰x d x ．4 求x ⎰21x -x ．5 求221a x +⎰d x ．6 求22a x-d x (a ＞0)．7 求3sin ⎰x d x ．8 求2sin ⎰x d x ．例9 求221a x -⎰d x (a 为常数，a ≠0)．例10 求sec x ⎰d x ．例11 求cos3x ⎰cos 2x d x ． 例12 求3xxx ．例13 求53tan sec x x ⎰d x２.求下列不定积分：(1) 5e d t t ⎰; (2) 3(32)x -⎰d x ;(3)d 12xx -⎰; (4) 323x-⎰(5)d tt t; (6) d ln ln ln x x x x ⎰; (7) 102tan sec d x x x ⎰; (8) 2e d x x x -⎰;(9)d sin cos x x x ⎰; (10) 22tan 11x x ++⎰(11)d e e x xx-+⎰; (12) 223x x -⎰; (13) 343d 1x x x -⎰; (14) 3sin d cos x x x ⎰;1、解 被积函数中，cos 2x 是cos u 与u =2x 的复合函数，常数因子2恰好是中间变量u =2x 的导数，因此作变量代换u =2x ,便有2cos 2x ⎰d x =cos 2x ⎰·２d x =cos 2x ⎰·（２x )′d x ＝cos ⎰u d u ＝sin u +C ． 再以u =2x 代入，即得2⎰cos 2x d x =sin 2x +C .2、解125x +可看成1u与u =2x +5的复合函数，被积函数中虽没有u ′=2这个因子，但我们可以凑出这个因子：125x +=12·125x +·２=12·125x +·(2x +5)′，从而令u =2x +5,便有125x +⎰ d x =12⎰·125x + (2x +5)d x ＝12125x +⎰d(2x +5)＝121u ⎰d u=12ln u +C ＝12ln 25x + +C ． 一般地，对于积分f ⎰ (ax +b )d x ，总可以作变量代换u =ax +b ，把它化为()d f ax b x +⎰＝1a ⎰f (ax +b )d(ax +b )＝12()()u x f u du ϕ=⎡⎤⎣⎦⎰． 3、解 tan ⎰x d x =sin cos x x ⎰d x ＝1cos x -⎰ (cos x )′d x ＝1cos x -⎰d(cos x ) cos u x =令-1u⎰d u =-ln u +C =-ln cos x +C ． 类似地可得cot ⎰x d x =ln sin x +C ．4、解 x ⎰ 21x - d x =-12221(1)'x x --d x ＝-12122(1)x -⎰d(1-2x ）21u x =-令-1212u ⎰d u =3213u -+C =-13 322(1)x -+C ．在对变量代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量u ，只需做到“心中有数”即可． 5、解221a x +⎰d x =21a ⎰·211()x a +d x =1a 211()x a+⎰d （x a ）=1a arctan x a +C ． 6、解22a x-d x =21()x a a-2d()1()x a xa-⎰=arcsin x a +C ． 7、解 3sin ⎰x d x ＝2(1cos )x -⎰sin x d x =-2(1cos )x -⎰d(cos x )=- d ⎰ (cos x )+ 2cos ⎰x d(cos x )=-cos x +133cos x +C ． 8、解 2sin ⎰x d x =1cos 22x-⎰ d x =1d 2⎰ x -1cos 24x ⎰ d(2x )= 12 x -14 sin 2x +C ．类似地可得2cos ⎰ x d x ＝12x +14sin 2x +C ． 9、解221a x -⎰d x =1()()a x a x +-⎰d x =111()d 2x a a x a x ++-⎰=1()()2d a x d a x a a x a x +-⎡⎤-⎢⎥+-⎣⎦⎰⎰ =1ln ln 2a x a x a⎡+--⎤⎣⎦ +C =1ln 2a x a a x +- +C ． 10、解 sec x ⎰d x =1cos x ⎰d x =2cos cos x x ⎰d x =211sin x -⎰d(sin x )=11sin ln 21sin x x +-＋C （由例8)= 211sin ln()2cos x x+＋C =ln sec tan x x +＋C ．类似地可得csc x ⎰d x =ln csc cot x x -＋C ．11、解 利用三角函数的积化和差公式有cos3x ⎰cos 2x d x =12⎰ (cos x +cos 5x )d x =12cos x ⎰d x +110cos5x ⎰d(5x ) =12sin x +110sin 5x +C ． 12、解3xex⎰d x =233(3)x e d x ⎰＝233xe +C ． 13、解 53tan sec x x ⎰d x =42tan sec x x ⎰sec x tan x d x =222(sec 1)sec d(sec )x x x -⎰=642(sec 2sec sec )dsec x x x x -+⎰=753121sec sec sec 753x x x -++C ．。