不定积分与定积分换元法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法一、不定积分的基本公式和运算法则1.基本公式：- 常数公式：$\int c\,dx = cx + C$，其中c为常数，C为常数。
- 幂函数公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中n为非零常数，C为常数。
- 指数函数公式：$\int e^x\,dx = e^x + C$，其中C为常数。
- 对数函数公式：$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln，x， + C$，其中C为常数。
2.基本运算法则：- 常数倍法则：$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$，其中k为常数。
- 和差法则：$\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$。
- 乘法法则：$\int u \cdot v\,dx = \int u\,dv + \int v\,du$。
- 除法法则：$\int \frac{u}{v}\,dx=i\ln，v，+j\int\frac{dv}{v}$。
直接积分法是指根据不定积分的基本公式和运算法则，直接进行积分计算的方法。
下面介绍一些常见的直接积分法：1.用代换法进行积分：-根据被积函数的形式，选择一个合适的代换，使得原函数的形式更简单。
-对原函数进行代换，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
-将上述结果带入到原函数中，得到最终的积分结果。
2.用分部积分法进行积分：-对于被积函数的乘积形式，选择一个函数进行求导，选择另一个函数进行积分。
- 根据分部积分公式$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，进行积分计算。
3.用换元法进行积分：-对于被积函数的形式，选择一个新的变量代替原来的变量，使得积分变得更简单。
-对原函数进行换元，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
积分的定积分与不定积分
积分的定积分与不定积分积分是微积分中的重要概念之一，用于求解曲线下面积、函数的平均值、变化率等问题。
在积分中，我们常常会遇到定积分和不定积分两种形式。
本文将从定义、性质、计算方法等方面介绍定积分和不定积分的基本知识。
一、定积分的定义与性质定积分是对函数在给定区间上的积分，它的定义如下：设函数f(x)在区间[a, b]上有界，将[a, b]分成n个小区间，其中第i 个小区间为[x_(i-1), x_i]，对于任意一个小区间，取其左端点上的函数值f(x_(i-1))作为近似值，求所有小区间上的近似求和，然后令n趋向于无穷大，即可得到定积分的值。
定积分的性质如下：1. 定积分的值和积分的区间有关，即[a, b]上的积分与[b, a]上的积分相差一个负号，表示积分的方向。
2. 一个区间上的定积分可以分割成多个子区间的积分之和，即[a, b]上的积分等于[a, c]上的积分加上[c, b]上的积分。
3. 函数的常数倍不影响定积分的值，即k∫f(x)dx = ∫(k*f(x))dx。
4. 定积分有加法原理，即∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
二、不定积分的定义与性质不定积分是求解函数的原函数的过程，它的定义如下：设函数f(x)在区间I上有原函数F(x)，则F(x)+C称为f(x)在I上的不定积分，其中C为任意常数。
不定积分的性质如下：1. 函数的不定积分是原函数的集合，因为对于任意一个原函数F(x)，都有F(x)+C是f(x)的不定积分，其中C为任意常数。
2. 不定积分具有线性性质，即∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
3. 不定积分有积分微分的逆运算性质，即函数f(x)在[a, b]上可积的充分必要条件是它在[a, b]上有连续的原函数。
三、定积分与不定积分的关系在计算上，定积分和不定积分是相互联系的。
下面是一些常见的关系：1. 定积分可以通过不定积分来求解，即∫(a, b)f(x)dx = F(x)∣_(a, b) = F(b) - F(a)，其中F(x)为f(x)的一个原函数。
不定积分和定积分
第四章 不定积分与定积分4.1 不定积分一、学时：二、教学要求：不定积分的定义：原函数、不定积分、积分基本公式、不定积分加法与数乘。
不定积分的求法； （1）理解原函数、不定积分的定义及关系；（2）熟记不定积分的基本公式，会不定积分的加法数乘运算； （3）会换元积分法：第一换元法、第二换元法；（4）分部积分法：理解分部积分法的推导，能用分部积分法求一些标准型不定积分。
重点：原函数、不定积分的定义及关系，不定积分的基本公式，不定积分的加法数乘运算，第一换元法、第二换元法，分部积分法 难点：第一换元法、第二换元法，分部积分法 三、教学内容：第二章讨论了如何求一个数的函导数（微分）问题，现在来讨论它的逆问题，即要由一个函数的已知导数（微分），求原来的函数问题，即求不定积分.4.1.1 不定积分的概念与性质定义1 设)(x f 是定义在某区间上的已知函数. 若存在一个函数)(x F ,对于该区间上每一点都满足：)()('x f x F =或dx x f x dF )()(=,则称)(x F 是)(x f 在该区间的一个原函数.例如 已知x x f 2)(=,由于2)(x x F =满足x x x F 2)'()('2== ,所以2)(x x F =是x x f 2)(=的一个原函数. 同理，10,1,1222+-+x x x 等也都是x x f 2)(=的原函数.由此可知，已知函数的原函数不止一个. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则C x F +)(()为任意常数C 也是)(x f 的原函数.且若)(x F ,)(x G 都是)(x f 的原函数则()0)()()()(')()(=-='-='-x f x f x G x F x G x F ，知C x G x F =-)()(,即它们仅相差一个常数.因此，若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x f 的所有原函数可以表示为C x F +)(()是任意常数C .定义2 函数)(x f 的所有原函数，称为函数)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量，“⎰”称为积分号.显然，若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则由定义2可知⎰+=C x F dx x f )()(其中C 是任意常数.因此，求函数)(x f 的不定积分，只需求出)(x f 的一个原函数)(x F ,再加上任意常数C 即可. 例如x dx x +=⎰323 ()为任意常数C⎰+-=C x x d x c o s s i n ()为任意常数C C e dx e xx+=⎰ ()为任意常数C例1 求函数xx f 1)(=的不定积分解 （1）当0>x 时，xx 1)'(ln =所以()0ln 1>+=⎰x Cx dx x（2）当0<x 时，0>-x[]xx xx x1).(1)ln(='--='-所以())0(ln 1<+-=⎰x Cx dx x合并（1）（2）两式得到：)0(ln 1≠+=⎰x C x dxx由不定积分的定义即可知不定积分具有如下性质： 1. 求不定积分与求导数或微分互为逆运算（1）[])()(x f dx x f ='⎰或 ()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰（2）C x F dx x F +='⎰)()( 或 C x F x dF +=⎰)()(2.()()(0)af x dx a f x dx a =≠⎰⎰因为()())()()(x af dx x f a dx x f a ='='⎰⎰，说明⎰dx x f a )(是()af x 的原函数.3.[]()()()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰因为()()()()()()()()()f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x '''±=±=+⎰⎰⎰⎰故有两个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，这个公式可以推广到任意有限多个函数的代数和的情况.4.1.2 基本不定积分公式由导数的基本公式对应地可以得到下面基本不定积分公式.（1）⎰+=C kx kdx（C 为常数）（2）()1111-≠++=+⎰μμμμCxdx x（3）C x dx x+=⎰ln 1（4）C e dx exx+=⎰（5）()10ln ≠>+=⎰a a Caadx a xx且（6）⎰+=C x xdx sin cos （7）⎰+-=C x xdx cos sin（8）C x xdx dx x+==⎰⎰tan sec cos 122（9）C x xdx dx x+-==⎰⎰cot csc sin122（10）sec tan sec x xdx x C ⋅=+⎰（11）csc cot csc x xdx x C ⋅=-+⎰（12）C x dx x+=+⎰arctan 112（13）c x dx x+=-⎰arcsin 112例2 求dx x x )52(2++⎰解 原式C x x x dx xdx dx x +++=++=⎰⎰⎰53152232.注意 这里三个不定积分本来应该有三个任意常数，经过代数和之后，只要用一个任意常数即已足够.下面类似情况就不特别加以说明.例3 求dx x x )3(-⎰解 原式dx x dx x dx x x ⎰⎰⎰-=-=2123233)3(C xx+⋅+⋅-⋅+=++121123121131231C x x +-=2325252例4 求xdx ⎰2tan解 原式⎰⎰⎰-=-=dx xdx dx x 1sec )1(sec 22C x x +-=t a n例5 设某厂生产某种商品的边际收入为 Q Q R 3300)(-='，其中Q 为该商品的产量，如果该产品可在市场上全部售出，求总收入函数.解 因为Q Q R 3300)(-='，两边积分得 ⎰⎰-='=dQQ dQ Q R Q R )3300()()(C Q Q +-=223300又因为当0=Q 时，总收入0)0(=R ，从而0=C . 所以总收入函数为223300)(Q Q Q R -=.4.1.3 不定积分的几何意义若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则曲线)(x F y =称为)(x f 的一条积分曲线，将其沿y 轴方向任意平行移动，就得到积分曲线族. 在每一条积分曲线上横坐标相同的点x 处作切线，这些切线都是相互平行的，如图4.1.x 0yx图 4.1不定积分⎰dxx f )(在几何上就表示全体积分曲线所组成的积分曲线族，它们的方程为C x F y +=)(.例6 求过点()3,1且在点()y x ,处切线斜率为23x 的曲线方程.解 设所求曲线方程为)(x F y =，因为23)(x x F y ='='，由不定积分定义，有C x dx x x F+==⎰323)(因所求的曲线过点()3,1，代入得到2=C . 于是所求的曲线方程为23+=x y.4.1.4 不定积分换元法和分部积分法利用基本不定积分公式及性质只能求一些简单的不定积分，对于比较复杂的不定积分，我们需要进一步方法，下面简单介绍第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法，详细可参阅参考书[1]、[2]. 应该指出现在许多数学软件，如Mathematica ，Matlab 等都具有求不定积分功能，读者可以借助数学软件求不定积分，也可以通过查积分表求不定积分.1. 第一类换元积分法例7 求⎰+dx x )13cos(解 选择新变量13+=x u ，则du dx u x 31),1(31=-=原式Cu du u +=⋅=⎰sin 3131cosC x ++=)13sin(31第一类换元积分法主要在于选择新的变量)(x u ϕ=其中()x ϕ为连续可导的, 原不定积分转换为可以使用基本不定积分公式. 为选择好新的变量,往往把原不定积分被积表达式dx x f )(凑成微分的形式，便于使用基本公式，求出积分后，再还原为原积分变量.例8 求dx x ⎰+3)42(解 du u x d x dxx x u ⎰⎰⎰+=++=+3423321)42(4221)42(变量代换凑微分＝）（()C x C u++=++⋅=+413428131121还原例9 求dx xe x⎰2解due dxe dx xeuxu xx⎰⎰⎰==21212222变量代替凑微分＝C eC e xu+=+=22121还原2. 第二类换元积分法第一类换元积分法是选择新变量()x uϕ=，但对某些不定积分，则需要作相反的代换，即令()x t ϕ=，其中()t ϕ是连续可导的，以使积分化为能使用基本公式. 该类变量替换公式由于要求出t 关于x 的表达式，所以()x t ϕ=还须存在反函数.例10 求dx x x ⎰+1解 令1+=x t，则12-=t x ，tdt dx 2=， 原式()dt t t tdt t t)(221242-=⋅⋅-=⎰⎰C x x C t t ++-+=+-=232535)1(32)1(523252例11 求dx x⎰+11解 令x t =，则2t x =, tdt dx 2=原式dt tt tdt t⎰⎰+=⋅+=12211dt tdt tt )111(21112⎰⎰+-=+-+=()C t t ++-=1ln 2()C x x ++-=1ln 23. 分部积分法设函数(),()u u x v v x ==有连续导数，由()uv u v uv '''=+得 ()u v u v u v'''=-两边求不定积分，得⎰⎰'-='vdx u uv dx v u为便于应用，上式可写成⎰⎰-=vduuv udv这就是分部积分公式. 如果求uv dx '⎰有困难，而求u vdx '⎰较容易时，我们就可以利用分部积分公式.例12 求⎰xdx ln解⎰xdxln xv x u ===,ln 令⎰-x xd x x ln ln （利用第二个公式）dx x x x x ⎰⋅-⋅=1lnC x x x +-=ln例13 求dx xe x⎰解dx e xe xdedx xe xx ev x u xx x⎰⎰⎰-====,令 （利用第二公式）C e xe xx+-=例14 求sin xe xdx ⎰解()()s i n s i n s i n s i n xxxxe x d xx de e x e d x==-⎰⎰⎰（分部积分法） sin cos sin cos x xxxe x e xdx e x xde =-=-⎰⎰sin cos cos xxxe x e x e d x =-+⎰ （分部积分法） sin cos sin xxxe x e x e xdx =--⎰由于上式右端的第三项就是所求的积分sin xe xdx ⎰，将它移到等式左端去，两端再同除以2，即得()1sin sin cos 2x x e xdx e x x C =-+⎰ 四、练习1. 求下列不定积分（1）5x dx ⎰（2）6(2)x dx +⎰（3）32x dx -⎰（4）1(3)dx x+⎰（5）)35x dx -⎰； （6）()22x dx -⎰（7）⎰（8）22()3x dx x +⎰2. 求下列不定积分 （1）()353x dx +⎰； （2）2(32)x dx -⎰（3）23xedx +⎰； （4）2xedx -⎰（5）()2sin 2x x dx +⎰； （6）cos ⎰；3. 求下列不定积分 （1）⎰； （2）⎰4. 求下列不定积分 （1）2ln x xdx ⎰； （2）2xxedx ⎰（3）ln 3xdx ⎰； （4）cos xe xdx ⎰5. 若C xedx x f x+=⎰-2)(，求)(x f6. 一曲线位于第一象限并过点()2,e ，且过曲线上任一点的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程.7. 设某企业生产某产品，其边际成本C '与日产量x （千克）关系为：5C x '=+（美元/千克），其固定成本为2000美元，试求成本函数.4.2 定积分的概念与性质一、学时：二、教学要求：定积分的概念与性质：定积分概念、几何意义、基本性质（1）解定积分的几何意义，理解其定义。
积分求解的几种方法
积分求解的几种方法
积分求解的几种方法有：
求积分的四种方法是：换元法、对称法、待定系数法、分部积分法。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
求定积分的方法有换元法、对称法、待定系数法；求不定积分的方法有换元法和分部积分法。
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
定积分对称性公式：f(x+a)=f(b-x)记住此方程式是对称性的一般形式，只要x有一个正一个负，就有对称性。
至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2。
如f(x+3)=f(5_x)X=3+5/2=4等等。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
理学定积分的换元法
例
计算
1
0
1 x2 d x .
令 x sin t
解 先用不定积分求被积函数的一个原函数：
1
x2
dx
cos2
tdt
1 2
(1 cos 2 t)d t
t sin 2 t C 1 arcsin x 1 x 1 x2 C
24
2
2
由牛顿 ——莱布尼兹公式，得
1
0
1 x2 d x 1 arcsin x 1 x
0
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
F (b) F (a) F[( )] F[( )]
(t) (t)
5
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为 [ , ]时，定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
a f ( x)d x
(令 x (t))
dx
x t
0( d t ) .
0
19
例 A.
cos105
不定积分与定积分
不定积分与定积分积分是数学分析中重要的概念和工具，在微积分中具有广泛的应用。
其中不定积分和定积分是常见的两种类型。
它们分别具有不同的定义和性质，对于解决实际问题和求解函数的面积等概念都有着重要的作用。
一、不定积分1.1 定义不定积分是函数的原函数的集合。
给定一个连续函数f(x)，其不定积分可以表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C为常数。
1.2 性质不定积分具有线性性质，即∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
同时，不定积分满足微积分基本定理，即对于函数f(x)的原函数F(x)，有∫f'(x)dx = F(x) + C。
1.3 计算方法求解不定积分的方法有很多，最常用的方法是换元法和分部积分法。
换元法是通过引入新的变量替代原变量，将原函数转换成更容易积分的形式。
分部积分法则是通过对乘积的两个函数进行积分，得到原函数的表达式。
二、定积分2.1 定义定积分是对函数在一个闭区间上的积分。
给定函数f(x)在[a, b]区间上连续，定积分可以表示为∫[a, b]f(x)dx。
定积分表示函数在该区间上的面积或曲线与x轴所围成的面积。
2.2 性质定积分具有线性性质和可加性质，即对于函数f(x)和g(x)，有∫[a, b][f(x) ± g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx ± ∫[a, b]g(x)dx。
同时，定积分也满足中值定理，即在区间[a, b]上存在一个点c，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c)·(b - a)。
2.3 计算方法计算定积分可以使用几何意义的面积计算法、代数意义的换元法和分段函数积分法等。
其中，面积计算法是将曲线区间划分成若干个小矩形，再对这些小矩形的面积求和。
而换元法和分段函数积分法则是通过转换变量或分别对函数在不同区间求积分。
不定积分的换元法第一篇
解
x2 f (1 x3 )dx 1 f (1 x3 )d(1 x3 ) 3
又 f ( x)dx x C，
x2 f (1 x3 )dx 1 1 x3 +C 3
例12 求 x2(2x 1)50dx
解 令u 2x 1 则 dx 1 du
第三节 不定积分与定积分的运算
一、不定积分的换元法
二、定积分的换元法
三、分部积分法
不定积分的分部积分法 定积分的分部积分法
四、积分的其它例子法
第四章
一、换元积分法
1、第一类换元法 2、第二类换元法
基本思路
设 F(u) f (u),
可导, 则有
f (( x))d(( x)) f (u)du u(x)
一部分凑成d (x),这需要解题经验,如果记熟下列一些微
分式(P197) ,解题中则会给我们以启示．
dx 1 d(ax b)， xdx 1 d(x2 )，
a
2
dx 2d( x)， x
exdx d(ex )，
1 dx d(ln | x |)， sin xdx d(cos x)， x
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
2a
2a xa
例4 求 (1) xe13x2 dx;
(2) x a2 x2 dx.
解 (1) xe13x2dx e13x2 xdx, 且 d(1 3x2 ) 6xdx,
F (u) C u( x) F[ ( x)] C
第一类换元法 第二类换元法
1．第一换元积分法(凑微分法)
问题 1 求 e3xdx .
不定积分的换元法
不定积分的换元法不定积分是微积分的重要内容，其中换元法是计算不定积分的一种常用方法。
换元法是指将被积函数中的变量通过代换，转化为新的自变量的函数形式进行积分求解。
一、基本概念在介绍换元法之前，首先需要了解一些基本概念。
1. 不定积分：指对一个函数进行求导的逆运算，即对于函数f(x)，若F(x)是其导数，则F(x)是函数f(x)的一个不定积分，记为∫f(x)dx。
不定积分中的积分符号∫表示对变量的积分，dx表示被积函数中的自变量。
2. 原函数：指函数f(x)的一个不定积分F(x)，即F(x)是f(x)的原函数。
3. 积分变量：指被积函数中的自变量。
4. 积分限：指积分区间的起点和终点。
5. 积分常数：表示积分时所得到的结果中的常数项，因为不定积分中存在无限个解，所以需要添加积分常数来求得特定的解。
二、换元法的原理假设对于被积函数f(x)，想要将其变为一个与变量t有关的函数g(t)，即f(x) = g(t)，则可通过以下步骤进行换元：1. 选取一个可导函数u(x)，并令t = u(x)，则有t' = u'(x)。
2. 则原式∫f(x)dx = ∫g(t)dt。
3. 将自变量x换成新的自变量t，被积函数中的自变量x的所有出现均用对应的t代替。
4. 将x关于t求导，将t'代入被积函数中dt中，并将dx用du 表示。
5. 对新的函数∫g(t)dt进行求解。
6. 最后将所得解中的t用x表示，并加上积分常数C。
三、实例分析以求解∫2x/(1+x^2)dx为例，借助于换元法进行求解。
1. 令t = 1 + x^2，则有dt/dx = 2x，可以得出dx = dt/2x。
2. 将原式转化为∫2x/(1+x^2)dx = 2∫(1+x^2)/(1+x^2) * 1/(1+x^2) dt = 2∫(1/(t/2))dt。
3. 对新的函数2∫(1/(t/2))dt进行求解，解得结果为2ln|t| + C，其中|t|表示t的绝对值。
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dx x + x4 + 1
1 1 令 x = ， dx = − dt . 于是 则 t t2
I=∫ dx x + x4 + 1 = −∫ 1 ( + 4 + 1 )t 2 t t dt 1
= −∫
dt t + t2 +1
= −I
因为 I = − I ，
所以 I = 0 .
这个结论显然是错误的，但是问题发生在哪里？ 这个结论显然是错误的，但是问题发生在哪里？
对于积分 ∫ f ( x )dx 进行换元 x = ϕ ( t ) ，
求出 ∫ f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt = G ( t ) + c 之后， 必须用反函数 t = ϕ −1 ( x ) 回代 ,
1 . ∫ f ( x )dx = G (ϕ − ( x )) + c 才能得出最后结果
这个例题说明： 这个例题说明：
利用换元法 x = ϕ (t ) 计算定积分时 ，
必须注意新变量 t 的变化范围 , 明确 t 和 x 的取值对应关系 .
这一不仅关系到积分上下限的确定， 这一不仅关系到积分上下限的确定， 还可能涉及到被积函数的形式的确定． 还可能涉及到被积函数的形式的确定．
关于两个换元积分法的小结
积分换元法
不定积分换元法 定积分换元法 联系与区别 实例分析
定理１ （不定积分换元法） 定理１:（不定积分换元法）
假设 f ( x ) 连续 ， 单调，连续， 函数 x−1 ( x ) . 如果 ∫ f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt = G ( t ) + c , 则有
2 2 a
( a > 0)
详细分析不定积分换元法和定积分换元法的异同. 详细分析不定积分换元法和定积分换元法的异同 计算两种积分都需要作换元 x = a sin t dx = a cos tdt (1)两者的第一个区别是： (1)两者的第一个区别是： 两者的第一个区别是
的变化范围： 0 定积分必须说明变量 t 的变化范围： ≤ t ≤
解: 等式 − ∫
dt t + t2 + 1
= − I 是不成立的 .
虽然在形式上， 虽然在形式上， 1 1 和 是相同的函数关系 , t + t4 + 1 x + x4 + 1 但是他们不相等.因为 x 和 t 不是互相独立的变量 . 但是他们不相等. 注释: 这个例子告诉我们， 注释 这个例子告诉我们，
2 2
才能得到最终结果. 才能得到最终结果.
a 另一方面， 另一方面， 对于定积分 ∫0 a 2 − x 2 dx ，
用换元 : x = a sin t 将其转化为另一个定积 分 ：
=a
2
π /2
0
∫ cos tdt
2
直接计算着个积分就可以了. 直接计算着个积分就可以了.
例题： 例题： = ∫ I
2 2 2 2
a − x = a cos t
2 2
1 + cos 2t a2 1 2 dt = ( t + sin t cos t ) + c =a ∫ 2 2 2
但是对于定积分的换元法， 但是对于定积分的换元法， 由于 x 在 [0,1] 中变化时 ，
t 对应地在 [0 ， ] 中变化 ， 所以 a 2 − x 2 = a cos t . 2
( 2 ) ϕ ′( t ) 在 [α , β ] 连续 ；
( 3) 当 t 在 [α , β ] 变动时 ，ϕ ( t ) 不超出 [a , b] .
则有
b ∫a
β f ( x )dx = ∫α f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt
定积分元法与不定积分换元法的比较
以 ∫ a − x dx 和 ∫0 a 2 − x 2 dx 为例
∫ f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt
= G (ϕ ( x )) + c
−1
定理2: 定积分的换元积分法） 定理 :（定积分的换元积分法）
x 假设 f ( x ) 在 [a , b] 连续 ， = ϕ ( t ) 在 [α , β ] 连续 .
并且满足下列条件： 并且满足下列条件： (1) ϕ (α ) = a , ϕ ( β ) = b ;
求出 ∫ f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt = G ( t ) + c 之后 ，
必须用反函数 t = ϕ −1 ( x ) 代入 ，
得到 ∫ f ( x )dx = G (ϕ −1 ( x )) + c .
b 定积分换元法的目的是 计算定积分 ∫a f ( x )dx
b β 方法是将定积分 ∫a f ( x )dx 转化为 ∫α f (ϕ ( t ))ϕ ′( t )dt
π
第三个问题是： 第三个问题是： 求出不定积分
1 + cos 2t a2 1 2 a ∫ dt = ( t + sin t cos t ) + C 2 2 2
以后， 以后，必须将变量 t 还原成 x = ϕ −1 ( t ) ， 进一步得到
1 x 2 2 2 ∫ a − x dx = 2 ( x a − x + a arcsin a ) + c
π
2 对于不定积分得换元法则没有这个必要． 对于不定积分得换元法则没有这个必要．
.
第二个问题是： 第二个问题是：
a − x = a cos t ? 还是 a 2 − x 2 = − a cos t ?
2 2
不定积分重视形式运算,可以取 不定积分重视形式运算 可以取 于是
∫ a − x dx =a ∫ cos tdt
不定积分的换元积分法与定积分的换元积分法， 不定积分的换元积分法与定积分的换元积分法，有 相近的思路和大体相同的过程.但是， 相近的思路和大体相同的过程.但是，两者要解决的 问题不同，因此所需要的条件不同， 问题不同，因此所需要的条件不同，解决问题的过程 也有重大区别. 也有重大区别. 不定积分的换元法目的 是求 f ( x ) 的原函数 F ( x ) ,
− 例题: 计算 ∫ − 2 2 例题
dx x x2 − 1
.
解: 令 x = sec t ， x = sec t tan tdt d 2 3 当 t 在 [ π , π ] 变化时 , x 对应地在 [−2,− 2 ] 变化 . 3 4 3π 2π x 时， = − 2 . 当t = 时 x = −2 , t = 4 3 2 3 tan 当 t ∈ [ π , π ] 时 ， t > 0 , 所以 tan 2 t = − tan t . 3 4 于是 3π 3π π dx sec t tan t − 2 4 dt = − ∫ 2 π d t = − = ∫ 24π ∫ −2 2 3 3 sec t ( − tan t ) 12 x x −1