浅谈不定积分的第一类换元法

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不定积分的第一换元积分法

不定积分的第一换元积分法

ln sin x c
(sec x tan x ) (3) sec xdx dx sec x tan x
(csc x cot x ) ( 4) csc xdx dx csc x cot x (csc x cot x ) dx csc x cot x
1 u ln x 类型 II : f (ln x) dx f (u )du x
1 例6:计算 dx x ln x
选择u ( x) ln x

1 1 1 dx x ln x ln x x dx
1 d lnx lnx
1 f ( u )为 u
( x )为 ln x
1 sin( ax b) c a u ax b 1 1 u 1 ax b ax b u e dx a e du a e c a e c 2 x 1 例3.填空:(1) e dx _____________ .
(2) sin( 3x 1)dx _____________ . (3) cos( 2 x)dx _____________ .
2 (3) x ( ax b ) dx 2 (2) x cos( ax b) dx
解:(1) xe
ax 2 b
1 x2 特别: xe dx 2 e c u ax b 1 1 2 (2) x cos(ax b)dx cos u ( 2a du ) 2a cos udu 1 1 2 sin u c sin( ax b) c 2a 2a 1 2 2 特别: x cos( 2 x 1 ) dx sin( 2 x 1) c 4 u ax 2 b 1 2 1 (3) x(ax b) dx u ( 2a du ) 2a u du

第5章2不定积分换元积分(1)

第5章2不定积分换元积分(1)
3
例10 求 sin3 x dx.
解 sin3 x dx sin2 x sin x dx (1 cos2 x)d cos x
1 cos3 x cos x C 3
说明 当被积函数是三角函数相乘并有奇次幂 时,拆开奇次项去凑微分.
例11 求 sin2 x cos5 xdx.
积分: f [(x)](x)dx F[(x)d[(x)] dF[(x)
第一类换元法可表述为:
换元 ( x )u
积分
f [( x)]( x)dx f (u)duF(u) C
u ( x )还原
F[( x)] C
4
换元积分法
一、第一类换元法
例2 求 2xex2dx .
例3 求 x 1 - x2dx .
19
(1)
5
(1 3x)2 dx
2
(1
7
3x)2
C
21
(3)
1
x x
2
dx
1 ln(1 x2 ) C 2
(5) (ln x)2 dx 1x
(7)
ex x2
dx
1 ln( x)3 C 3
1
ex C
(9) dv 1 2v C 1 2v
(11)
x
2x 2
x
1
3
dx
ln x 2 x 3 C

tanxdx
sin cos
x x
dx
1 d cos x cos x
= - ln |cosx| + C
tanxdx = - ln |cosx| + C = ln |secx| + C
同理 cotxdx = ln |sinx| + C = - ln |cscx| + C

《微积分》第二节 不定积分的第一类换元积分法

《微积分》第二节  不定积分的第一类换元积分法

(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇 次项去凑微分.
例17 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
例4. 求 解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du 1u2
arcsin u
C
f [ ( x)] ( x)dx f ( (x))d (x)
(直接配元)
例5. 求 解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似地,
cos x dx sin x
d sin x sin x
2a xa
例7. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x 1 2 ln x
)
例8. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例9 求
(1
1 x2
x 1
)e xdx.

x
1 x
1
1 x2

(1
x x
)3
dx
x 1 (1 x)
31dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1

第3-1不定积分的第一类换元积分法

第3-1不定积分的第一类换元积分法

sin
3
xdx sin x sin xdx (1 cos x)d cos x
2 2
1 3 cos x cos x C 3
sec 6 xdx . 例10.求
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2
x a
2
2
ln |
x2 a2 x a | C1
t a
(C C1 ln a)
x
公式15:
ln x x a C (a 0)
2 2
例17. 求
解:
1 x2 2x 2
dx .
原式
1 ( x 1) 1
2 2
d (x 1)
(由公式2)
1 ln a x ln a x 2a
1 ax C ln C 2a a x
例7. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
dx . 例8. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
例12. 求 sin 4 x cos 3xdx

1 解: 利用公式 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 原式= (sin 7 x sin x)dx 2 1 1 cos 7 x cos x C 14 2

不定积分第一类换元法

不定积分第一类换元法

不定积分第一类换元法
不定积分是微积分中的一个重要概念,可以用来求解函数的原函数。

其中,不定积分第一类换元法是常用的一种方法之一。

不定积分第一类换元法,也叫做一般换元法,是指通过代入新的自变量来将被积函数化为更简单的形式,从而便于求取原函数的方法。

具体来说,将被积函数中的自变量用一个新的变量替代,然后将原本的自变量用新变量的函数表示出来,并将其代入被积函数中,最后通过简单的代数运算求取原函数。

换元法的主要思想是通过变量代换,将一个复杂的函数转化为一个简单的函数,从而使不定积分的计算更加容易。

在进行不定积分第一类换元法时,需要注意两个方面:
1、选择合适的换元变量:要选择一个能够将被积函数转化为更简单形式的变量,通常选择被积函数中的某个因子或者某个函数。

2、确定新的积分上下限:在将原函数用新变量表示出来后,需要将积分上下限也用新变量表示出来,以便对新函数进行积分。

例如,对于不定积分∫x^2/(x+1)^3 dx,我们可以选择x+1 作为新变量,即令t=x+1,则原不定积分可以表示为∫(t-1)^2/t^3 dt。

然后,我们对新函数
进行简单的代数运算,得到原函数为-1/(2(t+1)) - 1/(t+1)^2 + C。

需要注意的是,在换元法中,要保证函数的可导性和单调性,以便进行变量代换和积分。

此外,还需要注意积分上下限的变换,避免出现错误的结果。

综上所述,不定积分第一类换元法是一种常用的方法,可以通过选择合适的换元变量将被积函数转化为更简单的形式,并通过代数运算求得原函数。

这种方法在解决某些特定的积分问题时非常有用。

微积分不定积分__换元积分法(第一类)

微积分不定积分__换元积分法(第一类)

例18 求


x 4 − x arcsin 2 1 x 1 d dx = ∫ 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1− arcsin 2 2 2
2

1
dx .
x x d (arcsin ) = ln arcsin + C . =∫ x 2 2 arcsin 2
1
小结 常用简化技巧 常用简化技巧:
§3.2 换元积分法
一、第一类换元法
问题
∫ cos 2 xdx
解决方法 利用复合函数,设置中间变量. 利用复合函数,设置中间变量.
1 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 ③1 ①1 ②1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C= 2 sin 2 x + C .
1 例5 求 ∫ 2 dx . 2 a +x 1 1 dx = 2 ∫ 解 ∫ 2 2 a a +x
1 x 1+ a
2
dx
1 = ∫ a
1 x x 1 d = arctan + C . 2 a x a a 1+ 记住此公式 a
1 1 x dx = arctan + C ∴∫ 2 2 a a a +x
例7. 求 解法1 解法
dx ∫1+ ex .
(1+ e ) −e = =∫ dx ∫ x 1+ e −ln( + ex ) +C 1 =x
x x
d(1+ ex ) dx − ∫ 1+ ex
解法2 解法
e d(1+ e ) =∫ dx = −∫ −x −x 1+ e 1+ e = −ln(1+ e−x ) +C

20-不定积分的第一类换元积分法省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

20-不定积分的第一类换元积分法省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

例例43.
x
1
x2
dx
1 2
d u1dx(21(1xx22))dx(1
12x2u)'1dx1x2
x2, d(1 x2) 2 xdx.
原式 x
u ( 1 )du 2x
dx 1 du, 2x
1212
1
u u2
d12 duu11uu23 33
23CC11(1(1xx2)223) 33
3
2CC
du
原式
2
cos
u
1 2
du
du d(2x) (2x)'dx 2dx. 1
cccooossusuuddduuussisinninuuuCCCssisinnin222xxxCCC
dx du, 2
例例32 2xex2dx ex2 (x2)dx ex2d(x2) eudu u x2 ,
原式
2
11(1ax(1ax)2)d2 daxaxa
a
a
例13

1 dx (a 0)
a2 x2

a2a121x2xd2 xdx1a1a
111( 1ax( a)x2)2dxdx
11 11( x(
a
a)x2)2d
daxaxaracrscisninaxax
111(1ax( ax)2)2dxdx
111( 1ax( ax)2)2ddaxaxaracrscisninax
x
f
f (cos x) sin xdx f (cos x)dcosx f (tan x) sec2xdx f (tan x)d tan x
f (sec x) sec x tan x dx f (sec x)d sec x

4.2 不定积分的换元积分法

4.2 不定积分的换元积分法

4.2 不定积分的换元积分法一.教学过程:利用基本积分公式和不定积分的性质所能计算的不定积分是很有限的,因此有必要寻找其他的积分方法,本节讨论换元积分法是通过中间变量代换,变成新变量下的积分,可以用基本积分公式和性质来解决,按照选取换元的方式的不同,换元积分法通常分为第一类换元法和第二类换元法。

1、不定积分的第一类换元法定理1设)(u f 在区间I 上连续,)(x u ϕ=在区间x I 上有连续的导数且I I x ⊆)(ϕ,则有换元公式⎰='dx x x f )()]([ϕϕ⎰=)(])([x u du u f ϕ证明:由)(u f 连续,故有原函数)(u F ,满足)()(u f u F ='或者C u F du u f +=⎰)()(,根据复合函数求导法则,有)()]([)()]([))]([()])(([)(x x f x x F C x F du u f x u ϕϕϕϕϕϕ'=''='+='⎰=这说明⎰=)(])([x u du u f ϕ是)()]([x x f ϕϕ'的原函数,又由于它含有任意常数,故换元公式成立。

例1.2cos 2xdx ⎰2cos 2cos 2(2)sin 2xdx xd x x C ==+⎰⎰例2.()82x dx +⎰()82x dx +⎰=()()()8912229x d x x C ++=++⎰例3.123dx x +⎰()111123ln 23232322dx d x x C x x =⋅+=++++⎰⎰结论: ⎰+dx b ax f )(⎰+==b ax u du u f a])([1例4.x xe dx ⎰()()222222111222xxxxxxe dx exdx ed xe d xeC =⋅=⋅==+⎰⎰⎰⎰例5.tan xdx ⎰()()sin 11tan cos cos ln cos cos cos cos xxdx dx d x d x x C xxx==-=-=-+⎰⎰⎰⎰例6.11cos dx x+⎰22111tan 1cos 22coscos22x x dx d C x x x⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰例7.221dx a x+⎰22222111111()1()x dx dx d x x axaa a aa⎛⎫==⎪+⎝⎭++⎰⎰⎰ 例8.⎰()0a >x a ⎛⎫==⎪⎝⎭⎰⎰⎰arcsinx C a=+ 例9.221dx a x-⎰2211112dx dx axa a x a x ⎛⎫=+ ⎪-+-⎝⎭⎰⎰ ()()1112d a x d a x a a x a x ⎡⎤=+--⎢⎥+-⎣⎦⎰⎰1ln 2a x C aa x+=+-例10.csc xdx ⎰()221sin 1csc cos sin sin1cos xxdx dx dx d x xxx===--⎰⎰⎰⎰11cos 11cos lnln21cos 21cos x x C C xx+-=-+=+-+211cos ln ln csc cot 2sin x C x x C x -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭例11.⎰2sin2cosC ==-⎰⎰例12.2sin xdx ⎰()21cos 2111sin cos 2sin 22222xxdx dx dx xdx x x C -⎛⎫==-=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 例13.4cos xdx ⎰()242221cos 21cos (cos )12cos 2cos224x xdx x dx dx x x dx +⎛⎫===++⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰()11cos 4112cos 234cos 2cos 4428x x dx x x dx +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰311sin 2sin 48432x x x C =+++例14.3cos xdx ⎰()()322coscoscos 1sin sin xdx x xdx x d x =⋅=-⎰⎰⎰31sin sin 3x x C =-+*sin or cos m m xdx xdx ⎰⎰看m 是奇数还是偶数采用的方法是奇数凑微分,偶数倍角来降幂 例15.()112ln dx x x +⎰()()()()()1111ln 12ln 12ln 12ln 212ln dx d x d x x x x x ==++++⎰⎰⎰1ln 12ln 2x C =++例16.261xdx x+⎰()()()223226331111311xdx x dx d xxxx=⋅=+++⎰⎰⎰()31arctan 3xC =+例17.设,cos )(sin 22x x f =' 求 )(x f解:令x u 2sin =,1cos 2u x -=⇒,1)(u u f -='()duu u f ⎰-=1)(,212C u u +-=.21)(2C x x x f +-=2、不定积分的第二类换元法 问题:?11=+⎰dx x解决方法:改变中间变量的设置方法.过程:2,,2t x t dx tdt ===….定理2设)(t x ψ=是单调的、可导的函数,并且0)(≠'t ψ,又设)()]([t t f ψψ' 原函数,则有换元公式[])()()]([)(x t dt t t f dx x f ψψψ=⎰⎰'=其中)(x ψ是)(t x ψ=的反函数.例1.⎰令2,,2t x t dx tdt ===2111221111dx tdtt dt dt tt t +-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰22ln 12ln 1t t C C =-++=++例2.⎰令65,,6t x t dx t dt ===⎰=2253411166611tt t dt dt dt t ttt-+==+++⎰⎰⎰211616ln 112t dt t t t C t ⎛⎫⎛⎫=-+=-+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰(6ln 1C =++ta 2-x 2xa t a 2-x 2xata 2-x2x a例3.()0a >⎰22sin cos 1,sin ()22t t x a t t ππ+==-<<cos ,cos a t dx a tdt===2221cos 2cos2tatdt adt +==⎰⎰⎰()221sin 2sin cos 222a a t t C t t t C⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭2arcsin2ax C a=++例4.(0)a >⎰22tan 1sec ,tan ()22t t x a t t ππ+==-<<2sec ,sec a t dt a tdt==2sec sec lnsec tan sec a t dt tdt t t C a t===++⎰⎰⎰1lnln C x C =+=++⎰例5.(0)a >⎰22sec 1tan ,sec 02t t x a t t π⎛⎫-==<<⎪⎝⎭tan ,sec tan a t dx a t tdt==sec tan sec lnsec tan tan a t t dt tdt t t C a t===++⎰⎰⎰tant a=1lnln C x C =+=++⎰例6.求dx x x⎰+13解:令,6t x =则dx x x⎰+13=dt t tdt t t t⎰⎰+=+166128523=dt t t t t t t ⎰+++++-+11)1(3)1()1(62223226=6C arctgt t t t t x +++---]325171[33567例7.求dx e exx⎰+421解:du u u du u uuu dx e exx ⎰⎰⎰-=--=+244324424)1(14.)1(1=C u u+-343474(将u 代回)=C e e x x++-+4347)1(34)1(74说明:(1) 以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式。

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就需要学生多做题,才能有效识别被积函数的结构,找出相
应的 微 分 因 子,进 行 有 效 的 凑 微 分 换 元,进 而 求 解 不 定
积分.
【参考文献】 [1]同济大学数学系. 高等数学·上册( 第四版) [M]. 北京: 高等教育出版社,2015.
数学学习与研究 2019. 6
ex2

x2 ) 2
'dx
∫ =
1 2
ex2 ( x2 ) 'dx
∫ =
1 2
ex2 d( x2 ) ;
∫ ( 4)
令 u = x2

1 2
eudu =
1 2
eu
+
C;
( 5)
令 u = x2

1 2
ex2
+ C.
∫ 例 2 sin7xdx.
解 ( 1) f( φ( x) ) = sin7x,φ( x) = 7x,g( x) = 1;
( 2) φ'( x) = 7g( x) ;
∫ ∫ ( 3)
sin7xdx =
sin7x

7x) 7
'dx
∫ =
1 7
sin7xd( 7x) ';
∫ ( 4)
令 u = 7x

1 7
sinudu =
1 7


cosu)
+ C;
( 5)
令 u = 7x

1 7
(-ຫໍສະໝຸດ cos7x)+ C.
通过以上两 个 例 子 可 以 看 出 第 一 类 换 元 法 并 不 是 很
难,但并不是所有的不定积分都可以这样直接看出来,有些
例 子 还 需 要 一 些 技 巧 进 行 转 化, 才 能 变 成
∫f( φ( x) ) g( x) dx( 其 中 φ'( x) = cg( x) ) 的 结 构,例 如,
∫ ∫ 4
1 +
x2 dx,-
tanxdx 等. 虽然这方面并没有统一的技巧,这
在学习不定积分 中 的 第 一 类 换 元 法 时,通 常 给 的 结 构
∫是 f( φ( x) ) φ'( x) dx,但实际很多数学题中并没有直接给出
这样的结构,这样导致很多学生很难灵活运用该方法,针对 此问题,本文将采用下列步骤给学生进行讲解.
∫ ( 1) 观察: f( φ( x) ) g( x) dx;
+ C;
( 5)
u = φ( x)
回代:
1 c
F(
φ(
x)

+ C.
下面我们来通过例题进行说明:
∫ 例 1 xex2 dx. [1]
解 ( 1) f( φ( x) ) = ex2 ,φ( x) = x2 ,g( x) = x;
( 2) φ'( x) = 2g( x) ;
∫ ∫ ( 3)
xex2 dx =
高教视野
18
GAOJIAO SHIYE
浅谈不定积分的第一类换元法
◎周 双 ( 重庆师范大学数学科学学院,重庆 401331)
【摘要】针 对 学 生 学 习 不 定 积 分 中 第 一 类 换 元 法 过 程 中,很难凑微分进行换元,本文采用简单的流程让学生通俗 易懂地掌握理解该方法.
【关键词】不定积分; 第一类换元法; 凑微分法
( 2) 求导: φ'( x) = cg( x) ;
∫ ∫ ( 3) 凑微分:
f( φ( x) ) g( x) dx =
f( φ( x) )
φ'( x) dx c
=
∫1
c
f( φ( x) ) dφ( x) ;
∫ ( 4)
令 u = φ( x)
换元:
1 c
f( u) du =
1 c
F(
u)
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