《线性代数》复习要点

行列式
根据行列式定义确定乘积项的符号（排列的逆序数及奇偶性），余子式和代数余
子式，行列式基本性质的运用
行列式的计算：四阶行列式2题（1题不含字母、1题含字母）
矩阵
矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置），矩阵求逆，矩阵的秩和标准形（A 的
秩为r ，则A 的标准形为⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛000r E .如⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123456789的标准形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001 ），初等变换和初等矩阵
矩阵计算题3题：矩阵运算、求逆矩阵、解矩阵方程（如，已知A 和一个含X 、
A 、和1-A 或*A 或T A 的一个等式，求X ）
矩阵证明题（例如，设A E A 562-=，证明E A 3+可逆，并求1)3(-+E A .） 线性方程组
判定线性方程组有无解，齐次线性方程组的基础解系，解（齐次或非齐次）线
性方程组（并写出通解），非齐次线性方程组b Ax =和齐次线性方程组0=Ax 解之间的关系.
向量
向量组的线性组合和线性表示，线性相关和线性无关的性质和证明，向量组的
等价，向量组的秩和极大（最大）线性无关组（其余向量用无关组表示）. 向量空间及其基和维数（例1，{}R x x x x x x x x x V ∈=543215432,,,,|),,,,0(的维数
是4，)0,0,0,1,0(2=ε，)0,0,1,0,0(3=ε，)0,1,0,0,0(4=ε，)1,0,0,0,0(5=ε组成一个基；例2，{}R z y x y x z y x V ∈=,,|),,,,(的维数是3，)0,1,0,0,1(1=α，)1,0,0,1,0(2=α，)0,0,1,0,0(3=α组成一个基，任意向量都可表示成基的线性组合：321),,,,(αααz y x y x z y x ++=；）
向量的内积、长度、正交等概念，向量组的正交化方法
计算题：求向量组的极大线性无关组并将其余向量用极大无关组表示
证明题：向量组的等价、线性无关等
矩阵的对角化和二次型
矩阵的相似：存在可逆阵P 使得B AP P =-1
矩阵的相似对角化：B AP P =-1，B （为对角阵）其主对角线上元素是A 的全部
特征向量，矩阵P 的列向量是一组线性无关的特征向量
矩阵的合同：存在可逆阵C 使得B AC C T =
二次型及其矩阵，二次型的秩和标准形（不唯一），化标准形的方法（正交变换
法、配方法）
正定二次型，正定矩阵及其判定
二次型的惯性定理和规范形
计算题：已知矩阵，求其特征值；已知矩阵的特征值（直接告知，或间接给出，
如与对角阵相似，则对角阵主对角线上元素就是全部特征值），求其特征向-1为对角形
量；求P使B
AP
P=。