线性代数期末复习题 (2)
《线性代数》期末考试题及详细答案(本科试卷二)
XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科试卷二）一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）；1. 若02215131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）；1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组sa a a ，，， 21课程代码：适用班级：命题教师：任课教师：线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)；1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。
① n2；② 12-n ； ③ 12+n ； ④ 4；2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关；② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示； ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示； ④ s ααα，，， 21中不含零向量；3. 下列命题中正确的是( )。
线性代数期末复习题
线性代数一. 单项选择题1。
设A 、B 均为n 阶方阵，则下列结论正确的是 . （a)若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 （b ）若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0(c)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵 (d ）若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵，则()1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡'AB 等于（ ） （a ）()1-'A ()1-'B (b ） ()1-'B ()1-'A （c ）()'-1B )(1'-A （d ）()'-1B ()1-'A3.n m ⨯型线性方程组AX=b,当r(A ）=m 时，则方程组 。
（a ） 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 （d ）有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。
(a ）A 可逆 (b)A 有n 个特征值(c) A 的特征多项式无重根 （d) A 有n 个线性无关特征向量 5。
A 为n 阶方阵,若02=A ，则以下说法正确的是 。
(a ） A 可逆 (b ） A 合同于单位矩阵 (c ） A =0 (d ） 0=AX 有无穷多解6．设A ,B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位矩阵， 则必有（ ）（A ）ACB E = (B)CBA E = (C ）BAC E = (D ）BCA E =7．若2333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=------=3332313123222121131211111434343a a a a a a a a a a a a D ( ） （A ）6- （B ）6 （C ）24 （D ）24- 二、填空题1.A 为n 阶矩阵，|A ｜=3,则|AA '｜= ，｜ 12A A -*-|= .2．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300120211A ,则A 的伴随矩阵=*A ； 3．设A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1112，则1-A ＝ 。
线性代数试题及答案二
线性代数（试卷一）一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则1B -= 。
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AXb =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86⨯的矩阵,已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r =Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。
)(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B 三、计算题（本题总计60分。
线性代数期末试题库
线性代数期末试题库1. 习题一：矩阵基本运算题目：给定矩阵A，B和C，完成以下运算：a) A + B = ?b) B - C = ?c) AB = ?d) BA = ?e) AC^T = ?2. 习题二：矩阵求逆与转置题目：给定矩阵D，求其逆矩阵与转置矩阵。
a) D的逆矩阵为？b) D的转置矩阵为？3. 习题三：特征值与特征向量题目：给定矩阵E，求其特征值与对应的特征向量。
a) E的特征值为？b) E对应的特征向量为？4. 习题四：线性方程组解的存在性与唯一性题目：给定线性方程组F，判断其解的存在性与唯一性。
a) F是否有解？b) 如果有解，解是否唯一？5. 习题五：向量空间与子空间题目：给定向量空间G和其中的子空间H，判断是否满足向量空间的性质。
a) G是否闭合？b) H是否是G的子空间？6. 习题六：矩阵的秩与线性相关性题目：给定矩阵I，求其秩以及判断其向量是否线性相关。
a) I的秩为？b) 向量是否线性相关？7. 习题七：最小二乘法与正交投影题目：给定矩阵J和向量K，利用最小二乘法求解线性回归问题。
a) 利用最小二乘法求解线性回归的结果是？b) 利用正交投影求解线性回归的结果是？8. 习题八：矩阵的相似性与对角化题目：给定矩阵L，判断其是否相似于对角矩阵，若相似，进行对角化处理。
a) L是否相似于对角矩阵？b) 若相似，对角化矩阵为？以上是线性代数期末试题库的题目部分，希望能对你的学习有所帮助。
在解答这些题目时，请充分应用线性代数的相关知识和定理，并注重计算过程和细节。
祝你取得好成绩！。
线代(2)期末复习题集1706
σ 是正交变换当且仅当 AT GA = G ； σ 是自伴变换（对称变换）当且仅当 AT G = GA 。
关于镜面反射，课本上已经有一到较为完善的比较灵活的习题，这里给出。 【习题 21】*（镜面反射，正交变换的第一类与第二类） （课本习题 10.7）
= 若 η 是 n 维欧式空间 V 中的一个单位向量， 定义 σ (α )
G (α1 , , α n ) =
( α1 , α1 ) ( α1 , α 2 ) ( α 2 , α1 ) ( α 2 , α 2 ) ( α n , α1 ) ( α n , α 2 )
( α1 , α n ) (α 2 , α n ) (α n , α n )
上学期的一道作业已经证明了向量组的 Gram 矩阵正定当且仅当向量组线性无关 （线性 相关时为半正定，这是 10 年期末考题） 。我们这里看一些别 Gram 矩阵的性质。 【习题 19】*（Gram 矩阵与基变换） （姚慕生高代习题书） 设 {e1 , en } 及 { f1 , f n } 为 n 维欧式空间 V 的两个基底，并设 {e1 , en } 到 { f1 , f n } 的过渡矩阵为 C 。证明 G ( f1 , f n ) = C T G (e1 , en )C 。 利用习题 18，可以很方便地解出下面的题目（其中包括了 12 年期末考题） 。 【习题 20】*（线性变换的矩阵和 Gram 矩阵的关系） 设 n 维欧式空间 V 的基底 {α1 , , α n } 的 Gram 矩阵为 G ， V 上的线性变换 σ 在该基下 的矩阵为 A ，证明下面的两条结论。 (1) (2)
【习题 13】 （Jordan 标准型的计算） （15 年期末考题）
1 2 1 的 Jordan 标准型 J 。 求矩阵 A = 2 1 1 5 1
线性代数期末复习题目
一.单项选择题1.设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则1α，12()+A αα线性无关的充分必要条件是【 】(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [五.特征值,特征向量]2. 设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,A B 分别为A,B 的伴随矩阵，则【 】.(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (B) 交换*A 的第1列与第2列得*B -； (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [二.四.矩阵及其运算,行列式]3.设矩阵A =33)(⨯ij a 满足*T A A =，其中*A 为A 的伴随矩阵，T A 为A 的转置矩阵. 若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为【 】.(A) 33. (B) 3. (C) 31. (D)3. [二.四.伴随矩阵,行列式]4.设A,B,C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若B =E +AB ,C =A +CA ，则B -C 为【 】(A) E . （B ）-E . （C ）A . (D) -A [二.矩阵及其运算]5 .设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是【 】（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.[二.向量组的线性相关性]6.设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，则 【 】（A ）1.-=C P AP （B ）1.-=C PAP （C ）.=T C P AP （D ）.=TC PAP[二.矩阵及其运算,初等矩阵]7.设125,,......∂∂∂,均为n 维列向量 A 是m n ⨯矩阵,下列正确的是【 】(A) 若125,,......∂∂∂线性相关,则125,......A A A ∂∂∂线性相关 (B) 若125,,......∂∂∂线性相关,则125,......A A A ∂∂∂线性无关 (C) 若125,,......∂∂∂线性无关,则125,......A A A ∂∂∂线性相关 (D) 若125,,......∂∂∂线性无关,则125,......A A A ∂∂∂线性无关 [二.向量组的线性相关性]8.设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是【 】 (A) 122331,,;---αααααα (B) 122331,,;+++αααααα (C)1223312,2,2;---αααααα (D) 1223312,2,2+++αααααα. [二.向量组的线性相关性]9.设矩阵211100121,010112000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ，则A 与B 【 】(A) 合同且相似； (B) 合同但不相似； (C) 不合同但相似； (D) 既不合同也不相似.[五.矩阵的相似与合同]10.设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ，则【 】 (A) -E A 不可逆，+E A 不可逆. (B) -E A 不可逆，+E A 可逆. (C) -E A 可逆，+E A 可逆. (D) -E A 可逆，+E A 不可逆.[二.矩阵及其运算,逆矩阵]11.设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【 】 (A) 0 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 3. [五.矩阵的特征值]12.设1221⎛⎫=⎪⎝⎭A 则在实数域上与A 合同的矩阵为【 】 (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭;(B) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭;(C) 2112⎛⎫⎪⎝⎭.;(D) 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.[五.矩阵的合同]13.设123,,a a a 是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23a a a 到基122331,,+++a a a a a a 的过渡矩阵为【 】.（A ）101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）120023103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（D ）111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. [三. 向量空间，基，过渡矩阵]14.设 A ,B 均为 2 阶矩阵，,**A B 分别为A ，B 的伴随矩阵，若|A |=2，|B |=3，则分块矩阵00⎛⎫⎪⎝⎭A B 的伴随矩阵为【 】. （A ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O （B ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O （C ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O （D ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A BO [二. 三..四.伴随矩阵，逆矩阵，分块矩阵，行列式]15.设A ，P 均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且TP A Ｐ＝100010002 ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭，若1231223(,,),(,,)==+P Q ααααααα，则T Q AQ 为【 】.（Ａ）2101 ⎛⎫ ⎪ 1 0 ⎪ ⎪0 0 2⎝⎭ （Ｂ）11012000 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎝⎭ （Ｃ）20001 ⎛⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪0 0 2⎝⎭ （Ｄ）100020002 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭[二. 四.伴随矩阵，分块矩阵的行列式与逆矩阵]16.设矩阵142242A ab a 2 1⎛⎫ ⎪=2 + ⎪ ⎪ + ⎝⎭的秩为2，则【 】.（A ）a =0,b =0（B ）a =0,b ≠0 （C ）a ≠0,b =0 （D ）a ≠0,b ≠0.[一. 矩阵的秩]17.设A 为3阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A 的行列式|A |=2，则|-2*A |=【 】.（A ）52-; （B ）32-; （C ）32 ; （D ）52.[四. 伴随矩阵，方阵的行列式]二.填空题1.设123,,ααα均为三维列向量，记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα，如果1=A ，那么=B .[四.方阵的行列式]2. 设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a = . .[二.四.向量组的线性相关性,行列式] 3.设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+BA B E ，则B = .[四.方阵的行列式]4.设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+BA B E ，则B = .[二.矩阵及其运算]5. 已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)=+-A a a a a ，12(,)=B a a .若行列式||6=A ，则||B = .[四.方阵的行列式] 6．设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则3A 的秩为 . [二.矩阵及其运算,矩阵的秩]7．设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10,=A α，2122=+A ααα则A 的非零特征值为 .[五.矩阵的特征值]8．设3阶矩阵A 的特征值1，2，2，14--=A E .[五.矩阵的特征值,行列式]9.设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ. 若行列式248=-A ,则λ= . [五.矩阵的特征值,行列式]10.设3阶矩阵A 的特征值互不相同,若行列式0=A , 则A 的秩为 . [五.矩阵的特征值,行列式]11.若 3 维向量,a β满足2=Taβ，其中T a 为a 的转置，则矩阵T a β的非零特征值为______.[五.矩阵的特征值与特征向量]12.设,αβ为3维列向量，T β为β的转置，若T β相似于200000000 ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭，则T βα=___________[五. 相似矩阵，特征值]13.设(1,1,1),(1,0,)k ==αβ，若矩阵Tαβ相似于300000000 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭，则k =_______[五. 相似矩阵，特征值]14.设向量组(1,0,1),(2,1),TTk ==-αβ(1,1,4)=--Ty 线性相关，则k =______ [二.四. 向量组的线性相关性，行列式]三 .解答题1.已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ） 求a 的值；（II ） 求正交变换=x Qy ，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0的解. [五. 二次型,矩阵的特征值, 特征向量,正交变换]2.已知三阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵12324636⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B k （k 为常数），且AB =O , 求线性方程组Ax =0的通解.[二.线性方程组,基础解系,矩阵]3.确定常数a ,使向量组,),1,1(1Ta =α,)1,,1(2T a =αT a )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示. [二.向量组的线性相关性]4.已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x 和 (ii)⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求,,a b c 的值. [一.线性方程组求解]5.设⎛⎫= ⎪⎝⎭TAC D CB 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵. (I) 计算TP DP ，其中1-⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭mn E A C P OE ； （II ）利用(I)的结果判断矩阵1--T B C A C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. [五.分块矩阵,正定矩阵]6.设A 为三阶矩阵，123,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足 1123=++A αααα，2232=+A ααα，32323=+A ααα.(I) 求矩阵B , 使得123123(,,)(,,)=A B αααααα；（II ）求矩阵A 的特征值；（III ）求可逆矩阵P , 使得1-P AP 为对角矩阵. [五.矩阵的特征值,相似矩阵]7.已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有3个线性无关的解. （Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2R A =; （Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. [二.线性方程组求解]8.设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()11,2,1Tα=--,()20,1,1Tα=-是线性方程组0=Ax 的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ使得=TQ AQ Λ;.(Ⅲ)求A 及63()2A E -,其中E 为3阶单位矩阵. [五.矩阵的特征值,相似矩阵]9.设4维向量组()11,1,1,1,Ta ∂=+()22,2,2,2,Ta ∂=+()33,3,3,3,Ta ∂=+()44,4,4,4Ta ∂=+.问a 为何值时1234,,,∂∂∂∂线性相关? 当1234,,,∂∂∂∂线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. [二.向量组的线性相关性]10.设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 与方程12321-=++a x x x 有公共解，求a 的值及所有公共解. [二.线性方程组求解]11.设3阶实对称矩阵A 的特征值2,2,1321-===λλλ，且T )1,1,1(1-=α是A 的属于1λ的一个特征向量。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 0; 0, 0]2. 如果向量v = (3, -2)，那么其对应的单位向量是什么？A. (1, -2/3)B. (3/√13, -2/√13)C. (3/√29, -2/√29)D. (3/√10, -2/√10)3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，那么|A| = 0表示：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A是可逆矩阵4. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的迹C. 满足Av = λv的非零向量v对应的λD. 矩阵的行列式5. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, -1; 1, 1]D. [1, 0; 0, 1]二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果矩阵A的秩为1，那么A的零空间的维数是_________。
7. 对于任意非零向量α和β，如果α + β和α - β都是零向量，那么向量α和β_________。
8. 一个向量空间的一组基的向量数量至少是_________。
9. 如果矩阵A是n阶方阵，且A^2 = I（单位矩阵），那么矩阵A是_________矩阵。
10. 对于实数域上的向量空间，任意两个非零向量的标量积是_________的。
三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。
12. 证明如果矩阵A和B是可交换的，即AB = BA，那么它们的行列式之积等于各自行列式的乘积，即|AB| = |A||B|。
四、计算题（每题15分，共30分）13. 给定矩阵A = [4, 1; 3, 2]，求A的逆矩阵A^-1。
14. 设向量空间V是所有2x2实对称矩阵的集合，证明V是一个向量空间，并找出一组基。
线性代数期末考试试题
线性代数期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [0, 1; 1, 0]D. [1, 1; 1, 1]2. 设向量空间V的一组基为{v1, v2, v3}，向量v = 2v1 + 3v2 - v3，向量w = v1 - v2 + v3，那么v与w的内积为：A. 0B. -1C. 1D. 23. 对于n阶方阵A，其行列式|A|=0，这意味着：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是可逆矩阵D. A的所有特征值都是14. 在实数域上，以下哪个矩阵的特征多项式与矩阵本身不同？A. [1, 0; 0, 1]B. [0, 1; -1, 0]C. [1, 2; 2, 1]D. [2, 3; -1, -2]5. 设A和B是两个n阶方阵，若AB=BA，则称A和B是可交换的。
若A和B可交换，那么它们的行列式满足：A. |AB| = |A||B|B. |AB| = |A| + |B|C. |AB| = |B||A|D. |AB| = |A + B|10. 对于任意的3×3矩阵A，以下哪个结论是正确的？A. |A^T| = |A|B. |A^2| = |A|^2C. |kA| = k^3|A|D. |A + I| = |A| + 1二、填空题（每题3分，共15分）11. 若矩阵A的秩为1，则A的行列式|A|等于______。
12. 设矩阵B是矩阵A经过初等行变换后得到的矩阵，若B=S_1S_2...S_kA，其中S_i是初等矩阵，那么|B|与|A|的关系是|B|=_______。
13. 向量组α1, α2, ..., αs线性无关的充分必要条件是它们的行最简形矩阵中主对角线上的元素______。
14. 设A是一个m×n矩阵，B是一个n×m矩阵，若AB=I_m，则称矩阵A和B互为______。
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线性代数
一. 单项选择题
1.设A 、B 均为n 阶方阵，则下列结论正确的是 。
(a)若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 (b)若A ≠0且B ≠0，则AB ≠0
(c)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵 (d)若AB 是可逆矩阵，则A 和B 都是可逆矩阵
2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵，则()1-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'AB 等于（ ） （a ）()1-'A ()1-'B (b) ()1-'B ()1-'A （c ）()
'-1B )(1'-A （d ）()
'
-1B ()1-'A
3.n m ⨯型线性方程组AX=b,当r(A)=m 时,则方程组 . (a) 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 (d)有解
4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 . (a)A 可逆 (b)A 有n 个特征值
(c) A 的特征多项式无重根 (d) A 有n 个线性无关特征向量 5.A 为n 阶方阵,若02
=A ，则以下说法正确的是 .
(a) A 可逆 (b) A 合同于单位矩阵 (c) A =0 (d) 0=AX 有无穷多解
6．设A ，B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式ABC E =，其中E 是n 阶单位矩阵， 则必有（ ）
（A ）ACB E = （B ）CBA E = （C ）BAC E = （D ）
BCA E =
7．若233
32
31
232221
131211
==a a a a a a a a a D ，则=------=33
32
3131
2322
212113
1211111434343a a a a a a a a a a a a D （ ） （A ）6- （B ）6 （C ）24 （D ）24- 二、填空题
1.A 为n 阶矩阵，|A|=3，则|AA '|= ,| 1
2A A -*
-|= .
2．设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300120211A ，则A 的伴随矩阵=*A ； 3．设A ＝⎥
⎦
⎤⎢
⎣⎡--1112，则1
-A ＝ 。
4.3R 中的向量()()12
3,222αβ''==,γβα22=-,则=γ ，|α|= .
5. 设3阶矩阵A 的行列式8||=A ，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为
6.二次型32212
3222143214422),,,(x x x x x x x x x x x f ---+=对应的矩阵是 .
7.已知三维向量空间的一组基为：]1,1,0[],1,0,1[],0,1,1[321===ααα，则向量]0,0,2[=α在这组基下的坐标为： 。
8. 如果二次型31212
322213212232),,(x x x x tx x x x x x f ++++=是正定的，则t 的取值范围
是 。
三、解答题
1. 设X B AX =+，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101111010A ，⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=350211B ，求X
2. 计算
d
b
d
b c a c a 0
0000000
3.求向量组⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=93916,131,143,1524321αααα的一个极大线性无关组，并将其
他向量用该极大线性无关组线性表出.
4．设线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=+-=-+0
302022321
321321x x x x x x x x x λ, 问λ取何值时方程组有非零解？并求通解,写出其基
础解系.
5. 已知方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++--=+-=++2
321
321321424
k x kx x x x x kx x x
（1）k 为何值时，方程组有唯一解？无穷多解？无解？ （2）在有无穷多解时，求出方程组的通解。
6．已知二次型323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=,利用正交变换化f 为标准形,并写出相应的正交矩阵. 四、证明题
若2240A A E --=,证明A E +可逆,并求1
()A E -+.
答案
一、(1) d (2)a (3) d (4) d (5) d （6）d （7）d
二、(1) 9 ; 1
3-n (2) ⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200130336 （3） ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡2111 （4） ⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛210 ;14 (5) -2 (6) ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----220222021 （7）]1,1,1[- （8）35t >
三、(1) 由X B AX =+得：()A E X B -=-
因为 110101102A E -⎡⎤
⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
， 30A E -=-≠，所以A E -可逆 。
1210332
1()13311033A E -⎡⎤
--⎢⎥⎢
⎥⎢⎥-=-
-⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
-⎢⎥⎣
⎦
，故131()2011X A E B --⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (2) 2)(bc ad -
(3) 321,,ααα ;
32143
8
32317αααα-+-
= (4) 1=λ时有非零解 ; ()T
k X 110= k 取任意数 ()T
110为基础解系
(5) )4)(1(1
1
211
11
-+=--=k k k
k A
(1) 当1-≠k 且4≠k 时，方程组有唯一解;
(2) 当1-=k 时， []→⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111142114111
b A ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---300083204111 )(])([A r b A r ≠ ，方程组无解；
（3）当4=k 时，[]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1614142114411 b A ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡000041100301 32)(])([<==A r b A r ，方程组有无穷多解，
通解为: ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0401133321x x x x ，（3x 为任意常数）
(6) 2
322212y y y f +--= ; ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--
-
=31620316121316121
P 四、 因为I I A I A =-⋅+)3()( 所以 I A I A 3)(1
-=+-。