概率论与数理统计第六章

n
n
12
若总体X的k阶矩E(Xk)存在, 记mk=E(Xk), 则当
n 时, Ak m k , k 1,2, . 这是因为
P
X 1 , X 2 , , X n独立且与X同分布, 所以 X , X , X 独立且与X 同分布, 故有 E( X ) E( X ) E( X ) mk
n c X ~ , 2, 2 i 1
n 2 2 i
(2.3)
即得c2的概率密度如(2.2)式所示.
24
c2分布的可加性 设c12~c2(n1), c22~c2(n2), 并且c12, c22独立,
则有
c12+c22~c2(n1+n2).
c2分布的数学期望和方差
若c2~c2(n), 则有 E(c2)=n, D(c2)=2n.
1 Fn ( x ) S ( x ), x . n
15
例如 (1) 设总体F具有一个样本值1,2,3, 则经验分布 函数F3(x)的观察值为
0, 1 , 3 F3 ( x ) 2 , 3 1, 若x 1, 若1 x 2, 若2 x 3, 若x 3.
tinv(X,V))
t 0.025 (15)
tinv(0.975,15)
33
(三)F分布 设U~c2(n1), V~c2(n2), 且U,V独立, 则称随机变量
U / n1 F V / n2 ( 2.14)
服从自由度为(n1,n2)的F分布, 记为F~F(n1,n2). F分布的概率密度为
[( n1 n2 ) / 2]( n1 / n2 ) n1 / 2 y ( n1 / 2 )1 , ( n1 n2 ) / 2 ( y ) ( n1 / 2) ( n2 / 2)[1 ( n1 y / n2 )] 0, ( 2.15)


F ( n1 , n2 )
( y ) d y ( 2.17)
的点F(n1,n2)为F(n1,n2)分布的上分位点, 此 分位点有表格可查(见附表5).
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注:在Excel软件中的函数FINV可以查出F分
布的分布函数逆函数, 也就容易查出上分 位点. MATLAB中统计工具箱的相应函数为:
1 k Ak X i , k 1,2, ; n i 1
样本k阶中心矩:
n
1 k Bk ( X i X ) , k 2,3, . n i 1
n
10
它们的观察值分别为 n 1 x xi ; n i
1 1 2 2 2 s ( xi x ) n 1 xi nx ; n 1 i 1 i 1
因为X1,X2,...,Xn都是随机变量, 而统计量 g(X1,X2,...,Xn)是随机变量的函数, 因此统计量 是一个随机变量. 设是x1,x2,...,xn相应于样本的 样本值, 则称g(x1,x2,...,xn)是g(X1,X2,...,Xn)的观 察值.
8
几个常用的统计量: 样本平均值: 1
的点t(n)为t(n)分布的上分位点

t(n)
31
由t分布上分位点的定义及h(t)图形的对称性 知 t1(n)t(n) (2.12)
t分布的上分位点可自附表4查得, 在n>45时, 对于常用的的值, 就用正态近似: t(n)z. (2.13)
32
注: MATLAB中统计工具箱的相应函数为:
4
也可以将样本看成是一个随机向量, 写成 (X1,X2,...,Xn), 此时样本值应写成(x1,x2,...,xn). 若 (x1,x2,...,xn)与(y1,y2,...,yn)都是相应于样本 (X1,X2,...,Xn)的样本值, 一般说来它们是不相同 的.
5
由定义得: 若X1,X2,...,Xn为F的一个样本, 则 X1,X2,...,Xn相互独立, 且它们的分布函数都是F, 所以(X1,X2,...,Xn)的分布函数为
g( A1 , A2 ,, Ak ) g( m1 , m 2 ,, m k ),
P
其中g为连续函数. 这就是下一章要介绍的矩 估计法的理论根据.
14
经验分布函数 可以作出与总体分布函数F(x) 相应的统计量----经验分布函数, 它的作法为, 设X1,X2,...,Xn是总体F的一个样本, 用S(x), <x<, 表示X1,X2,...,Xn中不大于x的随机变 量的个数, 定义经验分布函数Fn(x)为
25
c2分布的分位点 对于给定的正数, 0<<1,
称满足
P{c c (n)}
2 2 2 2
c


2
f ( y) d y
(n)
(2.6)
的点c (n)为c (n)分布上的 分位点.
c2(n)
26
对于不同的, n, 上分位点的值已制成表格, 可以查用(见附表4).
注:实际上许多常用的办公软件都有关于上 分位点的相应函数, 例如, excel电子表格的函 数chiinv(,n)就可以计算给定,n值的上分位 点. MATLAB中统计工具箱的相应函数 为:chi2inv(X,V))
finv(X,V1,V2))
F0.05 (12, 9) = ??
finv(0.95,12,9)
37
F-分布的上分布的示意图

O F(n1,n2)
38
若F~F(n1,n2), 按定义
1 1 1 P { F F1 ( n1 , n2 )} P F1 ( n1 , n2 ) F 1 1 1 1 1 P 1 P F1 ( n1 , n2 ) F1 ( n1 , n2 ) F F 1 1 于是 P . F1 ( n1 , n2 ) F (1)
34
y 0, 其它.
(y)的图形
(n1,n2)=(10,40)
(n1,n2)=(11,3)
O
35
由定义可知, 若F~F(n1,n2), 则
1 F ~ F (n2 , n1 ). (2.16)
F分布的分位点 对于给定的,0<<1, 称满足 条件
P{ F F ( n1 , n2 )}
概率论与数理统计
福建师范大学福清分校数计系
1
第六章 样本及抽样分布
2
§1 随机样本
3
定义 设X是具有分布函数F的随机变量, 若 X1,X2,...,Xn是具有同一分布函数F的, 相互独立 的随机变量, 则称X1,X2,...,Xn为从分布函数 F(或总体F, 或总体X)得到的容量为n的简单随 机样本, 简称样本, 它们的观察值x1,x2,...,xn称 为样本值, 又称为X的n个独立的观察值.
P{lim sup | Fn ( x ) F ( x ) | 0} 1.
n x
因此, 对于任一实数x当n充分大时, 经验分布 函数的任一个观察值Fn(x)与总体分布函数F(x) 只有微小的差别, 从而在实际上可以当作F(x) 来使用.
19
对于任意固定的x, <x<, S(x)~b(n, F(x)), 从 而可知对于固定的x,
1 n / 2 1 y / 2 y e , n/ 2 f ( y ) 2 ( n / 2) 0, y 0, 其它.
22
( 2.2)
f(y)的图形如下:
23
现在来推求(2.2)式 由第二章§5例3及第三章§5例3知c2(1)分布 即为(1/2, 2)分布, 现Xi~N(0,1), 由定义 Xi2~c2(1), 即Xi2~(1/2, 2), i=1,2,...,n. 再由 X1,X2,...,Xn的独立性知X12,X22,...,Xn2相互独立, 从而由分布的可加性知
n n 2
s
1 2 ( xi x ) n 1 i 1
n
11
1 k k x i , k 1,2, ; n i 1 1 k bk ( x i x ) , k 2,3, . n i 1
这些观察值仍分别称为样本均值, 样本方差, 样本标准差, 样本k阶(原点)矩以及样本k阶中 心矩.
X
X ; n
i i 1
n
n
样本方差:
n 2
1 1 2 2 2 S ( X i X ) n 1 X i nX ; n 1 i 1 i 1
样本标准差:
S S
2
1 2 (Xi X ) ; n 1 i 1
9
n
样本k阶(原点)矩:
lim h( t )
n
1 2
e
t / 2
2
故当n足够大时t分布近似于N(0,1)分布, 但对 于较小的n, t分布与N(0,1)分布相差较大.
30
t分布的分位点 对于给定的, 0<<1, 称满足 条件
P{t t ( n)}


t ( n )
h( t )dt
( 2.11)
E Fn ( x ) E[ S ( x ) / n] 1 1 E[ S n ( x )] [nF ( x )] F ( x ). n n
20
统计量的分布称为抽样分布. 在使用统计量进 行统计推断时常需知道它的分布. 当总体的分 布函数已知时, 抽样分布是确定的, 然而要求 出统计量的精确分布, 一般来说是困难的. 下 面介绍来自正态总体的几个常用统计量的分 布.
a = 0.1, n = 25, c a (25) = ??
2
Y=chi2inv(, n)
如chi2inv(0.9,25)
27
(二)t分布 设X~N(0,1), Y~c2(n), 且X,Y独立, 则 称随机变量