动力失稳判别准则在非自治系统中的推广
动力自由度的判断方法
动力自由度的判断方法动力系统的自由度是指系统中能自主选择和控制的运动参数的数量。
在机械系统中，自由度可以得出系统的动力学特性，判断系统的稳定性和可控性等。
下面将介绍一些常见的方法来判断系统的动力自由度。
1. 自由度的定义在机械系统中，自由度是指可以由系统内部控制的独立变量的数量。
一般来说，系统的自由度等于系统的独立运动坐标的数量。
2. 约束方程约束方程描述了系统中各个部分之间的关系，可以通过约束条件来确定系统的自由度。
根据约束条件的数目和方程的个数，可以得出系统的自由度数目。
3. 虚位移法虚位移法是判断系统自由度的一种常见方法。
虚位移是指整个系统的完全虚拟移动，不改变系统的约束条件。
通过虚位移法，可以计算出系统的自由度。
4. 约化模型将复杂的机械系统简化为更简单的模型，通过模型的分析来判断系统的自由度。
例如，可以将多自由度系统简化为单自由度系统来判断系统的自由度。
5. 稳态和动态分析通过稳态和动态分析来判断系统的自由度。
稳态分析主要考虑系统在静止状态下的平衡和稳定性，动态分析则研究系统在运动过程中的响应和稳定性。
通过分析系统的稳态和动态性能，可以得出系统的自由度数目。
6. Lagrange方程Lagrange方法是一种常用的力学分析方法，可以用来计算系统的运动方程。
通过Lagrange方程可以推导出系统的自由度。
7. 线性代数方法线性代数方法可以用来分析系统的矩阵方程，进而得出系统的自由度。
通过求解矩阵方程的秩，可以确定系统的自由度数目。
8. 导数分析通过对系统的导数进行分析，可以得到系统的自由度。
例如，系统的运动描述可以用位置、速度和加速度等导数来表示，通过对这些导数进行分析，可以判断系统的自由度。
以上是一些常见的判断系统自由度的方法。
不同的方法适用于不同的系统和问题，可以根据具体情况选择合适的方法来判断系统的自由度数目。
非线性动力学之一瞥Lorenz系统
非线性动力学非线性系统之一瞥 ------ Lorenz系统2013-01-30 0刖言0.1非线性系统动力学线性系统是状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统；非线性系统就是这些量不满足叠加原理的系统。
非线性系统在日常生活和自然界中不胜枚举，也远远多于线性系统。
非线性动力学是研究非线性系统的各种运动状态的定性和定量变化规律，尤其是系统的长时期行为。
研究的对象主要有分叉、混沌和孤立子等。
0.2洛伦兹方程洛伦兹方程是美国气象学家洛伦兹在模拟天气这一非周期性现象时确定，这个方程的三个变量分别模拟温度、湿度和压力。
可以得出结论，初期微小的差别随着时间推移差别会越来越大，洛伦兹基于此提出长期的天气预报是不可能的。
这也被视为研究非线性混沌理论的开始，所以洛伦兹系统在研究非线性系统中具有举足轻重的地位。
本文借助洛伦兹系统对非线性进行简单的介绍。
洛伦兹方程如下y =- xz + /ix - y z —xy -方程中，、；和'都为实参数。
实参不同，系统的奇点及数目也是不同的1奇点和稳定性1.1 奇点洛伦兹系统含有三个实参数，当参数变化，奇点的数目可能不同。
首先，(0,反0)—定是系统的奇点。
0时，当"玄1时，系统仅有(O T0, 0)—个奇点；当时，系统还有另外两个奇点(士』土揪(M-1))。
F面仅解，时的两个非原点奇点。
令G -玄 + y) = 0-rz4-^-y = Oxy-/?z = 0t2方程第一式得x= y，第三式可得z =，将两式代入第二式得1.2奇点稳定性判别下面根据Liapunov稳定性判别方法，找出系统在原点处大围渐进稳定的条件，取Liapunov函数"一；U厂卞。
考虑勺，声J切的情况。
则有(IV . . .=r X + ovy + CTZZdt "将洛伦兹方程fx = tf(-x + y)y =- xz + ^ix - y [z = xy- pz代入上式，可得tiV 7 7 2——=-ox - ay - (io2 + (a -l- ap)xy dt变换为二次型，系数矩阵为已知/ 则系数矩阵负定的条件是//<l o 所以该系统是大围渐进稳定的条件是"丈1,前提是0>0。
对劳斯判据的浅略分析
对劳斯判据的浅略分析对劳斯判据的浅析劳斯判据，是流体动力学中的一个重要原理，它可以用来判断流体在稳定状态下的不稳定性。
劳斯判据的提出源于19世纪的劳斯，他对流体运动进行了深入的研究，并提出了这一原理。
在实际工程中，劳斯判据可以帮助工程师们分析和预测流体系统的稳定性，对于设计和优化流体系统具有重要的指导意义。
本文将对劳斯判据进行浅析，探讨其基本原理、应用范围以及在工程中的实际应用。
劳斯判据的基本原理是通过对流体系统的动量平衡进行分析，来判断系统在微小扰动下的稳定性。
劳斯判据的公式表达为：\[D=\frac{\partial P}{\partial \rho} \frac{d \rho}{dt}\]D为劳斯判据，P为系统中的动能密度，ρ为密度，t为时间。
从这个公式可以看出，劳斯判据实际上是通过对流体密度的微小扰动引起的动能变化进行分析，来判断系统的稳定性。
当劳斯判据小于0时，即\(\frac{\partial P}{\partial \rho}<0\)时，系统是稳定的；当劳斯判据大于0时，即\(\frac{\partial P}{\partial \rho}>0\)时，系统是不稳定的；当劳斯判据等于0时，即\(\frac{\partial P}{\partial \rho}=0\)时，系统是临界稳定的。
劳斯判据的应用范围非常广泛，几乎涉及到所有流体系统的稳定性分析。
比如在燃烧系统中，劳斯判据可以用来判断燃烧过程中是否会产生爆炸；在空气动力学中，劳斯判据可以用来判断飞机在飞行中是否会产生失速现象；在水力学中，劳斯判据可以用来判断水流在管道中是否会产生涡流等。
只要涉及到流体运动的系统，劳斯判据都有着重要的应用价值。
在工程实际中，劳斯判据通常用来指导流体系统的设计和优化。
比如在飞行器设计中，工程师可以通过对劳斯判据的分析来优化飞机的气动外形，以提高其飞行稳定性；在火箭发动机设计中，工程师可以通过对劳斯判据的分析来优化燃烧室的结构，以避免燃烧不稳定而导致发动机爆炸等。
杆系钢结构非线性动力稳定性识别与判定准则
第28卷第2期同济大学学报V ol.28N o.2 2000年4月JOURNA L OF T ONG J I UNIVERSITY Apr.2000杆系钢结构非线性动力稳定性识别与判定准则李忠学,沈祖炎,邓长根(同济大学建筑工程系,上海 200092)摘要:首先对当前结构动力稳定性的研究状况和已有的判定准则进行了回顾,然后给出了具有几何非线性的杆系钢结构在任意动力荷载(如地震荷载等)作用下的动力稳定性判定方法和准则,并通过动力稳定性分析算例对所提出的准则进行了验证.关键词:杆系钢结构;广义刚度参数;动力稳定性判定准则中图分类号:T U391 文献标识码:A 文章编号:0253-374X(2000)02-0148-04Identification and J udgment Criteria of Nonlinear DynamicStability in Lattice Steel Structure sLI Zhong-xue,SHEN Zu-yan,DENG Chang-gen(Department of Building Engineering,T ongji University,Shanghai200092,China)Abstract:In this paper,the state of the art and existing criteria of dynamic stability in the field of structural engineer2 ing are reviewed,and then new methods and criteria for judging dynamic stability of lattice steel structures with strong geometrical nonlinearity under any dynamic loading(such as seismic loading etc.)are proposed.Finally the proposed criteria are dem onstrated in exam ples of dynamic stability analysis.K ey words:lattice steel structures;generaized stiffness parameter;dynamic stability criteria 对结构的动力稳定性一直难以给出确切的定义,这是因为数学意义上的动力稳定性定义[1]是:对动力微分方程,当它的解随时间无限增长时,即认为它是不稳定的,而当其解仅在某一平衡位置附近变化时,则认为它是稳定的.而对于结构,其动力稳定性分析又有其自身的特征:结构可有多个平衡位置,在动力荷载的作用下,结构可能在多个平衡位置间跳跃,在某种动力荷载作用下,结构可能发生局部动力失稳,当达到新的平衡位置后,结构整体仍能承受荷载,或直接导致整体动力失稳,使结构丧失承载力或承载力降低.因此,不能照搬数学意义上的动力稳定性定义.基于结构的动力反应特征,本文对结构动力稳定性给出了适用的定义:在某一动力荷载作用下,当结构的刚度出现非正定,导致其丧失承载力或承载力降低,动力位移或变形显著增长时,即认为结构丧失了动力稳定性;当仅有个别杆件、结点或局部的杆件与结点出现这种情况时,则称之为局部动力失稳;而当整个结构的承载力丧失或降低时,则称之为整体动力失稳;每出现一次结构丧失承载力或承载力降低,结构变形显著增大,直至结构承载力有回升或彻底丧失承载力时,称结构发生了一次动力失稳;动力失稳可以次数来度量.1 结构动力稳定性研究状况回顾收稿日期:1998-10-26基金项目:国家自然科学基金资助项目(59578002);土木工程国家重点实验室资助项目作者简介:李忠学(1970- ),男,河南商城人,讲师,工学博士,现在浙江大学土木工程系工作. 根据作用荷载的类型,结构的动力稳定性问题可以划分为周期性荷载作用下的动力稳定性问题、冲击荷载作用下的动力稳定性问题和地震等任意荷载作用下的动力稳定性问题.在周期性动力荷载作用下,当结构的自振频率与外载的强迫振动频率非常接近时,结构将产生强烈的共振现象;当结构的受压杆件的横向固有振动频率与外载的扰动频率之间的比值成某种特定的关系时,杆件将产生剧烈的横向振动,即参数振动,对这类问题,俄罗斯学者鲍洛金等给出了比较全面的分析和论述[2],他们通过确定动力不稳区域的方法成功地解决了稳定性的判定问题,但这些周期性动力稳定性理论成立的前提是结构的几何非线性很弱,结构的刚度矩阵不需经过迭代而仅经过初步的静力分析即可近似确定,对具有较强的几何非线性的结构,这些理论将难以成立.对冲击动力稳定性问题,现在已有几个较有影响的判定准则[3]:①Budiansky -R oth 准则,又称为运动方程法,该方法要求计算不同荷载水平下结构的动力响应,从而获得相对于荷载参数的结构响应最大值,如果在某一荷载下,荷载的微小增量导致了结构响应的显著增长,则该荷载即被认为是该结构的动力稳定性临界荷载;②H off -Hsu 准则,又称总能量-相平面法,它是通过相平面的特性曲线确定结构的稳定性临界荷载;③H off -Simitses 准则,又称总势能法,它利用能量平衡方程给出不同荷载水平下系统的总势能相对于广义坐标的曲线,由此可给出结构动力稳定和不稳定的临界条件;④王仁能量准则,其基本思想是在一定冲击荷载下,若对于所处的基本运动的任何一个几何可能偏离,都必将使系统在此偏离过程中所吸收的能量大于荷载所做的功,则它的基本运动是稳定的.对于随机荷载作用下的动力稳定性问题,它的分析将极其复杂,目前还难以见到可借鉴的动力稳定性分析文献,因此,作者将采用结构动力响应分析常用的手段,将这类荷载作为确定性荷载进行分析.通过对结构的动力平衡路径全过程进行跟踪,根据结构的各参数在动力平衡路径中的变化特性,对结构的动力稳定性进行有效的判定.2 动力稳定性分析及其判定准则考虑到非线性动力稳定性分析的复杂性,这里将暂不考虑材料参数的动力效应,并且仅研究弹性稳定问题.通过使用作者编制的动力稳定性分析程序对多个杆系结构模型进行的理论分析[4,5],发现在进行动力平衡路径全过程跟踪时,在每一次越过稳定性上临界点时,结构刚度矩阵将会出现非正定现象,即进行三角分解时,K =LDLT (1)对角矩阵D 的元素d ii 将有负值出现,刚度矩阵有接近于零或负的特征值,广义刚度参数为G =u 1T 11u 111u i -1T 11u i 11(2)接近于零,并出现负值,这些参数的变化,都是结构丧失动力稳定性的标志,据此可对是否出现动力失稳现象进行判定.在式(2)中,u 111,u i -111,u i 11分别为在当前荷载作用下,对应于初始刚度、上一荷载增量步和当前荷载增量步时的刚度所求得的位移矢量.动力稳定性的判定准则可通过稳定分析中各参数的变化特征建立,也可通过观察动力平衡路径曲线的特性来判断,采用不同的动力稳定性数值分析方法,相应地采用了不同的参数来自动控制荷载增量步长及其符号改变,因此,可相应地建立不同的参数判定准则,当采用弧长跟踪法时,当前刚度参数可作为稳定性的判定标准,当采用广义位移控制法时,广义刚度参数可作为相应的参数判定准则.根据在动力稳定性分析中各参数的变化特征,本文建立了如下的动力稳定性准则:(1)位移准则.对某一结构,根据其各结点的质量与荷载分布,预先估计出相应的等效动力荷载分布形式,然后各结点按此荷载分布形式,以比例加载的形式进行静力稳定性分析,确定出相应的稳定性临界位移,以此近似估计出该结构产生动力失稳时的临界位移,在动力荷载作用下,当该结构的结点位移测定值进入临界位移范围时,即认为该结构进入了动力稳定的临界状态.(2)刚度准则.在进行动力稳定性分析时,对结构的切线刚度矩阵进行三角分解,当对角矩阵的对角元有接近于零值的元素出现时,可认为结构进入了动力稳定性的临界状态,当其对角元有元素出现负值时,则可判定结构发生了动力屈曲,进入了屈曲后阶段,发生了动力失稳.941第2期 李忠学,等:杆系钢结构非线性动力稳定性识别与判定准则 (3)广义刚度参数准则.在进行动力平衡路径跟踪时,当广义刚度参数接近于零时,可认为结构处于稳定性的临界状态,当其出现负值时,可判定结构已进入了屈曲后状态,结构产生了局部动力失稳或整体动力失稳,具体是哪种失稳,要根据各结点的平衡路径曲线或各结点的位移时程曲线来判定.(4)动力平衡路径准则.在进行非线性结构的动力稳定性分析时,可对结构的动力平衡路径进行跟踪,当结点的某些平衡路径曲线变得非常平缓时,可认为结构进入了稳定性临界状态,当出现下降段、接近于水平线或反跳等特征时,可认为结构出现了动力屈曲,产生了动力失稳.当结点的所有平动自由度的平衡路径曲线出现动力失稳特征时,可认为结构产生了整体动力失稳,当仅有部分结点的平动自由度的平衡路径曲线出现动力失稳特征时,可认为结构仅产生了局部动力失稳.某些参数时程曲线产生突变也是动力失稳的一个显著特征,通过对各结点的完整的平动自由度的位移时程曲线和各杆件内力的完整时程曲线是否出现突变可判定动力失稳是否发生以及产生的失稳类型.图1 Willion 平面刚架(单位:mm)Fig.1 Willion ’s plane frame (unit :mm)3 算例分析及动力稳定性判定准则的验证本文分析的算例1为Willion 平面框架,其结构模型如图1所示,现在刚架顶点作用集中质量块5kg ,将峰值为1.5g 的E l 2centro 竖向地震波作用于本模型,图2给出了其动力稳定性分析结果.从结点的竖向位移时程曲线可以看出,结构产生了10次动力失稳,计算结果表明,在6.0s 和6.1s 左右、6.3s 和6.4s 左右、8.4s 和8.5s 左右、8.9s 和9.0s 左右、9.4s 和9.5s 左右时,结构分别产生正向和反向跳跃型动力失稳.图2 Wilion 框架动力稳定性分析结果Fig.2 R esults of dynamic stability analysis for Willion ’s plane frame 本文分析的算例2为一歌德斯克网壳模型(如图3所示),将模型各结点加53kg 的质量块,图4给出了算例2在0.85g 的地震波作用下的动力稳定性理论分析结果,由模型的中央结点的竖向位移时程曲线可以看出,在4.5s 左右,曲线产生了突变,该模型产生了动力失稳.图3 扁网壳模型示意图(单位:mm)Fig.3 Model of sh allow reticulated shell (unit :mm)由前面给出算例1和算例2的动力失稳阶段结点竖向内力和广义刚度参数与竖向位移关系曲线可以051 同 济 大 学 学 报 第28卷图4 扁网壳的动力稳定性理论分析结果Fig.4 R esults of dynamic stability analysis for sh allow reticulated shell看出,在动态分级加载过程中,结构承载力出现过随位移增长而下降的特征,它表明结构丧失了动力稳定性.由结点的竖向平衡路径曲线(即荷载-位移曲线)可以看出,在动力平衡路径跟踪过程中,当选取与静力平衡路径跟踪相同的加载方式时,二者的平衡路径曲线非常相似,所对应的等效临界荷载与临界位移基本相同.由广义刚度参数与位移的关系的部分曲线可以看出,在稳定性状态,结构非线性程度不是很强,此时,广义刚度参数较大,当进入稳定性的临界状态时,结构具有很强的几何非线性,此时,广义刚度参数接近于零.在每次越过临界点时,广义刚度参数还出现一次负值.在动力稳定性分析过程中,在失稳阶段对结构切线刚度矩阵进行Crout 分解时[6],得到的对角矩阵的部分对角元素出现了负值,它说明结构丧失了承载力或承载力降低了,因此,结构产生了动力失稳.算例1相对来说比较简单,可直接判定它产生的是整体动力失稳,算例2未能跟踪动力失稳发生时的屈曲后平衡路径全过程,因此这里暂时还不能对其失稳形式进行判定,它的判定原理和静力稳定问题相同,在静力稳定性分析中已能成功运用,但跟踪完整的动力稳定性屈曲后平衡路径远比静力问题复杂,对,作者将在今后为解决这一问题而继续进行深入的研究.4 结论通过对两个杆系结构模型在地震荷载作用下的动力稳定性分析,验证了本文给出的动力稳定性判定准则的合理性,它为对更复杂的结构的动力稳定性进行判定提供了依据.参考文献:[1] 舒仲周.运动稳定性[M].成都:西南交通大学出版社,1989.[2] 符・华・鲍洛金.弹性体系的动力稳定性[M].林砚田译.北京:高等教育出版社,1960.[3] 杨桂通,王德禹.结构的冲击屈曲问题[A].王礼立.冲击动力学进展[C].合肥:中国科学技术大学出版社,1992.177-210.[4] 李忠学,沈祖炎,邓长根.改进的广义位移法在动力稳定性问题中的应用[J ].同济大学学报,1998,26(6):609-612.[5] LI Zhong -xue ,SHE N Zu -yan ,DE NG Chang -gen.N onlinear dynam ic stability analysis of frames under earthquake loading[A ].CHIE N W ei -zang.Proceedings of the 3rd International C on ference on N onlinear M echanics[C].Shanghai :Shanghai University Press ,1998.287-292.[6] 关 治,陆金甫.数值分析基础[M].北京:高等教育出版社,1998.244-245.151第2期 李忠学,等:杆系钢结构非线性动力稳定性识别与判定准则 。
力学系统的非线性响应和失稳机制
力学系统的非线性响应和失稳机制引言：力学系统是指由物体、力和运动规律组成的系统。
在自然界和工程领域中，我们经常遇到各种各样的力学系统。
在这些系统中，有些呈现出非线性响应和失稳现象，这给我们理解和控制力学系统带来了一定的挑战。
本文将探讨力学系统的非线性响应和失稳机制，以期加深对这一问题的理解。
一、非线性响应1. 非线性响应的概念非线性响应是指力学系统在受到外界激励时，其响应与激励之间不符合线性关系的现象。
在线性系统中，输出信号是输入信号的简单缩放，而在非线性系统中，输出信号可能具有更加复杂的变化规律。
2. 非线性响应的原因非线性响应的原因可以归结为两个方面：系统本身的非线性特性和外界激励的非线性特性。
系统本身的非线性特性可能来自于材料的非线性力学行为，如弹性-塑性转变、接触变形等。
而外界激励的非线性特性可能来自于非线性力的作用，如摩擦力、涡流阻尼等。
3. 非线性响应的表现形式非线性响应的表现形式多种多样。
例如，系统的频率响应曲线可能呈现出多个谐波分量，产生谐波失真现象。
此外，系统的振动幅值可能随着激励幅值的增加而不断增加，产生超过线性预测的响应。
二、失稳机制1. 失稳的概念失稳是指力学系统在某些条件下，由于内外因素的作用，从原本稳定的状态转变为不稳定的状态。
失稳现象在自然界和工程实践中普遍存在，例如桥梁的塌陷、飞机的失速等。
2. 失稳的原因失稳的原因可以归结为系统内部的非线性耦合和外界激励的干扰。
系统内部的非线性耦合可能导致正反馈效应的出现，使系统的响应不断放大，最终导致失稳。
而外界激励的干扰可能打破系统原本的平衡状态，引发系统的不稳定行为。
3. 失稳的表现形式失稳的表现形式也多种多样。
例如，系统的振幅可能在某一临界点附近突然增加，产生突变现象。
此外，系统的周期可能变得无法预测，呈现出混沌现象。
三、非线性响应与失稳的关系非线性响应与失稳之间存在一定的关系。
在某些情况下，非线性响应可能导致系统的失稳。
非线性动力学-胡海岩
第四章 运动稳定性和分叉一、自治系统平衡点的稳定性由于实际系统总有干扰或误差，稳定性的意义在于任何初始扰动导致随后的运动任意小，稳定性包括三种：稳定、渐近稳定和不稳定。
稳定性的定义具有多个，Lyapunov 意义的稳定性是其中最基本的一个，它包括线性系统的稳定性问题。
线性系统稳定性属于全局稳定性，而非线性系统的稳定性是一个局部性概念。
考察如下自治系统n n R R U f u f u→⊂=:)(， （1）式中U 为定义域，是欧氏空间中的一个子集，平衡点满足0)(=s u f 。
可将平衡点或周期解的稳定性化为零解的稳定性问题。
一般地，例如对于一般非自治系统),(u t f u= ，其周期解为)(t u s ，令s u x u +=，可得),(),()(),(s s s u t f u x t f t u u t f x-+=-= ，此时该方程的零解对应于原系统的平衡点或周期解。
1．Lyapunov 直接方法（1）Lyapunov 函数单值可微函数),,,()(21n u u u V u V =，满足0)0(=V ，其定义域为{}H u u U ≤=，0>=const H （这里⋅表示连续系统的范数，⋅表示离散系统的范数）。
[定义1] 若在U 内恒有0)(≥u V ——正常号函数；0)(≤u V ——负常号函数，统称为常号函数，否则称为变号函数。
[定义2] 当且仅当0=u 时，0)0(=V ，称正常号函数为正定函数；负常号函数为负定函数，统称为定号函数。
若00=≠=u V 时，称正常号函数为半正定函数；称负常号函数为半负定函数，统称为半定号函数。
例1．232221321),,(u u u u u u V ++=，正定函数 2221321),,(u u u u u V +=，正常号函数，除)0,0,0(外，还有),0,0(3u 使0=V232221321),,(u u u u u u V -+=，变号函数例2．2132********)()()(),,(u u u u u u u u u V -+-+-=，当321u u u ==时，0=V ，所以V 常正。
力学系统中的稳定性分析与判定方法
力学系统中的稳定性分析与判定方法稳定性是力学系统中一个重要的概念，它描述了系统在受到扰动后是否能够回到原来的平衡状态。
稳定性分析与判定方法是研究力学系统稳定性的关键工具，它们帮助我们理解和预测系统的行为。
一、线性稳定性分析方法线性稳定性分析方法是最常用的一种方法，它适用于线性系统和弱扰动条件下的非线性系统。
该方法基于线性化的系统方程，通过求解特征值问题来判断系统的稳定性。
对于线性系统，我们可以将其表示为矩阵形式，例如：$$\dot{x} = Ax$$其中，$A$是系统的状态转移矩阵。
线性稳定性分析方法的核心是求解矩阵$A$的特征值和特征向量。
如果所有特征值的实部都小于零，那么系统就是稳定的；如果存在特征值的实部大于零，那么系统就是不稳定的。
二、非线性稳定性分析方法对于非线性系统，线性稳定性分析方法不再适用。
此时，我们需要借助非线性稳定性分析方法来判断系统的稳定性。
非线性稳定性分析方法主要有两种：李雅普诺夫稳定性分析和拉普拉斯-亚当稳定性分析。
1. 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是一种基于能量函数的方法。
它通过构造一个能量函数，来判断系统在扰动下能量是否趋于稳定。
如果能量函数的导数小于等于零，那么系统就是稳定的；如果导数小于零，那么系统就是不稳定的。
2. 拉普拉斯-亚当稳定性分析拉普拉斯-亚当稳定性分析是一种基于相平面的方法。
它通过绘制系统的相轨迹来判断系统的稳定性。
如果相轨迹是有界的，并且所有轨迹都趋向于某个平衡点，那么系统就是稳定的；如果相轨迹发散或者形成闭环，那么系统就是不稳定的。
三、混沌系统的稳定性分析方法混沌系统是一类具有无规则行为的非线性系统。
对于混沌系统的稳定性分析，传统的线性稳定性分析和非线性稳定性分析方法都不再适用。
此时，我们需要借助混沌系统的特性来判断其稳定性。
混沌系统的稳定性分析方法主要有两种：Lyapunov指数和Bifurcation分析。
Lyapunov指数是一种衡量混沌系统稳定性的指标，它描述了系统在扰动下的指数增长率。
劳斯-赫尔维茨定理：描述稳定性的性质和判断方法
劳斯-赫尔维茨定理：描述稳定性的性质和判断方法第一章：引言劳斯-赫尔维茨定理是控制理论中的重要定理之一，它描述了线性时不变系统的稳定性的性质和判断方法。
稳定性是系统控制中一个非常重要的概念，它涉及到系统在输入变化时的响应能力。
本章将介绍劳斯-赫尔维茨定理的背景和重要性，为后续章节的讨论奠定基础。
第二章：劳斯-赫尔维茨定理的基本概念2.1 动力系统在开始介绍劳斯-赫尔维茨定理之前，我们首先需要了解动力系统的基本概念。
动力系统是指由动态方程和初始条件所描述的一种数学模型，在控制理论中被广泛应用。
动力系统可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。
理解动力系统的特性对于理解劳斯-赫尔维茨定理至关重要。
2.2 稳定性的定义稳定性是对系统响应的一种性质描述。
一个稳定的系统在输入变化时，其响应不会无限增长或震荡，而是趋于有限的范围内。
稳定性可以分为渐进稳定和有界稳定两种形式。
渐进稳定是指系统的响应趋于零或某个有限的值，而有界稳定是指系统的响应保持在有限的范围内。
第三章：劳斯准则3.1 劳斯定理的基本原理劳斯定理是劳斯-赫尔维茨定理的基本原理，它是通过对系统特征方程的根进行判断来确定系统的稳定性。
具体而言，劳斯定理使用代数方法来判断系统特征方程的根的位置，从而得出系统的稳定性判据。
3.2 劳斯准则的推导劳斯准则的推导是建立在特征方程的根与稳定性之间的关系上。
通过对特征方程进行变换和整理，可以得到劳斯准则的具体表达式。
劳斯准则的推导过程是相对复杂的，但是它为后续的稳定性判断提供了重要的理论基础。
第四章：劳斯-赫尔维茨定理的应用4.1 劳斯-赫尔维茨定理的基本应用劳斯-赫尔维茨定理的基本应用是判断系统的稳定性。
通过计算特征方程的根，并根据劳斯准则进行判断，可以得出系统的稳定性结论。
这在系统控制和工程实践中具有重要的意义，可以帮助工程师们设计和优化控制系统，提高系统的稳定性和性能。
4.2 劳斯-赫尔维茨定理的拓展应用除了稳定性的判断，劳斯-赫尔维茨定理还可以应用于其他领域。
非线性动力学理论及其在机械系统中应用的若干进展_陈予恕
非线性动力学理论及其在机械系统中应用的若干进展陈予恕1, 2曹登庆1吴志强21哈尔滨工业大学航天学院，137信箱，哈尔滨1500012天津大学机械工程学院，天津市 300072摘要：非线性动力学的理论及其工程应用是非线性科学研究的前沿和热点，应用非线性动力学的理论揭示事物动态过程现象的本质和机理，进行自主性原始创新，具有十分重大的理论和应用价值，在科学与工程中具有广阔的应用前景。
本文综述非线性动力学基础理论方面的近期研究成果及其在机械系统中应用的研究进展。
理论研究方面主要涉及揭示非线性动力系统周期分岔解与系统结构参数之间关系的C-L方法、高余维分岔的普适分类、高余维非对称分岔的普适开折、约束分岔的分类、计算非线性自治系统正规形的直接方法、计算非线性非自治系统正规形的复内积平均法以及高维非线性系统的降维方法等。
应用方面主要涉及大型旋转机械非线性转子系统的失稳机理、分岔解与混沌运动、故障诊断及其综合治理技术；冲击振动机械的稳定性、Hopf分岔、亚谐分岔、余维二分岔和混沌运动；大型共振筛的非线性振动及其动力学设计方法等。
关键词：非线性动力学，C-L理论方法，非线性转子动力学，故障治理技术，复杂分岔与混沌非线性动力学的基础理论与数学或应用数学有着非常紧密的联系，同时又是机械、土木、航空航天、水陆运输、兵器等工程学科的重要基础。
它与技术学科结合推动了现代工程技术的蓬勃发展，具有应用性很强的鲜明特色。
在国民经济、国防工业和工程技术中，有大量的重要实际问题迫切需要用非线性动力学理论和方法加以处理，动力学理论的工程应用在带来巨大经济效益的同时，也为推动高维复杂非线性动力学系统的基础理论研究提供更广的发展空间，其意义十分重大。
复杂高维非线性动力学系统的降维、全局分岔、周期解分岔理论及通向混沌的道路，是当前科学研究的重大前沿课题之一，是各科技工程领域进行自主创新的重要理论基础，同时也是具有挑战性的国际前沿领域。
发展新的分析方法、揭示新的现象及其产生机理一直是非线性动力学理论研究的主题，解决工程动力学疑难问题、探索基于非线性动力学的设计方法，越来越受到各国科学家与工程师们的高度重视。
单层网壳结构动力稳定性分析方法
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俄国数学家 ;-,<1(3=（ 由严格定义的平衡稳 "HG?） 定性的概念出发， 推广到运动稳定性， 在数学上给出了 运动稳定性的一般定义 5 即扰动微分方程 I ! J 解的稳定 性。扰动微分方程 （ 是相对于原微分方程 （ 而言 !） "）
的， 两者具有相同的形式， 只是初始条件不同。因此， #$%&’()* 意义下的动力稳定性，是研究初始条件的扰 动对系统运动状态的影响 + , - 。 在此基础上， 由 #$%&’()* 本人及其它学者发展了系统的动力稳定性判别方法， 其中比较实用的有 " 函数法和一次近似理论。 " 函数法要求寻找一个满足一定条件的 " 函数 （ ， 通过 " 函数及其对时间的导数 #$%&’()* 函数） ・ （ 的符号来判别系统的动力稳定性。对于 " . #$ % . # / / ） 一般结构系统， 而且 " 函数的寻找与构造是很困难的， 不一定存在。并且，即使构造不出满足稳定要求的 " 函数， 也不能断言系统不稳定。因此， #$%&’()* 理论只 是系统运动稳定性的充分条件。另一个问题是 #$%0 &’()* 理论的应用条件相当严格 + , - 。对于保守系统， #%12%(13 . 45,, / 和 672789:3; 提出 < 如果系统势能正定， 则系统是稳定的。这使动力稳定性问题转化为系统势 能面的判断问题。 实际上， 系统的势能就是保守系统的 #$%&’()* 函数。然而对于非保守系统，极少问题能得 文献 + => - 直接 到象结构势能这样的 #$%&’()* 函数 + 45 - 。 应用 #$%&’()* 理论，成功地构造了一个 #$%&’()* 函 数， 对于线性系统在阶跃荷载作用下的动力稳定问题， 该函数的正负可明确判定系统的动力稳定状态 （ 动力 失稳前该函数恒为负， 动力失稳后恒为正） 。但是对于 非线性系统在随时间不断变化的荷载 （ 如地震）作用 下， 该函数的符号随时间不断变化， 很难明确判断系统 的动力稳定状态。文献 + =4 - 在非线性情况下， 通过逐 级加载，根据该函数的时程变化来研究复合板在阶跃 荷载下的动力稳定性问题， 实际上是将 #$%&’()* 函数 视为系统动力响应指标，根据系统的响应来判别系统 的动力稳定性。 对于定常系统 （ 运动方程不显含时间 #） 还可以应 用 #$%&’()* 一次近似理论判断系统的动力稳定性。 定常系统的扰动微分方程 ・ % ! & ’ ! . %4 ? %= ? … ? % ( / ! @ 4? =? !? A A A? ( 将方程 . ! / 在原点展开为泰勒多项式
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结 是一 ３ 激振荷载 的加速度幅值很大 ， ） 振动过 程中结构总能量 较大范 围 理的。当外部激 振停止作 用后 ， 构进入 了 自由振 动状态 ， 个 自治 系统 ， 因此 上面提到的能量准 则就可 以顺 利地推广 到第 ２ 或始终超 过了动力失稳临界总能量 ， 动力失稳 。
中 图分 类 号 ： Ｕ３ １２ Ｔ １ ． 文献标识码 ： Ａ
０ 引言
仍以侧支倒臂模型为例， 已知条件为 ￡ ．１ Ｐ＝０９ Ｐ ａ＝ ＝０ ０ ， ．５ ｍ，
．９ 占 ＝０ Ｐ ＆ 为初始角速度 。 近年来 ， 越来越 多的学 者关注结 构在 动力荷 载下 的稳定 性 ， ０ ０ ， ０ 。其中 ， 为失稳 的临界荷载 ； ０ 当外部地面余弦激振荷载的振 幅 ａ＝ 一０ ０ ．５时 ， 应于第 １ 对 虽然 已经发表 了不少有关结构动力稳定性研究 的论著 ， 是仍然 但 和 ．５的一组 曲线 ， 曲线在 ０点 有一些难题有待解决。本文根据结构动力失稳 判别准则 的结 论 ， 类情况 。观察 图 １ 图 ２中 ａ＝一０ ０ 做了一定 的合理假设 ， 将结构动力失稳判 别准则推广 到非 自治 系 附近做稳定 的振动 ， 振动过程中结 构的总能量始终 小于临界能量 ，也就是说外激振输入 的能量不能使结 构达到满足失 稳条件 的 统中 ， 可判断出结 构在外部激振荷载作用 下 （ 简谐荷载 ， 如 脉冲荷 ｈ ， 能量水平 ， 所以结构 不会发 生动 力失稳 。图中 Ｓ 表示 时间 ， 为无 载， 地震波等 ） 的动力稳定性 。
结 构 动 力 失 稳 临 界 总 能量 。
该准则判别方 法如下 ：） １ 在某一静力荷载 Ｐ 作 用下 ， 确定 结 构在不稳定屈曲后平衡路径上 的平衡 位置 ， 算此时对应 的结 构 计
势能 ， 以此作为 ｈ ；） ２ 在相 同的 Ｐ 作 用下 ， ０ 计算 ｏ代 入动力 失 ，
ｓ／
图１ 口 ≠０时转角时程图
稳判别准则进行判别 ； ） ｈ ＜ｈ ， ３ 当 ０ 时 结构 动力 稳定 ， ｈ ＝ｈ 当 ０ 时， 结构处于临界状态 ， ｈ ＞ｈ 时 ， 当 ０ 结构动力失稳。
可以看出 ， 对于 自治系统 动力稳 定性 的判断 ， 只要 根据结 构
Байду номын сангаас
在静力作用下的稳 定性 分析 和结构振 动的初始状态 ， 就可 以判断 结构是否会动力失稳。这就 大大方便 了结构动力稳定性 的评估 。
１ 自治 系统动 力失稳判 别准 则
根据 文献 ［ ］ １ 的结论 ， 自治系统 中， 在 基于总能量 的结构动力
失稳判别准则为 ：
ｈ＝ｈ ≥ ｈ 。 ｏ 。
量纲单 位。
其中 ， ｈ为结构任一时刻 的无量 纲总能量 ； 。 ｈ 为结 构振动 初 始总能量（ 包括动能 ， 变能 ， 力势 能 ）数 值上恒 等于 ｈ； 为 应 外 ， ｈ
动 力失 稳 判 别准 则在 非 自治 系统 中 的推 广
李 葭
摘 要： 通过假设 ， 将结构动力失稳能量判别准 则推广到 非 自治系统 中， 总结 出在 非 自治系统 中， 结构动力失稳的能量 判 别 准则 ， 以此可判断出结构在 外部激振荷载作用下（ 如简谐荷 载， 冲荷 载， 脉 地震波等） 的动力稳定性。 关键词 ： 自治系统， 非 动力失稳 ， 判别准则
２ 动 力失稳判 别准 则的 推广
２ １ 三种情 况概述 ．
在非 自治系统 中， 不存在能量守恒 ， 即 ≠ｈ， 因此就 不能根
Ｓ／
图２ 口 ≠Ｏ时 总 能 量 ｈ时 程 图
当外部地面余弦激 振荷载 的振 幅 ａ＝一０２时 ， 应 于第 ３ ． 对
结构发 生了动 据结构的初始状态来判别结构在整个振动过程中是否会出现动力 类情况 。振动过程 中的总能量超过了临界能量 ｈ ， 力失稳 。因此在保守系统 中推 导 的结 构动力 失稳判别 准则 可以 失稳 ， 必须根据结构在振动过程中的每一时刻的总能量来判断。 类和第 ３类情况 。 以侧支倒臂模型为例 ， 弹簧 刚度为 愚 刚性 杆件长 度为 ， ， 初 很好地 推广 到第 １
有 无法用 能量准则 进行判别 。为了把上 激振 互 ； 不考虑阻尼 的影 响。通过对侧支倒臂模 型在地面水平激 量 ， 时又小 于临界能量 ， １激 振荷 载的加速度幅值较小 ， 动过 程中结构总能量 比动 提出以下假设 ： ） 振 外部 激振输 入使 结构不 断振动 ， 当结 构在振 动过 外部激 振停 止作用 。这 一时 刻称 力失稳 临界总能量小 ， 则结构 始终 为动力稳 定性 ； ） ２ 激振荷 载 的 程 中的总能量首 次达 到 ｈ 时 ， 这种外部 激振称 为截断激振 。对于实 际的地面激振 加速度幅值加大到 了一定幅值 ， 振动过 程中结构 的总 能量较小范 为临界 时刻 ， 输入 ， 其激 振输入 随时 都可能 中止 ， 因此这 一假定 是合 围地超过 了动力失稳 临界 总能量 ， 但是 结构仍 然保持 稳定振 动 ； （ 地震波 ）
始缺陷为 ｅ 刚性杆初 始位 置与竖直方 向夹角 ）转角位 移为 ａ， （ ， 竖 ２ ３ 推 广至 第 ２类情 况 ．
向外荷载为 Ｐ， 在杆端有一集中质量 ｍ ， 忽略杆件质量 ； 地面水平 振下进行 大量 的动力响应分析 ， 可以发现 以下三类情况 ：
第 ２类情 况则 是最 复杂 的 ， 结构 的总 能量有 时大 于临 界能 述适用 于 自治 系统 的动力失稳判别准则推广 到第 ２类情况 ， 本文
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６ ・ ６
第３ ４卷 第 ３ ３期 ２００８年 １１月
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩ ＴＥＣ ＴＵＲＥ
Ｖｏ ＿ ４Ｎｏ． ３ Ｉ３ ３ Ｎｏ ２ ０ ｖ． ０ ８
文章编号 ：０ ９６ ２ （０ ８ ３ —０ ６０ １ ０ ．８ ５ ２ ０ ）３０ ６ —２